1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
9 Problemas metricos
´
1. Calcula la distancia que separa a los puntos A y B, ası como la medida del ´ngulo r de la figura.
´ a AOB
Y
A
B
1
O 1 X
2. Calcula la medida de los lados del hexagono de vertices: A(2, 1), B(1, 2) C(Ϫ1, 2), D(Ϫ2, Ϫ1), E(Ϫ1, Ϫ3),
´ ´
F(2, Ϫ2).
3. Calcula los angulos de cuadrilatero cuyos vertices son: A(2, 2), B(2, 4), C(Ϫ1, 1), D(Ϫ1, Ϫ1).
´ ´ ´
4. Calcula la medida de los lados y de los angulos del triangulo de la figura.
´ ´
Y
A
C
1
1 X
B
5. Demuestra que las siguientes rectas son paralelas y, despues, calcula la distancia que las separa:
´
r: 2x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0 s: Ά x ϭ Ϫ1Ϫϩ2t4t
y
ϭ2
6. Dadas las rectas r: 3x Ϫ y ϩ 5 ϭ 0 y s: 2x ϩ 3y Ϫ 4 ϭ 0 y el punto P(3, 4):
a) Calcula la suma de las distancias que separan P de cada una de las rectas.
b) Calcula la distancia que separa a P del punto de corte de ambas rectas.
7. Dados los puntos A(2, 1) y B(4, 5): Y
B
a) Calcula la ecuacion de la mediatriz del segmento de extremos A y B. ¿Que
´ ´
verifican todos los puntos de este lugar geometrico?
´
b) Calcula las coordenadas de un punto situado en el eje de ordenadas y que 1 A
equidiste de los puntos A y B.
O 1 X
8. Calcula las coordenadas de los vertices y el area del triangulo cuyos lados estan sobre las rectas:
´ ´ ´ ´
r: x ϩ 2y Ϫ 4 ϭ 0 s: 2x Ϫ 3y Ϫ 1 ϭ 0 t: 4x ϩ y ϩ 5 ϭ 0
9. Calcula las coordenadas de un punto que pertenezca a la recta r: x Ϫ 2y ϩ 3 ϭ 0 y tal que la distancia que
le separa del punto P(6, Ϫ1) sea igual a 5 unidades de longitud.
10. Se considera la recta que tiene por ecuacion r: x Ϫ y ϩ 4 ϭ 0 y los puntos que tienen por coordenadas
´
A(0, 7) y B(3, 2):
a) Calcula la ecuacion de la recta s que pasa por A y por B.
´
b) Calcula las ecuaciones de las bisectrices determinadas por las rectas r y s.
Algoritmo Matematicas I – 1.o Bachillerato
´ Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. d(A, B) ϭ WABW ϭ ͙49 ϩ 4 ϭ ͙53 6. a) d(P, r) ϩ d(P, s) ϭ
W9 Ϫ 4ϩ5W W6 ϩ 12 Ϫ 4W
ϩ ϭ
͙9 ϩ 1 ͙4 ϩ 9
OA · OB Ϫ12 ϩ 15
cos r ϭ cos (OA, OB) ϭ
AOB r ϭ 10 14 14͙13
ϭ ϩ ϭ ͙10 ϩ
WOA W · WOB W ͙34 · 5 ͙10 ͙13 13
r ϭ 84,09... ϭ 84Њ5Ј38Љ
AOB b) Punto de corte: Q(Ϫ1, 2)
2. d(A, B) ϭ WABW ϭ d(P, Q) ϭ ͙(3 ϩ 1)2 ϩ (4 Ϫ 2)2 ϭ ͙20 ϭ 2͙5
͙(1 Ϫ 2) ϩ (2 Ϫ 1) ϭ ͙2
2 2
Calculamos del mismo modo: 7. a) Mediatriz del segmento AB:
d(B, C) ϭ W BCW ϭ ͙4 ϭ 2
͙(x Ϫ 2) ϩ (y Ϫ 1) ϭ ͙(x Ϫ 4) ϩ (y Ϫ 5)
2 2 2 2
d(C, D) ϭ W CDW ϭ ͙10 x ϩ 2y Ϫ 9 ϭ 0
d(D, E) ϭ W DEW ϭ ͙5 Todos los puntos de esta recta equidistan de A
y de B.
d(E, F) ϭ W EFW ϭ ͙10
d(F, A) ϭ W FAW ϭ ͙9 ϭ 3 b) Ά
x ϩ 2y Ϫ 9 ϭ 0
x ϭ0
El punto es P 0,
9
2 ΂ ΃
3. AB ϭ (0, 2), BC ϭ (Ϫ3, Ϫ3), CD ϭ (0, Ϫ2), DA ϭ (3, 3)
Por tanto, se trata de un paralelogramo.
8. Ά 2xϩϪ2y ϪϪ41ϭϭ00
x
3y
A(2, 1)
cos r ϭ cos (AD, AB) ϭ
DAB r
AD · AB
ϭ
Ϫ6 Ά 4x ϩ y ϩ 5 ϭ 0
x ϩ 2y Ϫ 4 ϭ 0
B(Ϫ2, 3)
WAD W · WAB W ͙18 ͙4
r ϭ 135Њ
DAB r ϭ 135Њ
BCD
Ά 2x Ϫ 3yϩϪ51ϭϭ00
4x ϩ y
C(Ϫ1, Ϫ1)
Base ϭ d(A, B) ϭ ͙16 ϩ 4 ϭ ͙20 ϭ 2͙5
BA · BC 6
cosr ϭ cos (BA, BC) ϭ
ABC r ϭ Recta que pasa por A y por B: r: x ϩ 2y Ϫ4 ϭ 0
WBA W · WBC W ͙4 ͙18
W Ϫ1 Ϫ2 Ϫ4W 7
r ϭ 45Њ
ABC r ϭ 45Њ
CDA Altura ϭ d(C, r) ϭ ϭ
͙1 ϩ 4 ͙5
4. A(Ϫ2, 3), B(Ϫ3, Ϫ2), C(4, 2) 1
S ϭ · 2 ͙5 ·
7
ϭ 7 unidades cuadradas
AB ϭ (Ϫ1, Ϫ5), BC ϭ (7, 4), CA ϭ (Ϫ6, 1) 2 ͙5
d(A, B) ϭ WABW ϭ ͙1 ϩ 25 ϭ ͙26
d(B, C) ϭ ͙65 d(C, A) ϭ ͙37
9. r: Ά y ϭ tϪ3 ϩ 2t
x ϭ
Sea Q(Ϫ3 ϩ 2t, t)
19
AB · AC Ϫ6 ϩ 5 d(Q, P)ϭ ͙(9 Ϫ 2t)2 ϩ (Ϫ1 Ϫ t)2 ϭ5 tϭ , tϭ3
cos r ϭ cos (AB, AC) ϭ
CAB r ϭ 5
WAB W · WAC W ͙26 ͙37 El problema tiene dos soluciones:
r ϭ 91,84... ϭ 91Њ50Ј51Љ
΂ ΃
CAB 23 19
Q1 , , Q2 (3, 3)
5 5
BA · BC 27
cos r ϭ cos (BA, BC) ϭ
ABC r ϭ
WBA W · WBC W ͙26 ͙65 x yϪ7
10. a)
3
ϭ
2Ϫ7
Ϫ5x ϭ 3y Ϫ 21
r ϭ 48,94... ϭ 48Њ56Ј42Љ
ABC
r ϭ 39,20... ϭ 39Њ12Ј26Љ
BCA s: 5x ϩ 3y Ϫ 21 ϭ 0
W x Ϫ y ϩ 4W W 5x ϩ 3y Ϫ 21W
xϪ2 yϩ1 ϭ
·
b)
5. s: ϭ 2x ϩ y Ϫ 3 ϭ 0 ͙1 ϩ (Ϫ1)
2 2
͙5 ϩ 3
2 2
Ϫ2 4
r: 2x ϩ y Ϫ 2 ϭ 0 Ά ͙34(xϪyϩ4)ϭ͙2(5xϩ3yϪ21)
͙34(xϪyϩ4)ϭϪ͙2(5xϩ3yϪ21)
Las rectas son paralelas. Las ecuaciones de las bisectrices son:
W Ϫ2 ϩ 3W
ϭ͙ (͙17Ϫ5)xϪ(͙17ϩ3)yϩ4͙17ϩ21ϭ0
1 5
d(r, s) ϭ ϭ
͙22 ϩ 12 ͙ 5 5
(͙17ϩ5)xϪ(͙17Ϫ3)yϩ4͙17Ϫ21ϭ0
Actividades de refuerzo Algoritmo Matematicas I – 1.o Bachillerato
´