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Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I

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Solucionario Vallejo Zambrano tomo I, casi al 100% completo

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  • hola, disculpa y el cuestionario no sabes en donde lo puedo conseguir.
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  • Gracias amigo exelente aporte
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  • cambia ese 3/4 por el 4/3 ( esta mal copiado el literal a )
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Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I

  1. 1. FÍSICA VECTORIAL 1 VALLEJO-ZAMBRANO SOLUCIONARIO Por Henry Alvarado Primera edición (Edición Realizada en software de ofimática) Contactos: http://www.facebook.com/henryalvaradoj 0987867212
  2. 2. PROLOGO Este libro ha sido creado, con la intención de contribuir a los estudiantes en el interés del estudio de la física, de un modo mediante el cual puedan recurrir a esta guía para satisfacer sus dudas en la resolución de problemas del libro “Física Vectorial 1” de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, debo advertir que este solucionario no constituye una guía práctica para el aprendizaje de la física, sino es solo un apoyo para la misma. El libro “Física Vectorial 1” de Vallejo-Zambrano, es un libro mediante el cual los lectores pueden aprender de un modo significativo, sin embargo me permití resolver los ejercicios propuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad de comprensión en los problemas de este tipo, he puesto mi esfuerzo en cada uno de los ejercicios, además de la edición de los mismos. El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad del lector, por tanto aconsejo se utilice debidamente para desarrollar las destrezas en el estudio de la física. Henry Alvarado.
  3. 3. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 1 EJERCICIO Nº 1 1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano:                   A. -4, 3 D. 0, 6 G. -2, -5 B 1, -8 E. 5, 0 H. 8, - 4 C. -7, - 2 F. 3, 4 I. -1, 7 SOLUCIÓN:
  4. 4. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 2 2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos: SOLUCIÓN:  R. 5, -6  S. -8, -3  T. -4, 0  U. 2,7  V. -2, 3  W. -8, 0  X. 8,1  Y. -7,1  Z. 7, -5 3. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:                   R. 12, 5 U. -1, 8 X. -11, -6 S. -7, 4 V. -2, -7 Y. 9, - 4 T. 4, - 2 W. 10, 3 Z. -4, 9 SOLUCIÓN:  R. 12, 5 Primer Cuadrante  S. -7, 4 Segundo Cuadrante  T. 4, -2 Cuarto Cuadrante  U. -1, 8 Segundo Cuadrante  V. -2, -7 Tercer Cuadrante  W. 10, 3 Primer Cuadrante  X. -11, -6 Tercer Cuadrante  Y. 9, -4 Cuarto Cuadrante  Z. -4, 9 Segundo Cuadrante
  5. 5. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 3 4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:                   R. 40cm, 75° U. 15N,110° X. 35m, 200° S. 20cm, 290° V. 25N, 330° Y. 50m, 245° T. 30cm,180° W. 10 N, 200° Z. 50m, 90° SOLUCIÓN:
  6. 6. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 4 5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos: SOLUCIÓN:  Q. 5cm, 65°  R. 10cm,112°  S. 9cm,165°  T. 11cm, 225°  U. 7cm, 305°  V. 9N, 70°  W. 7N,115°  X. 10N, 210°  Y. 5N, 260°  Z. 8N, 325° 6. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:                   R. 90m,119° U. 47m, 25° X. 91N, 272° S. 35m, 213° V. 63N,192° Y. 113N, 89° T. 87m, 300° W. 56 N, 94° Z. 83N,165° SOLUCIÓN:  R. 90m,119° Segundo Cuadrante  S. 35m, 213° Tercer cuadrante  T. 87m, 300° Cuarto Cuadrante  U. 47m, 25° Primer Cuadrante  V. 63N,192° Segundo Cuadrante  W. 56N, 94° Primer Cuadrante  X. 91N, 272° Cuarto Cuadrante  Y. 113N, 89° Primer Cuadrante  Z. 83N,165° Segundo Cuadrante 7. Representar las siguientes coordenadas en el plano:                   R. 12m, SE U. 7m, S55°O X. 11cm, S10°E S. 8m, N12°O V. 9m, N80°O Y. 8cm, S Z. 7cm, S15°OT. 10m, N35°E W. 10cm, N
  7. 7. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 5 SOLUCIÓN: 8. Determinar las coordenadas geográficas que corresponden a los siguientes puntos: SOLUCIÓN:  Q. 10m, N55°E  R. 12m, N5°E  S. 8m, N65°O  T. 11m, S50°O  U. 10m, SE  V. 10N, N40°E  W. 8N, N32°O  X. 9N, N80°O  Y. 12N, S33°O  Z. 11N, S52°E
  8. 8. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 6 9. Sin necesidad de graficar, indicar en qué cuadrante está situado cada uno de los puntos siguientes:                   R. 70km, SE U. 55km, N 20E° X. 75m, N73°O S. 45km, N 23O° V. 80m, S35°E Y. 40cm, N80°E T. 60km, S80°O W. 29m, S10°O Z. 89cm, NE SOLUCIÓN:  R. 70km, SE Cuarto Cuadrante  S. 45km, N23O° Segundo Cuadrante  T. 60km, S80°O Tercer Cuadrante  U. 55km, N20E° Primer Cuadrante  V. 80m, S35°E Cuarto Cuadrante  W. 29m, S10°O Tercer Cuadrante  X. 75m, N73°O Segundo Cuadrante  Y. 40cm, N80°E Primer Cuadrante  Z. 89cm, NE Primer Cuadrante 10. En el triángulo GHI, hallar: a) g en términos de I, h b) i en términos h, g c) G en términos i, g d) h en términos G, g e) i en términos G, h f) I en términos i, h SOLUCIÓN: a) b) c) g cosI = h g = h cosI 2 2 2 2 2 h = i + g i = h -g -1 g tanG = i g G = tan 2        d) e) f) g senG = h g h = senG  i cosG = h i = h cosG -1 i senI = h i I = sen h       
  9. 9. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 7 11. En el triángulo JKL, hallar: a) j en términos de L, l b) l en términos J, k c) J en términos j, l d) k en términos j, l e) k en términos j, L f) l en términos k, L SOLUCIÓN: a) b) c) l tanL = j l j = tanL  l cosJ = k l = k cosJ -1 j tanJ = l j J = tan l        d) e) f) 2 2 k = j +l j cosL = k j k = cosL  l senL = k l = k senL 12. En el triángulo MNO, hallar: a) M en términos de o, m b) N en términos o, m c) n en términos o, m d) m en términos M, n e) o en términos N, n f) o en términos N, m
  10. 10. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 8 SOLUCIÓN: a) b) c) -1 m senM = o m M = sen o        -1 m cosN = o m N = cos o        2 2 2 2 2 o = m + n n = o -m d) e) f) m tanM = n m = n tanM n senN = o n o = senN  m cosN = o m o = cosN  13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos: B = 90°-35° B = 55° c sen35° = d c = dsen35° c =10sen35° = 5,74mb cos35° = d b = dcos35° b =10cos35° = 8,19m c b R = 90°- 42° R = 48° q sen 42° = p q p = sen 42° 73cm p = =109,09cm sen 42°q tan 42° = r q r = tan 42° 73cm r = = 81,07cm tan 42°
  11. 11. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 9 ECD E = 90°-28° E = 62° 2EC = 47cm EC = 23,5cm EC sen 28° = DE EC DE = sen 28° 23,5cm DE = = 50,05cm sen 28° EC tan 28° = DC EC DC = tan 28° 23,5cm DC = = 44,19cm tan 28° AB = DC = 44,19cm ABC ABC A = 90°-38° A = 52° AB sen38° = AC AB AC = sen38° 53cm AC = = 86,09cm sen38° AB tan38° = BC AB BC = tan38° 53cm BC = = 67,84cm tan38° BCD 1 1= 90°-38° 1= 52°   DC cos38° = BC DC = BCcos38° 53cm DC = cos38° = 53,46cm tan38° BD sen38° = BC BD = BCsen38° 53cm BD = sen38° = 41,76cm tan38° 2 2 2 2 AC = BC + AB AC = 47 + 44,19 AC = 64,51cm -1 -1 AB tanC = BC AB C = tan BC 44,19 C = tan = 43,24° 47             A = 90°- 43,24° A = 46,76°
  12. 12. Solucionario Física Vectorial 1 Sistemas de coordenadas en el plano Henry Alvarado Página 10 ABC C = 90°- 40° C = 50° BC sen 40° = AC BC = ACsen 40° BC = 90kmsen 40° = 57,85km AB cos40° = AC AB = ACcos40° AB = 90kmcos40° = 68,94km EDB 2 2 EB = DB = AB = 68,94km = 45,96km 3 3 2 2 DE = 45,96 + 45,96 DE = 65km Triangulo isósceles E = 45° D = 45° EDC 1= 90°-67° 1= 23° D = 67    DE sen 23° = DC DE = DCsen 23° DE = 71msen 23° = 27,74m EC cos23° = DC EC = DCcos23° EC = 71mcos23° = 65,36m ABC   AC EC = 2 AC = 2EC = 2 65,36m =130,72m A = 90°-37° A = 23° AB sen 67° = AC AB = ACsen 67° AB =130,72msen 67° =120,33m BC cos67° = AC BC = ACcos67° BC =130,72mcos67° = 51,08m 1
  13. 13. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 11 EJERCICIO Nº 2 1. Determinar cuáles de los siguientes vectores son unitarios: a)  0,5 i+0,5 j   b)  0,8 i+0,6 j   c)  0,37 i 0,929 j   d)  0,7 i+0,55 j   e)  0,235 i 0,972 j   f)  0,3 i+0,4 j   g)  0,33 i 0,943 j    h)  0,5 i+0,866 j   i)  0,707 i 0,707 j    SOLUCIÓN: a) 2 2 0,5 + 0,5 = 0,707 No es unitario b) 2 2 0,8 + 0,6 = 1 Es unitario c) 2 2 0,37 + 0,929 = 1 Es unitario d) 2 2 0,7 + 0,55 = 0,890 No es unitario e) 2 2 0,235 + 0,972 = 1 Es unitario f) 2 2 0,3 + 0,4 = 0,5 No es unitario g) 2 2 0,33 + 0,943 = 1 Es unitario h) 2 2 0,5 + 0,866 = 1 Es unitario i) 2 2 0,707 + 0,707 = 1 Es unitario 2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores: a)  A = 150 N,140°  b)  B = 27 N, N37°E  c)  C = 45 N, 225°  b)  D = -9 i+ 4 j N    e)  E = 400 N, S25°O  f)  F = 235 i-520 j m   c)  G = 28m, S  h)  H = 40m, 335  i)  I = 12m, NO  SOLUCIÓN: a) X X A =150cos140° A = -114,91 Y Y A =150sen140° A = 96,42  A = -114,91i+ 96,42 j N      A A A = A -114,91i+96,42 j N =         150 N  A = -0,77 i+ 0,64 j   
  14. 14. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 12 b) X X B = 27sen37° B =16,25 Y Y B = 27cos37 B = 21,56   B = 16,25 i+ 21,56 j N      B B B = B 16,25 i+ 21,56 j N =         27 N  B = 0,60 i+ 0,79 j    c) X X C = 45cos225° C = -31,82 Y Y C = 45sen 225° C = -31,82  C = -31,82 i+ -31,82 j N      C C C = C -31,82 i+ -31,82 j N =         45 N  C = -0,707 i-0,707 j    d) 2 2 D = 9 + 4 N D = 9,85 N     D D D = D -9 i+ 4 j N =         9,85 N  D = -0,91i-0,40 j    e) X X E = -400sen 25° E = -169,05 Y Y E = -400cos25° E = -362,52  E = -169,05 i-362,52 j N   
  15. 15. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 13   E E E = E -169,05 i-362,52 j N =         400 N  E = 0,42 i+ 0,91 j    f) g) 2 2 F = 235 +520 m F = 570,64m     F F F = F = 235 i-520 j m =         570,64 m  F = 0,41i-0,91 j     G = 0 i- j    h) X X H = 40cos335° H = 36,25 Y Y H = 40sen335° H = -16,90  H = 36,25 i+ -16,90 j m      H H H = H 36,25 i+ -16,90 j m =         40 m  H = 0,91i-0,42 j    i) X X I = -12sen 45° I = -8,49 X X I =12cos45° I = 8,49  I = -8,49 i 8,49 j m      I I I = I -8,49 i 8,49 j m =          12 m  I = -0,707 i+ 0,707 j   
  16. 16. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 14 Nota: también se puede resolver en función de los ángulos directores y cosenos directores. 3. Determinar los ángulos directores de los siguientes vectores:  R = -4 i+8 j m    S = 5 i-9 j m    T = -11i-7 j m    U = 120m,120°  V = 45 N, 229°  W = 57 N, 280°  X = 78 N, N 29°O  Y = 45 N, S72°E  Z = 20 N,S45°O SOLUCIÓN: R: X -1 X -1 2 2 R cos = R R = cos R -4 = cos =116,57 4 +8                Y -1 Y -1 2 2 R cos = R R = cos R 8 = cos = 26,57 4 +8                S: X -1 X -1 2 2 S cos = S S = cos S 5 = cos = 60,95 5 +9                Y -1 Y -1 2 2 S cos = S S = cos S -9 = cos =150,95 5 +9                T: X -1 X -1 2 2 T cos = T T = cos T -11 = cos =147,53 11 + 7                Y -1 Y -1 2 2 T cos = T T = cos T -7 = cos =122,47 11 + 7                U: =120° =120°-90° = 30° V: = 360°- 229 =131   = 229°-90° =139° W: = 360°-280 = 80   = 90° 80 =170°   X: = 29° 90 =119    = 29° Y: = 90°-72 =18   =180°-72 =108°  Z: = 90° 45 =135    = 90° 45 =135   
  17. 17. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 15 4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literal anterior. SOLUCIÓN:     -R -R = -cos116,57° i-cos26,57° j = 0,45 i-0,89 j             -S -S = -cos60,95° i-cos150,95° j = -0,49 i-0,87 j             -T -T = -cos147,53° i-cos122,47° j = 0,84 i 0,54 j              -U -U = -cos120° i-cos30° j = 0,50 i-0,87 j             -V -V = -cos131° i-cos139° j = 0,66 i 0,75 j              -W -W = -cos80° i-cos170° j = -0,17 i-0,98 j             -X -X = -cos119° i-cos29° j = 0,48 i-0,87 j             -Y -Y = -cos18° i-cos108° j = -0,95 i 0,31 j              -Z -Z = -cos135° i-cos135° j = 0,71i 0,71 j          5. Un vector R  parte del origen y llega al punto  12, 7 cm; determinar: a) Las componentes rectangulares del vector R  b) El módulo del vector R  c) La dirección del vector R  d) Los ángulos directores del vector R  e) El vector en función de sus vectores base f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) c) X Y R =12cm R = 7cm 2 2 12 + 7 cm = 13,89cm -1 12 = tan = 59,74° 7 N59,74 E         
  18. 18. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 16 d) e) f) 90 -59,74 30,26 59,74           R = 12 i+7 j cm      R R R = R 12 i+ 7 j cm =         2 2 12 7 cm  R = 0,96 i-0,5 j    6. Un vector S  cuya magnitud es de 54N y forma un ángulo de 213° en sentido antihorario con el eje positivo en Y, determinar: a) Las componentes rectangulares del vector S  b) Las coordenadas del punto externo del vector S  c) Los ángulos directores del vector S  d) El vector en función de sus vectores base e) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X X S = 54Ncos213° S = -45,29N Y Y S = 54Nsen 213° S = -29,41N  S -45,29; - 29,41 N c) d) e) = 360°- 213° =147° = 213°-90° =123°    S = -45, 29 i- 29, 41 j N        S S = cos147° i+ cos123° j = -0,84 i-0,54 j         7. Si el ángulo director de α de un vector K  es 125°, y su componente en el eje X es de - 37cm; determinar: a) La componente en el eje Y b) El ángulo director β c) El módulo del vector K  d) El vector unitario e) El vector en función de los vectores base f) El punto extremo del vector SOLUCIÓN:
  19. 19. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 17 a) b) c) Y Y 37cm tan125° = K 37cm K = = -52,84cm tan35 =180°-35° =145°   37cm sen35° = K 37cm K = = 64,51cm sen 35°   d) e) f)     K K = cos125° i+ cos145° j = -0,57 i-0,82 j          K = -37 i-52,84 j cm     K -37;-52,84 j cm  8. Para el vector  A = -34 i+67 j cm/ s;    determinar: a) Las componentes rectangulares del vector b) El vector en coordenadas polares c) El vector en coordenadas geográficas d) El módulo del vector A  e) Los ángulos directores del vector A  f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X Y R = -34cm/ s R = 67cm/ s -1 2 2 -34 = cos 34 + 67 =116,91            2 2 A = 34 +67 = 75,13 A = 75,13cm/ s;116,91°   c) d)   =116,91°-90° = 26,91° A = 75,13cm/ s; N 26,91°O   2 2 A = 34 +67 = 75,13cm/ s  e) f) 116,91 26,91           S S = cos116,91° i+ cos26,91° j = -0,45 i 0,89 j         
  20. 20. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 18 9. El rumbo de un vector E  es S68°E y el valor de la componente en el eje de las X es 87N, determinar: a) Los ángulos directores b) La componente en el eje Y c) El módulo del vector E  d) Las coordenadas en el punto extremo del vector e) El vector unitario f) Un vector F  de dirección opuesta al vector E  , cuyo módulo es el mismo del E  SOLUCIÓN: a) b) c) = 90°-68° = 22° =180°-68° =112°   Y Y 87 N tan 68° = - E 87 N E = - = -35,15N tan 68°   87 N sen 68° = E 87 N E = = 93,83N sen 68°   d) e) f)  E 87; -35,15 N     E E = cos22° i+ cos112° j = 0,93 i-0,37 j          F = -87 i+35,15 j N    10. El módulo del vector C  es 84m y su dirección está dada por el vector unitario CU = mi+ nj,    el vector C  está en el primer cuadrante; determinar: a) El valor de m y n, si n=2m b) Los ángulos directores del vector C  c) El vector en función de los vectores base d) Las componentes rectangulares del vector C  e) Las coordenadas del punto extremo del vector C  f) La dirección del vector C  g) El vector unitario SOLUCIÓN:
  21. 21. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 19 a) b)   22 2 En un vector unitario el módulo es siempre 1= m + 2m 5m =1 1 5 2 5 m = = y n = 5 5 1, entonces : 5 -1 -1 5 = cos = 63,43° 5 2 5 = cos = 26,57° 5                 c) d) e)   5 2 5 C = 84m i+ j 5 5 C = 37,57 i+ 75,13 j m              X Y C = 37,57m C = 75,13m  C 37,57; 75,13 m f) g) N 26,57°O   C C 5 2 5 = i+ j 5 5 = 0,45 i+ 0,89 j                11. La componente de un vector B  en el eje X es -27cm, si sus ángulos directores son α=145° y β=125°, determinar: a) La componente del vector en el eje Y b) El módulo del vector B  c) Las coordenadas del punto extremo del vector B  d) La dirección del vector B  e) El vector en coordenadas polares f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) Y Y -27cm tan55° = B 27cm B = - = -18,91cm tan55° -27cm cos145° = B -27cm B = = 32,96cm cos145°  
  22. 22. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 20 c) d) e)  B -27; -18,91 cm S 55°O  B = 32,86cm; 215°  f)     B B = cos145° i+ cos125° j = -0,82 i-0,57 j         12. La componente de un vector J  en el eje Y es -45km y el ángulo formado respecto al eje positivo de X es 207° en dirección antihoraria, determinar: a) La componente del vector en el eje X b) Los ángulos directores c) El módulo del vector J  d) Las coordenadas del extremo del vector e) El vector en función de sus componentes rectangulares f) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) X X = 270°- 207° = 63° J tan 63° = -45km J = -45km tan 63° = -88,32km  = 360°- 207° =153° = 207°-90° =117°   c) d) e) -45km cos117° = J -45km J = = 99,12km cos117°    J -88,32; - 45 km  J = -88,32; - 45 km  f)     J J = cos153° i+ cos117° j = -0,89 i-0,45 j         13. El módulo de un vector E  es 68cm y tiene como ángulos directores α=115° y β=25°; determinar:
  23. 23. Solucionario Física Vectorial 1 Vectores en el plano Henry Alvarado Página 21 a) La dirección b) Las componentes rectangulares del vector c) Las coordenadas del punto extremo del vector d) El vector en función de los vectores base e) El vector unitario SOLUCIÓN: a) b) c) N 25°O X X E = 68cmcos115° E = -28,74cm X X E = 68cmsen115° E = 61,63cm  E -28,74; 61,63 cm d) e)  E = -28,74 i+61,63 j cm        E E = cos115° i+ cos25° j = -0,42 i 0,91 j         
  24. 24. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 22 EJERCICIO Nº 3 1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores: a)  mj20i15A   b)  B = 130 N,125º  c)  C = 37cm, N37º E  d)  D = 25kgf -0,6 i-0,8 j    SOLUCIÓN: a)  A = 15, - 20 m  b) x x x B = B cos B =130 Ncos125º B = -74,56 N      y y y B = B sen B =130 Nsen125º B =106,49 N          x yB = B , B B = -74,56;106,49 N   c) x x x B = B sen B = 37cmsen37º B = 22,27cm      y y y B = B cos B = 37cmcos37º B = 29,55cm          x yB = B , B B = 22,27; 29,55 cm   d)     D = 25kgf -0,6 i-0,8 j D = -15 i- 20 j kgf        D = -15, -20 kgf 
  25. 25. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 23 2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores: a)  A = -14 i+8 j m    b)  B = 87, 91 N  c)  C = 45kgf 0,707 i-0,707 j    d)  D = 22 N,S28º O  SOLUCIÓN: a)  2 2 A = 14 +8 A =16,12m   1 8 tan 14 8 tan 14 29,74º              180º 180º 29,74 150,26º           A = 16,12m;150,26º  b)  2 2 B = 87 +91 B =125,90N   1 91 tan 87 91 tan 87 46,29º               B = 125,90 N; 46,29º  c) 1 1 1 1 0,707 tan 0,707 0,707 tan 0,707 45º              1270º 270º 45º 315º           C = 45kgf; 315º  d) 270º 270º 28º 242º           D = 22N, 242º 
  26. 26. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 24 3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a)  A = 52,-25 N  b)  B = 47 N, 245º  c) C = -32 im+ 21 jm    d)  D = 35cm 0,866 i+0,5 j    SOLUCIÓN: a) 2 2 A = 52 + 25 A = 57,7 N   1 52 tan 25 52 tan 25 64,32º               A = 57,7 N; S64,32º E  b) 270º 245º 25º       B = 47 N, S25ºO  c) 2 2 C = 32 + 21 C = 38,28m   1 32 tan 21 32 tan 21 56,73º               C = 38,28m; N56,73O  d) 1 0,5 tan 0,866 0,5 tan 0,866 30º               D = 35cm; N30º E 
  27. 27. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 25 4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a)  A = 44m, 340º  b)  B = 25km, S14º O  c)  C = -21, 45 N  d)  D = 17 i+9 j kgf    SOLUCIÓN: a) x x x A = A cos A = 44mcos340º A = 41,35m   y y y A = A sen A = 44msen340º A = 15,05m     A = 41,35 i-15,05 j m        A A A A = A 41,35 i-15,05 j m = 44m = 0,94 i 0,34 j               A = 44m 0,94 i-0,34 j    b) 270º 14º 284º      x x x B = B cos B = 25kmcos284º B = 6,05km   y y y B = A sen B = 25kmsen 284º B = 24,26km     A = 6,05 i-24,26 j km        B B B B = B 6,05 i- 24,26 j km = 25km = 0,24 i 0,97 j               B = 25km 0,242 i-0,97 j   
  28. 28. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 26 c) 2 2 C 21 45 C 49,66º N          C C C C C -21i+ 45 j N 49,66N -0,42 i+0,90 j                 C 49,66 N -0,42 i+ 0,90 j    d) 2 2 D = 17 9 D =19,24kgf        D D D D D 17 i+9 j kgf 19,24kgf 0,88 i+ 0,47 j                 D 19,24kgf 0,88 i+ 0,47 j    5. Expresar el vector  R = -13,-27 m  en: a) Coordenadas polares b) Función de los vectores base c) Coordenadas geográficas d) Función de su módulo y unitario SOLUCIÓN: a) 2 2 R = 13 + 27 R = 29,97 m   1 1 1 1 27 tan 13 27 tan 13 64,29º              64,29º 180º 244,29º       R = 29,97m; 244,29º  b) c)  R = -13 i- 27 j m    270º 244,29º 25,71º       R = 29,97m; S25,71ºO 
  29. 29. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 27 d)     R R R R R -13 i-27 j m 29,97m -0,43 i-0,9 j                 R = 29,97m -0,43 i-0,9 j    6. Expresar el vector  V = 200km, 318º  en : a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas rectangulares c) Función de los vectores base d) Función de su módulo y unitario SOLUCIÓN: a) 318º 270º 48º       V = 200km, S48º E  b) x x x V = V cos318º V = 200kmcos318º V =148,63km  y y y V = V sen318º V = 200kmsen318º V = -133,83km   V = 148,63; -133,83 km  c)  V = 148,63 i-133,83 j km    d)     V V V V V 148,63 i-133,83 j km 200km 0,743 i-0,669 j                 V = 200km 0,743 i-0,669 j   
  30. 30. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 28 7. Expresar el vector  K = 20 N, N 47º O  en: a) Coordenadas polares b) Coordenadas rectangulares c) Función de su módulo y unitario d) Función de los vectores base SOLUCIÓN: a) 90º 47º 137º       K = 20 N;137º  b) x x x K = K cos K = 20 Ncos137º K = -14,63N   y y y K = K sen K = 20 Nsen137º K =13,64 N    K = -14,63;13,64 N  c)     K K K K K -14,63 i 13,64 j N 20 N 0,73 i 0,68 j                    K 20 N 0,73 i 0,68 j      d)  K = -14,63 i 13,64 j N    8. Expresar el vector  L =147cm mi-nj    ; Si m = 3n , en: a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas polares c) Coordenadas rectangulares d) Función de los vectores base SOLUCIÓN:
  31. 31. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 29        L L 2 2 2 2 mi- nj m 3n 3ni- nj 1 3n n 9n n 1 10 n 1 1 n 10 n 0,316                           L L L L mi- nj m 3n 3ni- nj 3 0,316 i-0,316 j 0,948 i-0,316 j                       a) 1 0,948 tan 0,316 0,948 tan 0,316 71,57º               L 147cm; S71,57ºO  b) 270º 71,57º 341,57º       L 147cm; 341,57º  c) d)     L =147cm 0,948;-0,316 L = 139,36;-19,99 cm    L = 139,36 i-19,99 j cm    9. Expresar el vector  H = -29 i+35 j m s    en: a) Coordenadas rectangulares b) Función de su módulo y unitario c) Coordenadas polares d) Coordenadas geográficas SOLUCIÓN:
  32. 32. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 30 a)  H = -29; 35 m s  b) 2 2 H 29 35 H 45,45m/ s          H H H H H -29 i+35 j m s = 45,45m s = 0,64 i+ 0,77 j                H 45,45m/ s 0,64 i+ 0,77 j     c) 1 0,64 tan 0,77 0,64 tan 0,77 39,73º              90º 39,73º 129,73       H 45,45m/ s;129,73º  d)  H 45,45m/ s; N39,73ºO  10. Expresar el vector   2 E = 9 i+12 j m s    en: a) Coordenadas rectangulares b) Coordenadas polares c) Coordenadas geográficas d) Función de su módulo y unitario SOLUCIÓN: a)   2 E = 9;12 m s 
  33. 33. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 31 b) 2 2 2 E = 9 +12 E =15m/ s   1 12 tan 9 12 tan 9 53,13º               2 E = 15m/ s ; 53,13º  c) 90º 53,13º 36,87º       2 E = 15m/ s ; N36,87º E  d)     E 2 E 2 E E E 9 i+12 j m s 15m s 0,6 i+ 0,8 j                 2 E =15m/ s 0,6 i+ 0,8 j    11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a)  A = 65km/ h,121º  b)  B = 70 N, NE  c)  C =120km 0,873 i-0,488 j    d)  D = -13, 40 N  SOLUCIÓN: a) x x x A = A cos A = 65km/ hcos121º A = 33,48km/ h    y y y A = A sen A = 65km/ hsen121º A = 55,72km/ h    A = -33,48 i+55,72 j km/ h   
  34. 34. Solucionario Física Vectorial 1 Formas de expresión de un vector y transformaciones Henry Alvarado Página 32 b) x x x B = B cos B = 70 Ncos45º B = 49,5N    B = 49,5 i 49,5 j N    c)  C = 104,76 i-58,56 j km    d)  D = -13 i 40 j N   
  35. 35. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 33 EJERCICIO Nº 4 1. Si la magnitud de los vectores F  y G  son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G   b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G   c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F  y G  sean perpendiculares d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F-G   SOLUCIÓN: a) b)       F = 40 i+ 0 j m G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m          2 R = 70 = 70m        F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 10 i+ 0 j m          2 R = 10 = 10m  c) d)       F = 40 i+ 0 j m G = 0 i+30 j m R = 40 i+30 j m          2 2 R = 40 30 = 50m        F = 40 i+ 0 j m -G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m              2 F = 40 i+0 j m G = -30 i+0 j m R = 70 = 70m        2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j    y G = -6 i- j    , encontrar: a) El ángulo formado por los vectores b) El área del paralelogramo formado por los vectores F  y G  c) El vector unitario en la dirección de  F-2G   SOLUCIÓN:
  36. 36. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 34 a) 1 1 F•G cos F G 4×-6 + 6×-1 cos 52 37 133,15º                          2 2 F = 4 + 6 F 7,21   2 G = 6 +1 G = 6,08   b)   24 6 Área = = -4+36 = 32u -6 -1 c) F = 4 i+ 6 j    G = -6 i- j    2G = -12 i- 2 j              F- 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 j F- 2G = 16 i+8 j             F 2G 2 2 F 2G 16 i+8 j 16 8 0,89 i 0,45 j               3. Dado el vector  Q = 3, -5 m  , encontrar: a) Un vector P  perpendicular a Q  , de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva b) El área del paralelogramo formado por Q  y P  c) La proyección de Q  sobre P  SOLUCIÓN: a)     x y x y x y Q•P = 0 Q•P = 3×P -5×P 3×P -5×P = 0 3×P 5×P           P 2 2 P P = 5 i+3 j m 5 i+3 j m 5 3 0,86 i+ 0,51 j                   P =17m 0,86 i+ 0,51 j P = 14,62 i 8,67 j m      
  37. 37. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 35 b)   23 -5 Área = = 26,01+73,1 = 99,11m 14,62 8,67 c) Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero 4. Dados los vectores  P = 12 i-8 j m s     Q = 15m s,120º  , encontrar: a) P -Q   b) Q + P   c) 3/ 2P  d) Q • P   e) El ángulo formado entre Q y P  f) P×Q   SOLUCIÓN: x x x Q = Q cos Q =15m/ scos120º Q = -7,5m/ s   y y y Q = Q sen Q =15m/ ssen120º Q =12,99m/ s    Q = -7,5 i+12,99 j m/ s    a) b)       P = 12 i -8 j m s -Q = 7,5 i-12,99 j m/ s P -Q 19,5 i- 20,99 j m/ s                 Q = -7,5 i 12,99 j m/ s P = 12 i -8 j m s Q P 4,5 i 4,99 j m/ s                c) d)     3 3 P = 12 i-8 j m s 2 2 3 P = 18 i-12 j m s 2        Q•P = -7,5×12 +12,99×-8 m/ s Q•P = -193,92m/ s     e) f)
  38. 38. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 36      -1 2 2 -7,5×12 +12,99×-8 = cos 15m/ s 12 +8 = 93,56º               12 -8 P×Q = = 155,88+60 k = 215,88k -7,5 12,99     5. Dados los vectores  M = 37, 25 m   N = 41m, 213º  , hallar: a) M + N   b) N - M   c) -2N  d) N • M   e) La proyección de N  sobre M  f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIÓN: a) x x x N = N cos N = 41mcos213º N = -34,39m   y y y N = N sen N = 41msen 213º N = -22,33m    N = -34,39 i-22,33 j m          M = 37 i + 25 j m N = -34,39 i- 22,33 j m M + N = 2,61i+ 2,67 j m           b) c)       N = -34,39 i- 22,33 j m - M = -37 i - 25 j m N - M = -71,39 i- 47,33 j m               -2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m -2N = 68,78 i+ 44,66 j m       d)
  39. 39. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 37  N•M = -34,39×37 -22,33×25 N•M = -1830,68     e)       M M M 2 2 2 2 M N • M N = × M 37 i+ 25 j m-34,39×37 - 22,33×25 N = × 37 + 25 37 + 25 N = -33,97 i- 22,95 j m                     2 2 M M N = 33,97 + 22,95 N = 40,99m   f)   237 25 Área = = -826,21+934,75 = 33,54m -34,39 -22,33 6. Dados los vectores  E =15N mi+0,48 j    ;  I = 21N, SE  y  F = 12 N, 312º  , hallar: a) E+I+F    b) 2 / 3I -3E + 5 / 2F    c)  2 / 5 F•E   d)  3I×2F   e) La proyección de E  sobre el vector resultante de  I + F   f) El ángulo comprendido entre los vectores F  y E  SOLUCIÓN:  E =15N mi+0,48 j     I = 21N, SE   2 m = 1- 0,48 m = 0,88 270º 45º 315º          E =15N 0,88 i+ 0,48 j E = 13,2 i+ 7,2 j       x x x I = I cos I = 21Ncos315º I =14,85   y y y I = I sen I = 21Nsen315º I = -14,85  
  40. 40. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 38  I = 14,85 i-14,85 j N     F = 12 N, 312º  x x x F = F cos F =12 Ncos312º F = 8,03   y y y F = F sen F =12 Nsen312º F = -15,60    F = 8,03i-15,60 j N    a)         E = 13,2 i+ 7,2 j N I = 14,85 i-14,85 j N F = 8,03 i-15,60 j N E + I + F 36,08 i- 23,25 j N               b)     2 2 / 3I = 14,85 i-14,85 j N 3 2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N           -3E = -3 13,2 i+ 7,2 j N -3E = -39,6 i- 21,6 j N           5 5 / 2F = 8,03 i-15,60 j N 2 5 / 2F = 20,08 i-39 j N               2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N -3E = -39,6 i- 21,6 j N 5 / 2F = 20,08 i-39 j N 2 / 3I -3E +5 / 2F = -9,62 i-70,5 j N               c)     2 2 / 5 F•E = 8,03×13,2-15,60×7,2 5 F•E = -2,53     d)
  41. 41. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 39     3I = 3 14,85 i-14,85 j N 3I = 44,55 i- 44,45 j N           2F = 2 8,03 i-15,60 j N 2F = 16,06 i-31,2 j N         44,55 -44,55 3I×2F = k = -1389,96+715,47 k = -674,49k 16,06 -31,2      e) La proyección de E  sobre el vector resultante de  I + F         I = 14,85 i-14,85 j N F = 8,03 i-15,60 j N I + F 22,88 i-30,45 j N                 I+F I F I+F 2 2 2 2 I+F E •I F E = × I F 22,88 i-30,45 j13,2×22,88 7,2× 30,45 E = × 22,88 +30,45 22,88 +30,45 E = 1,30 i-1,73 j m                         2 2 I+F I+F E = 1,30 1,73 E = 2,16    f) 1 8,03 13,2 15,60 7,2 cos 15 12 92,01º              7. Dados los vectores  A = 31m s 0,2 i+ mj    ;  B = 43m s,172º  y  C = 55, -12 m s  , hallar: a) A - B + C    b) 1 2A + B- 2C    c) El área del paralelogramo formado por 2A  y 2 C 3 
  42. 42. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 40 d) La proyección de  A + B   sobre C e)    A×C + A×B     f)  A• B×C    SOLUCIÓN:  A = 31m s 0,2 i+ mj     B = 43m s,172º   2 m = 1- 0,2 m = 0,98 x x x B = B cos B = 43m/ scos172º B = -41,59   y y y B = B sen B = 43m/ ssen172º B = 5,98       A = 31m s 0,2 i+ 0,98 j A = 6,2 i+30,38 j m s        B = -41,59 i+5,98 j m/ s     C = 55 i-12 j m s    a)         A = 6,2 i+30,38 j m s - B = 41,59 i-5,98 j m/ s C = 55 i -12 j m s A - B+ C 102,79 i 12,4 j m s                b)     1 1/ 2A = 6,2 i+30,38 j m s 2 1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s           -2C = -2 55 i-12 j m s -2C = -110 i+ 24 j m s               1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s B = -41,59 i+5,98 j m/ s - 2C = -110 i+ 24 j m s 1 2A + B- 2C -148,49 i+ 45,17 j m s              
  43. 43. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 41 c)     2A = 2 6,2 i+30,38 j m s 2A = 12,4 i+ 60,76 j m s           2 2 / 3C = 55 i-12 j m s 3 2 / 3C = 36,66 i-8 j m s       12,4 60,76 Área = = -99,2-934,75 = 2326,66 36,66 -8 d) La proyección de  A + B   sobre C       A = 6,2 i+30,38 j m s B = -41,59 i+5,98 j m/ s A + B = -35,39 i+36,36 j m/ s            C = 55 i-12 j m s                CC C 2 2 2 2 C A+ B•C A+ B = × C 55 i-12 j-35,39×55+36,36×-12 A+ B = × 55 +12 55 +12 A+ B = -41,35 i+9,02 j                         2 2 C C A+ B = 41,35 9,02 A+ B = 42,32    e)   6,2 30,38 A×C = = -74,4-1670,9 k = -1745,3k 55 -12       6,2 30,38 A×B = = -37,08+1263,5 k =1226,42k -41,59 5,98             A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k A×C + A×B = -518,88k            f) B×C   es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A  entonces  A• B×C 0   
  44. 44. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 42 8. Tomando en consideración los vectores  R = 20m, N25ºO  ;  S = 15 i+9 j m     T = 30m, 260º  y  U =17m 0,5 i-0,866 j    , hallar: a)  3 4 S -2R + U    b) 5U-1 2T +R -2S     c)    R •S + T• U     d)    T×U + R×S     e)    3R •2 T   f) La proyección de  R +S   sobre  T-U   g) El área del paralelogramo formado por  R -T   y  S+ U   SOLUCIÓN:  R = 20m, N25ºO   T = 30m, 260º  90º 25º 115º      x x x R = R cos R = 20mcos115º R = -8,45m   y y y R = R sen R = 20msen115º R =18,13m   x x x T = T cos T = 30mcos260º T = -5,21m   y y y T = T sen T = 30msen 260º T = -29,54m    R = -8,45 i+18,13 j m     T = -5,21i-29,54 j m        U =17m 0,5 i-0,866 j U 8,5 i-14,72 j m       a)     3 3/ 4S = 15 i+9 j m 4 3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m           -2R = -2 -8,45 i+18,13 j m -2R = 16,9 i-36,26 j m      
  45. 45. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 43         3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m - 2R = 16,9 i-36,26 j m U 8,5 i-14,72 j m 3 4S- 2R + U 36,65 i- 44,23 j m                 b)     5U 5 8,5 i-14,72 j m 5U 42,5 i-73,6 j m             1 -1/ 2T = - -5,21i-29,54 j m 2 -1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m           -2S = -2 15 i+9 j m -2S = -30 i-18 j m                 5U = 42,5 i-73,6 j m -1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m R = -8,45 i+18,13 j m -2S = -30 i -18 j m 5U -1 2T + R -2S = 6,65 i-58,7 j m                   c)  R •S = -8,45×15+18,13×9 R •S = 36,42      T • U = -5,21×8,5- 29,54×-14,72 T • U = 390,54             R •S + T•U = 36,42+390,54 R •S + T•U = 426,96         d)   -8,45 18,13 R×S = = -76,05-271,95 k = -348k 15 9       -5,21 -29,54 T×U = = 76,69 + 251,09 k = 327,78k 8,5 -14,72    
  46. 46. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 44         T×U + R×S = 327,78k-348k T×U + R×S = -20,22k            e)     3R = 3 -8,45 i+18,13 j m 3R = -25,35 i+54,39 j m           2T = 2 -5,21i-29,54 j m 2T = -10,42 i-59,08 j m                 3R •2 T = -25,35×-10,42+54,39×-59,08 3R •2 T = -2949,21     f)       R = -8,45 i+18,13 j m S = 15 i+9 j m R +S 6,55 i+27,13 j m                 T = -5,21i-29,54 j m - U = -8,5 i+14,72 j m T- U = -13,71i-14,82 j m                       T-UT-U T-U 2 2 2 2 T-U R+S•T- U R+S = × T- U -13,71i-14,82 j6,55×-13,71+ 27,13×-14,82 R+S = × 13,71 +14,82 13,71 +14,82 R+S = 16,54 i+17,88 j                         2 2 T-U T-U R+S = 16,54 17,88 R+S = 24,36    g)       R = -8,45 i+18,13 j m -T = 5,21i+ 29,54 j m R -T = -3,24 i+ 47,67 j m                 S = 15 i+9 j m U 8,5 i-14,72 j m S+ U 23,5 i-5,72 j m            
  47. 47. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 45 3,24 47,67 Área = = 18,53-1120,24 =1101,71 23,5 -5,72  9. Considérese los vectores  A = 46cm mi-0,23 j    ;  B = 81cm,155º  ,  C = 57cm, N21ºE  y  D = -32 i-29 j m   , determinar: a) 1 2A +2C-B    b) 2D-3A+1 3C-2 5B     c)    3B+ 2 3A • -C-3 4D     d)    D-3C × 3 2B+ 4A     e)    B•A + C•D     f)    2A×C + 5B×D     g) El ángulo formado por  D-A   y  B+C   SOLUCIÓN:  A = 46cm mi-0,23 j     B = 81cm,155º   2 m = 1- 0,48 m = 0,88 x x x B = B cos B = 81cmcos155º B = -73,41cm   y y y B = B sen B = 81cmsen155º B = 34,23cm       A = 46cm 0,88 i-0,23 j A = 40,48 i-10,58 j        B = -73,41i+34,23 j cm     C = 57cm, N21ºE  90º 21º 69º     
  48. 48. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 46 x x x C = C cos C = 57cmcos69º C = 20,43cm   y y y C = C sen C = 57cmsen 69º C = 53,21cm    C = 20,43 i+53,21 j cm    a)     1 1/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm 2 1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm           2C = 2 20,43 i+53,21 j cm 2C = 40,86 i+106,42 j cm        B = -73,41i+34,23 j cm            1/ 2A = 20,24 i-5,29 j 2C = 40,86 i+106,42 j - B = 73,41i-34,23 j 1 2A + 2C- B = 134,51i+ 66,89 j               b)     2D = 2 -32 i-29 j 2D = -64 i-58 j         -3A = -3 40,48 i-10,58 j -3A = -121,44 i+31,74 j           1 1/ 3C = 20,43i+53,21 j 3 1/ 3C = 6,81i+17,73 j           2 -2 / 5B = - -73,41i+ 34,23 j 5 -2 / 5B = 29,36 i-13,69 j      
  49. 49. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 47           2D = -64 i-58 j -3A = -121,44 i+31,74 j 1/ 3C = 6,81i+17,73 j - 2 / 5B = 29,36 i-13,69 j 2D -3A +1 3C- 2 5B 149,27 i- 22,22 j                   c)     3B = 3 -73,41i+34,23 j 3B = -220,23 i+102,69 j           2 2 / 3A = 40,48 i-10,58 j 3 2 / 3A = 26,99 i-7,05 j           4 -4 / 3D = - -32 i-29 j 3 -4 / 3D = 42,66 i+38,66 j            3B = -220,23 i+102,69 j 2 / 3A = 26,99 i-7,05 j 3B + 2 3A = -193,24 i+95,64 j                 -C = -20,43i-53,21 j -4 / 3D = 42,66 i+38,66 j -C-4 3D = 22,23i-14,55 j                     3B+2 3A • -C-4 3D = -193,24×22,23+95,64×-14,55 3B+2 3A • -C-4 3D = -5687,28         d)     -3C = -3 20,43 i+53,21 j -3C = -61,29 i-159,63 j           3 3 / 2B = -73,41i+ 34,23 j 2 3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j           4A = 4 40,48 i-10,58 j 4A = 161,92 i- 42,32 j             D = -32 i-29 j -3C = -61,29 i-159,63 j D-3C = -93,29 i-188,63 j                 3/ 2B = -110,12 i+51,35 j 4A = 161,92 i- 42,32 j 3 2B + 4A 51,8 i 9,03 j                  -93,29 -188,63 D-3C × 3 2B+ 4A = = -842,41+9771,03 k = 8928,62k 51,8 9,03       e)
  50. 50. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 48  B•A = -73,41×40,48+34,23×-10,58 B•A = -3333,79      C•D = 20,43×-32 +53,21×-29 C•D = -2196,85             B•A + C•D = -3333,79-2196,85 B•A + C•D = -5530,64         f)    2A×C + 5B×D         2A = 2 40,48 i-10,58 j 2A = 80,96 i- 21,16 j           5B = 5 -73,41i+ 34,23 j 5B = -367,05 i+171,15 j         80,96 -21,16 2A×C = = 4307,88+ 432,30 k = 4740,18k 20,43 53,21     g) El ángulo formado por  D-A   y  B+C         D = -32 i-29 j -A = -40,48 i+10,58 j D-A = -72,48 i-18,42 j                B = -73,41i+ 34,23 j C = 20,43 i+ 53,21 j B + C = -52,98 i+87,44 j              -1 2 2 2 2 -72,48×-52,98-18,42×87,44 = cos 72,48 +18,42 52,98 +87,44 = 73,05º             10. Dados los vectores  D = 5km, 63º  ,  E = -7, -1 km  y  F = 4km;S70ºE  , calcular: a) 2D + E +3F    b) E - D - 2F    c) D• E   d)  D- E×F    e) La proyección de E  sobre D  f) El ángulo comprendido entre E  y F 
  51. 51. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 49 g) El área del paralelogramo formado por los vectores D  y E  SOLUCIÓN: a) x x x D = D cos D = 5kmcos63º D = 2,27km   y y y D = D sen D = 5kmsen 63º D = 4,46km    D = 2,27 i+ 4,46 j km     E = -7 i-1 j km    270º 70º 340º      x x x F = F cos F = 4kmcos340º F = 3,76km   y y y F = F sen F = 4kmsen340º F = 1,37km     F = 3,76 i-1,37 j km        2D = 2 2,27 i+ 4,46 j km 2D = 4,54 i+8,92 j km           3F = 3 3,76 i-1,37 j km 3F = 11,28 i- 4,11 j km               2D = 4,54 i+8,92 j km E = -7 i -1 j km 3F = 11,28 i- 4,11 j km 2D E 3F 8,82 i 3,81 j km                  b) E - D - 2F        -2F = -2 3,76 i-1,37 j km -2F = -7,52 i+ 2,74 j km               E = -7 i -1 j km - D = -2,27 i- 4,46 j km - 2F = -7,52 i+ 2,74 j km E - D - 2F = -16,79 i- 2,72 j km               c)
  52. 52. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 50  D • E = 2,27×-7 + 4,46×-1 D • E = -20,35     d)   -7 -1 E×F = k = 9,59+3,76 k =13,35k 3,76 -1,37              D = 2,27 i+ 4,46 j+ 0k - E×F = 0 i + 0 j-13,35k D - E×F 2,27 i+ 4,46 j-13,35k             e)       D E D D E • D E = × D 2,27 i+ 4,46 j-7×2,27 1 4,46 E = × 5 5 E = -1,85 i-3,63 j                      2 2 D D E = 1,85 3,63 E = 4,07    f)  E = -7, -1 km  y  F = 3,76 i-1,37 j km   
  53. 53. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 51      -1 2 -7×3,76-1×-1,37 = cos 4 7 +1 = 86,25º             g)   22,27 4,46 Área = = -2,27 +31,22 = 28,95km -7 -1 11. Si la suma de los vectores A  y B  es 2 i-4 j   y su diferencia es 6 i-10 j   encontrar el ángulo formado por los vectores A  y B  SOLUCIÓN: x x x x A + B = 2...........(1) A -B = 6............(2)    x x x x (3) en (1) 6 + B + B = 2 2B = -4 B = -2 x x x x x De (2) A = 6 + B .............(3) Reemplazando el valor de B en (1) A - 2 = 2 A = 4 } y y y y A + B = -4.......................(1) A -B = -10.....................(2)    y y De (2) A = -10+ B .............(3) y y y y (3) en (1) -10 + B + B = -4 2B = 6 B = 3 y y y Reemplazando el valor de B en (1) A +3 = -4 A = -7  A = 4 i-7 j     B = -2 i+3 j   
  54. 54. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 52    1 1 2 2 2 2 cos 4 2 7 3 cos 4 7 2 3 176,05º A B A B                               12. Determine las magnitudes de los vectores A  y B  , para A + B + C = 0     C = 0 i-16 j N    Para que Y=0 y y yA = -C A = 16 Calculando xA
  55. 55. Solucionario Física Vectorial 1 Operaciones con vectores Henry Alvarado Página 53 x x x 16 tan37º = A 16 A = tan37º A = 21,24 como esta en X(-) -21,24  A = -21,24 i+16 j N    2 2 A = 21,24 +16  A = 26,59 N  Para que X=0 x x xB = -A Þ B = 21,24  B = 21,24 i+0 j N    B = 21,24 N 
  56. 56. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 54 EJERCICIO Nº5 1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas: a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10 f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00 SOLUCIÓN: Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores: a)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 30º r =1,2mcos30º r =1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen30º r = 0,6m  minr = 1,04 i+0,6 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m;150º r = 0,8mcos150º r = 0,69m  Yhor Yhor r = 0,8msen150º r = 0,4m  horr = -0,69 i+0,4 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = -0,69 i+ 0,4 j m- 1,04 i+ 0,6 j m r = -1,73 i-0,2 j m            150º 180º 0º 90º 270º 30º 120º 60º 240º 210º 300º 330º 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4
  57. 57. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 55 b)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 240º r =1,2mcos240º r = -0,6m  Ymin Ymin r =1,2msen 240º r = -1,04m  minr = -0,6 i-1,04 j m     horr = 0 i+0,8 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r -r r = 0 i+ 0,8 j m- -0,6 i-1,04 j m r = 0,6 i 1,84 j m            c)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 210º r =1,2mcos210º r = -1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen30º r = -0,6m  minr = -1,04 i-0,6 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m; 300º r = 0,8mcos300º r = -0,4m  Yhor Yhor r = 0,8msen300º r = 0,69m  horr = -0,4 i-0,69 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r -r r = -1,04 i-0,6 j m- -0,4 i-0,69 j m r = -0,64 i-0,09 j m            10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4
  58. 58. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 56 d)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 30º r =1,2mcos330º r =1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen330º r = -0,6m  minr = 1,04 i- 0,6 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m; 210º r = 0,8mcos210º r = -0,69m  Yhor Yhor r = 0,8msen 210º r = -0,4m  horr = -0,69 i-0,4 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = -0,69 i-0,4 j m- 1,04 i-0,6 j m r = -1,73 i+ 0,2 j m            e)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 30º r =1,2mcos30º r =1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen30º r = 0,6m  minr = 1,04 i+0,6 j m     horr = -0,8 i+0 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = -0,8 i+ 0 j m- 1,04 i+ 0,6 j m r = -1,84 i-0,6 j m            f)  min Xmin Xmin r = 1,2m;150º r =1,2mcos150º r = -1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen30º r = -0,6m  minr = -1,04 i-0,6 j m     horr = 0 i-0,8 j m    10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4
  59. 59. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 57       hor/min hor min hor/min hor/min r = r -r r = 0 i-0,8 j m- -1,04 i-0,6 j m r = 1,04 i-0,2 j m            g)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 210º r =1,2mcos210º r = -1,04m  Ymin Ymin r =1,2msen 210º r = -0,6m  minr = -1,04 i-0,6 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m; 30º r = 0,8mcos30º r = 0,69m    Yhor Yhor hor r = 0,8msen30º r = 0,4m r = 0,69 i+0,4 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = 0,69 i+ 0,4 j m- -1,04 i-0,6 j m r = 1,73 i+ j m            h)  min Xmin Xmin r = 1,2m; 60º r =1,2mcos60º r = 0,6m  Ymin Ymin r =1,2msen30º r =1,04m  minr = 0,6 i+1,04 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m;120º r = 0,8mcos120º r = -0,4m  Yhor Yhor r = 0,8msen120º r = 0,69m  horr = -0,4 i+0,69 j m    10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4
  60. 60. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 58       hor/min hor min hor/min hor/min r = r -r r = -0,4 i+ 0,69 j m- 0,6 i+1,04 j m r = - i-0,35 j m            i)  minr = 0 i+1,2 j m     hor Xhor Xhor r = 0,8m; 330º r = 0,8mcos150º r = 0,69m  Yhor Yhor r = 0,8msen330º r = -0,4m  horr = 0,69 i-0,4 j m          hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = 0,69 i-0,4 j m- 0 i+1,2 j m r = 0,69 i-1,6 j m            2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda más cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a) La posición de la tienda respecto a la ciudad b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda SOLUCIÓN:    casar = 2km; NE 1,41i+1,41 j km       tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km   a)       tienda/casa tienda casa tienda tienda/casa casa tienda tienda r = r - r r = r + r r = 1,41i+1,41 j km+ 0,2i-0,1j km r = 1,61i+1,31 j km             10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4
  61. 61. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 59 b)    tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0,2i- 0,1 j km   c) 2 2 tienda/casa tienda/casa r = 200 +100 r = 223,60m 0,223km   3. Los vértices de un triángulo son los puntos  1P 0,5 ,  2P 2,-1 y  3P 3,6 , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados SOLUCIÓN: a)       1 2 1 2 P P = 2 i- j - 0 i+5 j P P = 2 i-6 j               1 3 1 3 P P = 3 i 6 j - 0 i+5 j P P = 3 i j                 2 3 2 3 P P = 3 i+ 6 j - 2 i- j P P = i+ 7 j        
  62. 62. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 60       -1 1 2 1 3 1 2 1 3 -1 2 2 2 P P •P P A = cos P P P P 2 3 6 1 A = cos 2 6 3 1 A = 90º                                -1 1 3 2 3 1 3 2 3 -1 2 2 PP •P P B = cos PP P P 3 1 1 7 B = cos 3 1 1 7 B = 63,43º                             63,43º +90º +C =180º C =180º-90º-63,43º C = 26,57º b) Triángulo rectángulo 4. Los vértices de un triángulo son los puntos  A 8,9 m ,  B -6,1 m ,  C 0,-5m , determinar: a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triángulo ABC SOLUCIÓN:
  63. 63. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 61 a)       AB = -6 i+ j m- 8 i+9 j m AB = -14 i-8 j m               AC = 0 i-5 j m- 8 i+9 j m AC = -8 i-14 j m               BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j m BC = 6 i-6 j m               -1 -1 2 2 2 2 • A = cos 14 8 8 14 A = cos 14 8 8 14 A = 30,51º AB AC AB AC                                 -1 -1 2 2 2 2 AC•BC C = cos AC BC -8×6-14×-6 C = cos 8 +14 6 + 6 C = 74,74º                         B =180º-30,51º-74,74º B = 74,75º b) 2 1 Área = AB×AC 2 -14 -81 Área = = 196-64 =132m -8 -142   5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices:  P 4,5 km ,  Q 0,4 km ,  R 1,1 km ,  S 5,2 km, determinar: a) La forma geométrica de la ciudad b) El área de la ciudad c) La posición relativa del punto R respecto del punto P d) La posición relativa del punto S respecto del punto R SOLUCIÓN:
  64. 64. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 62 a) Paralelogramo b)       RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km RQ = - i+3 j km               RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km RS = 4 i+ j km         2 Área = RQ×RS -1 3 Área = = -1-12 =13km 4 1   c) d)       R/P R/P r = i+ j km- 4 i+5 j km r = -3 i- 4 j km               S/R S/R r = 5 i+ 2 j km- i+ j km r = 4 i+ j km         6. Se tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos: a)  P/Qr 50km; S60º E  y  R/Qr 70km; NO  b)  P/Qr 80km; SO  y  R/Qr 25km; N 70º O  c)  P/Qr 65km; N15º O  y  R/Qr 90 km; S30º O  d)  P/Qr 40km; N 75º E  y  R/Qr 100km; S25º E  SOLUCIÓN:
  65. 65. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 63 P/Q P Q Q P P/Q r = r - r r = r - r .............(1)       R/Q R Q Q R R/Q r = r - r r = r - r .............(2)       P/R P Rr = r -r ..............(3)    P P/Q R R/Q P R P/Q R/Q Igualando (1) y (2) r - r = r - r r - r = r - r ...............(4)         P/R P/Q R/Q (3) en (4) r = r -r    a)  P/Qr 50km; S60º E  270º 60º 330º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 50kmcos330º r x = 43,30km   P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 50kmsen330º r y = -25km    P/Qr 43,30 i-25 j km     R/Qr 70km; NO  90º 45º 135º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 70kmcos135º r x = -49,50km   R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 70kmsen135º r y = 49,50km    R/Qr -49,50 i 49,50 j km           P/R P/Q R/Q P/R P/R r = r - r r = 43,30 i- 25 j km -49,50 i 49,50 j km r = 92,50 i-74,50 j km              b)  P/Qr 80km; SO  270º 45º 225º     
  66. 66. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 64 P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 80kmcos225º r x = -57,57km   P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 80kmsen315º r y = -56,57km    P/Qr = -56,57 i-56,57 j km     R/Qr 25km; N 70º O  90º 70º 160º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 25kmcos160º r x = -23,49km   R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 25kmsen160º r y = 8,55km    R/Qr -23,49 i 8,55 j km           P/R P/Q R/Q P/R P/R r = r - r r = -56,57 i-56,57 j km- -23,49 i+8,55 j km r = -33,08 i- 48,02 j km            c)  P/Qr 65km; N15º O  90º 15º 105º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 65kmcos105º r x = -16,82km   P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 65kmsen105º r y = 62,79km    P/Qr = -16,82 i+62,79 j km     R/Qr 90 km; S30º O  270º 30º 240º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 90kmcos240º r x = -45km   R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 90kmsen 240º r y = -77,94km    R/Qr = -45 i-77,94 j km          P/R P/Q R/Q P/R P/R r = r - r r = -16,82 i+ 62,79 j km- -45 i-77,94 j km r = 28,18 i+140,73 j km           
  67. 67. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 65 d)  P/Qr 40km; N 75º E  90º 75º 15º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 40kmcos15º r x = 38,64km   P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 40kmsen15º r y =16,82km    P/Qr = 38,64 i+16,82 j km     R/Qr 100km; S25º E  270º 25º 295º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x =100kmcos295º r x = 42,26km   R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y =100kmsen 295º r y = -90,63km    R/Qr = -45 i-77,94 j km          P/R P/Q R/Q P/R P/R r = r - r r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i-77,94 j km r = 83,64 i+94,76 j km            7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta. 8. Dados los puntos  L 8, -6 m y  J -4, 3 m , determinar: a) Los vectores posición de L  y J  respecto al origen b) La posición relativa de L  con respecto a J  c) La distancia entre los puntos L  y J  SOLUCIÓN: a) b) c)     L J r = 8 i-6 j m r = -4 i+3 j m             L/J L J L/J L/J r = r - r r = 8 i-6 j m- -4 i+3 j m r = 12 i-9 j m            2 2 L/J L/J r = 12 +9 r =15m  
  68. 68. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 66 9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente gráfico: Determinar: a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la montaña B SOLUCIÓN: A A A A A A r x tan 60º = r y r x r y = tan 60º 3km r y = tan 60º r y =1,73km  Ar = -1,73i+ 3 j km  B B B B B B r x tan 40º = r y r x r y = tan 40º 2km r y = tan 40º r y = 2,38km  Br = 2,38 i+ 2 j km    a)       B/A B/A r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+3 j km r = 4,11i- j km       b) 2 B/A B/A r = 4,11 +1 r = 4,23km   Considerando ida y vuelta por cables independient 4,23km×2 = es 8,46 10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E  son  5, -2 m y  -4, 7 m respectivamente, determinar:
  69. 69. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 67 a) Las componentes rectangulares del vector E  b) La magnitud del vector E  c) El vector unitario del vector E  SOLUCIÓN: a) b) c)       E -4, 7 m 5, -2 m E -9, 9 m      2 2 E = 9 +9 E =12,73m       E E E E E -9 i+9 j m 12,73m -0,706 i+ 0,706 j m                11. Un avión de aeromodelismo está a  4km, SO de la torre de control. En ese momento, su dueño desea impactar en un blanco que está ubicado en el punto  6, -4 km , determinar: a) La posición del avión respecto al blanco b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito c) La distancia del avión al blanco SOLUCIÓN: a)  4km, SO x x x A = A cos A = 4kmcos225º A = -2,83km   y y y A = A sen A = 4kmsen 225º A = -2,83km    A = -2,83 i-2,83 j km          A/B A/B r = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j km r = -8,83 i+1,17 j km         b) c)
  70. 70. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 68 8,83 tan 1,17 82,45º           S82,45º E 2 2 A/B A/B r = 8,83 +1,17 r = 8,91km   12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición  200m, N28ºE respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición  200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar: a) La posición relativa de B respecto de A b) La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIÓN: a)  200m, N28ºE x x x B = B cos B = 200mcos62º B = 93,89m   y y y B = B sen B = 200msen 62º B =176,59m    B = 93,89 i+176,59 j m     200m, SO x x x A = A cos A = 200mcos225º A = -141,42   y y y A = A sen A = 200msen 225º A = -141,42    A = -141,42 i-141,42 j m          B/A B/A r = 93,89 i+176,59 j m- -141,42 i-141,42 j m r = 235,31i+318,01 j m         b) 2 2 B/A B/A r = 235,31 +318,01 r = 395,60m  
  71. 71. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 69 13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar: a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultante c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIÓN: a)  A = 20m/ s; NO  x x x A = A cos A = 20m/ scos135º A = -14,14m/ s   y y y A = A sen A = 20m/ ssen135º A =14,14m/ s    A = -14,14 i+14,14 j m/ s     B = 15m/ s; N 25º E  x x x B = B cos B =15m/ scos65º B = 6,34m/ s   y y y B = B sen B =15m/ ssen 65º B =13,59m/ s    B = 6,34 i+13,59 j m/ s          V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s V = -7,8 i+ 27,73 j m/ s         2 2 V = 7,8 + 27,73 V = 28,81m/ s   1 7,8 tan 27,73 15,71º             V = 28,81m/ s; N15,71º O 
  72. 72. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 70 b) c)     V V V V V -7,8 i+ 27,73 j m/ s = 28,81m/ s = -0,27 i+ 0,96 j m/ s              90º 15,71º 105,71º      15,71º  14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones: a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c) El ángulo formado por los vectores EA  y EC  d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyección del vector AE  sobre AQ  SOLUCIÓN: Considerando A como origen: a)  F/Ar = 2,8 i-1,5 j m    b)  cr = 2,8 i+0 j m     Er = 1,4 i-1,5 j m          C/E C E C/E C/E r = r - r r = 2,8 i+ 0 j m- 1,4 i-1,5 j m r = 1,4 i+1,5 j m           
  73. 73. Solucionario Física Vectorial 1 Vector Posición Henry Alvarado Página 71 c)   EA = A -E EA = -1,4 i+1,5 j m         EC = C - E EC = 1, 4 i 1,5 j m          1 2 2 2 2 1,4 1,4 1,5 1,5 cos 1,4 1,5 1,4 1,5 86,05º                   d)  Q = 2,1i-0,75 j m     D = 0 i-1,5 j m          Q/D Q/D r = 2,1i-0,75 j m- 0 i-1,5 j m r = 2,1i 0,75 j m         e)  AE = 1,4 i-1,5 j m     AQ = 2,1i-0,75 j m      AQ AQ AQ 2 2 2 2 AQ AE •AQ AE = AQ 1,4 2,1 1,5 0,75 2,1i-0,75 j AE = 2,1 0,75 2,1 0,75 AE = 1,72 i-0,61 j m                        AQ AQ AE = 1,72 i-0,61 j m AE =1,82m    
  74. 74. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 72 EJERCICIO Nº6 1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar: a) Los desplazamientos realizados b) El desplazamiento total realizado c) El modulo del desplazamiento total d) La distancia total recorrida SOLUCIÓN: a) 2 2 r x =12cmcos45º r x = 8,49cm   2 2 r y =12cmsen 45º r y = 8,49cm    1r 8 i+0 j cm      2r 8,49 i+8,49 j cm      3r = 0 i-5 j cm    b)         1 2 3r r r r r 8 i+ 0 j cm 8,49 i+8,49 j cm 0 i-5 j cm r 16,49 i+3,49 j cm                            c) d) 2 2 r 16,49 3,49 r 16,85cm        d = 8cm+12cm+5cm d = 25cm 2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;: determinar: a) Los desplazamientos realizados b) Los vectores posición en cada punto c) El desplazamiento total realizado d) El módulo del desplazamiento e) La distancia recorrida
  75. 75. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 73 SOLUCIÓN: a) 3 3 r x = 76mmcos200º r x = -71,41mm   3 3 r y = 76mmsen 200º r y = -25,99m    1r 0 i-45 j mm      2r -30 i+0 j mm      3r = -71,41i-25,99 j mm    b)  1r 0 i-45 j mm     2r -30 i-45 j mm          3 2 3 3 3 r r r r -30 i- 45 j mm -71,41i- 25,99 j mm r -100,41i-70,99 j mm                  c)         1 2 3r r r r r 0 i-45 j mm -30 i+ 0 j mm -71,41i-25,99 j mm r -100,41i-70,99 j mm                            d) e) 2 2 r 100,41 70,99 r 122,97 mm        d = 45mm+30mm+ 76mm d =152mm 3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad  A -85, 204 km y la lectura de su odómetro es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia  B 123, 347 km y llega a las 11h10; determinar: a) Los vectores posición de cada ciudad b) El desplazamiento realizado c) La lectura del odómetro cuando llega a B d) La velocidad media e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15.
  76. 76. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 74 SOLUCIÓN: a)  Ar = -85 i+ 204 j km     Br = 123 i+347 j km    b)       B Ar = r - r r = 123 i+347 j km- -85 i+ 204 j km r = 208 i+143 j km               c) 2 2 r = 208 143 r = 252,41km      Lectura =10235km+ 252,41km Lectura =10487,41km d) 10min 1h = 0,166h 60min f 0t t - t t 11,166h-7h t 4,166h           m m m r V = t 208 i+143 j km V = 4,166h V = 49,93 i+34,33 j km/ h           m m m r V = t 252,41km V = 4,166h V = 60,58km/ h   e) 15min 1h = 0,25h 60min f 0t t - t t 14,25h-11,166h t 3,084h       m m m r V = t 252,41km V = 3,084h V = 81,85km/ h  
  77. 77. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 75 4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a  865km;15º hasta A y el otro vuela  -505 i+ 253 j km   hasta B en 2 horas en línea recta; determinar: a) Los vectores posición de los puntos A y B b) Los desplazamientos realizados por cada avión c) La velocidad media de cada avión d) La rapidez media de cada avión e) La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B SOLUCIÓN: a)  865km;15º A A r x = 865kmcos15º r x = 835,53km A A r y = 865kmcos15º r y = 223,88km  Ar = 835,53 i+ 223,88 j km     Br -505 i+ 253 j km    b)  Ar = 835,53 i+ 223,88 j km     Br -505 i+ 253 j km     c)     mA mA mA r V = t 835,53 i+ 223,88 j km V = 2h V = 417,77 i+116,94 j km/ h               mB mB mB r V = t -505 i+ 253 j km V = 2h V = -252,5 i+126,5 j km/ h           d)
  78. 78. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 76 2 2 mA mA V = 417,77 116,94 V = 433,83km/ h  2 2 mB mB V = 252,5 126,5 V = 282,42km/ h  e)       B Ar r r r -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j km r -1340,53 i+ 476,88 j km                        mA mA mA r V = t -1340,53 i+ 476,88 j km V = 3h V = -446,84 i+158,96 j km/ h           2 2 mA mA V = 446,84 +158,96 V = 474,27km/ h 5. Una partícula cuya velocidad era de  12 i+15 j m/ s   se detiene en 20s por una ruta rectilínea; determinar: a) El módulo de la velocidad inicial b) El vector unitario de la velocidad inicial c) El vector velocidad final d) La aceleración media de la partícula SOLUCIÓN: a) b) d) 2 2 0 0 V = 12 +15 V =19,21m/ s       0 0 0 0 V 0 V V V V 12 i+15 j m/ s 19,21m/ s 0,62 i+ 0,78 j                    f 0V - V a = t -12 i-15 j m/ s a = 20s a = -0,6 i-0,75 j m/ s           c) Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0
  79. 79. Solucionario Física Vectorial 1 Cinemática definiciones generales Henry Alvarado Página 77 6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de  -21i-18 j m/ s   a  24m/ s;S30ºE ; en 10s determinar: a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b) La aceleración media SOLUCIÓN: a)  24m/ s;S30ºE f f f f V x = V cos V x = 24m/ scos300º V x =12m/ s   f f f f V y = V sen V y = 24m/ ssen300º V y = 20,78m/ s     fV = 12 i-20,78 j m/ s        0 0 0 0 V 0 V 2 2 V V = V -21i-18 j m/ s = 21 +18 = -0,76 i-0,65 j m/ s                 f f f f V f V V V = V 12 i- 20,78 j m/ s = 24m/ s = 0,5 i-0,87 j m/ s             b)         f 0V -V a = t 12 i-20,78 j m/ s- -21i-18 j m/ s a = 10s 33 i-2,78 j m/ s a = 10s a = 3,3 i-0,278 j m/ s             
  80. 80. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 78 EJERCICIO Nº 7 1. Si un vehículo se mueve de la ciudad  A -35, 50 km a la ciudad  B -25, 45 km en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar: a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIÓN: a) b)       r -25 i- 45 j km- -35 i+50 j km r 10 i-95 j km                 r V = t 10 i-95 j km V = 2h V = 5 i-47,5 j km           c) 40min 1h = 0,666h 60min     r V×t r 5 i- 47,5 j km/ h 0,666h r 3,33 i-31,64 j km                2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son  -40 i+ 20 j   y  15 i 30 j m   y al instante t=10s sus posiciones son  20 i  y  -10 j km  respectivamente; determinar: a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículo c) La velocidad de A respecto a B SOLUCIÓN: a)
  81. 81. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 79       A fA 0A A A r = r - r r = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j m r = 60 i- 20 j m                     B fB 0B B B r = r - r r = -10 i+ 0 j m- 15 i-30 j m r = -25 i+30 j m               b)     A A A r V = t 60 i- 20 j m V = 10s V = 6 i- 2 j m/ s               B B B r V = t -25 i+ 30 j m V = 10s V = -2,5 i+ 3 j m/ s           c)       A/B A/B V = 6 i- 2 j m/ s- -2,5 i+3 j m/ s V = 8,5 i-5 j m/ s         3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h  , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la maquina hasta que sale el último vagón demora 30s; determinar: a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren SOLUCIÓN: a) 60 i km 1000m 1h =16,67m/ s h 1km 3600s  r = V× t r =16,67m/ s 30s r = 500m      r = V× t r =16,67m/ s 60s r =1000m      r = V× t r =16,67m/ s 90s r =1500m      b) x = r-400m x = 500m-400m x =100m 
  82. 82. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 80 4. Una partícula parte del punto  25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto  6, 30 m  con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar: a) La velocidad empleada b) El tiempo empleado c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más. SOLUCIÓN: a) 40 km 1000m 1h =11,11m/ s h 1km 3600s       f 0r = r -r r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m r = -31i-50 j m                  r 2 2 V = V × -31i-50 j V =11,11m/ s 31 50 V = -5,85 i-9,44 j m/ s                 2 2 r = 31 50 r = 58,83m      b) A r t = V 58,83m t = 11,11m/ s t = 5,30s     c)     r = V× t r = -5,85 i-9,44 j m/ s 10s r = -58,5 i-94,4 j m                    1 2r = r r r = -31i-50 j m -58,5 i-94,4 j m r = -89,5 i-144,4 j m                  
  83. 83. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 81 5. Un deportista se desplaza 1000 i km  por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h  en moto y 40 i km/ h  en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar: a) La velocidad media durante las 10 horas b) El desplazamiento en moto c) El tiempo que recorrió en bicicleta SOLUCIÓN: a) r V = t 1000 i km V = 10h V =100 i km/ h         b) moto bicir r r ................(1)        moto bici bici moto t = t t t t t .................(2)           moto moto motor = V t ...............(3)    bici bici bicir = V t ...............(4)    moto moto bici bici (3) y (4) en (1) r V t V t ..................(5)            moto moto bici moto moto moto bici bici moto moto moto bici moto bici moto moto bici (2) en (5) r = V t V t t V t V t V t = r V t V t = r V t t V V = r                                      bici bici moto moto bici moto moto V t r V t t = V V 1000km- 40km/ h×10h t = 120km/ h- 40km/ h t = 7,5h              moto moto r =120km/ h×7,5h r = 900km    
  84. 84. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 82 c) bici bici t 10h-7,5h t 2,5h     6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo: Determinar: a) La posición inicial b) La rapidez en cada tramo del viaje c) El tiempo que permaneció en reposo d) La posición cuando t=35(s) e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando está en el origen SOLUCIÓN: a) 0r = 10m  b) Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 f 0 f 0 r -r V = t - t 30m-10m V = 10s V = 2m/ s Reposo f 0 f 0 r -r V = t - t 40m-30m V = 30s-20s V =10m/ s f 0 f 0 r - r V = t - t 0m- 40m V = 40s-30s V = -4m/ s
  85. 85. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 83 c) d) e) t 20s-10s t 10s     r = V t r = 4m/ s 5s r = 20m      7. Una persona parte de la esquina  0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2m/ s ; determinar: a) La velocidad en cada tramo b) El tiempo que demora en recorrer cada lado c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez SOLUCIÓN: a) Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada tramo será: Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4  V = 2 i m/ s    V = 2 j m/ s    V = -2 i m/ s    V = -2 j m/ s   b) Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4 r t = V 60m t = 2m/ s t = 30s     r t = V 100m t = 2m/ s t = 50s     r t = V 60m t = 2m/ s t = 30s     r t = V 100m t = 2m/ s t = 50s     c) Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será: Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s
  86. 86. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 84  r 60 i 100 j m      2 2 r = 60 100 r =116,62m    d) r t = V 116,62m t = 2m/ s t = 58,31s     8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h  y 12 j km/ h  se cruzan y siguen su camino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar: a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia SOLUCIÓN: a) b) A A A A r = V t r =10 i km/ h 6h r = 60 i km            B B B B r = V t r =12 j km/ h 6h r = 72 j km             A B 2 2 A B A B r = 60 i 72 j km r = 60 72 r = 93,72km              c)     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10km/ h×t + 12km/ h×t =100km 100km / h ×t +144km / h ×t =100km 244km / h ×t =100km t 244 km/ h =100km 100km t = 244 km/ h t = 6,40h
  87. 87. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 85 9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3 m/ s . Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar: a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m SOLUCIÓN: a) B At = t -5s...............(1) B Ar r 80m...............(2)    A A A B B B r V = t r V t ...............(3) r V t ...............(4)          B B A A (3) y (4) en (2) V t = V t 80m...........(5)       B A A A B A B A A A A B A B A A B B B A A B A A (1) en (5) V t -5s = V ×t -80m V ×t - V ×5s = V ×t -80m V ×t - V ×t = 80m- V ×5s t V - V = 80m- V ×5s 80m- V ×5s t = V - V 80m- 2m/ s×5s t = 3m/ s-3m/ s t = 70s A A A A A r = V ×t r = 3m/ s×70s r = 210m    
  88. 88. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 86 b) Después de encontrarse A Br = r +80m...........(1)  A Bt = t ...................(2) A A B B (3) y (4) en (1) V ×t = V ×t +80m...........(5) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Gráfico Móvil A Móvil B A A A B B B r V = t r V t ...............(3) r V t ...............(4)         
  89. 89. Solucionario Física Vectorial 1 Movimiento Rectilíneo Uniforme Henry Alvarado Página 87 A A B A A A B A A A B A A (2) en (5) V ×t = V ×t +80m V ×t - V ×t = 80m 80m t = V - V 80m t = 3m/ s- 2m/ s t = 80s Desde que el móvil partió t = 70s+80 desde A s t =150s 10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h  y B con una velocidad de 32 i km/ h  , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; determinar: a) La distancia que los separaba inicialmente b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que encuentran B invierte el sentido SOLUCIÓN: a) A Bx = r r ..................(1)   A A A B B B r V = t r V t ...............(2) r V t ...............(3)          A A B B (2) y (3) en (1) x = V ×t -V ×t x = 53km/ h×2,4h-32km/ h×2,4h x = 50,4km b) r t = V 50,4km t = 53km/ h t = 0,95h 

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