Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ปริมาตรและพื้นที่ผิว

76,009 views

Published on

  • Be the first to comment

ปริมาตรและพื้นที่ผิว

  1. 1. 1 พื้นที่ผิวและปริมาตรวัตถุประสงค 1. นักเรียนสามารถคํานวณหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได 2. นักเรียนสามารถบอกสวนประกอบของรูปทรงเรขาคณิตชนิดตาง ๆ ได 3. นักเรียนสามารถคํานวณหาปริมาตรของทรงเรขาคณิตได 4. นักเรียนสามารถคํานวณหาพื้นที่ผิวของทรงเรขาคณิตไดความพรอม นักเรียนจะเรียนรูเรื่องพื้นที่ผิว ปริมาตร พืนที่ผิวโคง ควรมีความรู ความเขาใจพืนฐานตอไปนี้ ้ ้ 1. การหาพื้นที่ คิดเพียง 2 มิติ มีหนวยการวัดเปนตารางหนวย 2. การหาปริมาตร คิด 3 มิติ มีหนวยการวัดเปนลูกบาศกหนวย 3. สมบัติ เกี่ยวกับมุม ดาน และเสนทแยงมุม ของรูปสี่เหลี่ยมและรูปสามเหลี่ยม 4. สูตรการหาพืนที่รูปเหลี่ยมตาง ๆ ้ 4.1 สามเหลี่ยมใด ๆ = 1 × ฐาน × สูง 2 = s(s − a )(s − b )( s − c) เมื่อ a,b,c เปนความยาวของดานทั้งสาม และ S = a + b + c 2 4.2 สามเหลี่ยมมุมฉาก = 1 2 × ผลคูณของดานประกอบมุมฉาก 4.3 สามเหลี่ยมดานเทา = 4 3 × (ดาน)2 2 4.4 สามเหลี่ยมฐานโคง = D 360 × πr (เมื่อ D คือมุมยอด) 4.5 สี่เหลี่ยมจัตุรัส = (ดาน) 2 หรือ (เสนทแยงมุม) 2 4.6 สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว 2 4.7 สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง 4.8 สี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน = 1 × ผลคูณของเสนทแยงมุม หรือ ฐาน × สูง 2 4.9 สี่เหลี่ยมคางหมู = 1 2 × สูง × ผลบวกดานคูขนาน หรือ 4.10 สี่เหลี่ยมดานไมเทา = 1 2 × เสนทแยงมุม × ผลบวกของเสนกิ่ง 4.11 สี่เหลี่ยมรูปวาว = 1 2 × ผลคูณของเสนทแยงมุม 4.12 เสนรอบวงของวงกลม = 2 πr หรือ πD (เมื่อ D คือเสนผานศูนยกลาง) 4.13 พื้นที่วงกลม = πr 2 4.14 พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 πr 2 4.15 พื้นที่ผวกรวยกลม ิ = πrl (l = สูงเอียง) C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  2. 2. 2 4.16 ปริมาตรของทรงกลม = 4 3 3 πr 4.17 ปริมาตรทรง มุมฉาก = พื้นที่ฐาน × สูง หรือ กวาง × ยาว × สูง 4.18 ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูงตรง 4.19 พื้นที่ผิวขางทรงกระบอก = 2 πrh หรือ เสนรอบวงที่ฐาน × สูง 4.20 ปริมาตรของพีระมิด = 1 × พื้นที่ฐาน × สูงตรง 3 4.21 ปริมาตรของกรวยกลม = 1 3 × พื้นที่ฐาน × สูง5. ความรูเกี่ยวกับทฤษฎีทั่ว ๆ ไป ∆ 5.1 การเทากันทุกประการของ 1.1 ด.ด.ด. 1.2 ด.ม.ด. 1.3 ด.ฉ.ด. 1.4 ม.ด.ม. 5.2 ทฤษฎีปทาโกรัส a และ b เปนดานประกอบมุมฉาก และ c เปนดานตรงขามมุมฉาก จะได c2 = a2 + b2 5.3 การเทากันของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท : สามเหลี่ยมสองรูปถามีฐานยาวเทากันหรือยูบนฐานเดียวกันและมีสวนสูง  เทากัน สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะมีพื้นที่เทากัน A B C D จากรูป พื้นที่รูป ∆ ABD เทากับ พื้นที่รูป ∆ADC C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  3. 3. 3 ปริซม (Prism) คือทรงสามมิติที่มีหนาตัดหัวทายเปนรูปเหลี่ยมตาง ๆ เหมือนกันทั้งหัวและทาย ึโดยมีพื้นทีเ่ ทากัน รูปแบบเดียวกันและขนานกัน ดานขางของปริซึมขนานกันและเปนความยาวของปริซึมโดยพื้นทีดานขางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาทุกรูป ่ ปริซมมีหลายลักษณะขึ้นอยูกับหนาตัดของรูปนั้น ๆ เชน หนาตัดเปนรูปสามเหลี่ยม เรียกปริซึม ึ สามเหลี่ยม หนาตัดเปนรูปหาเหลี่ยม เรียกปริซึมหาเหลียม เปนตน ่ ปริซึมทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึมหนาตัดสามเหลี่ยม ปริซึมหนาตัดหาเหลี่ยม พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่หนาตัดหัวทาย พื้นที่ผิวขางของปริซึม = ความยาวเสนรอบฐาน × ความสูง ปริมาตรของปริซม ึ = พื้นที่ฐาน × สูง พีระมิด (Pyramid) คือทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลียมใด ๆ มียอดแหลมซึ่งไมอยูบนระนาบ ่ เดียวกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดรวมกันทียอดแหลมนัน ่ ้ นิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เชน พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา พีระมิดฐานหกเหลี่ยมดานเทา เปนตน ยอด ยอด สัน สัน สัน สวนสูง สูงเอียง สัน สวนสูง สัน สัน ฐาน ฐาน พีระมิดฐานรูปสามเหลี่ยม พีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยม C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  4. 4. 4 พีระมิดแบงออกเปน 2 ลักษณะคือ พีระมิดตรงและพีระมิดเอียง พีระมิดตรง หมายถึงพีระมิดที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทามุมเทา มีสันยาวเทากันทุกเสนจะมีสงเอียงทุกเสนยาวเทากัน และสวนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยูหางจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยม ู  ที่เปนฐานเปนระยะเทากันมีหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจัว สวนกรณีที่สนทุกสันยาวไมเทากัน ่ ัสูงเอียงทุกเสนยาวไมเทากัน เรียกวา พีระมิดเอียง ยอด ยอด สัน สัน สวนสูง หนา หนา สูงเอียง สวนสูง ฐาน สูงเอียง ฐาน พีระมิดตรง พีระมิดเอียง พื้นที่ผวของพีระมิด (Surface area of pyramid) ิ พื้นที่ของหนาทุกหนาของพีระมิดรวมกันเรียกวา พื้นที่ผวขางของพีระมิด และพืนทีผิวขาง ิ ้ ่ของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิดเรียกวา พื้นที่ผวของพีระมิด ิ สูตรการหาพืนที่ผิวของพีระมิด ้ พื้นที่ผิวขาง 1 ดาน = 1 2 × ฐาน × สูงเอียง พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พืนที่ผวขางทุกดาน ้ ิ ในกรณีที่เปนพีระมิดตรงและมีฐานเปนรูปเหลี่ยมดานเทาทุกเทา พื้นที่ผิวขางทุกดาน = 1 2 × ความยาวเสนรอบฐาน × สูงเอียง ปริมาตรของพีระมิด = 1 3 × พื้นที่ฐาน × สูง C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  5. 5. 5 ทรงกระบอก ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิติน้ดวยระนาบทีขนานกับฐานแลว จะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน ี ่ทุกประการกับฐานเสมอ หนาตัดหรือฐาน แกน สวนสูง หนาตัดหรือฐาน รัศมี พื้นที่ผิวของทรงกระบอก (Surface area of cylinder) พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ประกอบดวยพืนที่ผิวขางของทรงกระบอก และพื้นทีฐานทั้งสองของ ้ ่ทรงกระบอก พื้นที่ฐาน πr 2 2 πr 2 h h คลี่ออก พื้นที่ผิวขาง พื้นที่ฐาน πr 2 พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก + พื้นที่ฐานของทรงกระบอก ถาทรงกระบอกมีสวนสูงยาว h หนวย ฐานมีรัศมียาว r หนวย จะได พื้นที่ผิวขางของทรงกระบอก = 2πrh พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก = 2 πr 2 ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr 2 ตารางหนวย หรือ = 2πr (h + r ) ตารางหนวย r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  6. 6. 6 ปริมาตรทรงกระบอก ปริมาตรทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2 h กรวย (Cone) กรวย (Cone) คือทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐานและเสนที่ตอระหวางจุดยอดและจุดใด ๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรงที่ยาวเทากัน เรียก สูงเอียงและกรวยที่มสูงเอียงยาวเทากันเรียกวา กรวยตรง ี ยอด สูงเอียง สวนสูง แกน ฐาน รัศมี กรวยตรง กรวยเอียง พื้นที่ผิวของกรวย (Surface area of cone) พื้นที่ผิวของกรวย เปนพื้นทีของรูปสามเหลี่ยมฐานโคง ประกอบดวยพื้นที่ผิวขางกับพื้นที่ฐาน ่ของกรวย พื้นที่ผิวของกรวย = พื้นที่ผิวขางของกรวย + พืนที่ฐานของกรวย ้ ถากรวยมีสวนสูงเอียง l หนวย และรัศมีท่ฐานของกรวยยาว r หนวย ีจะได พื้นที่ผิวขางของกรวย = πrl ตารางหนวย พื้นที่ฐานของกรวย = πr 2 ตารางหนวย ดังนั้น พื้นที่ผิวของกรวย = πrl + πr 2 ตารางหนวย เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ l แทนความสูงเอียงของกรวย C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  7. 7. 7 ปริมาตรของกรวย (Volume of cone) ปริมาตรของกรวย = 1 ของปริมาตรของทรงกระบอกซึ่งมีพื้นที่ฐานและความสูงเทากับกรวย 3 ปริมาตรของกรวย = 1 2 3 πr h ลูกบาศกหนวย เมื่อ r แทนรัศมีของฐานกรวย และ h แทนความสูงของกรวย ทรงกลม (Sphere) ทรงกลม (Sphere) คือทรงสามมิติที่มีผิวเรียบโคงและจุดทุกจุดบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุดหนึง ่เปนระยะเทากัน จุดคงที่นนเรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม และระยะที่เทากันนั้นเรียกวา รัศมีของทรงกลม ั้ วงกลมใหญ ผิวโคงเรียบ เสนผานศูนยกลางวงกลมใหญ จุดศูนยกลาง รัศมี พื้นที่ผิวของทรงกลม (Surface area sphere) พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่รูปวงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลมนั้น ดังนั้น พืนที่ผิวของทรงกลม = ้ 4πr 2 ตารางหนวย เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  8. 8. 8 ปริมาตรของทรงกลม (Volume of sphere) ปริมาตรของทรงกลม = 4 3 3 πr ลูกบาศกหนวย เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลมวิธีการนําเสนอตัวอยาง ถังน้ําสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 3 เมตร ยาว 7 เมตร มีน้ําบรรจุอยู 105 ลูกบาศกเมตร ระดับน้ําจะสูงกี่เมตร แนวคิด ปริมาตร = กวาง × ยาว × สูง ปริมาตร สูง = กวาง × ยาว 105 ระดับน้ําสูง = 3×7 = 5 เมตร ตอบ 5 เมตร C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  9. 9. 9ตัวอยาง จากรูป จงหาความยาวของเสนรอบรูปที่กําหนดให 35 นิ้ว 35 นิ้ว 35 นิ้ว 35 นิ้ว แนวคิด เสนรอบวงกลม = 2 πr เสนโคงแตละรูป = 1 2 × 2πr = 1 2 22 35 ×2 × × 7 2 นิ้ว = 55 นิ้ว ดังนั้น ความยาวรอบรูปทั้งหมด = 55 × 4 นิ้ว = 220 นิ้ว ตอบ 220 นิ้วตัวอยาง สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งยาวดานละ 16 เซนติเมตร ตัดมุมทังสี่ออกเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ้ ทําใหเหลือพื้นที่ 224 ตารางเซนติเมตร จงหาวาสามเหลี่ยมที่ตัดออกไปมีดานประกอบมุมฉาก ยาวดานละกี่เซนติเมตร แนวคิด พื้นที่ จ กอนตัด = 16 × 16 = 256 ตารางเซนติเมตร มุมที่ตัดออกมีพื้นที่ = 256 - 224 = 32 ตารางเซนติเมตร 224 16 แตละมุมมีพื้นที่ = 32 4 = 8 ตารางเซนติเมตร พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 1 2 × ฐาน × สูง 1 16 = ( ฐาน ) 2 2 (เพราะฐานเทากับสูง เนื่องจาก ∆ ที่ตัดออกเปน ∆ หนาจั่ว) ( ฐาน ) 2 = 2 × 8 = 16 เซนติเมตร ฐาน = 16 = 4 เซนติเมตร รูปที่ตัดออกไปมีดานประกอบมุมฉากยาวดานละ 4 เซนติเมตร ตอบ 4 เซนติเมตร C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  10. 10. 10ตัวอยางที่ 4 ถังรูปทรงกระบอกสูง 14 ฟุต เสนผานศูนยกลางของฐานยาว 12 ฟุต มีน้ําเต็มถัง เมือนํา ่ แทงเหล็กสี่เหลี่ยมที่มีความสูงเทากับถังมีพื้นที่หนาตัด 4 ตารางฟุต ใสลงไปในถัง เมื่อนํา เหล็กออกจะเหลือน้ําในถังกี่ลูกบาศกฟุต แนวคิด ปริมาตรของถังรูปทรงกระบอก = πr 2 h = 22 × 6 × 6 ×14 7 = 1,584 ลูกบาศกฟุต ปริมาตรของแทงเหล็กสี่เหลียม ่ = พื้นที่หนาตัด × ความสูง = 4 × 14 = 56 ลูกบาศกฟุต ดังนั้นเมื่อนําแทงเหล็กออกจะเหลือน้ําในถัง 1,584 – 56 = 1,528 ลูกบาศกฟุต ตอบ 1,528 ลูกบาศกฟต ุตัวอยาง ภาชนะเก็บน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก วัดภายนอกไดความกวาง 36 เซนติเมตร ความยาว 64 เซนติเมตร ความสูง 28 เซนติเมตร ภาชนะเก็บน้ํามีความหนา 5 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผวทั้งหมดและปริมาตรปูนที่ใชสรางภาชนะเก็บน้ํา ิ แนวคิด ใชวิธวาดรูปประกอบ ี 5 ซม. 28 ซ.ม. 64 ซม.. 36 ซม.. C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  11. 11. 11เมื่อวัดภายในจะได ความกวาง = 36 - (2 × 5) = 36 – 10 = 26 เซนติเมตร ความยาว = 64- (2 × 5) = 54 เซนติเมตร ความสูง = 28 - 5 = 23 เซนติเมตรพื้นที่ผิวดานลางภายนอก = 36 × 64 = 2,304 เซนติเมตรพื้นที่ผิวดานลางภายใน = 26 × 54 = 1,404 เซนติเมตรพื้นที่ดานบนภาชนะเก็บน้ําโดยรอบ = 2304 - 1404 = 900 เซนติเมตรพื้นที่ผิวทั้งดานขางภายนอกสี่ดาน = เสนรอบฐาน × สวนสูง = [2 × (36 + 64 )] × 28 ตารางเซนติเมตร = 5,600 ตารางเซนติเมตรพื้นที่ผิวขางดานใน = [2 × (26 + 54 )]× 23 ตารางเซนติเมตร = 3,680 ตารางเซนติเมตรดังนั้น พืนที่ผิวทั้งหมด ้ = 2,304 + 1,404 + 900 + 5,600 + 3,680 ตารางเซนติเมตร = 13,880 ตารางเซนติเมตรปริมาตรทั้งหมด = 36 × 64 × 28 = 64,512 ลูกบาศกเซนติเมตรปริมาตรภายใน = 26 × 54 × 23 = 32,292 ลูกบาศกเซนติเมตรดังนั้นปริมาตรปูนที่ใช = 64,512 – 32,292 = 32,220 ลูกบาศกเซนติเมตรดังนั้น จะใชปูนทั้งหมดในการสรางภาชนะ = 32,220 ลูกบาศกเซนติเมตร ตอบ 32,220 ลูกบาศกเซนติเมตร C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  12. 12. 12 แบบฝกทักษะ1. ที่ดินรูปสี่เหลียมผืนผาแปลงหนึ่งกวาง 15 เมตร ยาว 21 เมตร ตองการถมดินใหสงขึนกวาเดิม ่ ู ้ 30 เซนติเมตร จะตองซื้อดินมาถมทั้งหมดกี่คันรถ ถารถบรรทุกจุดินไดคันละ 18.9 ลูกบาศกเมตร2. สี่เหลี่ยม ABCD มีจุดยอดมุม อยูที่ A (3, 6), B (9, 6), C (6, 3) และ D(0, 3) จะมีพนที่เทาไร ื้3. แท็งกน้ํารูปลูกบาศกมีพนทีผิวทั้งหมด 24x 2 ตารางนิ้ว แท็งกน้ํามีปริมาตรเทาไร ื้ ่4. กําหนดใหสามเหลี่ยมฐานโคง (Sector) AOB มีรัศมีความโคง 5 หนวย และ ˆ AOB = 72 0 จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมฐานโคง AOB5. ลวดทองแดงเสนหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 2 มิลลิเมตร พันรอบแทงทรงกระบอกซึ่งยาว 12 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของแทงทรงกระบอกยาว 10 เซนติเมตร พันลวดจนเต็มพื้นที่ผิวโคง จะใชลวดยาว กี่เมตร (กําหนดให π เทากับ 3.14 )6. A D B จากรูปสวนทีแรเงามีพื้นที่เทาไร ่ C 14 ซ.ม.7. พีระมิดเหล็กฐานสี่เหลี่ยมจัตรัสยาวดานละ 2 ฟุต สูง 1 2 ฟุต นํามาหลอมทําเปนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม ุ 3 จัตุรัส ซึ่งมีดานฐานเทากับสวนสูงไดทั้งหมด 180 อัน พีระมิดที่สรางขึ้นมีฐานยาวดานละกี่นว ิ้ C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  13. 13. 138. โลหะทรงกลมมีเสนผานศูนยกลาง 42 เซนติเมตร มีปริมาตร 3.5 เทาของปริมาตรกรวยกลม ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร กรวยมีพื้นที่ผิวทั้งหมดเทาไร9. ทรงกลมลูกหนึ่งบรรจุลงในทรงกระบอกพอดีและกระบอกนี้วางลงในกลองทรงลูกบาศกซึ่งยาวดานละ 14 เซนติเมตร ดังรูป จงหา 1) กลองทรงลูกบาศกมปริมาตรมากกวาทรงกระบอกกี่ลูกบาศกเซนติเมตร ี 2) ทรงกระบอกมีปริมาตรมากกวาทรงกลมกี่ลูกบาศกเซนติเมตร 14 ซม. 14 ซม. 14 ซม.10. ทรงกลมตันรัศมียาว 10.5 เซนติเมตร หยอนลงในภาชนะทรงกระบอกที่มีน้ําอยู ทําใหน้ําเต็มภาชนะพอดี ถาพื้นที่กนภาชนะเทากับ 808.5 ตารางเซนติเมตร จงหาวาเมื่อหยอนทรงกลมตันลงไปในภาชนะแลว  น้ําสูงขึ้นอีกกี่เซนติเมตร11. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียง ความยาว สันพีระมิด และปริมาตรของพีระมิด12. ในการสรางกระโจมขนาดใหญหลังหนึ่ง ตัวกระโจมเปนรูปทรงกระบอกเสนผานศูนยกลาง 42 ฟุต สูง 14 ฟุต หลังคากระโจมเปนรูปกรวยกลม มีเสนผานศูนยกลางเทากับตัวกระโจม ถาหลังคากระโจม สูง 10 ฟุต จงหาพื้นที่ผิวภายนอกทั้งหมดของกระโจม13. D A E .O F B C จากรูป AB เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม O AD และ BC เปนเสนสัมผัสวงกลมที่ A และ B ถา AD = AB = BC = 14 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ที่แรเงา C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  14. 14. 1414. จงหาพื้นที่ผวทั้งหมดและปริมาตรของประมิดฐานสี่เหลียมจัตุรัสยาวดานละ 12 เซนติเมตร ิ ่ และสูง 8 เซนติเมตร15. ทรงกลมตันรัศมียาว 6 เซนติเมตร นํามาหลอมทําเปนทรงกระบอกกลวงใหมีรัศมีภายนอก 10 เซนติเมตร ถาทรงกระบอกนี้สง 8 เซนติเมตร จะมีความหนากี่เซนติเมตร (หาคําตอบในเทอม ู ของ π )16. จงหาพื้นที่ผวและปริมาตรของพีระมิด ฐานสามเหลี่ยมดานเทาซึ่งมีดานยาวดานละ 6 ซม. ิ และมีสันยาว 5 ซม.17. P PQR เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทามีพื้นที่ 80 ตารางหนวย B A เปนจุดกึ่งกลาง PQ , B เปนจุดกึ่งกลาง PA และ AC// BD // PR จงหาพื้นที่สวนทีแรเงา ่ A R Q D C18. ถังสี่เหลี่ยมใบหนึ่งยาว 31 เซนติเมตร กวาง 14 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร มีน้ําอยูในถังสูง 10 เซนติเมตร ถาเอาทอนเหล็กทรงกระบอกตันรัศมี 7 เซนติเมตร วางตั้งลงไปในถังน้ํา จงหาวา ระดับน้ําในถังสูงขึ้นอีกเทาไร19. C c b จงหาพื้นทีแรเงา จากรูปที่กําหนดให ่ 14 นิ้ว a C A B 14 นิ้ว C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  15. 15. 1520. 7 7 จงหาพื้นทีแรเงา จากรูปที่กาหนดให ่ ํ 7 7 7 721. พีระมิดรูปหนึง มีฐานเปนรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา ซึ่งมีดานละ 6 เซนติเมตร และมีสันยาว ่ 10 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผวและปริมาตร ิ22. จากรูป PQR มี PQ = 12 เซนติเมตร PR = 9 เซนติเมตร เมื่อ PR, RQ และ PQ เปนเสน ผานศูนยกลางของวงกลม จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา (ใหตอบในเทอมของ π ) C P d 12 a e9 b R Q23. แทงปูนทรงเรขาคณิต ปลายหัวทั้งสองขางเปนรูปทรงกรวยกลมขนาดเทากันทั้งสองปลาย ความยาว ของแทงปูนกับกรวยทั้งสองเปน 20 นิ้ว ความยาวเฉพาะแทงปูนเปนทรงกระบอกยาว14 นิว ้ ถังรูปทรงนี้มีปริมาตรทั้งหมด 616 ลูกบาศกนิ้ว จงหาวาเสนผานศูนยกลางของแทงปูนทรงกระบอก ยาวกี่นว (กําหนดให π เทากับ 22 ) ิ้ 7 324. โคมไฟลักษณะดังรูป มีรัศมีวงใหญยาว 5 นิ้ว 6 รัศมีวงเล็ก 3 นิ้ว สูง 6 นิ้ว จงหาปริมาตรของยอดกรวยที่ถูกตัดออกไป 5 C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  16. 16. 1625. กระปองนมรูปทรงกระบอก 2 ใบ ใบหนึ่งสูงเปน 2 เทาของอีกใบหนึ่ง แตเสนผานศูนยกลางของ ปากกระปองนมใบสูงยาวเพียงครึ่งหนึ่งของเสนผานศูนยกลางของกระปองนมใบเตีย ถาผูขายคิดราคา ้ นมกระปองใบสูงไว 8 บาท นมกระปองใบเตี้ย 15 บาท จะซื้อนมกระปองใด จึงจะถูกกวา26. กระปองใบหนึ่งมีความสูงเปน 2 เทาของรัศมีกระปอง ซึ่งมีปริมาตร 92 π ลูกบาศกเซนติเมตร ลงในกระปองใบนี้ และหยอนลูกแกวซึ่งมีพื้นที่ผิว 36 π ตารางเซนติเมตรลงในกระปอง จงหาขนาดของพื้นที่ผิวดานขางนอยที่สุด ซึ่งจะทําใหน้ําไมไหลลนออกมาภายหลังการหยอนลูกแกวลงไป (ใหตอบในเทอมของ π )27. จ ABCD และ จ DCEG มีพื้นที่เทากันคือ 64 ตร.หนวย EFQ เปนรูปครึ่งวงกลม ซึ่งมี F เปนจุดกึ่งกลางของสวนโคง EG จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา (ให π เทากับ 3.14)28. จากรูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปเล็ก แตละรูปมีรูปรางเหมือนกันและมีพนที่รูปละ 8 ตารางหนวยเทากันทังหมด ื้ ้ จุด A, B, F, G, D เปนจุดที่อยูตรงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ พอดี จุด C และ E เปนจุดที่อยูบนดาน FG ถากําหนดให CE = 2 FG จงหาพื้นทีสวนที่แรเงา 3 ่ A J F I C B H E D G C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  17. 17. 1729. P X 4 ซม. 4 ซม. 4 ซม. Q 270 360 R 0 Y 63 Z จากรูป PQR เปนรูปสามเหลี่ยมใด ๆ มี PR ยาวเทากับ 4 นิ้ว XYZ เปนสามเหลี่ยมหนาจัว ่ มีดานประกอบมุมยอดยาวดานละ 4 นิ้ว ถาสามเหลี่ยม XYZ มีพื้นที่ 7.24 ตารางนิ้ว สามเหลียม PQR ่ มีพื้นที่เทาไร เมื่อกําหนดให QR ยาว 8 นิ้ A 5 นิ้ว B30. 3 นิ้ว 4 นิ้ว H C F E D ABCD และ ABEF เปนสี่เหลี่ยมดานขนาน AD และ BE ตัดกันและตังฉากกันที่ H AB = 5 นิ้ว, ้AH = 4 นิ้ว และ BH = 3 นิ้ว ถาพื้นทีสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 36 ตารางนิ้ว จงหา ่ 1. พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCF, พื้นที่สามเหลี่ยม EHD 2. เสนรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCF31. M O S S N P N 8 ซม. 10 ซม. 6 ซม.T R 10 ซม. 8 ซม. Q 6 ซม. T R C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  18. 18. 18 กระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผาแผนหนึ่งมีความยาว 25 ซม. เมื่อพับกระดาษที่ QR ดังรูป จงหา 1. ความกวางของกระดาษแผนนี้ 2. หาพื้นทีแรเงา ่32. ABC เปนสามเหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง ถาตอดาน AB ไปถึงจุด D ตอดาน BC ไปถึงจุด E และตอดาน CA ไปถึงจุด F โดยให AD = 2AB, BE = 3BC และ CF = 4CA และถาสามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่ 3.2 ตารางเซนติเมตร สามเหลี่ยม DEF มีพื้นที่เทาไร F A B C D E33. PQRS เปนสี่เหลี่ยมดานขนาน มี PR และ QS เปนเสนทแยงมุมตัดกันที่ O จาก P ลาก PM ตัดเสนทแยงมุม QS ที่ N ไปพบ QR ที่ M ทําให PN : NM เทากับ 3 : 2 จงหาวาอัตราสวน ของพื้นที่สามเหลี่ยม PNO กับพื้นที่สี่เหลี่ยม MNOR เทากับเทาใด P S O N Q M R C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  19. 19. 19 เฉลยแบบฝกทักษะ1. ที่ดินรูปสี่เหลียมผืนผาแปลงหนึ่งกวาง 15 เมตร ยาว 21 เมตร ตองการถมดินใหสงขึนกวาเดิม ่ ู ้ 30 เซนติเมตร จะตองซื้อดินมาถมทั้งหมดกี่คันรถ ถารถบรรทุกจุดินไดคันละ 18.9 ลูกบาศกเมตร แนวคิด ปริมาตร = กวาง × ยาว × สูง ดังนั้นดินที่ใชทั้งหมด = 15 × 21 × 0.3 = 94.5 ลูกบาศกเมตร ดังนั้น จะตองซื้อดินมาทั้งหมด = 94.5 ÷ 18.9 = 5 คัน ตอบ 5 คัน2. สี่เหลี่ยม ABCD มีจุดยอดมุม อยูที่ A (3, 6), B (9, 6), C (6, 3) และ D(0, 3) จะมีพนที่เทาไร ื้ แนวคิด Y พื้นที่ ข = ฐาน × สูง A(3 , 6) B(9 , 6) = 6 × 3 = 18 ตารางหนวย ตอบ 18 ตารางหนวยD(0 , 3) C(6 , 3) X 03. แท็งกนํารูปลูกบาศกมพนทีผิวทั้งหมด 24x 2 ตารางนิ้ว แท็งกน้ํามีปริมาตรเทาไร ้ ี ้ื ่ 24 x 2 แนวคิด แตละดานของแท็งกน้ํามีพื้นที่ = 6 = 4x 2 ตารางนิ้ว แตละดานยาว = 4x 2 = 2 x ตารางนิ้ว ปริมาตรของแท็งกนํา ้ = 2x × 2x × 2x = 8 x 3 ตารางนิ้ว ตอบ 8 x 3 ตารางนิ้ว C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  20. 20. 204. กําหนดใหสามเหลี่ยมฐานโคง (Sector) AOB มีรัศมีความโคง 5 หนวย และ ˆ AOB = 72 0 จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมฐานโคง AOB แนวคิด O หาพื้นที่ ∆ ฐานโคง = 360 πr 2 เมื่อ D เปนมุมของยอดของ ∆ ฐานโคง D = 72 360 π×5 ×5 ตารางหนวย = 5π ตารางหนวย A B ตอบ 5π ตารางหนวย5. ลวดทองแดงเสนหนึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 2 มิลลิเมตร พันรอบแทงทรงกระบอกซึ่งยาว 12 เซนติเมตร เสนผานศูนยกลางของแทงทรงกระบอกยาว 10 เซนติเมตร พันลวดจนเต็มพื้นที่ผิวโคง จะใชลวดยาว กี่เมตร (กําหนดให π = 3.14 ) แนวคิด เสนผานศูนยกลางของลวด = 2 มิลลิเมตร ทรงกระบอกยาว = 12 เซนติเมตร = 120 มิลลิเมตร พันลวดเต็มพืนที่ตองพัน ้ = 120 = 60 รอบ 2 เสนผานศูนยกลางของแทงทรงกระบอก= 10 เซนติเมตร = 100 มิลลิเมตร ∴ รัศมี = 50 มิลลิเมตร ความยาวลวดที่พัน 1 รอบ ยาว = 2 πr = 2 πr ×50 = 100 π มิลลิเมตร ตองใชลวดทั้งหมด 60 รอบ = 100π × 60 มิลลิเมตร = 6000 × 3.14 มิลลิเมตร = 18,840 มิลลิเมตร ดังนั้น จะใชลวดยาว = 18840 1000 = 18.84 เมตร ตอบ 18.84 เมตร C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  21. 21. 216. A จากรูปสวนทีแรเงามีพื้นที่เทาไร ่ D B C 14 ซ.ม.แนวคิด จากรูปพิจารณาวาพื้นทีไมแรเงา 2 สวน (A และ C) = พืนที่ จัตุรัสลบดวยพืนที่ ่ ้ ้ ครึ่งวงกลม 2 สวน (พืนที่วงกลม) ้ดังนั้น พื้นที่ไมแรเงา 2 สวน (A และ C) = พื้นที่ จัตุรัส – ดวยพืนที่วงกลม ้ = (14×14)− ⎛ 22 × 7× 7 ⎞ ตารางเซนติเมตร ⎜ ⎟ 7 ⎝ ⎠ = 196 −154 = 42 ตารางเซนติเมตรดังนั้น พื้นที่ไมแรเงา 4 สวน = 42 ×2 = 84 ตารางเซนติเมตร พื้นที่แรเงา = พื้นที่ จัตุรัส - พื้นทีสีขาว 4 รูป ( A , B , C , D ) ่ ดังนั้น สวนทีแรเงาจะมีพื้นที่ = 196 − 84 = 112 ตารางเซนติเมตร ่ ตอบ 112 ตารางเซนติเมตร7. พีระมิดเหล็กฐานสี่เหลี่ยมจัตรสยาวดานละ 2 ฟุต สูง 1 2 ฟุต นํามาหลอมทําเปนพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม ุั 3 จัตุรัส ซึ่งมีดานฐานเทากับสวนสูงไดทั้งหมด 180 อัน ประมิดที่สรางขึ้นมีฐานยาวดานละกี่นว ิ้ สูง ก 20 นิ้ว หลอมเปนพีระมิดเล็ก ๆ 24 นิ้ว 24 นิ้ว ได 180 อัน 24 นิ้ว ปริมาตรของพีระมิดเหล็กฐานสี่เหลี่ยมจัตุรส ั = 1 3 × พื้นที่ฐาน สูง × = 1 3 × 24 × 24 × 20 ลูกบาศกนิ้ว = 3,840 ลูกบาศกนิ้ว ตอบ 3 ,840 ลูกบาศกนิ้ว C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  22. 22. 22สมมุติ ใหดานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสวนที่เปนฐานและความสูงของพีระมิด = ก นิ้ว เขียนสมการไดดังนี้ ปริมาตร ประมิดเหล็กฐานรูปสี่เหลี่ยมจัตุรส = 180 × ปริมาตรของพีระมิดเล็ก 1 อัน ั 3,840 = 180 × 1 × ¡ × ¡ × ¡ 3 60 ก3 = 3 ,840 ก3 = 3840 60 = 64 ก = 4 ∴ พีระมิดทีสรางขึ้นมีฐานยาวดานละ 4 นิ้ว ่ ตอบ 4 นิ้ว8. โลหะทรงกลมมีเสนผานศูนยกลาง 42 เซนติเมตร มีปริมาตร 3.5 เทาของปริมาตรกรวยกลม ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร กรวยมีพื้นที่ผวทั้งหมดเทาไร ิ แนวคิด ปริมาตรทรงกลม = 4 π (21) ลูกบาศกเซนติเมตร 3 3 = 12,348 π ลูกบาศกเซนติเมตร l ปริมาตรกรวย = 12,348π ลูกบาศกเซนติเมตร 24 3.5 = 3,528 π ลูกบาศกเซนติเมตร r แตปริมาตรกรวย = 1 π r × 24 ลูกบาศกเซนติเมตร 2 3 ∴ 1 2 3 πr × 24 = 3,528 π r2 = 441 r = 21 จาก l 2 = 24 2 + 21 2 = 1,017 l = 1,017 พื้นที่ผิวทั้งหมด = πr 2 + πrl = ⎛ 22 × (21 )2 ⎞ + 22 ×21 × 1017 ตร.ซม. ⎜ ⎟ 7 ⎝ 7 ⎠ = 1,386+2,104.77 ตร.ซม. = 3,490.77 ตร.ซม. ตอบ 3,490.77 ตร.ซม. C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  23. 23. 239. ทรงกลมลูกหนึ่งบรรจุลงในทรงกระบอกพอดีและกระบอกนี้วางลงในกลองทรงลูกบาศกซึ่งยาวดานละ 14 เซนติเมตร ดังรูป จงหา 1) กลองทรงลูกบาศกมีปริมาตรมากกวาทรงกระบอกกี่ลูกบาศกเซนติเมตร 2) ทรงกระบอกมีปริมาตรมากกวาทรงกลมกี่ลูกบาศกเซนติเมตรแนวคิด ปริมาตรกลอง = กวาง × ยาว × สูง = 14 × 14 × 14 ลบ.ซม. = 2744 ลบ.ซม. ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2h = 22 × 7 × 7 ×14 14 ซม. 7 = 2 ,156 ลบ.ซม. ปริมาตรทรงกลม = 4 3 3 πr 14 ซม. 14 ซม. = 4 22 × ×7 ×7 ×7 3 7 = 1437 1 3 ลบ.ซม. 1. กลองมีปริมาตรมากกวาทรงกระบอก = 2744 - 2156 = 588 ลบ.ซม. 2. ทรงกระบอกมีปริมาตรมากกวาทรงกลม = 2156 - 1437 1 = 718 2 ลบ.ซม. 3 3 ตอบ 718 2 ลบ.ซม. 310. ทรงกลมตันรัศมียาว 10.5 เซนติเมตร หยอนลงในภาชนะทรงกระบอกที่มีน้ําอยู ทําใหน้ําเต็มภาชนะพอดี ถาพื้นที่กนภาชนะเทากับ 808.5 ตารางเซนติเมตร จงหาวาเมื่อหยอนทรงกลมตันลงไปในภาชนะแลว น้ําสูงขึ้นอีกกี่เซนติเมตร ระดับน้ํา C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั
  24. 24. 24แนวคิด ระดับน้ําที่เพิ่มขึ้นคือปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรทรงกลม = 4 3 3 πr = 4 22 × ×10.5 ×10.5 ×10.5 3 7 = 4,851 ลบ.ซม. = ปริมาตรของทรงกระบอกของระดับน้ําที่เพิ่ม ∴ πr 2 h = 4,851 808.5 × h = 4,851 h = 6 ซม. ระดับน้ําสูงขึนอีก 6 ซม. ้ ตอบ 6 ซม.11. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียง ความยาว สันพีระมิด และปริมาตรของพีระมิด แนวคิด หาสูงเอียง AC 2 = AB2 + BC2 A = 4 2 + 32 4 ซ.ม. = 16 +19 AC = 5 D ความยาวสูงเอียง = 5 ซม. B C หาความยาวสัน AD 2 = 52 + 32 = 25 + 9 6 ซ.ม. ความยาวสันพีระมิด = 34 ซม. ความยาวสัน AD = 5.83 ซม. ปริมาตรพีระมิด = 1 3 × พื้นที่ฐาน × สูง = 1 3 ×6 ×6 × 4 = 48 ลบ.ซม. ตอบ 48 ลบ.ซม. C:คูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคูมือการเรียนรูคณิตศาสตรคณิตไมมีร้วกลุมที่ 2 พื้นที่ผิวกรอบแนวคิด (23ก.ย.47).doc23กย.47 ั

×