تناقش الوثيقة مبدأ التباديل والتوافيق في العد، موضحة كيفية حساب عدد التباديل والتوافيق باستخدام العمليات الرياضية المختلفة. كما تتناول المعادلات المتعلقة بحساب القيم المرتبطة بهذا المبدأ، بما في ذلك العلاقات بين الأرقام والمجموعات. تسلط الضوء أيضًا على كيفية التعامل مع الفرضيات أو النتائج الخاصة بعمليات العد والتلاعب بالأعداد.

1. ‫التوافيق‬
‫العد‬ ‫مبدأ‬
‫و‬
‫التباديل‬
‫و‬
‫التوافيق‬
‫العد‬ ‫مبدأ‬
‫عددھا‬ ‫مختلفة‬ ‫طرق‬ ‫بعدة‬ ‫عملية‬ ‫إجراء‬ ‫أمكن‬ ‫إذا‬‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬‫و‬ ،‫الوقت‬ ‫نفس‬ ‫فى‬‫عملية‬ ‫إجراء‬ ‫أمكن‬‫عددھا‬ ‫مختلفة‬ ‫طرق‬ ‫بعدة‬ ‫أخرى‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫فإن‬:‫العم‬ ‫إجراء‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫ل‬‫معا‬ ‫يتين‬ً=‫م‬‫م‬‫م‬‫م‬×‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬)‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١) (‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–(٠٠٠٠٠)‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١(‫حيث‬:١‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫التباديل‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
==‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬)‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١) (‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–(٠٠٠٠٠×٣××١ ‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬ ‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬٠
= =١ ٠
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬٠
=١،
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬١
=‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫كان‬ ‫إذا‬:
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ھـ‬
‫فإن‬:‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬=‫ھـ‬‫ا‬‫؛‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬=‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+‫ھـ‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
==‫حيث‬:١‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ل‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬–١
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬

2. ‫نظرية‬
‫ذات‬
‫الحدين‬
)‫ا‬+‫ب‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
+‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ب‬‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬٣
‫ب‬
٣
‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–٣
+٠٠٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ب‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
+٠٠٠٠٠+‫ب‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
،)‫ا‬–‫ب‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
–‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ب‬‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ب‬‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١
–
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬٣
‫ب‬
٣
‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–٣
+٠٠٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
)–‫ب‬(
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫ا‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
+٠٠٠٠٠+)–‫ب‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
)١+(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=١+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬١
+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬+٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬

‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
+٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬

‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
)١–(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=١–
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬١
+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬+٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
)–(
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
+٠٠٠+
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
)–(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
،)١+(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
+)١–(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=)‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬١
+‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬٣
+‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬٥
+٠٠٠٠(
،)١+(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
–)١–(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=)‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬+‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬٤
+‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬٦
+٠٠٠٠(
‫خاصة‬ ‫حالة‬
‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
=
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ق‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
)‫الثانى‬(
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
)‫األول‬(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫حيث‬:‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬=٠،١،،٣،٠٠٠،‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬ ‫الع‬ ‫الحد‬‫ام‬
‫األوسطين‬ ‫الحدين‬ ‫و‬ ‫األوسط‬ ‫الحد‬
)١(‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫واحد‬ ‫أوسط‬ ‫حد‬ ‫يوجد‬ ‫زوجية‬‫ھو‬ ‫ترتيبه‬+ :١
)(‫كانت‬ ‫إذا‬:‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ھما‬ ‫ترتيبھما‬ ‫أوسطان‬ ‫حدان‬ ‫يوجد‬ ‫فردية‬:،
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+٣
‫نوجد‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
‫صورة‬ ‫أبسط‬ ‫فى‬‫ثم‬‫أس‬ ‫نضع‬
‫فى‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
‫ي‬‫ساوى‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫قيمة‬ ‫على‬ ‫لنحصل‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬ ‫على‬ ‫المشتمل‬ ‫الحد‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
‫م‬ ‫حدين‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬‫تتالين‬=×
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬
‫الثانى‬
‫األول‬
‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬+١
‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬

3. ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬:‫آ‬‫آ‬‫آ‬‫آ‬=}+‫ص‬ ‫ت‬:‫ص‬ ،gggg،‫ت‬=–١{
‫ت‬ ‫العدد‬ ‫خواص‬
‫ت‬
٤‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=١،‫ت‬
٤‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
=، ‫ت‬
‫ت‬
٤‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+
=–١،‫ت‬
٤‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+٣
=–‫ت‬
‫كان‬ ‫إذا‬:+‫ص‬ ‫ت‬=‫ا‬+‫ب‬ ‫ت‬
‫فإن‬:=‫ا‬‫ص‬ ،=‫ب‬
‫كان‬ ‫إذا‬ ‫و‬:+‫ص‬ ‫ت‬=٠
‫فإن‬:=٠‫ص‬ ،=٠
‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوى‬١
 +
١
 +=١
+
+‫ت‬)‫ص‬١
+‫ص‬(
‫مرافق‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬)( 
*=–‫ص‬ ‫ت‬
*‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬+=
*‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬٠=+‫ص‬
*١
 +=١
 +
*١
 ٠=١
 ٠
*=‫ل‬]‫حتا‬)–θθθθ+ (‫حا‬ ‫ت‬)–θθθθ([




١
 ٠
١
 ٠=)١
–‫ص‬١
‫ص‬(
+‫ت‬)١
‫ص‬+‫ص‬١
(=
‫ل‬١
‫ل‬]‫حتا‬)θθθθ١
+θθθθ+ (‫حا‬ ‫ت‬)θθθθ١
+θθθθ([
‫األسية‬:=‫ل‬‫ھـ‬
‫ت‬θθθθ
‫المثلثية‬:=‫ل‬)‫حتا‬θθθθ+‫حا‬θθθθ(
‫حيث‬:‫ل‬=]@:+:‫ص‬:@:،=‫حتا‬ ‫ل‬θθθθ
،‫ص‬=‫حا‬ ‫ل‬θθθθ،θθθθgggg]٠،‫ط‬]
‫ا‬ ‫الصور‬‫للعدد‬ ‫لمختلفة‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
‫الجبرية‬:=+‫ص‬ ‫ت‬
=‫ل‬)‫حتا‬θθθθ+‫حا‬θθθθ( =]‫حتا‬)–θθθθ+(‫حا‬ ‫ت‬)–θθθθ[ ( ١

١
‫ل‬
=]‫حتا‬)θθθθ١
–θθθθ+ (‫حا‬ ‫ت‬)θθθθ١
–θθθθ[ ( ١

‫ل‬١
‫ل‬
‫نظرية‬
‫ديموافر‬
θθθθ+‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ط‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
θθθθ+‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ط‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬θθθθ+‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ط‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬θθθθ+‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ر‬‫ن‬‫ط‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
١
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬
*)‫حتا‬θθθθ+‫حا‬ ‫ت‬θθθθ(
‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=‫حتا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬θθθθ+‫حا‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬θθθθ‫حيث‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬gggg
*)‫حتا‬θθθθ+‫حا‬ ‫ت‬θθθθ(=‫حتا‬+‫حا‬ ‫ت‬
*)‫حتا‬θθθθ+‫حا‬ ‫ت‬θθθθ(=‫حتا‬+‫حا‬ ‫ت‬
‫حيث‬:‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬=٠،١،،٣،٠٠٠٠،)‫ك‬‫ك‬‫ك‬‫ك‬–١(

4. ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
)‫حتا‬٠+‫حا‬ ‫ت‬٠(
،)‫حتا‬@‫ط‬+‫حا‬ ‫ت‬@‫ط‬(
،)‫حتا‬$‫ط‬+‫حا‬ ‫ت‬$‫ط‬(
‫الصورة‬‫المثلثية‬‫الصورة‬‫الجبرية‬
١،–!+‫ت‬
،–!–‫ت‬
]/
]/
١+ωωωω+ωωωω=‫صفر‬
ωωωω–ωωωω=
ωωωω–ωωωω=
±]/‫ت‬
‫خواص‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫شكل‬ ‫فى‬ ‫تقع‬ ‫تمثلھا‬ ‫التى‬ ‫النقاط‬
‫و‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫على‬ ‫أرجاند‬
‫تق‬‫أقواس‬ ‫ثالث‬ ‫إلى‬ ‫سمھا‬
‫الط‬ ‫متساوية‬‫ول‬
‫التخليليين‬ ‫التكعيبين‬ ‫الجذرين‬ ‫من‬ ‫جذر‬ ‫أى‬ ‫مربع‬
‫للواح‬‫اآلخر‬ ‫الجذر‬ ‫يساوى‬ ‫الصحيح‬ ‫د‬‫لھا‬ ‫يرمز‬ ‫و‬
‫بالرموز‬:١،ωωωω،ωωωω
‫للعدد‬ ‫الصحيحة‬ ‫القوى‬ωωωω ωωωω
٣‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬
=١،ωωωω
٣٣٣٣‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+١
=ωωωω،ωωωω
٣‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬+
=ωωωω
=ωωωω،=ωωωω
١
ωωωω
١
ωωωω

5. ‫المحددات‬
‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫المحدد‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫من‬ ‫يتكون‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫من‬
‫من‬ ‫و‬ ‫الصفوف‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫من‬ ‫ينشأ‬ ‫و‬ ‫األعمدة‬ ‫من‬
‫حذف‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬–١‫من‬ ‫المتغيرات‬ ‫من‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫ن‬‫من‬
‫الخطية‬ ‫المعادالت‬
‫المحدد‬ ‫قيمة‬
*∆= =‫ا‬‫ء‬–‫حـ‬ ‫ب‬
*∆= =‫ا‬–‫ب‬+‫حـ‬
‫ا‬‫ب‬
‫حـ‬‫ء‬
‫ھـ‬‫و‬
‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ط‬
‫ء‬‫و‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ط‬
‫ء‬‫ھـ‬
‫و‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬
‫ا‬‫ب‬‫حـ‬
‫ء‬‫ھـ‬‫و‬
‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ر‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ح‬‫ط‬
‫المرافق‬ ‫العوامل‬ ‫إشارة‬
+–+
–+–
+–+
‫الصفوف‬ ‫بدلنا‬ ‫إذا‬ ‫محدد‬ ‫أى‬ ‫فى‬
‫بالصفوف‬ ‫األعمدة‬ ‫و‬ ‫باألعمدة‬
‫قيمة‬ ‫فإن‬ ‫ترتيبھا‬ ‫لنفس‬‫المحدد‬
‫ال‬‫تتغير‬
‫تتغير‬ ‫ال‬ ‫المحدد‬ ‫قيمة‬
‫طريق‬ ‫عن‬ ‫بفكه‬
‫صفوفه‬ ‫أحد‬ ‫عناصر‬
‫أعمدته‬ ‫أحد‬ ‫عناصر‬ ‫أو‬
‫عمودان‬ ‫أو‬ ‫صفان‬ ‫موضع‬ ‫بدلنا‬ ‫إذا‬
‫الناتج‬ ‫المحدد‬ ‫قيمة‬ ‫فإن‬ ‫محدد‬ ‫من‬
=‫تخالفه‬ ‫و‬ ‫األصلى‬ ‫المحدد‬‫فى‬
‫اإلشارة‬
‫العناصر‬ ‫تساوت‬ ‫إذا‬
‫صفين‬ ‫أى‬ ‫فى‬ ‫المناظرة‬
)‫عمودين‬(‫محدد‬ ‫فى‬
‫المحدد‬ ‫قيمة‬ ‫فإن‬=‫صفر‬
‫مشترك‬ ‫عامل‬ ‫وجد‬ ‫إذا‬
‫عناص‬ ‫جميع‬ ‫فى‬‫ر‬
‫فى‬ ‫عمود‬ ‫أو‬ ‫صف‬
‫أخذه‬ ‫فيمكن‬ ‫محدد‬
‫المحدد‬ ‫خارج‬
‫أو‬ ‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫جميع‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫فإن‬ ‫أصفار‬ ‫محدد‬ ‫فى‬ ‫عمود‬
‫قيمته‬=‫صفر‬
‫الصورة‬ ‫على‬ ‫محدد‬ ‫أى‬ ‫قيمة‬
‫المثلثية‬=‫عناصر‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫الرئيسى‬ ‫القطر‬
‫كتبت‬ ‫إذا‬ ‫محدد‬ ‫أى‬ ‫فى‬
‫أو‬ ‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫جميع‬
‫عمود‬‫كمجموع‬
‫قيمة‬ ‫فإن‬ ‫عنصرين‬
‫يمكن‬ ‫المحدد‬
‫كمجموع‬ ‫كتابتھا‬
‫محددين‬
‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫ضربنا‬ ‫إذا‬)‫عمود‬(
‫أضفناھا‬ ‫و‬ ‫ما‬ ‫عدد‬ ‫فى‬ ‫محدد‬ ‫من‬
‫صف‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫نظائرھا‬ ‫إلى‬
‫آخر‬)‫عمود‬‫آخر‬(‫قيمة‬ ‫فإن‬
‫تتغير‬ ‫ال‬ ‫المحدد‬
‫مح‬ ‫أى‬ ‫فى‬‫إذا‬ ‫دد‬
‫عناصر‬ ‫ضربنا‬
‫صف‬ ‫أى‬)‫عمود‬(
‫العوامل‬ ‫فى‬
‫للعناصر‬ ‫المرافقة‬
‫أى‬ ‫فى‬ ‫المناظرة‬
‫صف‬)‫عمود‬(
‫جمعنا‬ ‫و‬ ‫آخر‬
‫فإن‬ ‫الناتج‬
‫تساوى‬ ‫النتيجة‬
‫صفرا‬ً
‫المحددات‬ ‫خواص‬‫الخطية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫طريقة‬ ‫بإستخدام‬
‫كرامر‬
:‫لدينا‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬٣‫معادالت‬
‫المتغيرات‬ ‫فى‬ ‫خطية‬‫ص‬ ،
،‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫المحد‬ ‫قيمة‬ ‫كانت‬ ‫و‬‫د‬=∆
‫فإن‬:
=
‫ص‬ ،=
‫ع‬ ،=
∆
∆
∆‫ص‬
∆
∆‫ع‬‫ع‬‫ع‬‫ع‬
∆
‫كان‬ ‫إذا‬)–‫ا‬(‫أحد‬
‫فإن‬ ‫محدد‬ ‫عوامل‬:=‫ا‬
‫المحدد‬ ‫قيمة‬ ‫تجعل‬=‫صفر‬