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Ss clase 1

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Ss clase 1

  1. 1. CAPITULO 1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS REPASO e INTRODUCCIÓN
  2. 2. •• ¿QUÉ ES UNA SEÑAL?¿QUÉ ES UNA SEÑAL? - Señales de Tiempo Continuo - Señales de Tiempo Discreto •• ¿QUÉ ES UN SISTEMA?¿QUÉ ES UN SISTEMA? - Sistemas de Tiempo Continuo - Sistemas de Tiempo Discreto •• SISTEMAS LTI (LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO)SISTEMAS LTI (LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO) - Linealidad y Homogeneidad •• SEÑALES DISCRETASSEÑALES DISCRETAS •• MUESTREO PERIODICO DE SEÑALES Y TEOREMA DEL MUESTREOMUESTREO PERIODICO DE SEÑALES Y TEOREMA DEL MUESTREO •• ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS LTIANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS LTI •• CONVOLUCION EN SISTEMAS DISCRETOSCONVOLUCION EN SISTEMAS DISCRETOS CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  3. 3. ¿QUÉ ES UNA SEÑAL? Representación de la variación de cualquier cantidad mesurable que porte información sobre el comportamiento de un sistema. Información: Origen, Lugar, Hora, Magnitud del Terremoto Tiempo CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  4. 4. Señales de Tiempo Continuo La señal está definida solo para algunos instantes de tiempo discretos. X (t) 0 X [n] 0 La señal está definida en todo instante de un intervalo de tiempo continuo. Señales de Tiempo Discreto t n CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  5. 5. ¿QUÉ ES UN SISTEMA? Conjunto de componentes que transforman una señal de entrada, dando como resultado otra señal como salida. SISTEMASISTEMA Señal de Entrada: x(t) x[n] Señal de Salida: y(t) y[n] T x[n] x[n-1] + x[n] + a x[n] a X k x[n] x[n] k ∑ Y[n] = a[n]+b[n]+c[n] a[n] c[n] b[n] Sistemas de Tiempo Continuo: Entrada y Salida son señales de tiempo continuo. Sistemas de Tiempo Discreto: Entrada y Salida son señales de tiempo discreto. CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  6. 6. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo) •• LinealidadLinealidad Un sistema lineal se define como aquel que cumple el principio de superposición: Si una entrada x1 origina una salida y1 y una entrada x2 origina una salida y2, entonces un sistema es lineal si y solo si una entrada x1+x2 origina una salida y1+y2 SistemaSistema x1 y1 SistemaSistema x2 y2 SistemaSistema LinealLineal x1 + x2 y1 + y2 CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  7. 7. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo)  HomogeneidadHomogeneidad Un sistema homogéneo cumple que: Si una entrada x1 origina una salida y1, entonces la versión en escala de la entrada ax1 producirá una salida a escala en forma similar: ay1 SistemaSistema x1 y1 SistemaSistema HomogéneoHomogéneo ax1 ay1 Por lo tanto un sistema Lineal será siempre un sistema homogéneo CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  8. 8. SISTEMAS LTI (Lineales e Invariantes en el Tiempo) •• Invariancia en el TiempoInvariancia en el Tiempo Un sistema es invariante en el tiempo cuando sus propiedades no cambian con el tiempo. Esto significa que: Si una entrada x[n] origina una salida y[n], entonces la versión retardada de la entrada x[n-k] producirá una salida retardada y[n-k] sin importar el valor de k. x [n] 0 y [n] 0 n y [n] 0 n n 0 n Sistema x[n] y[n] Sistema Invariante en el Tiempo x[n-k] y[n-k] CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (REPASO)
  9. 9. SEÑALES DISCRETAS De origen discreto como Cuando la señal representa un fenómeno para el cual la variable independiente es intrínsecamente discreta. Ejemplos: Datos demográficos. De origen continuo mediante muestreo de señales Una clase muy importante de señales discretas surge del muestreo de señales continuas. En este caso, la señal discreta x[n] representa muestras sucesivas de un fenómeno subyacente para el cual la variable independiente es continua. CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  10. 10. MUESTREO PERIÓDICO DE SEÑALES La base del muestreo de señales es que una señal de tiempo continuo X(t) puede representarse mediante una secuencia de muestras X[n] con valores X(Nt). Periodo de Muestreo (T): Tiempo entre dos muestras Frecuencia de Muestreo: X[n] = X(nT) fs = 1/T ; n = 0, ±1, ±2, … X (t) 0 X [n] 0 x[0] x[1] x[2] x[3] x[4] x[5] x[6] x[7] x[8] x[9] x[10] x[11] x[12] x[13] T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T … 1 2 3 4 5 6 7 8 … Cuando se muestrea una señal, lo que se desea es una representación “completa”, lo cual implica que la forma de onda de x(t) se pueda recuperar a partir de x[n] mediante un proceso conocido como interpolación  Uniendo puntos mediante una curva suave CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  11. 11. Adecuada selección de la fs • La adecuada selección de la fs al muestrear una señal es la que permitirá recuperar la señal original. • La fs adecuada dependerá de la señal a muestrear, según cuanto varíe la señal original, es decir según sus componentes frecuenciales. X (t) 0 X (t) 0 X (t) 0 X (t) 0 fs1 = 1/T1 fs2 = 1/T2 T1 T2 fs1 Adecuada fs 2 Muy Baja! “Error de Seudoconponentes” CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  12. 12. TEOREMA DEL MUESTREO Si una señal x(t)está limitada en ancho de banda con una frecuencia máxima: fmáx Entonces, esta señal se puede recuperar exactamente a partir de una secuencia de muestras uniformemente espaciadas siempre y cuando la frecuencia de muestreo sea mayor o igual a 2fmáx muestras/segundo. fs ≥ 2fmáx • Esto significa que la componente de frecuencia más alta de una señal debe muestrearse más de dos veces por ciclo si se desea recuperar la señal original por interpolación. • Generalmente se supone que, para propósitos prácticos, todas las componentes significativas de una señal se encuentran dentro de su ancho de banda y que las componentes con frecuencias superiores a la del ancho de banda tienen valores despreciables. CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  13. 13. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO T x[n] X 1/2 X -1/2 ∑ y[n] = ½ x[n]+½ x[n-1] Sistema No Recursivo Sistema Recursivo T x[n] X ∑ y[n] = x[n]+ α.y[n-1] α Y[n-1] La salida se expresa sólo en términos de la entrada La salida no solo depende de la entrada, son también de los valores pasados de la salida y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + … aN.x[n-N] y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + … aN.x[n-N] – b1.y[n-1] – b2.y[n-2]+ … – bM.y[n-M] Ecuación de Recurrencia Ecuación de Recurrencia CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  14. 14. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Una manera de investigar el comportamiento de un sistema es observar su respuesta a un señal de prueba a la entrada. Aunque se puede escoger como entrada cualquier señal de prueba, por lo general la selección se hará en base a: 1. El modelo de la señal de prueba debe ser matemáticamente simple de manejar. 2. La señal de prueba debe constituir un componente básico a partir del cual se puedan construir modelos de señal más complejos de una manera directa. Secuencia Muestra Unitaria ó Secuencia delta δ[n] = 1, 0, 0, 0, 0, 0, …δ [n] 0 Si n = 0  δ[n] = 1 Si n ≠ 0  δ[n] = 0 δ[n] CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  15. 15. MUESTRA UNITARIA La Secuencia Muestra Unitaria Puede: - Retardarse k periodos - Modificarse su escala por un factor a aδ [n-k] 0 … k Si n = 0  δ[n] = a Si n ≠ 0  δ[n] = 0 aδ[n-k] x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = (3, 0, 0, 0, …) + (0, 1, 0, 0, …) + (0, 0, 2, 0, …) + (0, 0, 0, -1, …) x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = 3δ [n] + δ [n-1] + 2δ [n-2] - δ [n-3] x[n] = ( 3, 1, 2, -1, 0, 0, …) = x[0].δ [n] + x[1].δ [n-1] + x[2]. δ [n-2] - x[3]. δ [n-3] x[n] = ( …, x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], …) = ∑ x[k].δ [n-k] ∞ k= -∞ CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN) Una Señal en función de la Muestra Unitaria
  16. 16. RESPUESTA A LA MUESTRA UNITARIA Si la muestra unitaria δ [n] se toma como entrada en un sistema de tiempo discreto, produciendo una secuencia de salida h[n] δ [n]  h[n] La secuencia h[n] se denomina respuesta a la muestra unitaria o respuesta al impulso Ejemplo: Si un sistema de tiempo discreto está definido por la ecuación de recurrencia: y[n] = x[n] +2x[n-1] + 3x[n-3] ¿Cuál es la repuesta a la muestra unitaria h[n] del procesador? Solución: Sabemos δ [n]  h[n] Por lo que reemplazando la entrada x[n] por δ [n]  la salida y[n] será igual a h[n] h[n] = δ[n] +2 δ[n-1] + 3 δ[n-3] h[n] = 1, 2, 0, 3, 0, 0, … CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  17. 17. RESPUESTA A LA MUESTRA UNITARIA En General: Para un sistema de tiempo discreto no recurrente, cuya ecuación de recurrencia es: Sabemos δ [n]  h[n] Por lo que reemplazando la entrada x[n] por δ [n]  la salida y[n] será igual a h[n] h[n] = a0. δ[n] + a1. δ[n-1] + a2. δ[n-2] + … aN. δ[n-N] h[n] = a0, a1, a2, … aN, 0, 0, … y[n] = a0.x[n] + a1.x[n-1] + a2.x[n-2] + … aN.x[n-N] La respuesta a la muestra unitaria es una característica fundamental de un sistema lineal de tiempo discreto. El conocimiento de la forma de la respuesta a la muestra unitaria de un sistema dado permite calcular la repuesta del sistema a cualquier entrada arbitraria. Esto se puede demostrar usando las propiedades básicas de homogeneidad, invariancia en el tiempo y superposición. CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  18. 18. 1º Por Homogeneidad: Si δ [n]  h[n] a.δ [n]  a.h[n] 2º Por Invariancia en el Tiempo: Si a.δ [n]  a.h[n] a.δ [n-k]  a.h[n-k] * Como una entrada en general se puede expresar como la suma de Muestras Unitarias: 3º Por Superposición: Si la entrada a un sistema está compuesta por la suma de componentes individuales, entonces la respuesta global del sistema será igual a la suma de las respuestas de los componentes individuales. • … • x[-1].δ [n+1]  x[-1].h [n+1] • x[ 0].δ [n]  x[ 0].h [n] • x[ 1].δ [n-1]  x[ 1].h [n-1] • x[ 2].δ [n-2]  x[ 2].h [n-2] • … x[n] = ∑ x[k].δ [n-k]  y[n] = ∑ x[k].h[n-k] x[n] = ( …, x[-1], x[0], x[1], x[2], …) = … + x[-1].δ [n+1] + x[0].δ [n] + x[1].δ [n-1] + x[2]. δ [n-2] + … ∞ k= -∞ ∞ k= -∞ El conocimiento de la forma de la respuesta a la muestra unitaria de un sistema dado permite calcular la repuesta del sistema a cualquier entrada arbitraria. A este proceso se conoce como convolución y a la expresión se le conoce como suma de convolución y se representa como: y[n] = x [n] * h[n] = ∑ x[k].h[n-k] ∞ k= -∞ CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)
  19. 19. Relación Entrada – Salida en Tiempo: CONVOLUCIÓN • La secuencia de salida y[n] está relacionad con la entrada x[n] y la respuesta a la muestra unitaria h[n] por la convolución de x[n] con h[n]. • La suma de convolución no suele ser una manera conveniente de tratar las relaciones de entrada – salida en la mayoría de los casos. Ya que en la práctica no sólo es imposible procesar secuencias infinitamente largas con exactitud, sino que además, la suma de convolución hace más difícil intuir el comportamiento dinámico de un procesador. Una manera de evitar estas dificultades es utilizar: La Transformada ZLa Transformada Z SistemaSistema h[n]h[n] x[n] y[n]=x[n]*h[n] CAP1: SEÑALES Y SISTEMAS DISCRETOS (INTRODUCCIÓN)

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