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PrimesIsInP

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PrimesIsInP

  1. 1. New Method Said to Solve Key Problem In Math - NewYork Times August 8, 2002 This algorithm is beautiful Its the best result Ive heard in over ten years AKS algorithm
  2. 2. PRIMES Is in P: A Breakthrough for "Everyman" 박상혁 아꿈사
  3. 3. AKS algorithm • Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena of Indian Institute of Technology • 헤드라인이 뜨기 4일 전 - 일요일, 세 명의 저자는 "PRIMES is in P" 라는 이름의 9페이지짜리 논문을 15명의 전문가에게 보냄 • 같은 날 저녁 Jaikumar Radhakrishnan 과 Vikraman Arvind 가 축하를 보내옴. • 다트머스(dartmouth) 에서 학과장을 맡고 있던 Carl Pomerance 는 다음날인 월요일 일찍 결과를 확증하고, 그날 오 후 즉흥적으로 세미나를 조직한 뒤, NewYork Times 에 알림 • 화요일, 논문을 인터넷에 공개. 누구나 볼 수 있게함. • 목요일, NewYork Times에 개제. • 금요일, 기존 결과에 대한 개선된 증명법이 올라옴.
  4. 4. Sieve of Eratosthenes • N 이 소수인지 확인하기 위해 N과 비례하는 시간이 소요 즉, O(N) • PRIMES 에서 입력길이 n은 숫자의 비트수이다. • N의 이진 비트수는 log 2 ������ = ������. • O(N) = O(2log2 ������ ) = O(2������ ) • 즉 지수에 비례한다.
  5. 5. PRIMES is in P ? • N이 소수인지 판단할 수 있는, 고정된 지수 ������ 에대해 O(������������������������ ������) 를 만족하는 결정적 알고리즘이 존재할 때.
  6. 6. Before August 2002 • 가우스 시대에 소인수분해와 소수판정 문제가 분리됨 • 소수판정의 시작점은 페르마의 소정리 모든 소수 n, 이와 서로소인 임의의 숫자 a 사이에는 ������������ ≡ ������ ������������������ ������ 가 성립한다. • 불행히도 역은 성립하지 않음.
  7. 7. Probabilistic Algorithm • 1976 Miller and Robin • 합성수 이거나, 높은 확률로 소수 • 틀릴 확률은 4−������ 보다 작고, O(������ ������������������2 ������) • PRIMES ∈ co-RP
  8. 8. Deterministic Algorithm • 1983 Adleman, Pomerance, Rumely • 수많은 이론과, 일반화된 페르마 소정리를 이용하여 완전하게 소수임을 판정함 • 2002년이 되기전 까지는 최고의 결정적 알고리즘 • 시간 복잡도는 (log ������)������(log log log ������) . (super-polynomial order)
  9. 9. And... • 최근 알고리즘은 elliptic curve 나 abelian varieties of high genus 이용 • ������ 번 반복 후, 결정적 대답을 제공. 아니면 답이 없음 • 답을 못낼 확률은 2−������ • PRIMES ∈ ZPP
  10. 10. Manindra Agrawal • 1991년 IITK Computer Science and Engineering 박사학위 • 1999. "Primality and identity testing vis Chinese remaindering" • Generalization of Fermats Little Theorem a 와 n 이 서로 소 일때, n 이 소수이면, 그리고 소수일 때만 (������ − ������)������ ∈ ������ ������ − ������ ������������������ ������ in ring of polynomials ℤ[������] • 소수에 대한 우아한 정의이긴 하지만 사용하기 어렵다.
  11. 11. Two Bachelors Project • (������ − ������)������ 대신에 이를 ������ ������ − 1 로 나눈 나머지를 이용. • r 이 x의 로그로 표현될 때, 이 나머지는 적당한 알고리즘으로 다 항식 시간 내에 계산 가능함 • n 이 소수라면, a와 서로 소인 모든 r 과 n에 대해 ������������,������ (������ − ������)������ ≡ ������ ������ − ������ ������������������ (������ ������ − 1, ������) • a=1 로 고정하고 r의 요구사항을 조사함 • r≤100, n≤1010 일 때, r 과 n 이 서로 소이고, ������������,1 (������ − 1)������ ≡ ������ ������ − 1 ������������������ (������ ������ − 1, ������) 이면, n은 소수이거나 ������2 ≡ 1 ������������������ ������ • 소수일 경우 O(������������������3+ℇ ������)
  12. 12. Two Bachelors Project • Neeraj Kayal and Nitin Saxena • ������������,1 과 기존의 소수테스트의 연관성을 조사 • 리만 가설이 옳다면, ������������,1 은 소수성 증명을 위해 2 r = 2, ..., 4������������������2 ������ 으로 제한 가능함. • 이런 방식으로 O(������������������6+ℇ ������) 인 결정적 알고리즘을 얻을 수 있다. • 이 내용이 2002.04 "Towards a deterministic polynomial time primality test" 라는 이름으로 발표됨
  13. 13. Changing the Viewpoint • ������������,������ 에서 r을 고정하고 a 가 변하게 하면?
  14. 14. AKS algorithm again.. • 1. Decide if n is a power of a natural number. If so, go to step 5. • 2. Choose (q,r,s) satisfying the hypotheses of the theorem. • 3. For a = 1, . . . , s−1 do the following: – (i) If a is a divisor of n, go to step 5. – (ii) If (������ − ������)������ ≢ ������ ������ − ������ ������������������ (������ ������ − 1, ������), go to step 5. • 4. n is prime. Done. • 5. n is composite. Done
  15. 15. And.. • Fermats Last Theorem • Sophie Germain Prime • ... • ������(������������������6 ������) • Õ(g(n)) 은 O(g(n) logk g(n)) for some k 의 축약형
  16. 16. But.. • 아직 실용성은 적다 • 이론적으로는, 즉 n이 무한대로 갈때는 빠르지만, • 실제 쓰이는 범위(512비트)의 소수 판정에는 다른 빠른 알고리즘 들이 있다.
  17. 17. 참고자료• http://www.ams.org/notices/200305/fea-bornemann.pdf• http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primalit y_v6.pdf

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