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奥数抽屉原理练习

奥数抽屉原理练习

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奥数抽屉原理练习

  1. 1. 抽屉原理
  2. 2. 某小学校共有四年级学生378名,而且年龄最大的与最小的相差不到一周岁,那 么这些学生中,有多少人同年、同月、同日生? Solution: 由于学生中年龄最大的与最小的相差不到一周岁,那么他们的年龄最多相差365 天,把365天看作365个抽屉,将378名学生看作378个物品。 Answer:在378名学生中至少有2名同学的生日相同。
  3. 3. 在新学期的开学典礼上四年级总共有293人参加,这293人中至少有多少人的属相 相同? Solution: 由于属相总共有12种,因此将12种属相看成12个抽屉。将293人看作293件物品放 入12个抽屉。 Answer:在293人中至少有25人的属相相同。
  4. 4. 据说人的头发不超过20万根,如果陕西省有3645万人,根据这些数据,你知道陕 西省至少有多少人头发根数一样多吗? Solution: 人的头发不超过20万根,可看作20万个“抽屉”,3645万人看作3645万件物品放 入20万个“抽屉”。 Answer:陕西省至少有183人的头发根数一样多。
  5. 5. 在长度是15厘米的线段上任意取6个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不 大于3厘米? Solution: 因为15÷3=5,所以将15厘米长的线段每3厘米分成一份,总共分成5份,并以此 作为5个抽屉。 根据抽屉原则1,在这条线段上任意取6个点时,至少有一个抽屉中被放入了两个 点。那么它们之间的距离一定不大于3厘米。 Answer: 是
  6. 6. 用黑、白、红三种颜色将一个2×7方格图(如下图)中的每个小方格随意涂上颜 色,而且每个小方格只涂一种颜色,同列小方格颜色不同。问:是否存在两列, 它们的小方格中涂的颜色完全相同? Solution: 用三种颜色给每列中的两个小方格随意涂色,会有以下6种情况。 将这6种情况看成6个抽屉,将7列分别放入6个抽屉中。根据抽屉原理1,至少有 一个抽屉中不少于两列。 Answer: 是,总有两列的小方格中涂的颜色完全相同
  7. 7. 在一副扑克牌中(共54张),要取出几张, ①才能保证四种花色的扑克都有? ②才能保证拿出的牌中有两张大小相等(大王≠小王)? Solution: ①一副扑克牌中有4种花色各13张,加大王、小王各1张。 首先从最不利的情况考虑,前几次分别拿出的是大王、小王和其中三种花色的所 有扑克牌,总共是2+13×3=41(张),剩下的只是第4种花色的扑克牌,那么只 需从中取出一张,既41+1=42张,就能保证四种花色的扑克都有。 Answer:总共取出42张,才能保证四种花色的扑克都有。 ②一副扑克牌中的点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12 (Q)、13(K) ,加大王、小王各1张,总共15种,以此做为抽屉。 Answer:总共取出16张,才能保证拿出的牌中有两张大小相等。
  8. 8. 一个口袋中有50个编上号码的相同的小球,其中编号为l、2、3、4、5的各有10 个。问:一次至少要取出多少小球,才能保证其中至少有4个号码相同的小球? Solution: 将1、2、3、4、5五种号码看成5个抽屉。 要保证有一个抽屉中至少有4件物品,根据抽屉原理2,至少要有5×3+l=16(件) 物品。 Answer:一次至少要取出16个小球才能保证其中至少有4个号码相同的小球。
  9. 9. 一个袋子里有一些球,这些球仅只有颜色不同,其中红球10个,白球9个,黄球8 个,蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个,试问他至少要取多少个球,才能 保证至少4个球颜色相同? Solution: 把4个颜色看作4个抽屉。 要保证有一个抽屉中至少有4件物品,根据抽屉原理2,至少要有3(件)物品。 但蓝色抽屉只有2个球,所以至少要取(3 + 3 + 3 + 2) + 1 个球。 Answer:至少要取出12个球才能保证其中至少有4个球颜色相同。
  10. 10. 某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色, 其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:最少必 须从袋中取出多少只球? Solution: 需要分情况讨论,因为只知球与白球的和是10只球,无法确定其中黑球与白球的 个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是: 6*4+10+1=35(个) 如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是: 6*5+3+1=34(个) 如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是: 6*5+2+1=33 (个) 如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是: 6*5+1+1=32 (个) Answer:最少必须从袋中取出35只球。
  11. 11. 把154本图书分给四年级某班的同学,如果不管怎样分,都至少有一位同学会分 得4本或4本以上的图书,那么这个班最多有多少名学生? Solution: 此题是逆用抽屉原理2,要求有多少个抽屉。由“至少有一位同学分得4本或4本 以上的图书”,可知m+1=4,那么m=3。 因为154÷(4-l)=51……l,那么这个班最多有51名学生。 Answer:这个班最多有51名学生。
  12. 12. 四年级某班有57名学生,他们分别购买了A、B、C三种学习资料的一种、两种或 三种。问至少有多少名学生购买的学习资料的种类相同? Solution: 学生购买学习资料的不同情况有,只购买一种学习资料的有3种情况;购买两种 学习资料的有A、B,A、C,B、C这3种情况;购买三种学习资料的有1种情况。 共有3+3+1=7(种)情况,将这7种情况作为7个抽屉。 根据抽屉原则, 57 ÷ 7 = 8 … 1,至少有 8 +1 名学生。 Answer:至少有 9名学生购买的学习资料的种类相同。
  13. 13. 学校开办了外语、音乐、体育、美术四个课外活动小组,每个学生最多可以参加 两个(可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于6名同学参加 课外活动小组的情况完全相同? Solution: 参加学习班的情况有:不参加活动小组有1种情况,只参加一个活动小组有4种情 况,参加两个活动小组有外语和音乐、外语和体育、外语和美术、音乐和体育、 音乐和美术、体育和美术6种情况。共有1+4+6=11(种)情况。将这11种情况作 为11个抽屉。 根据抽屉原则2,要保证不少于6名同学参加活动小组的情况相同,要有11×(6 -1)+l=56(名)学生。 Answer:至少要有56名学生,才能保证有不少于6名同学参加课外活动小组的情况 完全相同。
  14. 14. 有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人 能取得完全一样? Solution: 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法。将这10 种情 况作为10 个抽屉。 根据抽屉原则,要保证有3人能取得完全一样,有10×(3-1)+l=21人去取。 Answer:至少有 21人。
  15. 15. 任意取出多少个自然数后,才能保证在这些自然数中至少有2个数的差是9的倍数? Solution: 9的余数有0、1、2、3、4、5、6、7、8。总共9个,以这9个余数做为抽屉。 所以选取9+l=10(个)自然数放入这9个抽屉中时,则至少有一个抽屉里放了不 止一个数,也就是说至少有两个数除以9的余数相同。这两个数的差必能被9整除。 Answer:至少取出10个自然数。
  16. 16. 在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除? Solution: 3的余数有0、1、2。总共3个,以这3个余数做为抽屉。 所以选取3+l=4(个)自然数放入这3个抽屉中时,则至少有一个抽屉里放了不止 一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。 Answer:是。
  17. 17. 在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数? Solution: 3的余数有0、1、2。总共3个,以这3个余数做为抽屉,会出现两种情况。 第一种:有三个数在同一个抽屉里,即达三个数除以3后具有相同的余数。因为 这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能 被3整除。 第二种:至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个抽屉里 各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0、l、2。因此这三个数之和能被3整 除。 综合上述两种情况,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。 Answer:是。
  18. 18. 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最 少要摸出几只手套才能保证有3副同色的? Solution: 可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉。 要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸 出5只手套。 这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只 手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推,要保证有3副同色的,共摸出 的手套有:5+2+2=9(只)。 Answer:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。
  19. 19. 有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只,把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋 中摸袜子,问: (1)至少要摸出多少只才能保证摸出1双袜子?(颜色相同的两只是一双) (2)至少要摸出多少只才能保证摸出颜色不同的两双袜子? (3)至少要摸出多少只才能保证摸出两双颜色相同的袜子? Solution: (l)根据抽屉原理,把三种颜色看作三个“抽屉”,则至少要从抽屉中取出四 件物品,才能保证有两件物品是从同一个抽屉中取出的。 (2)从最不利的情况出发,即每次取出的袜子总相同,这样取出6只颜色相同的 袜子相当于仅取出一双袜子,还要从剩下的袜子中选出一双来。此时还剩下两种 与前6只颜色不同的袜子。问题转化成与第(1)问相同的情况,按照第(1)问 的分析可知,只要再取出3只袜子就能保证又取出一双袜子,且与前面1双的颜色 不同。这样就要取出6+3=9(只)袜子才能保证取出颜色不同的两双袜子。
  20. 20. Solution: (continue) (3)与第(2)问相同,仍先从最不利的方面考虑,即:取出的3双袜子颜色各 不相同,即6只袜子刚好是每种颜色的袜子各1双。那么剩下的就是要从余下的三 种颜色的袜子中选出一双来,不论选中哪双都会与前面选出的3双中的一双颜色 相同。由第(l)问的分析可知,这时需要摸出4只才能保证,所以共需要有 6+4=10(只)袜子才能保证取出两双颜色相同的袜子来。
  21. 21. 有120名学生从A、B、C三人中自己投票选举一人做三好学生,投票时每人只能投 一次,且只能选一个人。得票最多的人当选。统计票数的过程中发现,在前81张 选票中,A得21票,B得25票,C得35票。在余下的选票中,C至少再得几张选票 就一定能当选? Solution: 剩下未统计的选票有:120-81=39(张)。 在已统计出的选票中,C得票最多,其次是B,B比C少得35-25=10(票)。 从最不利的方面考虑,让接下来的10票都给B,还剩下39-10=29(张)选票。这 时B比C的票数相同。 根据抽屉原理2,把B、C两人做为2个抽屉,由于29÷2=14……l,那么C至少再得 14+1=15(张)选票就一定能当选。 此题在选取抽屉的过程中要考虑在实际情况中A得票最少,因此制造抽屉时A不被 考虑在内。 Answer: C至少再得15张选票就一定能当选。
  22. 22. 在一次羽毛球单打比赛中,共有14名选手参加了比赛,由于比赛采取循环赛,所 以当比过18场比赛后,有一名选手至少已经参加了3次比赛。你知道为什么吗? Solution: 由于比赛是两者之间的较量,所以每赛完一场就相当于有两名选手参加了比赛, 这样18场比赛后就相当于有36名选手参加了比赛。 而实际上仅有14名选手,如果把这14名选手作为14个抽屉,把讨论出的36名选手 放入14个抽屉中,由抽屉原则2,36=14×2+8,n=14,m=2,m+1=3,那么至 少有一个抽屉中放入了3件物品。 那么18场比赛后,至少有一名选手赛了3场。
  23. 23. 有桔子和苹果若干个,随意将它们分成五堆,能否找出这样的两堆,使桔子和苹 果的总数都是偶数? Solution: 对于每堆桔子、苹果的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以它们的搭配只有 下列4种情况:(偶,偶),(偶,奇),(奇,偶),(奇,奇)。将这四种 情况作为4个抽屉。 现有五堆水果,根据抽屉原则1,可知这5堆水果里至少有2堆同属于上述四种中 的一种情况。 由于奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,所以分在同一抽屉中的两堆水果,这些 水果的总数和为偶数。

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