Algeblocks politabla de dreyfus

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El método del algeblocks sirve para resolver ecuaciones cuadraticas sencillas mediante una bonita y animada forma de apren

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Algeblocks politabla de dreyfus

  1. 1. Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 9 Introducción El material didáctico puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se puede representar geométricamente una expresión algebraica de segundo grado. Está inspirado en una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 19631 para la construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo. Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones de segundo grado, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2 (utilizados en Estados Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de binomios, el cuadrado de un binomio de 1er grado, etc.) a la factorización de trinomios de segundo grado. Su aplicación a la resolución de ecuaciones de segundo grado, constituye un método mixto (geométrico y algebraico) de resolución que tiene entre sus antecedentes la factorización geométrica de trinomios de segundo grado y el método de completar cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemático árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr wa´l muqqabala”, por lo que puede ser considerado un método de resolución con raíces interculturales que contempla el desarrollo histórico de las matemáticas. El método de resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la ecuación que se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada o en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida de las dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de piezas del puzzle algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las hubiese, se obtienen aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de resolución (como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz). 1 Citado por Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instrucción, (pag. 119). 2 Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics Teacher, Vol. 93 issue 6, september 2000, (pag. 462-520).
  2. 2. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 10 1. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con puzzle algebraico. 1.1. Descripción del material didáctico puzzle algebraico. Llamamos puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados y rectángulos que representan: el cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva. el rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva. el cuadrado de área X2 de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva. Cuadrado de área 1 Unidad positiva Rectángulo de área X Tira positiva Cuadrado de área X2 Placa positiva Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una versión simplificada de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el nombre, y con las que sólo se pueden representar trinomios de segundo grado de términos positivos. En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con términos positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las versiones negativas de las piezas anteriores. Cuadrado de área - 1 Unidad negativa Rectángulo de área – X Tira negativa Cuadrado de área - X2 Placa negativa Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados. 1 1 1 X1 X X2 X X - 1 1 - 1 - X- 1 X - X 2 X - X
  3. 3. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 11 1.2. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado mediante un conjunto de piezas. Toda expresión de 2º grado en forma general completa ( cbxax2 ) o incompleta ( bxax2 o cax2 ) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del puzzle algebraico. Esta representación geométrica se realiza término a término. En concreto: 1) El término cuadrático ( 2 ax ) se representa mediante: a) Una placa o conjunto de placas 2 X cuando 2 ax es positivo. Ejemplos: x2 2x2 3x2 4x2 ··· b) Una placa o conjunto de placas 2 X , cuando 2 ax es negativo. Ejemplos: - x2 - 2x2 - 3x2 - 4x2 ... 2) El término en X (bx ) puede ser representado mediante: a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X , cuandobx es positivo. Ejemplos: x 2x 3x 4x 5x ··· b) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos grupos de tiras X , cuando bx es negativo. Ejemplos: -x - 2x - 3x - 4x - 5x ... X2 X2 X2 X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 -X2 X2 X2 X2 X2 X2 X2 x xx x x x xx x x x xx xx -x-x -x -x -x -x -x -x -x-x -x -x -x -x -x
  4. 4. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 12 c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y X como se indica en las figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bx que queremos representar. Aquí se aplica el principio: “pares de valores opuestos se anulan” Ejemplos: 2x xxx 224 - 3x xxx 34 - x xxx 54 ... 3) El término independiente (c) se representa mediante: a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término independiente es positivo. Ejemplos: 1 4 4 5 8 ... b) Una unidad o conjunto de unidades negativas ( 1) cuando el término independiente es negativo. Ejemplos: - 1 - 4 - 7 - 9 - 12 - 12 ... Ejemplo: La expresión de 2º grado completa 352 2 xx se puede representar por las piezas: 2 2x x5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X2 X2 111X XX X X -x -x xx x x x -x-x -x -x x x x x -x-x-x -x -x -1 -1 -1 -1-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
  5. 5. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 13 1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle algebraico. Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al menos una placa (X2 ) representa una expresión de 2º grado. Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas. Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión: 1112 xxxxx Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada: 1.4. Utilidad del puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para obtener expresiones equivalentes más simples. A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes (identicas) a la expresión general de 2º grado inicial representada. Para fundamentar y describir este proceso de obtención de expresiones equivalentes desarrollaremos dos ejemplos. Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 232 xx en forma factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa. a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 232 xx b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente: X2 -1 -1-1x -x -x -x xX2 11xx X2 x x 1 1 x 322 xx
  6. 6. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 14 c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes: Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones: El área del rectángulo es igual a la suma de las áreas de las piezas que lo forman: Área rectángulo = 112 xxxx Agrupando términos, tenemos: El área del rectángulo es el producto de las dimensiones de su base por su altura: Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales. Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo. Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 122 xx en forma de binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del puzzle que la representa. a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 122 xx b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre varias combinaciones el siguiente: Área rectángulo = 232 xx Área rectángulo = 1x.2x x2 +3x+2 = (x+2).(x+1) xxX2 1 1x++ + + + X+2 X+1 1 X X 11 Área rectángulo = base . alturaÁrea rectángulo = Suma área de las piezas Área = (x+2).(x+1)Área = x2 +3x+2 = X2 1-x -x X 1 X 1 X2 1 -x -x
  7. 7. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 15 c) Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente: Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones: El área del cuadrado como suma de las áreas de las piezas que lo forman es: El área del cuadrado como producto de sus dimensiones o como el cuadrado del lado es: Conclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales. Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la construcción de un cuadrado. 2. Construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico: Características y condiciones. La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes más sencillas de expresiones de 2º grado en forma general. Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos. Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de ellos nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas. En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción de rectángulos y cuadrados válidos. Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del puzzle que representa la expresión algebraica de 2º grado: 62 xx Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería: En este rectángulo es imposible determinar las dimensiones (medidas de la base y de la altura). Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas de los lados paralelos son distintas cuando deberían ser iguales. Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener una expresión equivalente. Área cuadrado= 122 xx Área cuadrado= 2 11·1 xxx 22 112 xxx -1 -1 -1-1 -1-1 X2 -x -xx xx -1 -x x X2 -x -1 -1 -1 -1 -1 x x Área = (x-2)2 Área = x2 -2x+1 =
  8. 8. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia. ____________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 16 2.1. Tablero para la construcción de rectángulos y cuadrados con “puzzle algebraico” La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la determinación de las dimensiones, se realizará sobre un tablero de construcción o “esquina” en cualquiera de sus dos versiones: superior o inferior. a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas 2 x y para determinar las dimensiones de las construcciones. b) En las barras horizontal y vertical, independientemente del tablero adoptado, anotaremos las medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido. 2.2. Reglas básicas de agrupación y combinación de piezas. La construcción de figuras con puzzle algebraico se realizará siguiendo unas reglas de agrupación y combinación de piezas. Para ilustrar la presentación de estas reglas partiremos del rectángulo del ejemplo anterior, construido a partir de la representación de la expresión: 62 xx . La primera regla es: Medida de la base Medidadelaaltura Punto de partida para colocar las piezas X 2 para determinar las dimensiones de la construcción X2 Punto de partida para colocar las piezas X 2 para determinar las dimensiones de la construcción Medida de la base Medidadelaaltura X2 -x -xx X2 -1 -1 -1-1 -1 -1 x x 1ª Regla Las unidades tienen que estar agrupadas en un único bloque, en forma de cuadrado o de rectángulo. Esquina superior Esquina inferior
  9. 9. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia. ___________________________________________________________________________________________________________________________ Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 17 La segunda regla es: La tercera regla es: Aplicando las tres reglas, obtenemos el siguiente rectángulo, cuyas dimensiones se indican: En resumen, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas, o de forma abreviada las reglas de construcción, serían: X2 -x xx -1 -1 -1 -1 -1 -1 x -x 3ª Regla Las tiras positivas X y negativas –X, no pueden estar “mezcladas” entre si. No pueden combinarse en un mismo bloque 2ª Regla La placa X 2 y el “bloque de unidades” tienen que estar situadas en diagonal No pueden situarse en la misma fila o columna X2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 x -x x x-x X2 -x xxx -x -1 -1 -1-1 -1-1 X+3 X 2 1ª Regla: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando un rectángulo o un cuadrado. 2ª Regla: La placa X2 y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal. No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila. 3ª Regla: Las tiras X y –X, no pueden estar “mezcladas” entre si en la misma fila o columna.
  10. 10. Ministerio de Educación Curso de Postgrado. Tercer Ciclo de Educación Básica. Especialidad Matemática. Curso: Álgebra de los Números Reales Julio de 2010 POLITABLA DE DREYFOUS 1 1 1 1 1 x x x x x y y 1 1 1 1 1 x x x x x y y
  11. 11. Conozcamos la Politabla Dre*yfous@y multipiiquemos f .,.-.- ,Objetivo: Conocer como utilizar la Politabla Dreyfousa a tnves de rnultipiicaci6n , ,,,' ?- Para empezar a trabajar es necesario que tengas la Politabla frente a ti. X continuacidn aparece la Figun I que rnuestn Ias rnedidas de Ias longitudes de cada espacio. Es importance que siempre recuerdes que la longitud miis pequeiia es la unidad. la que le sigue en tamaiio es la x y la mas larga es la y. El rnismo arreglo de longitudes esta en la pane vertical y horizontal. Figun 1 Empeccmos con el siguiente cjcmplo: rnultipliquemos 2 por 3. Primero. rornemos una iiguilla ilzul clara y utilizando las longitudes horizontales. cstlre la ligu~llaclc i~qulrrclaJ derccha Ilasta cubrir dos unidadrs. iomo sc: Inuestra cn 1a Figura 2.
  12. 12. Es imponante que ahora intentrs hncer varios ejercicios por tu cuenta-.uti1iz;rndola Politabla p m que de esa forma la aprendils a uliibr lo mis promo posibls. - . / + . Multiplica 10s siguientesnumeros: . 't -A 'A . r % . . .1) 3 veces 3 2)4por5 Ah(1r.l. tcncmo:. quc hoccr lo nilsnli)cot1 cl hcgundo factor:cl 3. Esto o.cl prlrlicr lnctor sc COIIK.:I CII rl lndo tlor~ront;lly cl *cpulltiocn cl l;ldc, vcnical. kt1 I;! Figuc: ? sc pucdc vcr quc .. 1;1 ~litcncccio~idc ];I do I ~ ~ u i l l u tic), d;~cl prtduc~ir.Lrl 1;1 F I ~ U C I;I UOIIIIIIU~CIOIICI ~ r c ; ~ . xi)n~hrc;ld;iindic;~cl productu.chit) c. 0 -A: . . f f ~ ld flk. t i I 1 1 I 1 I I 1 1 ,)(3" b I , [ 1 - b#& I 1 I I I -10 2 Multipliquemos lado horizontal. como s & 4 lado vertical. cb# * . . 3por x. Recuerda. el primer factor. en este caso 3.se coloca e muestra en la Figun 3. Ahora colocamos el segundo factor ~ C U Ae; la contestation a iste ejercici 3% 1 ' I I I D n m e m 11 ' : ! nr I L I 1
  13. 13. I < . . . h1ultlpilquenloh( x + 1 I 1x1: t - +2 : I*nnwriimcntc rcprcxntcnlo. 1 + I en 1;i pan; hoy=izont;ll l u q o + 2 J:r pan:- ~ c n ~ c z l7r4t;l de hnccrlo sln mlrw 1;1 F1gur;i 5 quc iluh[l..: rl producio. - # .,, ;A"--. ; b *,,* <.2 A! .iF * . '-. .I ~CUAIes la contesracionfinal del ejerdcio? Si-deseas utilizar10s Algdmkspan detcrminarel resultado final puedes hacerio. pero tmta de identificarlas figurasque esdn dentro del h a sornbreada. Es imponante w stiialarque a1 multiplicar(x +1)tx +2)hay un patron. Ahora intents haccr 10s siguientcs ejerciciosprimer0 con la Politablap a detnminar el patron y luepo sin hacer uso de la mism. !- Ejercicios: Multiplique
  14. 14. Ahon vamos a multiplicarexpresiones con signos. Para multiplicarexpresionescon signos vamos a utilizar las liguillasoscuraspara reqmsenm lo negativo. - p , ,- . . ,.. .:!. '. . .t . " Antes de ernpezara trabajarcon In dtipi&.zsih dc ndrnenu con signoses ix&~nte repasar las reglas de 10s mismos. Contesta10s siguientesejercicios: r , 3) 3 - 6 1 4) Positivo por Pasitivof + .r -5I . , - .. - - . I ' : 5) PositivoporNegativo ' ' 6) Negativo por Positivo '.. w-'. * 7) Negativo por Negativo .. .. .. . - * 9 .-r. " -, * % , . r * , . 1 ., 1 . t Y !3a2u .'.- ,a ,. .". * . .L.; C ' - *- "r a L, . . . .-I . *2 por -3. Primero repesen'tamos' ben la parre horizontaLcon una liguillacolor azul ciaro. Luego vmos a representar -3en la parte vertid con una iiguilla azul oscuro. Ffjate que a1 rnultlpiicar un numero positivo poi uno negativo tenemog dos laxios dei rectjngulo con liguillas azul ciaro y dos lados azul oscun, esto nos indica que el resultado va a ser negativo ; pues 10s lados dei enmcion de 'a-3. +2 - * ,.. , .% :, . . Figura (7 , .I 4 ,'A . * Y. - 4 I:ii;i[c ~ L I C1;1 I I I [ L ' ~ S C . C C ~ ~ ~ ~1;1 omhrc3rno con cl color osctlrt, Ir, cual qu~cn:~llu.lr'b I!IIC I ~ c f l c t r l o tin n u n i c r o I I C C ~ I I V Opqr un!) p o u ~ t t ~ i )C! rcxulla~10tlcnc I t n o ~IL' IICC~IIV(I. b Q ..
  15. 15. , - . . . f.. .. . P-
  16. 16. La divisidn cs in opernci611opuesta la Illlllliplicaci6ll. [lsto es. ailora ~ C I I L ' I I I ~ Slil i~~l~rscccitil~ dc los ~nclores.Nurstru imh;lja collsistirii cn ohteller cl olro inelor: el c ( r i c ~ ~ ~ e . ElawlQl 4x~ i ~ i d ~ ~ ~ ~ ~-;;-. Parat~nceresto, prii~~erocoloca~~~osel tlivisor ( en eslc c:lxo 2) en cl L lado horizontal corrlosc tnuestra ell la Figur;) 10. Ahorn lc~lc~llosque ohtcncr 4 x r l c ~ ~ t ~ oclc 1;) intersecciGn de Ins ligllillns. Para lOgrdrl0 estirilrnlllo~In ligllilli~hilsla ohtcllcr 4 fccl:i~lpi~lo~: cada ullo con ull lado 'lr Ji~ncnsicin1 unidird y cl otro I;lrlo x ullid;dcs. La corl~c~;rcitintlc la divisi611se obliene olrscrv;lntlo la pilrll. c l ~ill.rih:l. !ill CclC C;lSO Cl filctol-clllc 1~114~.;11llo'; Figure 10 2 "lil divisic',ndc x +2x cmllllYx. ~ccllcld:~clue 1Jri11lcl.orcyrcsc~rr:~~llorel tlivisor c11la p;lrlc horizo~lt~ly de11tro dc I* illlerscci.ifin ':I~ilos;I oh~cncrx +2u.
  17. 17. I . . I . , , x+Q ,. . . .- Co~*&?z'.' v A+... j r- *, ' 3 " 3' . :. . * . ?c . 9.' . , . .. . 1 . < . . -- . F , ' . ... . _.. .. ,: , .,: . -. . , , . . . ... . ...> < ,.. I - . . +. . 3x + 3 Divide . Para haccr csto tcncmos quc cmpcznr rcprcscntandocl divisor (cl x + l tlcnominador)colno uno dc. los Iilctorcs, i'rinrcro utilizamos una iiguilla paril cl divisor colno niucstra I ~ Isiguicrlrc prifica. 3rd 12 . .. . f El siguiente paso es obtener 3x +3 dentrode la Politabla. Comenzamosobteniendo 3%. Esto es.
  18. 18. Figura 13 Divide (x2+2x) por (x +2). Aqu1 v:llllos n sclr~~irt-I ~iiislno111Ccttklo~ I I Ct~tili~:~li~o< anlerionne~~le.I'rilnero represellr;lllIosx +2,esto cs: Figura 14 Segundo,ter~enlosque obterler xz. Al ob~enerx2consepuinlostanlbifII Ins 2x quc l~ecesitdba~noscomo se represenla en la figura 15.
  19. 19. Dtvtdando Vcmos que la contestacitin clc la divisicin dc x? +2x p r x +2 es x. Divide (x' -t3x +2 ) por (x +2). Dc igual forma que en el ejen~ploanterior. prirncro rcprcscntamos x +2 . Esto es. Ahota tenemos que obtcner x2,La figura 17muestra lo que tenemos a1obtener 2.
  20. 20. Figura 18 ' -. ' .- . -. .. .., . . > . X .. . -. . . : . 7 . , . rn . * ' ' . . -A L . . I . . . . . -. ' 'c :. , .... , . . . . , . .-... -". . ' t?, - . . --., . I K x + 2 DIVISC?',' ,. s . ., - ,, 9.,.t Ahora dtbcmos prestar atenci6n a la foma en que lo hicimos. Rimero representarnos x +2, entonces queriamos obtcncr 9 y utilizamos una liguilla para obteneria. Una vez rtpresentamos la x corno paste de un cociente. entonces vimos que teniamos x++2x y d d b a m o s 2 +3x +2, por lo cual s6lo nccesitAbamosaiiadir x +2. Finalmtntc aiiadimos 1 unidad mis a1 cociente y el resultado fue x +1.Vearnos el algoritrno que podemos desarrollar paniendo de estos pasos. Figura 17 *u . I El dividendo que queremos obtener es x2 +3x +1 y hastn el mornenlo hernos logrido x2 + 2x. Fijate que para completar el dividendo necesitamos x +2 !una x mi3 2 unidades). Vemos que si aiiadimos 1 unidad al cociente obtenemos lo siguiente: . .x + l . -., I ~.4.. D b ' i.-... I . - ' * I : . ! .+ rcl. -...~.t .: b.. .,'*..?. I % : ,. . . . '< '.. . :,x .,
  21. 21. Factorizaci611de polino~i~ius ()~)JCI~VO: Fictori~iupolino~~lios. 1.a iac'tori~3c'iti11cs bic111)1reciOi(, ill ~ ~ O C C S Odc (livisihn. Lib tlifcrrncia cstriba ~ I Iclue en la ~ l i isi~ir~y3 sc tic11eLIIIO d(: Ios I'ilct~rcs.1l1ic111r5s(111~:en IU t'ilc10ri~aci6n110 se ticne ninguno. I:ac[oricc: j x + 6 . 1.0 C I L I ~11~cct,iti(r1~osI I ~ c ~ I -cs tzllc'r 3x t 6 611lu IILLII~interior dt:la Iai,lr~abla.1:bltr cs. I ~ I I ~ I I ~ O S~ U CI L ' I ~ C ~3 I . L ' C [ ~ ~ I ~ ~ L I I ~ ) S~ 0 1 1;~CC;Lx Y 6 urlidailes ~uadriida~. I'r.i~~lcrob i ~ ~ t l i ~ c r ~ ~ o s10s 3 rci'tii11gl1lt)bC O I ~ X. L~t'gl)~ C ~ . C I ~ I O SO ~ I C I I ~ L .ILLS6 ~ ~ l i d i i d ~ ~ ,pero IL'IIL'II~O:, L ~ I Cii)r111;1rU I ~rcctii~~gul~.Si 11 exl)resi611qutf 110s d;ln ILO furn~aUIL rectiingulu, c~btoacesIro fictorina. A cil~rticlu;rci&lLCIIL'IIIOS,~'11la rcgihn ~ ~ t l t b ~ . ~ a d i t ,3x*+6 y 10s L'~~CIOI.CS ~ O I IIat, Iongitir~lcsdc catla lado ~lclrccli~~gi~lt).Esto sc ilustra CII la Cigurir yur: aparzcc a ~.t~ri~i~lt~ac'ihr~.
  22. 22. x Vcrnos quc en In I'ncrc~riznciBndc x' + 2k. utlo dc los fnclorcs cs x y el otro cs x +2. lados trnrcs dc los Fipura 21 Factorice r :+ 3r + 4. Nucvamentc. recuerda que para obtencr r2nccesiws x en nrnbos Adernis. para ohrener 2 necesitnrnos rcncr dos unidadcs cuadndas. Es lrnportante quc por tu cuenta de factorizarlo. Fijate que la un~caforma es ~cniendouna unidad en uno , facrorcs y dos unidades en cl otro factor. x + 2 J x + l

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