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Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi

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  • Muchas gracias Mónica. Una presentación estupenda, muy útil.
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Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi

  1. 1. Ecuación de la recta<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  2. 2. Ecuación de la recta<br />Las ecuaciones del tipo<br />y = mx+ b<br />representan rectas en el plano<br />2<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  3. 3. Ejemplos<br /><ul><li> y= 3x+8
  4. 4. y= x – 7 </li></ul>Ecuación explícita de la recta<br />Llamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión <br />y = mx + b<br />En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:<br />m = pendiente<br />b = ordenada al origen<br />x = variable independiente<br />Recuerda: las expresiones de la forma <br />y = mx + b<br />representan rectas en el plano<br />y = variable dependiente<br />3<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  5. 5. Pendiente<br />En las ecuaciones <br /><ul><li> y = 4x , la pendiente es m = 4</li></ul>y = 4x<br />y = 3x<br />y = 3x , la pendiente es m = 3<br />y = 2x<br />y = x<br />Observa las siguientes gráficas<br />y = 2x , la pendiente es m = 2<br />Se puede observar que la pendiente m determina la “inclinación” de la recta respecto del eje X<br />y = x . la pendiente es m = 1<br />4<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  6. 6. Ordenada al origen<br /> 2<br />1<br /> 0<br />-1<br />y = x + 2<br />y = x + 1<br />y = x - 1<br />Observa, en la gráfica<br />La recta de ecuación <br />y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2<br />y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1<br />y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1<br />La ordenada al origen b determina la intersección de la recta con el eje Y<br />5<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  7. 7. <ul><li> y = x </li></ul>Veamos un ejemplo:<br />Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:<br />m = 3<br />y = 3x - 11<br />b = -11<br />m = -5<br /><ul><li> y = -5x + 20</li></ul>b = 20<br />m =<br />b = 0<br />6<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  8. 8. Otros ejemplos de rectas<br /><ul><li>Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.
  9. 9. La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
  10. 10. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
  11. 11. Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
  12. 12. La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
  13. 13. Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.</li></ul>7<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  14. 14. Otras formas de ecuaciones lineales<br />Forma implícita:Ax + By + C = 0<br />Forma segmentaria:Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es:<br />8<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  15. 15. FORMA SEGMENTARIA<br />p<br />q<br />9<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  16. 16. Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y luego identificar my b<br />Ejemplo 1:<br />Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0<br />Se despeja y <br />(de la misma forma que se despeja cualquier ecuación)<br /> 2x + y = 0 + 8<br />y = -2x + 8<br />Luego, m = -2 y b = 8<br />10<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  17. 17. Ejemplo 2: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0<br />Despejamos y<br />4x – 8y + 16 = 0<br />4x + 16 = 8y<br />m =<br />b = 2<br />11<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  18. 18. Ejemplo 3: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación <br />Despejamos y<br />12<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  19. 19. Ejercicio 1:Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas:<br />g)<br />13<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  20. 20. Cálculo de la pendiente de una recta<br />
  21. 21. Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta <br />(x1, y1) y (x2 ,y2 )<br />la pendiente m<br />queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas<br />y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos,<br /> es decir:<br />15<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  22. 22. Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )<br />la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas<br />y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:<br />(x2 , y2)<br />y2 – y1<br />m =<br />y2 – y1<br />x2 – x1<br />(x1 , y1)<br />x2 – x1 <br />16<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  23. 23. (x2 , y2)<br /> y2<br />y2 – y1<br />(x1 , y1)<br />Cálculo de la pendiente de una recta<br /> y1<br />x2 – x1 <br /> x1<br /> x2<br />17<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  24. 24. Ejemplo 1 <br />Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)<br />x2<br />y2<br />Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2<br />x1<br />y1<br />12<br />y2 – y1<br />14 – 2 <br />m =<br />=<br />=<br />= 6<br />2<br />x2 – x1<br />9 – 7 <br />Reemplazamos estos valores en la fórmula<br />18<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  25. 25. Ejemplo 2<br />Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)<br />x1<br />y1<br />x2<br />y2<br />Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2<br />-4<br />y2 – y1<br />-3 – 1 <br />-2<br />m =<br />=<br />=<br />=<br />14<br />x2 – x1<br />7<br />9 – (-5) <br />Reemplazamos estos valores en la fórmula<br />19<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  26. 26. Ejemplo 3 <br />Encontrar la pendiente de la recta del gráfico: <br />En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:<br />( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)<br />(0,4)<br />x1<br />y1<br />x2<br />y2<br />(5,0)<br />Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2<br />y2 – y1<br />0 – 4 <br />-4<br />m =<br />=<br />=<br />x2 – x1<br /> 5<br />5 – 0 <br />Reemplazamos estos valores en la fórmula<br />20<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  27. 27. Ejercicio 2<br />I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:<br />A) (3 , -6) y (-2 , -2)<br />B) (7 , -9) y (0 , -1)<br />C) (-3 , -4) y el origen<br />D) (3 , -4) y ( 2 , -6)<br />21<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  28. 28. A) B)<br />II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas:<br />22<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  29. 29. Puntos que pertenecen a una recta<br />
  30. 30. 2<br />1<br /> 0<br />-1<br /> -1 1 2 3<br />¿Cómo determinar cuando un punto pertenece <br />o no pertenece a una recta?<br />24<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  31. 31. ¡Muy sencillo!<br />¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y) en la ecuación y = mx + b!<br />Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)<br /> pertenece a la recta y = -3x + 6<br />(1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación<br />= -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para<br /> verificar si hay equilibrio entre <br /> ambos miembros <br />3 = -3 + 6<br />3 = 3<br />Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la recta y = -3x + 6<br />25<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  32. 32. 3 = -2 + 1<br />3 = -1<br />Ejemplo 2: <br />Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1<br /> (-1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación<br />= 2• (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para<br /> verificar si hay equilibrio entre <br /> ambos miembros <br />Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a la recta y = 2x + 1<br />26<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  33. 33. Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la recta dada<br />A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1<br />B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3<br />C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0<br />27<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  34. 34. Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano<br />(x2, y2) <br />y = mx + b<br />(x1, y1) <br />
  35. 35. P(x1 , y1)<br />Ecuación de la recta que pasa por dos puntos<br />Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2 , y2 ) dos puntos de una recta. <br />En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posible<br />determinar su ecuación.<br /><ul><li> Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
  36. 36.    Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir  </li></ul>y<br />Entonces:<br />Q(x2 , y2)<br />que también se puede expresar como:<br />R(x , y)<br />29<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  37. 37. ¿Y cómo usamos esta fórmula?<br />Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10)<br />x1<br />y1<br />x2<br />y2<br />Identificamos x1 , y1 , x2 , y2 <br />y – y1<br />y2 – y1<br />=<br />Reemplazamos estos valores en la fórmula<br />x– x1<br />x2 – x1<br />y – 4<br />10– 4<br />Efectuamos los “productos cruzados”<br />=<br />x– 2<br /> 5– 2<br />y – 4<br />2<br />=<br />y – 4<br />6<br />x– 2<br />1 <br />=<br />x– 2<br />3 <br />y – 4 = 2x - 4<br /> ordenamos<br />y = 2x – 4 +4<br />30<br />Prof. Mónica Lordi<br />Y tenemos nuestra ecuación<br />y = 2x <br />
  38. 38. Otra forma de enfrentar la misma tarea<br />Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , -4) y (6, 12)<br />Identificamos x1 , y1 , x2 , y2 <br />x1<br />y1<br />x2<br />y2<br />y2 – y1<br />12– (-4)<br />16<br /> 4<br />Se calcula la pendiente:<br />=<br />=<br />m<br />=<br />= 4<br />x2 – x1<br /> 6– 2<br /><ul><li> Se reemplaza m en la ecuación y = mx + b</li></ul>y = 4x+ b<br /><ul><li> Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuación y = 4x + b</li></ul>(2 , -4)<br />-4 = 4•2 + b<br />y despejamos b<br />-4 = 8 + b<br />Finalmente reemplazamos ben<br />y = 3x +b , quedando y =3x–12<br />-4 – 8 = b<br />-12 = b<br />31<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  39. 39. Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que pasa por los puntos<br />A) (3,5) y (2, 8)<br />B) (-2 , -3) y (5 , 3)<br />C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)<br />D) (-1, 1) y el origen<br />32<br />Prof. Mónica Lordi<br />
  40. 40. II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos<br />33<br />Prof. Mónica Lordi<br />

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