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Círculos áureosHemos hablado de segmentos y rectángulos de proporciones áureas. Peros, ¿sería posibledividir un círculo en...
PentagonoVamos a ver detalladamente tal relación, partiendo del hecho de que los triángulos ABC yBCD son semejantes tenemo...
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Triángulo AFGComo 72º = 180º - 108º, se verifica que sen72º = sen108º.En consecuencia podemos establecer las siguientes pr...
Este pentagrama ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos (rojo, azul), (azul,verde) y (verde, morado) tienen p...
Phi en la naturalezaPhi pasó a ser llamada la divina proporción por ser encontrada en la naturaleza. El hombreno solo la h...
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Leonardo es un gran apasionado de las matemáticas y como tal lo demuestra en sus obrasde arte. En el esquema se puede ver ...
Inteligencia que ideó nuestros cuerpos sobre la base del programa genético de laNaturaleza, lo hizo a conciencia y con sab...
Violín Stradivarius       En su Quinta Sinfonía, Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección       áurea. El ...
Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 4...
naturaleza incluye a phi en muchas de sus creaciones, las cuales parecen imperecederas enel tiempo. Por tanto parece obvio...
en la teoría del segmento áureo, visto en este documento. En la siguiente imagen, puedeapreciarse, como Notre Dame se apoy...
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La relación de las pirámides con el número Phi viene expresada, de la siguiente forma:Situemos varios puntos en la imagen ...
hay entre Phi y el edificio de las Naciones Unidas. Cada uno de los tres rectángulos queforman las distintas partes del ed...
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  1. 1. Leonardo da Vinci. Su título, "De Divina Proportione" (1509).Veamos, en síntesis, qué es la Divina Proporción.Hojeando tratados referentes a este tema, sintetizando estudios de varios autores realizamos elresumen que sigue, con la intención de simplificar hasta el límite de lo posible esta cuestión de porsí intrincada. Si desechamos el análisis en detalle, lo hacemos en homenaje a la brevedad y al finde divulgación que nos hemos propuesto.Sea el segmento AB al que queremos dividir en media yextrema razón, es decir, que la parte mayor sea a la menorcomo la suma de ambas es a la mayor. (Problemaeuclidiano).Trazamos la perpendicular Y al segmento AB. Sobre ella sedetermina BD igual a AB/2. Se traza AD. Luego se llevasobre AD, DE igual a DB.Haciendo centro en A se traza el arco EC.. El punto C determina AC y CB que están en la relaciónpedida. La expresión numérica de la Divina Proporción lleva a un desarrollo logarítmico resultantede dividir un segmento de recta en media y extrema razón que concluye en la expresión: X (elnúmero ) = 1,618033 ...................Número inconmensurable, (como los son e: 2,7182........y Pi: 3,1426..........) simple y vulgar enapariencia, pero que tiene, entre otras, la propiedad de darnos el lado del pentágono y deldecágono (pentade y decade de Platón) inscriptos en la circunferencia y que es la expresiónaritmética de la Divina Proporción.Ha sido estudiado en sus diversas característicias, dando lugar a conclusiones que llaman aprofunda meditación.Se le conoce en el mundo matemático con el nombre de la letra griega .Existe, además, una aproximación entera de la Divina Proporción que es la serie fibonaciana,llamada así en homenaje a Leonardo de Pisa (Fibonaci), quien la redescubrió al querer calcular ladescendencia de una pareja de conejos.Esta serie -que no es otra que el 10º tipo de proporción de los neopitagóricos- se encuentra en lasiguiente relación: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55......de modo que la suma de dos términosconsecutivos nos da el siguiente.La relación entre dos términos tiende rápidamente hacia la Divina Proporción, en efecto:8/5= 1,613/8= 1,62521/13= 1,61534/21=1,618.....La divina Proporción o su expresión entera (serie fibonaciana) son las bases de todos los ritmosespaciales que tienen por esquema el pentágono y aparecen allí donde haya un hálito de vida,pasando muchas veces inadvertidos a causa de nuestra defectuosa educación que nos incapacitapara percibirlos.Veamos ahora cómo puede utilizarse en la vida práctica el número que hemos obtenido.Supongamos que queremos crear una forma: sea un mueble, la tapa de un libro, etc. Podemosinscribirlo en un rectángulo generador que esté en relación .
  2. 2. Supongamos un rectángulo cuya base AB es igual a 2 metros. ¿Cuánto debe medir la altura BCpara que se establezca entre ellas la Divina Proporción?AB/BC = 1,618AB= 2mBC= X2/X = 1,618.Despejando X:X= 2/1,618 = 1,236Es suficiente una simple división para obtener la relación .Ahora bien, este rectángulo así proporcionado tiene propiedades notables. Si rebatimos la alturasobre la base y así demarcamos un cuadrado, nos queda otro rectángulo que, a su vez, puededividirse en otro cuadrado y otro rectángulo con las mismas propiedades y semejante al primitivo,hasta el infinito: "queda igual a sí mismo en la diversidad de su evolución".Las rejas coloniales y los portalones de la misma época utilizan rectángulos generadores en lasaplicaciones más variadas. Dignas de mención son las rejas de la casa del fundador de Chascomús,en la ciudad del mismo nombre; el convento de las Teresas, la iglesia de los jesuitas y la capilla deCandonga en Córdoba; el Cabildo de Salta y el mutilado Cabildo de Buenos Aires. Todo el barrio deSan Telmo es un vivero de relaciones proporcionales en media y extrema razón, que se puedenapreciar, especialmente. en los dibujos de sus rejas y balcones de hierro forjado. El ojoacostumbrado, encuentra enorme cantidad de construcciones dentro y fuera del país que revelaneste módulo expresivo propio del pueblo latino, módulo expresivo que está en trance de extinciónbarrido por corrientes que nos son ajenas por completo.Toda América latina -en la que se volcó la influencia mediterránea después de la conquista- es unrico venero para el estudioso.Lo mismo podemos decir de las ciudades europeas donde no es posible concebir una construcciónlatina que no responda concreta o tácitamente al módulo . Francia, España, Italia, Rumania,Grecia, poseían en la anteguerra ciudades (Viterbo, Carcasonne, Ávila, Sinaia) que eran en sutotalidad verdaderas sinfonías pétreas bajo el signo de la Divina Proporción. Esta corriente, en unincontenido desborde de armonía, rebasó los límites del mundo greco latino teniendo como únicoresorte rnotor y matriz generadora la media y extrema razón.El rectángulo a que nos referimos, es elegido entre muchos otros de diversa proporción por milesde sujetos sometidos a prueba sin estar advertidos de antemano cuál es su relación ancho/largo.Fechner ha hecho la experiencia.Número áureo(Redirigido desde Numero aureo)
  3. 3. El número áureo o de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada,media áurea, proporción áurea y divina proporción es un número designado con la letragriega Phi( ) que es la inicial del nombre del escultor griego FIDIAS. Su valor es:Como muchos otros temas científicos y matemáticos el número Phi era conocido en laantigua Grecia. Después estos conocimientos fueron olvidados para ser redescubierto mastarde en la historia. Es por esto también que este número recibe varios nombres. Se le hadado un carácter casi mágico, haciéndolo aparecer, de forma más o menos natural en lasmatemáticas, en el arte, en la arquitectura y en la naturaleza.Tabla de contenidos[ocultar] 1 Presentación Histórica o 1.1 Phi en el Antiguo Egipto o 1.2 Phi en la Antigua Grecia o 1.3 Phi en la Edad Media o 1.4 Phi en el Renacimiento o 1.5 Phi en los Siglos XIX y XX 2 Phi en las matemáticas o 2.1 Definición o 2.2 Representación mediante fracciones continuas o 2.3 Representación mediante raíces anidadas o 2.4 Propiedades algebraicas o 2.5 Phi en la sucesión de Fibonacci o 2.6 Phi en el triángulo de Pascal 3 El número áureo en la geometría o 3.1 El rectángulo áureo y Euclides  3.1.1 Construcción del rectángulo de oro  3.1.2 Propiedades interesantes del rectángulo áureo: o 3.2 Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero o 3.3 Triángulo áureo y espiral de Durero o 3.4 Círculos áureos o 3.5 Phi en los pentágonos  3.5.1 Pentágono áureo  3.5.2 Explicado desde otro punto de vista  3.5.3 Phi en el pentagrama o 3.6 El dodecaedro 4 Phi en la naturaleza 5 Phi en el arte o 5.1 La mona lisa
  4. 4. o 5.2 El hombre de Vitruvio o 5.3 Otras obras de arte 6 Phi () en la música 7 Phi() en la arquitectura 8 Curiosidades o 8.1 Phi En el Sistema Solar o 8.2 Phi en una gota de agua o 8.3 Soneto a la Divina Proporción 9 Aritmética multiprecisión o 9.1 Teoría para cálculos con aritmética de multiprecisión:  9.1.1 Los Algoritmos Clásicos:  9.1.2 Algoritmo A: (Suma de números enteros no negativos)  9.1.3 Algoritmo S: (Resta de números enteros no negativos)  9.1.4 Algoritmo M: (Multiplicación de números enteros no negativos)  9.1.5 Algoritmo D: (División de números enteros no negativos) 10 Enlaces externos 11 Bibliografía 12 LicenciaPresentación HistóricaSon varios los nombres que ha recibido lo que hoy conocemos por sección áurea (o razónáurea, o proporción áurea). De entre ellos podríamos destacar la "división en media yextrema razón"de los griegos o la "proporción divina" de Luca Pacioli, no siendo hastaprincipios del siglo XIX cuando empezó a usarse "sección áurea".La primera aparición documentada del término es de 1835, cuando Martin Ohm llamó así ala famosa proporción. En matemáticas es representado por la letra griega . El nombre Phifue dado por el matemático americano Mark Barr basado en la primera letra del nombre delescultor griego Fidias quien usara la proporción divina en sus diseños y esculturas. Estaproporción fue inicialmente utilizada por los egipcios, los griegos y posteriormenteretomada en la cultura occidental como una medida de estética, un balance entre losimétrico y lo asimétrico.Phi en el Antiguo Egipto
  5. 5. Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporciónen ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C.. Sin embargo no existedocumentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente porlos arquitectos o artistas en la construcción de las estelas.Es posible que en los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algún tipo deteoría matemática de las proporciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. investigadoresegipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del faraón Zhoser, que fueronhechos hacia el 2800 a. C. Sobre esta base, construyeron un sistema de proporciones quemás tarde fue ampliamente usado. Tal vez es este sistema lo que ahora podemos ver enmuchos relieves egipcios como finas líneas sin significado aparente. El número áureo seencuentra en numerosas obras de arte del antiguo Egipto. En la gran pirámide de Keops larelación entre su altitud y la mitad de un lado de su base es casi exactamente Phi.Aunque no se sabe de cierto que este numero fuese conocido por los antiguos egipcios, elsistema de medidas se basa en la diferentes partes del cuerpo por lo que no es extraño quese encuentre Phi en las pirámides.Phi en la Antigua GreciaPitágoras y sus discípulos trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que elprincipio básico de la hermandad fuera: "Todo es número". Se comunicaban mediante unsímbolo secreto: la estrella de 5 puntas, que se obtiene trazando las diagonales de unpentágono regular.
  6. 6. Estudiándola descubrieron que, si divides en cualquier pentágono regular el valor de ladiagonal entre el valor del lado, el número que obtienes es siempre el mismo, 1,61803…Habían encontrado el número de oro.Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a lavista que llamó La Sección. Pero el primero en hacer un estudio formal sobre el númeroáureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió en el libro Los Elementos de lasiguiente manera: "Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando, la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."Aunque Euclides no relaciona el numero Phi con nada estético o divino. ¿Por qué losgriegos se preocuparon de dividir un segmento en extrema y media razón? Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto. Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto. También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello. La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas.Fidias está considerado como el más fiel exponente del clasicismo heleno, caracterizadomás por reflejar la belleza ideal que la real. Para ello, utilizó en muchas de sus obras laproporción de oro, y ello le valió para que el matemático americano Mark Barr utilizara laprimera letra de su nombre para designar al número de oro. Entre otras obras utilizó laproporción áurea en el Partenón y los Propileos, la entrada de la Acrópolis.Vitruvio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano autor de "De Architectura"aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al numeroPhi sino al estudio de las proporciones humanas. Siglos más tarde, artistas y arquitectos delrenacimiento italiano desarrollaron esa misma idea.Phi en la Edad Media
  7. 7. Fibonacci (1175 / 1240) es conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión denúmeros: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89... que colocó en el margen de su Liberabacijunto al "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijomatemático.El problema en lenguaje actual diría: "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?"Phi en el RenacimientoLuca di Borgo (nacido en 1445) fraile Franciscano y profesor de matemáticas, tambiénllamado Luca Pacioli, utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione" ilustradopor Leonardo da Vinci. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la DivinaProporción de una forma lógica y científica. Esta y otras obras de Pacioli parece queinfluyeron profundamente a Leonardo. ¿De dónde viene el nombre de Divina Proporción?En el libro Fra Luca da las siguientes razones: 1. "Es una sola y no más" (unidad supremo epíteto de Dios mismo); 2. "Una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos" (como la Santísima Trinidad); 3. "No puede nunca determinarse con un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna" (Dios no puede definirse propiamente); 4. "Es siempre la misma y siempre invariable y de ninguna manera puede cambiar" (Dios no puede cambiar); 5. "Confiere, según Platón, el ser formal al cielo mismo" (Dios confiere el ser a la virtud celeste).
  8. 8. El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo da Vinci, quienmostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de lanaturaleza. Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando quetodas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Esto lo plasmó enuna de las ilustraciones más famosas que hizo para el libro de Pacioli conocida como elhombre de Vitruvio. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombrede sectio áurea. Una de sus obras principales el rostro de la Mona Lisa encierra unrectángulo dorado perfecto.Después de Leonardo, artistas como Raphael y Miguel ángel hicieron un gran uso de laSección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel, ElDavid, se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo conrespecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figurasplanas y sólidas con él pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la épocadiversos métodos para trazar diversas figuras geométricas. En esta obra Durero muestracómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historiacon su nombre: la Espiral de Durero.Johannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán en MysteriumCosmographicumconsidera el número Phi uno de los grandes tesoros de la geometría: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa"Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas tambiénerigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Áurea. En este sentido,Dios realmente estaba en los números.Phi en los Siglos XIX y XXHasta principios del siglo XIX no empezó a usarse el término "sección áurea". La primeraaparición documentada del término es de 1835, cuando Martin Ohm llamó así a la famosaproporción en una nota a pie de página en la que queda claro sin embargo, por lo que elpropio Ohm comenta, que no fue él quien lo acuñó.El alemán Adolf Zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía, habla de la sección Áurea perono del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura, paraél la sección Áurea es el criterio que define la belleza. Busca y encuentra esta proporción enlos monumentos clásicos y en la naturaleza. Zeising lo identificó en la disposición de lasvenas en las hojas, en la estructura del nautilo y en la composición de cristales. Es el queintroduce el lado mítico y místico del número Phi.
  9. 9. Le Corbusier (1887 / 1965) arquitecto Francés, inventa el "modulator" que es un sistema deproporciones arquitecturales basado en el número áureo y en el cuerpo humano. Hay varioscocientes que son el número áureo: La altura de la persona (183) entre la altura a la que está el ombligo del suelo (113). La altura de la persona con el brazo levantado (226) entre la altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140). La altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140) entre la altura a la que se encuentra el punto de apoyo de la mano (86).MatilaGhyka (1961) es un conde rumano que escribió sobre el número Phi, lo encuentra enmultitud de monumentos y también en la naturaleza. Para su discurso sobre el númeroáureo, MatilaGhyka toma como punto de partida los escritos griegos sobre la teoría de losnúmeros, en especial los de Nicómaco de Gerasa, llamado "el pitagórico", así como losescritos de Platón.Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros. Dalí siempre estuvointeresado por la pintura renacentista y, poco a poco, fue introduciéndose en las técnicas ysistemas utilizados por los artistas de aquella época.Dalí mostró especial interés por la obra de MatilaGhyka, fue así como tuvo conocimientode lo que eran y significaban el Número Áureo y la Divina Proporción. Y no dudó enincorporar estos hallazgos a lo mejor de su pintura. Ghyka asesoró a Dalí en elplanteamiento compositivo de "Leda atómica". Para Dalí el conde Ghyka era el últimodepositario de la ciencia pitagórica en el siglo XX y había que acudir a él para conocer losúltimos secretos de este antiguo saber.Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido ydifundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, asícomo nuestro carné de identidad y las cajetillas de cigarrillos.
  10. 10. Phi en las matemáticasDefiniciónEl número Phi nace de la solución a la ecuación: x2-x-1=0. Es la ecuación que se planteacuando se resuelve el siguiente problema geométrico: "Dado un segmento, ¿dónde debehacerse una división tal que la longitud del segmento sea a la parte mayor como la partemayor a la parte menor?"Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación:Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es: .Esta solución es el valor del número áureo y es una prueba formal de que el número áureoes irracional, ya que incluye la raíz de un número primo.Además de esta aproximación al valor de Phi existen otras formas de hallar el valor dedicho número, algunas de las cuales se muestran a continuación.Representación mediante fracciones continuasLa expresión mediante fracciones continuas es:
  11. 11. Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también es lamás simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Conesta expresión es fácil aproximarse al valor de Phi usando la calculadora científica, sólo hayque seguir los pasos: Para empezar introducimos el 1. Calcular el inverso (el botón 1/x). Sumar 1. Calcular el inverso. Sumar 1. Calcular el inverso. Sumar 1. Seguir repitiendo hasta que el resultado no cambie.Representación mediante raíces anidadasEsta fórmula es un caso particular de una identidad general publicada por NathanAltshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American MathematicalMonthly,1917.El teorema general dice:La expresión (donde ai = a), esigual a la mayor de las raíces de la ecuación x2 − x − a = 0; o sea,Con esta formula se tiene otro método para poder obtener Phi con la calculadora: Introduce cualquier número (entero o racional) mayor que –1. Suma 1. Calcula la raíz cuadrada. Suma 1. Calcula la raíz cuadrada. Sigue repitiendo hasta que el resultado no cambie.Realizando estas operaciones se deducen algunas propiedades, que se exponen en elsiguiente apartado.
  12. 12. Propiedades algebraicasPhi es el único número real positivo tal que:La expresión anterior es fácil de comprobar:Phi posee además las siguientes propiedades:
  13. 13. Phi en la sucesión de FibonacciConsideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo,21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesión es la llamada "sucesión deFibonacci".Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor yveamos lo que obtenemos:Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro.Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a .En lenguaje matemático:
  14. 14. Efectivamente:Si en lugar de utilizar 1 y 1 como los primeros números de Fibonacci, se utilizancualesquiera otros números, el cociente de pares sucesivos igualmente tiende a Phi.Phi también satisface la siguiente relación:Y la más magnífica relación es: , donde F(n) es el n-ésimonúmero de Fibonacci.Phi en el triángulo de PascalEste es el triángulo de Pascal que se forma situando el número uno por sus dos laterales ylos demás números se hallan sumando los dos números que tiene justo encima (según las Vdel dibujo). Sumando los números según las diagonales obtenemos la sucesión deFibonacci.El número áureo en la geometríaHay muchas y variadas figuras geométricas regulares en donde las proporciones áureashacen aparición, pudiéndose encontrar tanto en el plano como en figuras en 3 dimensiones.
  15. 15. Son múltiples las figuras e incluso figuras dentro de figuras geométricas que tienen comorazón el número de oro. A continuación se detallan algunas de dichas figuras.El rectángulo áureo y EuclidesLos rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, elcociente entre su lado mayor y su lado menor es Phi. Este tipo de rectángulo lo usó Fidiasen la fachada del Partenón, pero también podemos verlo hoy en las cajetillas de tabaco, elDNI, las tarjetas de crédito, etc.Construcción del rectángulo de oroUn ejemplo de creación geométrica es el rectángulo áureo. Construido a partir de dossegmentos cuya proporción es phi. Euclides realiza una peculiar construcción, obtiene elrectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD:RectáguloaureoEl rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del númeroáureo. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.La construcción se hace en los pasos: Primero se halla el punto medio entre A y B que llamaremos G, teniendo que:
  16. 16. Con centro en G trazando una circunferencia con el compás desde el punto C se obtiene el punto E, y por lo tanto: resultando evidente que: de donde, finalmente:Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último esasimismo un rectángulo áureo.Propiedades interesantes del rectángulo áureo: Si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos tiene cada uno la mitad de área que el original, pero exactamente sus mismas proporciones. Como se puede deducir a partir de su construcción por el método de Euclides si a un rectángulo áureo se le sustrae el cuadrado más grande posible queda de resto un rectángulo áureo proporcional al rectángulo original. Cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.
  17. 17. Rectángulos de Fibonacci y espiral de DureroA continuación vamos a explicar como se construiría la espiral áurea, partiendo de uncuadrado como en el rectángulo áureo. Cuando se divide el rectángulo áureoprogresivamente obteniéndose rectángulos áureos de menor tamaño, se obtiene finalmenteuna nueva figura, la espiral áurea.Partiendo de un cuadrado S1,para comenzar a dibujar la espiral aurea seleccionamos uno delos vértices, y trazamos un arco con apertura igual al lado del cuadrado. Como se muestraen la figura:Construccion de la espiral aurea. Paso1A continuación construimos un cuadrado S2 cuyo lado es el segmento creado al trazar elarco del rectángulo áureo. Tenemos que continuar trazando el arco de la espiral haciendocentro en la esquina de la que luego vamos a partir para continuar haciendo rectángulos,como se explico en el paso anterior.
  18. 18. Construccion de la espiral aurea. Paso2El siguiente paso consiste en tomar de nuevo el punto medio del lado del ultimo cuadradocreado y trazar un arco, para construir un nuevo rectángulo, con el lado menor de esterectángulo construimos de nuevo un cuadrado y trazamos el arco que continúa con laespiral.Haciendo el proceso de división de rectángulo áureos sucesivamente se llega a la siguientefigura, con la que podríamos seguir trabajando infinitamente si pudiésemos hacer tambiénzoom infinitamente.Construccion de la espiral aurea. Paso NTriángulo áureo y espiral de Durero
  19. 19. Otra espiral logarítmica se puede obtener a partir de un triángulo isósceles de ángulos 36º,72º e 72º.Los dos tipos de triángulos en los que se divide el triángulo original al hacer la bisectriz,que sería un triángulo isósceles como el de la izquierdaOcurre que , se dice entonces que es un triángulo áureo.En ABC, si hacemos la bisectriz del ángulo B hasta cruzarla con el lado del triánguloobtenemos otros dos: DAB y BCD.El primero cumple que es por tanto un triángulo áureo.El segundo es semejante al original y como se supone es también un triángulo áureo.En este triángulo volvemos a calcular la bisectriz ahora en el ángulo en C y obtenemos lostriángulos CDE y CBE, también semejantes a los anteriores.Continuando este proceso se obtiene una sucesión espiral de triángulos que converge a unpunto situado en la intersección de las dos medianas de los dos primeros triángulos.La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivosde los triángulos. Ésta espiral coincide en su curvatura con la dibujada anteriormente apartir de la sucesión de rectángulos áureos.
  20. 20. Círculos áureosHemos hablado de segmentos y rectángulos de proporciones áureas. Peros, ¿sería posibledividir un círculo en proporciones áureas?.Al dividir un círculo como el de la figura en dos nos quedan dos semicírculos el azul y elnaranja. Al hacer la proporción de las longitudes de los arcos de circunferencia que nos hanquedado nos damos cuenta que hemos encontrado la proporción áurea. El ángulo central delarco más pequeño es el ángulo áureo y tiene 137.5 grados.Phi en los pentágonosPentágono áureoDetrás del pentágono regular se esconde esta misma proporción entre los lados delpentágono y sus diagonales
  21. 21. PentagonoVamos a ver detalladamente tal relación, partiendo del hecho de que los triángulos ABC yBCD son semejantes tenemos que:Suponiendo AD = a y DC = b, tenemos que y sabiendo que AB = ADQue operando nos lleva a:Dividimos todo por b2SustituyendoSolucionando esta ecuación obtenemos el númeroExplicado desde otro punto de vista
  22. 22. Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En estafigura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estosángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tiposdiferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE,ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportaninformación adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, quellamaremos: BE = a, AB = AE = b, AF = BF = AG = c y GF = d. Las longitudes de estossegmentos cumplen: a > b > c > d.Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno:Triángulo ABETriángulo ABF
  23. 23. Triángulo AFGComo 72º = 180º - 108º, se verifica que sen72º = sen108º.En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, larazón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual al número de oro.Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c = a - b y haciendo b = 1:Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.Como consecuencia, se verifica:Phi en el pentagrama
  24. 24. Este pentagrama ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos (rojo, azul), (azul,verde) y (verde, morado) tienen proporciones áureas.Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágonointerior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Delmismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez elpentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cincolíneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de laestrella mayor, o sea . Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureoen el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.El dodecaedroEl pentágono, asimismo, es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro.Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elementoperfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.
  25. 25. Phi en la naturalezaPhi pasó a ser llamada la divina proporción por ser encontrada en la naturaleza. El hombreno solo la ha descubierto sino que se ha valido de ella para la creación estética.Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistasy naturalistas.Caparazon de molusco en espiralGalaxia en espiralLa encontramos presente en elementos tan pequeños como las ramas de las plantas, lospétalos de una flor o el caparazón de un molusco y en fenómenos tan grandes comohuracanes o las galaxias.
  26. 26. En la semilla de muchas plantas, el ángulo que separa a cada uno de los brotes consecutivosque surgen de ella es la división del circulo completo 360º entre Phi, y es que así se aseguraque a medida que crece las ramas no crecerán unas sobre otras sino que cada una alcanzaráuna disposición diferente aprovechando mejor la luz del sol.En el girasol las semillas de las pipas están dispuestas en forma de espiral, en un sentidopodemos encontrar 34 y en el otro 55, los dos curiosamente números de fibonnaci.Espirales del girasolPhi en el arteLa mona lisaLa mona lisa
  27. 27. Leonardo es un gran apasionado de las matemáticas y como tal lo demuestra en sus obrasde arte. En el esquema se puede ver como el rostro de la Gioconda se encuadraperfectamente en un rectángulo aureo.Se puede apreciar que justo la división del rectángulo áureo superior coincide con la rayade nacimiento del pelo, pasa por la mitad de la nariz. Con sucesivas divisiones delrectángulo áureo se aprecia como los ojos quedan perfectamente encuadrados.El hombre de VitruvioSe trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de lostextos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma sunombre. El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relaciónentre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.El hombre de VitruvioEl dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica delcuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.En las esculturas antiguas el ombligo divide su altura total, según la proporción áurea,situando la parte menor desde la cabeza al ombligo y la mayor desde éste a los talones. Estaproporción áurea se encuentra también en el rostro. Si trazamos una recta desde la raíz delcabello a la parte inferior del mentón, la base de la nariz es el punto de oro, que divide lacara en dos partes desiguales pero armónicas.Las tres falanges del dedo medio o anular dan tres términos consecutivos de proporciónáurea; en el dedo pulgar se vuelve a repetir esta proporción áurea en las personasperfectamente proporcionadas. Es sorprendente constatar que los seres humanos tambiéntenemos esta divina proporción, como la llamó Luca Paccioli, y que esa misteriosa
  28. 28. Inteligencia que ideó nuestros cuerpos sobre la base del programa genético de laNaturaleza, lo hizo a conciencia y con sabiduría.Otras obras de arteSon muchos los artistas que utilizan esta proporción en las dimensiones de sus cuadros,Leonardo Da Vinci en su cuadro La anunciación, El jardín del Edén de JanBruegel o lasoras de PieteMondrian.Muchas de las obras creadas por los artistas no es fácil observar la propoción aurea a simplevista, pero de algunas obras se conservan los bocetos, como en la obra de Leda atómica deDalí y se puede ver como se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado porel artista basado en el pentagrama místico pitagórico.En las obras La Sagrada Familia de Miguel Angel o La crucifixion de Raphael se puedeapreciar como las figuras pricipales de la imagen se alinean con el pentagono en la primerapintura y en la segunda se situan en los vértices del triángulo áureo.Las meninas de Velásquez emplea constantemente con la divina proporción jugando con laperspectiva visual para conseguir crear la profundidad del cuadro, y dar la impresión alespectador de estar contemplando una escena de una pieza teatral.Phi ( ) en la músicaComo en cualquier otra ciencia, los autores buscan siempre obtener el equilibro perfectoentre armonía, belleza y estabilidad. Pudiera parecer que las composiciones se realizan deforma aleatoria, basándose únicamente en las directrices del autor. Pero lo que es cierto esque muchos autores musicales, consciente o inconscientemente, incluyeron la divinaproporción en sus más destacadas obras. Puede que el hecho de que las composicionessigan este determinado cauce, proporcione a cada una de las piezas musicales, una bellezainnata. Veamos algunos ejemplos. Antonio Stradivarius (1644-1737), nacido en Cremona,llevó su oficio de constructor de instrumentos, en especial de violines, a su máximaperfección, siendo sus mejores obras los ejemplares construidos entre 1700 y 1725. Utilizóla razón áurea para realizar sus violines de manera que, la ubicación de las efes (los“oídos”, u orificios en la tapa) se relacione con el número phi.
  29. 29. Violín Stradivarius En su Quinta Sinfonía, Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella.La famosa apertura “motto” suena exactamente en el punto dorado 0,618(*) en el compás372 de 601 y nuevamente en el compás 228 el cual es el otro punto dorado (0.618034 desdeel final de la pieza), por esta razón Beethoven tuvo que usar 601 compases para conseguiresas figuras. Esto lo hizo ignorando los 20 compases finales que vienen detrás de laocurrencia final del “motto” e ignorando a su vez el compás 387.Cuatro primeras notas: corto,corto,corto,largo(*)NOTA: 0,618 es el inverso del número phi ( ), esto es: , que sesuele representar como Phi(mayúscula), o con la letra griega Φ.Entonces Φ = = 0.618033988749895...Schubert y Debussý incluyeron relaciones áureas en sus obras, basándose en los equilibriosde las masas sonoras. Mozart introdujo la razón áurea en varias de sus sonatas, haciendoque la introducción del tema y su desarrollo fueran muy aproximados al número phi.Veamos donde podemos encontrar la proporción áurea en la sonata:Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de MozartEl segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero:
  30. 30. Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428Otros instrumentos musicales, a parte de los violines, incluyen la divina proporción en susformas, por ejemplo, el piano está constituido por siete octavas ordenadas de formacreciente de graves a agudas. De esta manera, los primeros seis números de la Sucesión deFibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5teclas negras ( en grupos de 2 y 3)Escala de un piano La razón de todos los segmentos de un pentagrama equivale a PHIImagen:PentagramaMusical.JPGPentagrama que muestras las notasBartók en su obra “Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta”, utilizó laserie de Fibonacci, para crear su escala e introducir así en su obra la razón áurea.Imagen:PentagramaFibonacci.JPGPentagrama que muestras las notas, con distribución de FibonnacciApple quiso dotar a uno de sus reproductores de música en mp3 de una bellezaincomparable, para ello decidió incluir la proporción del rectángulo áureo en su Ipod. Sinos fijamos en la medida del IpodClassic de 80 gigas, comprobaremos que su relación esexactamente el número PHI. [1]Phi( ) en la arquitecturaAl ser Phi( ) un número representativo de la belleza y la perfección en las formas, las másincreíbles creaciones del ser humano, deben tener alguna relación con phi( ). La propia
  31. 31. naturaleza incluye a phi en muchas de sus creaciones, las cuales parecen imperecederas enel tiempo. Por tanto parece obvio, que conociendo la relación áurea, los hombres,aprovechen sus propiedades para construir monumentos totalmente intemporales. Así porejemplo el Partenón de Atenas, en Grecia, sigue claramente las proporciones áureas,dotando a la construcción de una belleza y una estabilidad sin igual. Como puede apreciarseen las imágenes, el Partenón es un claro ejemplo de cómo los arquitectos y constructoresinspiran sus obras en la relación con la divina proporción.Imagen del Partenón de AthenasImagen:Partenon3.JPGImagen del Partenón de Athenas.EsquemaOtra de las obras, más conocidas del mundo, como es la Catedral de Notre Dame, enFrancia, sigue claramente una distribución áurea. Su modelo de construcción está inspirado
  32. 32. en la teoría del segmento áureo, visto en este documento. En la siguiente imagen, puedeapreciarse, como Notre Dame se apoya en Phi para elevarse majestuosamente desde elsuelo.Imagen de la catedral de NotreDammeFrancia, es un buen ejemplo de construcciones que utilizan la relación Áurea, ya que dos desus obras más emblemáticas, se apoyan en la divina proporción. La segunda de estas obrases la Torre Eiffel. Veamos la siguiente imagen donde se ilustra, la relación de la torre Eiffelcon la divina proporción y después lo explicaremos:Imagen:TorreEiffel.JPGTorre Eiffel, con las proporciones ÁureasLos ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que sería el lado pequeñode un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. metros que es la altura de la torre. También se encuentra estaproporción en las diferentes partes de la torre. En el dibujo se muestra la relación donde elespacio azul seria igual a uno y Phi( ) seria el espacio azul más el dorado.
  33. 33. Pirámides de GizahPirámides de Keops, relación PhiPor supuesto, la relación áurea no es algo que lleve usándose en las construcciones másrecientes. Desde el antiguo Egipto, los constructores conocían la existencia de un númeroque representaba las proporciones de la belleza y la perfección. De hecho su nombre, laDivina Proporción, ofrece una clara descripción de Phi. Una de las civilizacionesconsideradas más inteligentes, tenían que usar esta proporción en sus obras, de manera queconsiguieran convertirlas en intemporales. La siguiente imagen muestra la forma de incluirla divina proporción en sus pirámides.
  34. 34. La relación de las pirámides con el número Phi viene expresada, de la siguiente forma:Situemos varios puntos en la imagen de la pirámide de Keops: La B, estará en la cima de lapirámide, la C estará en la base y la A, será el centro de la pirámide, tocando el suelo: Si ladistancia AC es igual a 1, AB mide la raíz cuadrada de phi y BC mide phi. La pirámide deKeops mide 230 metros de lado, la base de la pirámide es cuadrada.1) ;2) --> que son los metros de altura dela pirámide de Keops.3) metros desde el centro de un lado de la basehasta el pico de la pirámide.Edificio de Naciones Unidas. New YorkUna obra de reciente construcción es el edificio de Naciones Unidas, que también hadecidido incluir la divina proporción. Es un aspecto muy a tener en cuenta a la hora dedesarrollar cualquier proyecto de arquitectura, ya que parece que cualquier obra que seapoye en la divina proporción, está dotada de una belleza innata y de una estabilidad ydurabilidad sorprendente.Si la naturaleza aprovecha las características de la relación áurea, es lógico que loshumanos imitemos este comportamiento. En la siguiente imagen se muestra la relación que
  35. 35. hay entre Phi y el edificio de las Naciones Unidas. Cada uno de los tres rectángulos queforman las distintas partes del edificio, siguen las proporciones del rectángulo áureo.Otra obra de reciente construcción que sigue las proporciones áureas, es la UniversidadPolitécnica Estatal de California. Cuyo plano está basado en los números de Fibonacci y enotros esquemas áureos como la Espiral Áurea. [2]Incluso está presente en el edificio que como su nombre indica es un pentágono situado enWashington.Imagen:PuertaTiwanaku3.jpgPuerta de Tiwanaku. PerúHay una obra, de la cual aún se desconoce su origen exacto, que también está inspirada enla proporción áurea. Se conoce como: La Puerta del Sol de Tiwanaku. Está situada en unaregión muy próxima al lago Titicaca y lo único que se conoce de su origen es que ya estabaen ruinas cuando surgió el Imperio de los Incas, en el siglo XII.[3]
  36. 36. CuriosidadesPhi En el Sistema SolarPlaneta Saturno mostrando la relacion phiEl sistema solar es un claro ejemplo de estabilidad y precisión. Parece que también se hanhallado pruebas que confirman que el sistema solar sigue una distribución basada en elnúmero Phi: En los anillos del planeta Saturno se encuentra la relación Phi. Si el segmentodorado es igual a 1, el segmento azul es igual a Phi.Phi en una gota de aguaUna gota o una burbuja, proceden de un líquido que, por el aumento de su peso, se handesprendido de su origen y actúan a merced de la gravedad, aunque si nos fijamos bien,comprobaremos que siguen manteniendo en parte su forma esférica original, aunque unaparte de ella se encuentre estirada. Podría pensarse que una gota, tiene una forma aleatoria,dependiendo del fluido del que proceda, pero lo cierto es que puede establecerse unarelación entre la forma de la gota y el número PHI. Debido a que la gota tiene una forma
  37. 37. ovalada y un huevo, puede seguir la proporción áurea, puede establecerse una relaciónáurea.De esta forma, otros objetos, tales como los cometas, podrían seguir también la divinaproporción en sus formas. Al menos la forma que obtenemos al mirar con un telescopio.Soneto a la Divina ProporciónRafael Alberti dedicó un soneto a la Divina Proporción: A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.Aritmética multiprecisiónPara calcular el valor de PHI , basta con hacer la siguiente operación:El resultado que obtenemos es un número con infinitas cifras decimales, las cuales noqueda más remedio que aproximar. Por tanto inevitablemente cada vez que trabajamos conel número PHI, estamos cometiendo un error de aproximación, que puede variardependiendo del número de cifras decimales que tomemos. Este cálculo es especialmentedelicado para los computadores, ya que se enfrentan a tener que manejar un númeroinfinitamente largo, con una capacidad de memoria finita. Dependiendo de las diversasarquitecturas, se toman unas decisiones de diseño u otras. Por ejemplo para ordenadores
  38. 38. Mac, existen unos paquetes de software libre que facilitan los cálculos con aritmética depunto flotante con precisión arbitraria (miles e incluso millones de dígitos). Estos paquetesestán disponibles tanto para la Arquitectura PowerPC como para Arquitectura Intel. Estospaquetes son: GMP[4] y ARPREC[5].Como sabemos la gran mayoría del software de los ordenadores, se ve directamentelimitado, por la capacidad del hardware de realizar cálculos con números muy grandes, yaque están limitados al tamaño de los operandos de coma flotante que pueden utilizar. Porejemplo en el lenguaje C, los tipos de datos de coma flotante, son float y double, queincluyen mantisas de 34 y 56 bits respectivamente; en algunas plataformas, por ejemploMachintosh, hay un tipo de datos: longdouble que permite incrementar el tamaño de lamantisa a 106 bits. Para el cálculo que requiere hacerse si usamos el número PHI,obviamente necesitaremos muchos más bits que los ofrecidos hasta ahora, para tratar deminimizar el error lo máximo posible. Aunque siempre seguiremos teniendo el problema detratar de manejar un número infinito con una capacidad de almacenamiento finita. Hayvarios sitios, donde nos ofrecen ya calculadas, una cantidad determinada de cifrasdecimales para el número PHI: http://goldennumber.net/phi20000.htmTeoría para cálculos con aritmética de multiprecisión:Veremos cómo son los algoritmos clásicos que permiten el manejo de números enteros deprecisión arbitraria, haciendo uso de unos recursos no finitos, tanto de memoria como depotencia de cálculo.Los Algoritmos Clásicos:Veremos algoritmos para: a) Suma o resta de enteros con n-cifras, dando una respuesta de n-cifras y acarreo b) Multiplicación de un entero de n-cifras por un entero de m-cifras, dando una respuesta de (n+m)-cifras c) División de un entero de (n+m)-cifras por un entero de n-cifras, dando un cociente de (m+1)-cifras y un resto de n-cifras.Se les llamó algoritmos clásicos desde que la palabra “algoritmo” comenzó a usarse paraestos procesos hace ya algunos siglos. El término entero de n-cifras, se refiere a un númeroentero menor que bn, donde b es la base en la que los números se expresan; estos númerospueden escribirse, usando como máximo n-cifras.Veremos de una forma resumida algoritmos que realizan las operaciones a), b) y c) sobreenteros expresados en base b , donde b es >=2. Un aspecto importante a tener en cuenta delos números de multiprecisión es que hay que contemplarlos como números escritos en
  39. 39. base w, donde w, es el tamaño de palabra del computador. Por ejemplo un entero, queocupe 10 palabras en un computador cuyo tamaño de palabra es 1010, tiene 100 cifrasdecimales, pero consideraremos que es un número de 10 cifras en base 1010.Algoritmo A: (Suma de números enteros no negativos)Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos y elalgoritmo construye su Suma en base b . Aquí W0 es el acarreo ysiempre es igual a 0 ó a 1.A1: [Inicialización] Ponemos: j = 0, k = 0 (La variable j se moverá a través de lasposiciones decimales y la variable k, almacenará el acarreo en cada paso)A2: [Suma de dígitos] Ponemos: ,y En otras palabras, k se pone a 0 ó 1, dependiendo de si hay o noacarreo, es decir, si uj + vj + k> = b o no. Al menos siempre se producirá un acarreo entrelas dos sumas, ya que: , por inducción en loscomputadoresA3: [Bucle en j]Decrementamosj en una unidad. Ahora si j > 0 volvemos al paso A2 y sinoponemos w0 = k y terminamos el algoritmo.Algoritmo S: (Resta de números enteros no negativos)Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos el algoritmo construye su resta en base bS1: [Inicialización] Ponemos: j = 0, k = 0S2: [Suma de dígitos] Ponemos: ,y
  40. 40. En otras palabras, k se pone a 0 ó -1, dependiendo de si hay rebose o no, es decir, si uj − vj+ k< 0 o no. En el cálculo de wj, nótese que se asume que debemos tener : ;de ahí .S3: [Bucle en j]Decrementamos j en una unidad. Ahora si j>0 volvemos al paso S2 y sinoterminamos el algoritmo. (Cuando el algoritmo termina, debemos tener k = 0, sólotendremos k = 1 si y sólo si: y esta situación entraen contradicción con las suposiciones inciales).Algoritmo M: (Multiplicación de números enteros no negativos)Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos y elalgoritmo construye su Suma en base b . El tradicional método dellápiz y el papel se basa en ir construyendo los productos parciales de primero para j = 1 hasta m y después ir sumando esos productoscon su escala apropiada. Pero en un computador, es mejor hacer las sumasconcurrentemente con los productos, de la forma en la que describe el algoritmo.M1: [Inicialización] Ponemos todo a 0. Ponemos j = m;M2: [¿Multiplicación por 0?] Si vj = 0 , inicializamos wj = 0 y saltamos al paso M6. (Estacomprobación ahorra un valioso tiempo si la multiplicación que va a realizarse es por 0, deotro modo, este paso puede omitirse)M3: [Inicialización de i] Ponemos: i = n, k = 0M4: [Multiplicar y Sumar]Ponemos ; entonces ponemos y . (Aquí el acarreo k siempre estará en el rango 0 < = k<b)M5: [Bucle en i]Decrementamosi en una unidad. Ahora si volvemos al paso M4 ysino ponemos wj = kM6: [Bucle en j]Decrementamosj en una unidad. Ahora si volvemos al paso M2y sino terminamos el algoritmo.
  41. 41. Algoritmo D: (División de números enteros no negativos)Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos y , donde y n> 1, formamos el cociente de base b y el restoD1: [Normalizar]Ponemos , luego ponemos igual a veces dy iguala veces d.Nótese la introducción de un nuevo dígito u0 a la izquierda de u1; si d==1 , todo lo quetenemos que hacer en este paso es poner u0 = 0. En un ordenador binario, es preferibleelegir d para que sea un número múltiplo de potencia de 2, en lugar del sugerido aquí;cualquier valor de d que dé un resultado de , será suficiente.D2: [Inicialización de j] Ponemos: j = 0 (El bucle en j, desde los pasos D2 hasta D7 seráesencialmente una división de entre , paraconseguir un único dígito del cociente qj.D3: [Calcular ] Si , entonces , sino .Ahora comprobamos si . Si es así, entoncesdecrementamos en una unidad y volvemos a realizar el test.D4: [Multiplicar y restar]Reemplazamos por menos veces Este paso (análogo a lospasos M3, M4 y M5 del algoritmo M) consiste en una simple multiplicación de un númerode una cifra, junto con una resta.Los dígitos deben conservarse positivos.
  42. 42. D5: [Comprobar el test]Ponemos . Si el resultado del paso D4, fue negativo,saltamos al paso D6, sino, saltamos a D7.D6: [Suma hacia atrás] (La probabilidad de que este paso sea necesario, es relativamentebaja , del orden de frac2b, ya que los datos que activan el test en este paso, deben sercuidadosamente controlados en la fase de depuración.) Decrementamosqj en una unidad ysumamos a (Si hay acarreo, se desprecia.)D7: [Bucle en j] Incrementamos j en una unidad, si j >= m, volvemos a D3D8: [Des-normalización] Ahora es el cociente deseado y el resto quebuscábamos debe obtenerse de dividir: .Autores:Pavaro04 : Pablo Antonio Valiente RochaCrbaar04 : Cristina Barra AriasFjhermoso : Francisco Hermoso BañosEnlaces externos Golden Ratio Argentina Castor.es Ignacio A. Langarita Felipe, El número de oro Wikipedia, Número áureo J. Ignacio Extremiana Aldana, Divina proporción championtrees.org, PHI Artículo sobre Fibonacci Paulo Porta, Proporción áurea La Sucesión De Fibonacci Y La NaturalezaBibliografía Ghyka, Matila C. El Número de Oro I y II, Poseidón, 1968. Ghyka, Matila C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidón, 1977. Pacioli, Luca. La Divina Proporción, Ediciones Akal, S.A. 1991. Traducción del original de 1509.
  43. 43. Donald E. Knuth. The art of computer programming. Volumen 2, 1981.Licencia Los contenidos de esta página están publicados bajo los términos de la licencia Atribución, compartir bajo la misma licencia 2.5 de CreativeCommons, conocida como CC-By-Sa. El texto legal puedes verlo pinchando aquí y un resumen en castellano pinchando aquí.Categorías: Revista Epistemowikia | Licencia CC BY-SA 2.5 Genérica | TFAs de Lógica yComputabilidad Artículo Discusión Ver fuente Historial Registrarse/EntrarBuscarNavegación Portada Colaboraciones y Publicaciones diarias Repositorio Ayuda Plantillas de licencias Café virtual Suscripción Estadísticas CALA (Campus Libre y Abierto)traducción ‫ال عرب ية‬ deutsch
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