INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

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INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

  1. 1. George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".
  2. 2. La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo.
  3. 3. Por otro lado, David Hilbert se opuso al intuicionismo y aunque no toleraba las paradojas, no estaba dispuesto a ver las matemáticas mutiladas. En 1904 propuso la teoría de la prueba, la cuál era una teoría de la lógica independiente del contexto y podría ser aplicada a las matemáticas sin encontrar paradojas. Russell a su vez desarrolló su teoría de los tipos para evitar las paradojas. El proponía que los enunciados se acomodaran jerárquicamente. Russell publicó sus resultados en 1908 con la colaboración de Alfred North Whitehead.
  4. 4. • PARADOJA DE CANTOR: EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS • Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C; pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor, la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia. Así pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradicción.
  5. 5. • PARADOJA DE RUSSELL • Sea Z el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Se pregunta ¿Z es o no elemento de sí mismo? Si Z no pertenece a Z, entonces, por la definición de Z, Z pertenece a sí mismo. Pero si Z pertenece a Z, entonces por la definición de Z, Z no pertenece a sí mismo. En cualquiera de los dos casos hay contradicción. • Esta paradoja es análoga a la paradoja del barbero: En una aldea hay un barbero que afeita solamente a los hombres que no se afeitan ellos mismos. Se pregunta ¿Al barbero quién lo afeita?
  6. 6. • IMPORTANCIA DE LOS CONJUNTOS EN LA ING. SISTEMAS COMPUTACIONALES • La importancia de un conjunto dentro de la programación se clasifica en no usar los mismos caracteres en la misma estructura, como comúnmente llamamos la programación primitiva, de manera general las clasificaciones lo aplicamos en bases de datos como las estructuras senténciales de realizar una cosa u otra para ello podemos aplicar la teoría de conjuntos sin repetir los mismos procedimientos y abreviarlo con este elemento. • Cuando tenemos reunidos una colección de diferentes componentes, podemos conocer la naturaleza y las razones para comprender el concepto de la teoría de conjuntos. Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman elemento s del conjunto. Para que un conjunto pueda ser definido los elementos que lo forman deben compartir al menos una propiedad, para que en un momento determinado sea posible identificar si un objeto cualquiera es un elemento del conjunto. • Con mucha frecuencia, cuando hablamos de conjuntos nos referimos a una agrupación o • Colección de cosas, animales, u objetos, desde un sentido práctico • Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.
  7. 7. • PERSONAJES QUE COLABORARON CON CONJUNTOS EN LENGUAJES DE PROGRAMACIÓN • ALAN TURING • NORBERT WEINER • LUITZEN EGBERTUS JAN BROUWER • ALFRED TARSKI • BENOIT MANDELBROT • GONZÁLEZ CARLOMÁN. • CANTOR GEORG • FERREIRÓS DOMÍNGUEZ, JOSÉ; • GÓMEZ-CAMINERO, • EMILIO F. • FERNÁNDEZ LAGUNA, VÍCTOR • CLIMENT COLOMA, JOAN JOSEP • SETÓ, JORDI. • ARRIECHE ALVARADO, MARIO • GONZÁLEZ CARLOMÁN, ANTONIO • ALONSO JIMÉNEZ, JOSÉ A; • PÉREZ JIMÉNEZ, MARIO DE J.; • RUIZ REINA, JOSÉ L. • HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ FERDIUM • JONSONBAUGH, RICHARD
  8. 8. • La Revolución Digital • Esta revolución se inicia con la invención de la computadora digital y el acceso universal a las redes de alta velocidad. Turing relaciona lógica y computación antes que cualquier computadora procese datos. Weiner funda la ciencia de la Cibernética. En las Escuelas modernas de Computación están presentes Lógicos que han permitido avances importantes como Hoare que presenta un sistema axiomático de los sistemas de programación y Dijkstra con un sistema de verificación y deducción de programas a partir de especificaciones.
  9. 9. • partir de especificaciones. • La siguiente revolución lógica • La siguiente Revolución Lógica incorpora la fusión entre matemáticas y computación. Las computadoras tienden a explorar datos inteligentemente transfiriendo información de las bases de datos a las bases de conocimiento interconectadas a través de la Red a escala infinitesimal. • La lógica evoluciona pues como un gen hacia la culminación del conocimiento libre que nace del rigor formal de la Matemática griega; emerge renovada mente de etapas de persecución tan oscuras como la Edad Media y otros intentos más recientes; hasta el intercambio constante y continuo de datos en la moderna era de estructura de redes que Internet proporciona a modo neuronal a la Humanidad.
  10. 10. • En los lenguajes de programación como java o c++ cuales la sintaxis para trabajar con conjuntos • SINTAXIS Un programa en cualquier lenguaje se puede concebir como un string de caracteres escogidos de algún conjunto o alfabeto de caracteres. Las reglas que determinan si un string es un programa válido o no, constituyen la sintaxis de un lenguaje. • A.add(x) adds the element x to the set A . A.add (x) agrega el elemento x al conjunto A. • A.remove(x) removes the element x from the set A . A.Retire (x) elimina el elemento x del conjunto A. • A.contains(x) tests whether x is an element of the set A . A.contains (x) comprueba si x es un elemento del conjunto A. • A.addAll(B) computes the union of A and B . A.addAll (B) calcula la unión de A y B. • A.retainAll(B) computes the intersection of A and B . A.retainAll (B) calcula la intersección de A y B. • A.removeAll(B) computes the set difference , A - B . A.removeAll (B) calcula la diferencia de conjuntos, A - B.
  11. 11. • Operadores lógicos en java

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