12 ReduccióN De Matrices

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12 ReduccióN De Matrices

  1. 1. Reducción de Matrices Prof. Lic. Javier Velásquez Espinoza
  2. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL Represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices Solución Primero se completan con cero los lugares donde no está presente una variable La ecuación matricial será: Matriz de los coeficientes Matriz columna de las variables Matriz columna de las constantes
  3. 3. MATRIZ AUMENTADA Si a la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones, le agregamos al final una columna, cuyos elementos son las constantes del sistema, obtenemos la llamada matriz aumentada En el sistema del ejemplo anterior: La matriz aumentada es: La matriz aumentada describe por completo el sistema de ecuaciones
  4. 4. OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE FILAS Dada una matriz A mxn , se definen las siguientes operaciones elementales entre sus filas o renglones: OPERACIÓN NOTACIÓN 1ra. Intercambiar los renglones (filas) R i y R j R i  R j 2da. Multiplicar el renglón R i por una constante “k” kR i 3ra. Sumar k veces el renglón R i al renglón R j (pero el renglón R i permanece igual) kR i + R j
  5. 5. Ejemplos: R 1  R 2 (1/3)R 1  6R 1 + R 3 0 0 1 3  6  3 6  12 2 0 0 1 3  6  3 6  12 2 3  6  3 0 0 1 6  12 2 0 0 1 3  6  3 6  12 2 1  2  1 0 0 1 6  12 2 1  2  1 0 0 1 2 1  2  1 6  12 0 0 8
  6. 6. MATRIZ REDUCIDA Una matriz se dice que es una matriz reducida si satisface las siguientes condiciones: <ul><li>El 1er elemento no nulo de cualquier fila no nula debe ser 1, mientras que todos los demás elementos en la columna en que aparece este 1, deben ser ceros. </li></ul><ul><li>En cada fila, el 1er elemento diferente de cero debe estar a la derecha del 1er elemento no nulo de cada fila superior. </li></ul><ul><li>3. Todas las filas cuyos elementos son únicamente ceros deben estar en la parte inferior de la matriz. </li></ul>No es una matriz reducida por que la 1ra entrada del 2do renglón no es 1. No es una matriz reducida porque en la segunda columna el primer elemento no nulo debe estar a la derecha del primer elemento no nulo de la fila superior Si es una matriz reducida porque el 1de la segunda fila, está a la derecha del 1 de la fila superior Si es una matriz reducida porque la fila de elementos cero está en la parte inferior de la matriz Ejemplos:
  7. 7. MÁS EJEMPLOS Es una matriz reducida No es una matriz reducida porque en la segunda y tercera columna deben ser cero los demás elementos diferentes de 1 No es una matriz reducida porque el 1de la segunda fila, no está a la derecha del 1 de la fila superior No es una matriz reducida porque la segunda fila cuyos elementos son únicamente ceros no está en la parte inferior de la matriz
  8. 8. REDUCCIÓN DE UNA MATRIZ Para reducir una matriz realizaremos operaciones elementales entre sus filas: Ejemplo: Reducir la siguiente matriz: Solución: 2 3  1 2 1 5 1 1 1 R 1  R 3  2R 1 + R 2  2R 1 + R 3 (  1) R 2  R 2 + R 1  R 2 + R 3 2 3  1 2 1 5 1 1 1 0  1 3 1 1 1 0  1 3 0 1  3 2 3  1 0 1  3 0  1 3 1 1 1 0 1  3 0 1  3 0 1  3 1 1 1 1 0 4 1 0 4 0 1  3 0 1  3 0 0 0 Matriz reducida de A

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