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ルート5をつくる #日曜数学会

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第5回日曜数学会にて辻(@tsujimotter)が発表したスライドです。まだまだ勉強中の分野ですが、今楽しいなと思っている気持ちを伝えたいと思って作ったスライドです。

第5回日曜数学会
https://www.facebook.com/events/1006237369454925/

tsujimotterのポートフォリオ
http://tsujimotter.info/

Published in: Education
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ルート5をつくる #日曜数学会

  1. 1. をつくる ⽇曜数学者 @tsujimotter こと 辻順平 http://tsujimotter.info p 5 = e 2⇡i 5 - e 4⇡i 5 - e 6⇡i 5 + e 8⇡i 5
  2. 2. p 5 = e 2⇡i 5 - e 4⇡i 5 - e 6⇡i 5 + e 8⇡i 5
  3. 3. 1
  4. 4. じつぶ きょぶ
  5. 5. じつぶ きょぶ 2⇡ 5
  6. 6. 円の 5-分点 じつぶ きょぶ 2⇡ 5
  7. 7. 円の 5-分点 ⇣5 = cos 2⇡ 5 + i sin 2⇡ 5 じつぶ きょぶ ⾼校で習うよ! 2⇡ 5
  8. 8. cos ✓ + i sin ✓ = ei✓ オイラーの公式 ⼤学で習うよ!
  9. 9. じつぶ きょぶ ⇣5 = e 2⇡i 5 2⇡ 5
  10. 10. じつぶ きょぶ ⇣2 5 = e 4⇡i 5 ⇣3 5 = e 6⇡i 5 ⇣5 5 = 1 ⇣4 5 = e 8⇡i 5 ⇣5 = e 2⇡i 5 2⇡ 5
  11. 11. e 2⇡i 5 + e 4⇡i 5 + e 6⇡i 5 + e 8⇡i 5 + 1 = 0
  12. 12. の作り⽅ p 5 = e 2⇡i 5 - e 4⇡i 5 - e 6⇡i 5 + e ・・・でしたね
  13. 13. じつぶ きょぶ ⇣4 5 = e 8⇡i 5 ↵ = ⇣1 5 + ⇣4 5 ⇣5 = e 2⇡i 5
  14. 14. じつぶ きょぶ ↵ = ⇣1 5 + ⇣4 5= ⇣2 5 + ⇣3 5 ⇣2 5 = e 4⇡i 5 ⇣3 5 = e 6⇡i 5
  15. 15. じつぶ きょぶ ↵ = ⇣1 5 + ⇣4 5= ⇣2 5 + ⇣3 5
  16. 16. じつぶ きょぶ ↵ = ⇣1 5 + ⇣4 5= ⇣2 5 + ⇣3 5 p 5 = ↵ - = (⇣1 5 + ⇣4 5) - (⇣2 5 + ⇣3 5)
  17. 17. じつぶ きょぶ ↵ = ⇣1 5 + ⇣4 5= ⇣2 5 + ⇣3 5 p 5 = e 2⇡i 5 - e 4⇡i 5 - e 6⇡i 5 + e 8⇡i 5
  18. 18. ???なひとへ •  Q. ⾚⾊の点と⻘⾊の点はどうやって決まるの? •  Q. なんでこんなことが起こるの? •  Q. 何が⾯⽩いの?
  19. 19. Q. ⾚⾊の点と⻘⾊の点はどうやって決まるの? A. 平⽅剰余と関係があります
  20. 20. 1 2 3 4 12 ≡ 1 mod 5 22 ≡ 4 mod 5 (5 の) 平⽅剰余 x2 ≡ 2 mod 5 x2 ≡ 3 mod 5 (5 の) 平⽅⾮剰余 数学科の⼈は習うかも
  21. 21.   Σ円の 5 分点「5の平⽅剰余」になる数  ー Σ円の 5 分点「5の平⽅⾮剰余」になる数 = √5 ガウス和
  22. 22.   Σ円の p 分点「 p の平⽅剰余」になる数  ー Σ円の p 分点「 p の平⽅⾮剰余」になる数 = √ p* ガウス和 ⼀般に素数 p に対して ただし, p ≡ 1 mod 4 のとき p* = p p ≡ 3 mod 4 のとき p* = ­p
  23. 23. Q. なんでそんなことが起こるの? A. 不思議だね
  24. 24. Q. 何が⾯⽩いの? A. 良い質問です!!!
  25. 25. レベルが上がります
  26. 26. 3 + 2 p 5 = 3 + 2 ⇣5 - ⇣2 5 - ⇣3 5 + ⇣4 5 3 + 2 p 5 = 3 + 2⇣5 - 2⇣2 5 - 2⇣3 5 + 2⇣4 5 Q( p 5) ⇢ Q(⇣5) は                       でかけるa0 + a1⇣5 + a2⇣2 5 + a3⇣3 5 + a4⇣4 5a + b p 5 意訳: Q上の⼆次拡⼤体は円分体に含まれる
  27. 27. Q(⇣5) Q( p 5) Q [ [ Q上の⼆次拡⼤体は円分体に含まれる 円分体 クロネッカー・ウェーバーの定理 Q上の任意のアーベル拡⼤は円分体に含まれる see “類対論” 二次拡大体
  28. 28. の世界の世界Q Q( p -1) 4 で割って 1 あまる素数 29 = (5 + 2 p -1)(5 - 2 p -1) 4 で割って 3 あまる素数 31 = 31 = 29 は     で完全分解するQ( p -1) see “類対論”
  29. 29. Q [ [ Q( p -1) {1, 3} {1} 完全分解する素数体の拡⼤ see “類対論”
  30. 30. Q [ [ Q( p -7) Q(⇣7) {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 4} {1} [ [ 完全分解する素数体の拡⼤ see “類対論”
  31. 31. Q [ [ Q( p -7) Q(⇣7) {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 4} {1} [ [ 完全分解する素数体の拡⼤ ガロア群 { 1, 2, 3, 4, 5, 6} { 1, 2, 4} { 1} [ [ see “類対論”
  32. 32. Q( p -7) p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) 素数  は       で完全分解するp であるような 29 = (1 + 2 p -7)(1 - 2 p -7) Q Q( p -7) の世界の世界 53 = (5 + 2 p -7)(5 - 2 p -7) 7 で割って 1 あまる素数 7 で割って 4 あまる素数 see “類対論”
  33. 33. はつくれる! (ガウス和で) p 5 = e 2⇡i 5 - e 4⇡i 5 - e 6⇡i 5 + 結論
  34. 34. このあたりの分野は 超楽しいので ⼀緒に勉強しましょう! (わかりやすい教科書ちょうほしい)
  35. 35. 参考 e 2⇡i 5 = sin 2⇡ 5 + i sin 2⇡ 5 = -1 + p 5 4 + i p 10 + 2 p 5 4 e 8⇡i 5 = sin 8⇡ 5 + i sin 8⇡ 5 = -1 + p 5 4 - i p 10 + 2 p 5 4

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