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定規とコンパスで足し算 科学勉強会第二回公開発表会

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科学勉強会第二回公開発表会で (http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/open/2.html) 発表した資料です。
内容は、定木とコンパスを使った作図に関して。

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定規とコンパスで足し算 科学勉強会第二回公開発表会

  1. 1. 科学勉強会第二回公開発表会 発表資料 http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/open/2.html 定木とコンパスで 足し算 辻 順平 @tsujimotter http://tsujimotter.hatenablog.com
  2. 2. 自己紹介 • 所属: 北海道大学 大学院情報科学研究科 博士課程3年 • 研究: 位置情報技術 • 趣味: 数学 2014/2/23 2
  3. 3. 本日のテーマ 2014/2/23 3
  4. 4. 目次 「定木とコンパスで足し算」 今日は作図の 話をします 0. イントロダクション 1. 作図の基本 2. 正多角形の作図法 3. 定木とコンパスを使った計算 2014/2/23 4
  5. 5. Q. 「作図」と言えば何を思い浮かべますか? 2014/2/23 5
  6. 6. いろいろな作図 今回扱う作図 2014/2/23 6
  7. 7. 作図と義務教育 • 第3学年では,二等辺三角形,正三角形,円について,定規やコンパスによる作図を指導す る。また,二等辺三角形,正三角形によって敷き詰められた模様や,円によって作られた模 様の観察を通して,それらの図形を指導する。 • 第4学年では,平行四辺形,ひし形,台形などの四角形を観察することを通して,共通の性 質を持つ図形に分類したり,それぞれの性質を調べたりする。また,図形の定義(約束)や性 質を基にして,定規やコンパスを使って作図することを指導する。 • 第5学年では,辺の長さや角の大きさに着目し,合同な図形を作図することを通して,平面 図形についての理解を深める指導をする。 • 第6学年では,縮図や拡大図,図形の対称性という観点から,これまで学習してきた図形を 観察し,見直すことを通して,・・・具体的な活動には,紙を折ったり,切ったり,図形を移動さ せたり,切り離したり,変形したり,定規やコンパスを用いて作図したりするなどの活動があ る。 2014/2/23 文部科学省「小学校学習指導要領解説 算数編」平成20年度より抜粋 7
  8. 8. 古代ギリシャの作図 作図問題はギリシャ時代から伝わる知的なパズルゲーム 2014/2/23 8
  9. 9. 目次 「定木とコンパスで足し算」 1. 作図の基本 2. 正多角形の作図法 3. 定木とコンパスを使った計算 2014/2/23 9
  10. 10. 定木とコンパスを使った作図 目盛りは使っちゃダメ 定木(じょうぎ) 2014/2/23 コンパス 10
  11. 11. 作図の基本ルール (1/4) 1. 定木(じょうぎ) 与えられた2点を通る直線を引く 二点 2014/2/23 11
  12. 12. 作図の基本ルール (2/4) 2. コンパス 与えられた中心と半径の円を描く 半径 2014/2/23 中心 12
  13. 13. 作図の基本ルール (3/4) 3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる 2014/2/23 13
  14. 14. 作図の基本ルール (4/4) 4. ただし、2点は最初に与えられて作図に利用できる 2014/2/23 14
  15. 15. 作図の基本ルール 1. 定木(じょうぎ)・・・与えられた2点を通る直線を引く 2. コンパス・・・与えられた中心と半径の円を描く 3. 直線・円のそれぞれの交点だけが作図に利用できる 4. 2点は最初に与えられて作図に利用できる 2014/2/23 15
  16. 16. 作図の基本技法 1. 垂直二等分線 2014/2/23 これさえあれば 大体のことはできる! 2. 平行線 16
  17. 17. 垂直二等分線 二点 二点を通る直線 二点を通る直線に 垂直で点を二等分する線を引きたい 2014/2/23 17
  18. 18. 垂直二等分線 (1/4) 2014/2/23 18
  19. 19. 垂直二等分線 (2/4) 2014/2/23 19
  20. 20. 垂直二等分線 (3/4) 2014/2/23 20
  21. 21. 垂直二等分線 (4/4) 2014/2/23 21
  22. 22. 平行線 この点を通る 下線に平行な線 2014/2/23 22
  23. 23. 平行線 (1/6) 2014/2/23 23
  24. 24. 平行線 (2/6) 2014/2/23 24
  25. 25. 平行線 (3/6) 2014/2/23 25
  26. 26. 平行線 (4/6) 2014/2/23 26
  27. 27. 平行線 (5/6) 2014/2/23 27
  28. 28. 平行線 (6/6) 2014/2/23 28
  29. 29. 平行線 ひし形 2014/2/23 29
  30. 30. 作図の基本技法(再掲) 1. 垂直二等分線 2014/2/23 2. 平行線 30
  31. 31. 目次 「定木とコンパスで足し算」 1. 作図の基本 2. 正多角形の作図法 3. 定木とコンパスを使った計算 2014/2/23 31
  32. 32. 本日のお題:正多角形 2014/2/23 32
  33. 33. 正5角形の作図 Q. 正5角形は作図可能か? 2014/2/23 33
  34. 34. 正5角形の作図 2014/2/23 (1/20) 34
  35. 35. 正5角形の作図 2014/2/23 (2/20) 35
  36. 36. 正5角形の作図 2014/2/23 (3/20) 36
  37. 37. 正5角形の作図 2014/2/23 (4/20) 37
  38. 38. 正5角形の作図 2014/2/23 (5/20) 38
  39. 39. 正5角形の作図 (6/20) 垂直二等分線 2014/2/23 39
  40. 40. 正5角形の作図 2014/2/23 (7/20) 40
  41. 41. 正5角形の作図 2014/2/23 (8/20) 41
  42. 42. 正5角形の作図 2014/2/23 (9/20) 42
  43. 43. 正5角形の作図 2014/2/23 (10/20) 43
  44. 44. 正5角形の作図 (11/20) 平行線 2014/2/23 44
  45. 45. 正5角形の作図 2014/2/23 (12/20) 45
  46. 46. 正5角形の作図 2014/2/23 (13/20) 46
  47. 47. 正5角形の作図 2014/2/23 (14/20) 47
  48. 48. 正5角形の作図 (15/20) 垂直二等分線 2014/2/23 48
  49. 49. 正5角形の作図 2014/2/23 (16/20) 49
  50. 50. 正5角形の作図 2014/2/23 (17/20) 50
  51. 51. 正5角形の作図 2014/2/23 (18/20) 51
  52. 52. 正5角形の作図 2014/2/23 (19/20) 52
  53. 53. 正5角形の作図 2014/2/23 (20/20) 53
  54. 54. 正5角形の作図 2014/2/23 54
  55. 55. 正5角形の作図 A. 正5角形は作図可能 2014/2/23 55
  56. 56. 正7角形の作図 Q. 正7角形は作図可能ですか? 2014/2/23 56
  57. 57. 正7角形の作図 A. 正7角形は作図不能! 2014/2/23 57
  58. 58. ギモン 正5角形は作図可能 2014/2/23 正7角形は作図不能! Q. なぜ正5角形は作図できて 正7角形は作図できないのか? 58
  59. 59. Q. 「正多角形を作図できる」とはどういうことか? 2014/2/23 59
  60. 60. 正5角形の作図のポイント 正五角形の 一辺 2014/2/23 60
  61. 61. 正5角形の作図のポイント ★ 2014/2/23 61
  62. 62. 正5角形の作図のポイント A. ★を描ければ正5角形も描ける ★ 2014/2/23 62
  63. 63. 正5角形の作図への道(1/10) 1 2014/2/23 63
  64. 64. 正5角形の作図への道(2/10) 1 2 2014/2/23 64
  65. 65. 正5角形の作図への道(3/10) 5 2 1 1 2 2014/2/23 65
  66. 66. 正5角形の作図への道(4/10) 5 2 1 1 2 2014/2/23 66
  67. 67. 正5角形の作図への道(5/10) 5 2 1 1 2 2014/2/23 1 2 2 ほげほげの定理 +1 = 2 𝟓𝟓 𝟐𝟐 2 67
  68. 68. 正5角形の作図への道(6/10) 5 2 1 1 2 2014/2/23 1 2 2 ピタゴラスの定理 +1 = 2 𝟓𝟓 𝟐𝟐 2 68
  69. 69. 正5角形の作図への道(7/10) 5 2 1 2 2014/2/23 69
  70. 70. 正5角形の作図への道(8/10) 5 2 1 2 2014/2/23 5 2 70
  71. 71. 正5角形の作図への道(9/10) 5 2 1 2 2014/2/23 5 1 − = 2 2 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 引き算 71
  72. 72. 正5角形の作図への道(10/10) 2014/2/23 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 72
  73. 73. 正5角形の作図 2014/2/23 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 ★= 𝟒𝟒 73
  74. 74. 正5角形の作図 ★= 2014/2/23 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 を作図できれば正5角形が作図できる 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 ★= 𝟒𝟒 74
  75. 75. 正5角形の作図のポイント ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 が作図できる 正5角形が作図できる ★ 2014/2/23 75
  76. 76. 「正5角形の作図」の流れ 𝟏𝟏 スタート 𝟏𝟏, … 作図で使用できる数の集合 , ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 ゴール 正5角形が作図できる
  77. 77. 「正5角形の作図」の流れ 𝟏𝟏 スタート 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 作図で使用できる数の集合 1 2 1 5 , 2 2 1 5 , , 2 2 1 5 , , 2 2 5−1 , 2 5−1 2 ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 ゴール 正5角形が作図できる
  78. 78. 「正5角形の作図」の流れ 𝟏𝟏 スタート 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 作図で使用できる数の集合 1 2 1 5 , 2 2 1 5 , , 2 2 1 5 , , 2 2 5−1 , 2 5−1 2 ★= 作図ルールを繰り返し 数を計算 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 ゴール 正5角形が作図できる
  79. 79. 「正5角形の作図」の流れ 𝟏𝟏 スタート 𝟏𝟏, Q. 作図で使用できる数の集合 1 2 作図ルールを繰り返し 1 5 𝟏𝟏, , 数を計算 2 2 作図のルール内でどんな計算ができるのか? 𝟏𝟏, 𝟏𝟏, 1 5 , , 2 2 1 5 , , 2 2 5−1 , 2 5−1 2 ★= 𝟓𝟓−𝟏𝟏 𝟒𝟒 ゴール 正5角形が作図できる
  80. 80. 目次 「定木とコンパスで足し算」 1. 作図の基本 2. 正多角形の作図法 3. 定木とコンパスを使った計算 2014/2/23 80
  81. 81. 定木とコンパスで “1+1=2” 2014/2/23 81
  82. 82. 定木とコンパスで “1+1=2”(1/5) “1” を決める 1 2014/2/23 82
  83. 83. 定木とコンパスで “1+1=2”(2/5) “1” を測りとる 1 2014/2/23 83
  84. 84. 定木とコンパスで “1+1=2”(3/5) 線を引き延ばす 1 2014/2/23 84
  85. 85. 定木とコンパスで “1+1=2”(4/5) 1 測りとった “1” を加える 2014/2/23 85
  86. 86. 定木とコンパスで “1+1=2”(5/5) 2 1 2014/2/23 1 86
  87. 87. 作図ルールを使った“足し算” 1 1 2 1 1+1 = 2 1 3 1 2014/2/23 1 2+1 = 3 1 87
  88. 88. 作図ルール内で出来る計算 • • • • • 足し算(+) 引き算(ー) 掛け算(×) 割り算(÷) ルート (√) 2014/2/23 88
  89. 89. “足し算” 3 7 4 2014/2/23 3+4 = 7 3 89
  90. 90. “引き算” 3 7 4 2014/2/23 7-3 = 4 3 90
  91. 91. “掛け算” 2 1 3 6 2014/2/23 2×3 = 6 91
  92. 92. “割り算”(1/2) 2 1 3 6 2014/2/23 6÷2 = 3 92
  93. 93. “割り算”(2/2) 3 1 𝟐𝟐 𝟑𝟑 2014/2/23 分数が作れる 2 2÷3 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 93
  94. 94. “ルート(√)”(1/2) 1 𝟐𝟐 1 2014/2/23 94
  95. 95. “ルート(√)”(2/2) 1 𝒂𝒂 𝑎𝑎 どんな数に対してもルート(√)を作図できる 2014/2/23 95
  96. 96. 作図ルール内で出来る計算 • • • • 足し算(+) 引き算(ー) 掛け算(×) 割り算(÷) • ルート (√) 4+3=7 7−3=4 3×2=6 6÷2=3 2, 𝑎𝑎 これらの計算の組み合わせで表せる数 2014/2/23 定木とコンパスで作図できる 96
  97. 97. Q. 2014/2/23 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 は作図できるか? 97
  98. 98. 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ルート Q. 引き算 は作図できるか? 割り算 A. (+-×÷√の組み合わせで出来ているので) 作図できる! 2014/2/23 98
  99. 99. 1 1 1 − + 17 + 2 17 − 17 16 16 16 1 17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17 + 8 Q.この数は作図できるか? 2014/2/23 99
  100. 100. 「四則演算」と「ルート」だけで書ける! 1 1 1 − + 17 + 2 17 − 17 16 16 16 1 17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17 + 8 A. 作図できる! 2014/2/23 100
  101. 101. 正十七角形 ★= 1 1 1 − + 17 + 2 17 − 17 16 16 16 ★ 1 17 + 3 17 − 2 17 − 17 − 2 2 17 + 17 + 8 正十七角形は作図できる! 2014/2/23 101
  102. 102. 正十七角形とガウス 古代ギリシャからの難問 「正十七角形は作図可能かどうか」 ガウスが19歳のときこの問題を解決 実際に作図しなくとも (目を覚ました瞬間に思い付いた) 作図可能かはわかる ガウス (1777-1855) 19世紀の大数学者 2014/2/23 このときガウスは 生涯数学に携わることを決意 102
  103. 103. 正十七角形の作図例 ★ 2014/2/23 103
  104. 104. まとめ 1. 作図の基本 • 定木は直線を描くもの • コンパスは円を描くもの 2. 正多角形の作図 ★が作図できること = 正多角形が作図できること ★ 3. 定木とコンパスを使った計算 2014/2/23 • 作図は「+、-、×、÷、ルート(√)」と等価 • この計算で作られる数は作図できる 104

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