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素数は孤独じゃない! - 第401回科学勉強会

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2015年12月17日(木)に開催された第401回科学勉強会で発表した資料です。

科学勉強会/NSI http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/
作者:@tsujimotter
http://tsujimotter.info

Published in: Education
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素数は孤独じゃない! - 第401回科学勉強会

  1. 1. 素数は孤独じゃない! 日曜数学者 辻順平 @tsujimotter http://tsujimotter.info 1  第 401 回 科学勉強会@札幌 (http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/) 2015/12/17 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, … 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, …
  2. 2. 落ちつくんだ… 「素数」を数えて 落ちつくんだ… 「素数」は1と自分の数でしか 割ることのできない孤独な数字…… わたしに勇気を与えてくれる 荒木飛呂彦「ジョジョの奇妙な冒険 Part6 ストーンオーシャン」より 2
  3. 3. 落ち着いて素数を 数えましょう 今日お話ししたいこと 3
  4. 4. それぞれの素数は強い法則によって 相互に結びついている 今日お話ししたいこと 決して孤独ではない 4
  5. 5. 素数は勝手気ままに現れる? 2 3 5 7 11 13 17 19 5
  6. 6. 鍵となるのは 時計の世界 6
  7. 7. …, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, … 一直線上に数が並ぶ 一般的な数の世界では・・・ 7
  8. 8. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 螺旋状に数を巻き付ける 8
  9. 9. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 「5時間時計の世界」完成! 9
  10. 10. 0 1 23 4 5 6 78 9 10 11 1213 14 15 16 1718 19 5 時間時計では  1 = 6 = 11 = 16 時計の世界の イコール 10
  11. 11. 5時間時計の足し算 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 + = 3 + 4 = 2 7 11
  12. 12. 5時間時計の掛け算 0 1 23 4 0 1 23 4 0 1 23 4 x = 3 x 3 = 4 9 12
  13. 13. 5 時間時計では平方数に 1, 4 な る な ら な い 2, 3 1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 4 4 x 4 = 1 平方数・・・ 0 以外の数の自乗によって得られる数 平 方 数 13
  14. 14. 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 5 時間時計では平方数に 1, 4 な る な ら な い 2, 3 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 7 時間時計では平方数に 1, 2, 4 な る な ら な い 3, 5, 6 準備OK!! 14
  15. 15. バニラとチョコレート の法則 15
  16. 16. 4 で割って 1 あまる素数 ・・・ バニラ素数 4 で割って 3 あまる素数 ・・・ チョコレート素数 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 16
  17. 17. 4 で割って 1 あまる素数 ・・・ バニラ素数 4 で割って 3 あまる素数 ・・・ チョコレート素数 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 17 ヒント
  18. 18. 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 5 時間時計では平方数に 1, 4 な る な ら な い 2, 3 17 時間時計では平方数に 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 な る な ら な い 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 29 時間時計では平方数に 1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28 な る な ら な い 2, 3, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 25, 26 18
  19. 19. 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 7 時間時計では平方数に 1, 2, 4 な る な ら な い 3, 5, 6 23 時間時計では平方数に 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18 な る な ら な い 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22 19 時間時計では平方数に 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 な る な ら な い 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18 19
  20. 20. 法則 p が バニラ素数 のとき p 時間時計では (p–1) が平方数である p が チョコレート素数 のとき p 時間時計では (p–1) が平方数でない 20
  21. 21. 2つの素数の 間にある相互法則 21
  22. 22. 17 時間時計では平方数に 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 な る な ら な い 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 13 vs 17 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 17 は 13 時間時計では 4 に等しい 22
  23. 23. 13 vs 5 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 5 時間時計では平方数に 1, 4 な る な ら な い 2, 3 13 は 5 時間時計では 3 に等しい 23
  24. 24. 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 13 vs 11 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 13 は 11 時間時計では 2 に等しい 24
  25. 25. 29 時間時計では平方数に 1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28 な る な ら な い 2, 3, 8, 10, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 25, 26 13 vs 29 13 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 9, 10, 12 な る な ら な い 2, 5, 6, 7, 8, 11 29 は 13 時間時計では 3 に等しい 25
  26. 26. どちらか一方が バニラ素数 の場合 q が p 時間時計の平方数になる p が q 時間時計の平方数になる q が p 時間時計の平方数にならない p が q 時間時計の平方数にならない 法則 26
  27. 27. 23 時間時計では平方数に 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18 な る な ら な い 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22 19 時間時計では平方数に 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 な る な ら な い 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18 19 vs 23 23 は 19 時間時計では 4 に等しい 27
  28. 28. 11 時間時計では平方数に 1, 3, 4, 5, 9 な る な ら な い 2, 6, 7, 8, 10 19 時間時計では平方数に 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 な る な ら な い 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 18 11 vs 19 19 は 11 時間時計では 8 に等しい 28
  29. 29. どちらも チョコレート素数 の場合 q が p 時間時計の平方数になる p が q 時間時計の平方数にならない q が p 時間時計の平方数にならない p が q 時間時計の平方数になる 法則 29
  30. 30. •  バニラ素数 か チョコレート素数 か(4で割ったあまり) によって素数が2グループに分類できる •  2つの素数 p, q の間に関係がある 30
  31. 31. 平方剰余の 相互法則 31
  32. 32. カール・フリードリヒ・ガウス (1777 - 1855) 32
  33. 33. この法則超やばい! これは人生をかけてでも 意味を解明しないと!! 結果、証明を7通りも発見 33
  34. 34. 34
  35. 35. 『全く別のことのはずなのに,その2 つのことが平方剰余の相互法則によっ て直結してしまうのです.これは全く ふしぎなことで,素数たちが互いに孤 立せず強く関係しあっていることを示 しています. p 太君の心に映る q 子さ んの姿と,q 子さんの心に映る p 太郎君 の姿が,関係しあっているのです. ・・・(中略)・・・ 素数たちもお互いを深くわかりあって いるのでしょう.』 加藤和也 著「数論への招待」より抜粋
  36. 36. それぞれの素数は平方剰余の相互法則によって 結びついている まとめ 決して孤独ではない! 36
  37. 37. 37 8 で割って 1, 7 であまる素数 2 が平方数である 補足:平方剰余の第2補充則 8 で割って 1, 3 であまる素数 (p-2) が平方数である
  38. 38. 38 ✓ q p ◆ = (-1) p-1 2 · q-1 2 ✓ p q ◆ ✓ q p ◆ = 1 ✓ q p ◆ = -1 ( q 時間時計で p が平方数でない) ( q 時間時計で p が平方数である) 補足:ルジャンドル記号を使った平方剰余の相互法則

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