La derivada3

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La derivada3

  1. 1. CAPITULO III LA DERIVADA3.1 Definición de la derivadaSea una función y = f(x) definida sobre cierto intervalo Teniendo en cuenta que h ≠ 0, consideremos, en un(a; b). Fijemos cualquier valor x de dicho intervalo y, punto fijado x, la razón entre el incremento k de laen el punto x, demos al argumento un incremento h tal función en este punto y el incremento correspondienteque el valor x + h pertenezca también al intervalo del argumento h(a; b). k f ( x  h)  f ( x )  (3) h hDefinición La razón (3) se denominará relación de diferencias enSe denominará incremento de la función y = f(x) en el el punto dado x. Puesto que el valor x se cree fijado, lapunto x, correspondiente al incremento del argumento relación de diferencias (3) es función del argumento h.h, el número Esta función está definida para todos los valores del k  f ( x  h)  f ( x) (1) argumento h pertenecientes a cierto entorno bastante pequeño del punto h = 0, excepto el propio punto h = 0.Tiene lugar la siguiente afirmación: para que la fun- De este modo, tenemos derecho de considerar el pro-ción y = f(x) sea continua en el punto x es necesario y blema de la existencia del límite de dicha funciónsuficiente que el incremento k de esta función en el cuando h  0.punto x, correspondiente al incremento del argumentoh, sea infinitesimal cuando h  0. Definición Se denomina derivada de la función y = f(x) en el puntoEsta afirmación permite expresar la condición de con- fijado x el límite de la relación de diferencias (3) paratinuidad de la función y = f(x) en el punto x en forma h  0. La derivada de la función y = f(x) en el punto xnueva, a saber: la función y = f(x) es continua en el se denotará por el símbolo y´(x) o f ´(x). así pues, porpunto x si el incremento k de esta función en el punto definiciónx, correspondiente al incremento del argumento h, es k f ( x  h)  f ( x )infinitesimal para h  0, es decir, si f ( x)  lim  lim . (4) h0 h h0 h lim k  lim [ f ( x  h)  f ( x)]  0 (2) h0 h0 Nótese que si la función y = f(x) está definida y tieneLa condición (2) se denominará forma de diferencias derivada para todos los x del intervalo (a; b), esta deri-de la condición de continuidad de la función y = f(x) en vada será función de la variable x también definidael punto x. sobre el intervalo (a; b).3.1.2 Interpretación geométrica de la derivadaUno de los principales problemas que condujeron al puntos M(x, f(x)) y P(x + h, f(x + h)) son dos puntosdesarrollo del cálculo, fue el de encontrar la pendiente sobre la curva, con la particularidad de que la secantede la línea tangente a una curva f(x) en cualquier punto MP de f(x), que pasa por M y P, no es perpendicular aldel intervalo (a; b). Pasemos ahora a considerar este eje sobre el cual está graficado el dominio D. Usando laproblema. fórmula de la pendiente, tenemos que la pendiente de la secante esSupóngase que f(x) es la gráfica de una función. A una f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h)  f ( x )recta determinada por dos puntos sobre una curva, se MP   ( x  h)  x hle llama línea secante de dicha curva. Sea x  D y seah  0 un número tal que (x + h)  D; entonces los Si dada x  D, podemos hacer que el valor de
  2. 2. LA DERIVADA 88 f ( x  h)  f ( x ) Solución , h ( x  h) 2 x2 se acerque a un número m(x) tanto como deseemos, 1  ( x  h) 4 1  x4con sólo hacer h suficientemente pequeña, llamaremos f ´( x)  lima m = {(x, y) / y = m(x)}. La función pendiente de la h 0 hgráfica de f(x). Definimos la línea tangente a la gráfica ( x  h) 4 x4de f(x) en el punto M(x, f(x)) como la línea que pasa  1  ( x  h) 4 1  x4por M y tiene pendiente igual a m(x).  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h    1  ( x  h) 4 1  x4    ( x  h) 4 (1  x 4 )  x 4 (1  ( x  h)4 )  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )     1  ( x  h) 4 1  x4    h(4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3 )  lim h 0  ( x  h) 2 x2  h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )     1  ( x  h) 4 1  x4    4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3  limConsidérese la función f(x) y sea h un número distinto h 0  ( x  h) 2 x2 de cero, positivo o negativo, que tenga la propiedad de (1  x 4 )(1  ( x  h) 4 )     1  ( x  h) 4 1  x4 que (x + h)  D. Si existe una función f ´(x) con la  particularidad de que 4 x3 2x f ( x  h)  f ( x )  2  . lim  f ´( x) 2x (1  x 4 )3 h0 h (1  x )  4 2 1  x4para algunos valores de x  D, entonces f ( x  h)  f ( x ) lim es la derivada de f(x) con res- Ejemplo h0 h Calcular la derivada de las funciones, utilizando supecto a x. Es decir: si mediante h denotamos un incre- definición:mento arbitrario del argumento y mediante P, el punto ArcCosxde la curva con las coordenadas (x + h, f(x + h)), en- a) f ( x)  ; ArcSenxtonces, la tangente que pasa por el punto M de la curva b) f ( x)  7 ArcTan( x  1) .dada se define como la posición límite de la secanteMP cuando h  0. En la figura podemos ver que el Solucióncoeficiente angular de la secante MP, es decir, la tan- a) Comogente del ángulo de inclinación de esta secante al eje   ArcSenx0X, es igual a la relación de diferencias. Empleando ArcCosx 2    1 .este dato y el hecho de que, pasando al límite para h  ArcSenx ArcSenx 2 ArcSenx0, el ángulo de inclinación de la secante debe trans- Entoncesformarse en el ángulo de la tangente, anteriormente se  dedujo basándose en razonamientos demostrativos que 1 1 2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenxla derivada f ´(x) es igual al coeficiente angular de la f ´( x)  lim h 0 htangente al gráfico de la función y = f(x) en el punto M.   Ejemplo 2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenx  limCalcular la derivada de la función, utilizando su defi- h 0 hnición: ArcSenx  ArcSen( x  h) f ( x)  1  ArcSen( x  h) ArcSenx   .  lim 1  x4 x2  1  x4 2 h 0 h JOE GARCIA ARCOS
  3. 3. LA DERIVADA 89  ArcSenx  ArcSen( x  h)  2 x  lim   2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx 2 2 x( ArcSenx)2 1  x 2Entonces  f ´( x)  lim  ArcSen x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2   2( ArcSenx)2 1  x 2 . 2 h 0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx 7 ArcTan( x  h  1)  7 ArcTan( x  1)  x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2 b) f ´( x)  lim  lim h0 h 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx x  h 1 x 1 ArcTan  x 1  ( x  h)2  ( x  h) 1  x 2 FR 1  ( x  h  1)( x  1)  lim   7 lim 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx FR h 0 h h  x 2 (1  ( x  h)2 )  ( x  h) 2 (1  x 2 )  lim 1  ( x  h  1)( x  1) 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR  7 lim h 0 h  2 xh  h2 1  lim  7 lim 2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR h0 1  ( x  h  1)( x  1)  2 x  h 7  lim  . 2 h0 ArcSen( x  h) ArcSenx  FR 1  ( x  1)23.1.3 Interpretación física de la derivadaAquí estudiaremos las aplicaciones físicas del concep- Sea que la función y = f(x) determina la cantidad deto de derivada. Ante todo, supongamos que la función electricidad y que pasa por la sección transversal de uny = f(x) describe la ley del movimiento del punto mate- conductor en el tiempo x. En este caso, la derivada frial por la línea recta. Entonces, como se sabe, la rela- ´(x) determinará la intensidad de la corriente que pasa ación de diferencias través de la sección transversal del conductor en el k f ( x  h)  f ( x ) momento de tiempo x. Luego, consideraremos el pro-  ceso de calentamiento de un cuerpo. h hdefine la velocidad media del punto en el intervalo detiempo de x a x + h. En este caso la derivada f ´(x), es Supongamos que la función y = f(x) determina la canti- dad de calor y que hay que comunicar al cuerpo paradecir, el límite de la relación de diferencias para h  calentarlo de 0o a xo. Entonces, la relación de diferen-0, define la velocidad instantánea del punto en el mo- cias determina la capacidad calorífica media del cuerpomento de tiempo x. Así pues, la derivada de la función al calentarlo de xo a (x + h)o. En este caso, la derivadaque describe la ley del movimiento define la velocidad f ´(x), es decir, el valor límite de la relación de diferen-instantánea del punto. cias cuando h  0, determina la capacidad caloríficaPara que uno no tenga la idea de que el concepto de del cuerpo para la temperatura dada x. Notemos que,derivada se usa ampliamente sólo en la mecánica, hablando en general, esta capacidad calorífica cambiadaremos ejemplos de aplicación del concepto de deri- al variar la temperatura x.vada en otras ramas de la física.3.1.4 Movimiento rectilíneoLa función s que da la posición del móvil, respecto del distanciaorigen, como función del tiempo t se llama función de razón  tiempoposición. Si, sobre cierto lapso de tiempo h, el objeto la razón media de cambio de la distancia respecto alcambia su posición una cantidad s = s(t + h) – s(t), tiempo viene dada porentonces, por la fórmula JOE GARCIA ARCOS
  4. 4. LA DERIVADA 90 cambio en distancia s s(t  h)  s(t )  v(t )  lim  s´(t ) cambio en tiempo h h0 hllamaremos a esta la velocidad media. Si s(t) da la Llamaremos rapidez al valor absoluto de la velocidad.posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por Es siempre no negativa. Indica tan sólo cuán rápido seuna recta, la velocidad media del objeto en el intervalo mueve un objeto, no en qué dirección. Del mismo mo-[t; t + h] viene dada por do que hemos obtenido la velocidad derivando la fun- s s(t  h)  s(t ) ción posición, obtendremos la aceleración derivando la Velocidad media   . función velocidad. Si s es la función de posición de un h h objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el instante t viene dada por a(t) = v´(t) donde v(t) es laSi s = s(t) es la función de posición de un objeto en velocidad en el instante t.movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en elinstante t viene dada por3.1.5 Movimiento de un proyectilSupóngase que un objeto se proyecta verticalmente de 1manera que la única aceleración que actúa sobre el H (t )   g t 2  v0t  H 0 2objeto es la aceleración constante descendente g debi- donde H0 y v0 son la altura inicial y la velocidad inicialda a la gravedad. Cerca del nivel del mar, g es aproxi- del objeto, respectivamente.madamente 32 pies/seg2 o 9.8 mts/seg2. Puede demos-trarse que en el tiempo t, la altura del objeto está dadapor la fórmula3.1.6 Razón de cambio porcentualSi y = f(x), la razón de cambio porcentual de y con 1 2 S g t y, por tanto, podemos escribir S ´ g t .respecto de x está dada por la fórmula 2 f ´( x) Razón de cambio porcentual  100  f ( x) Ejemplo Cuando un producto se vende al precio x, en que x > 0, la demanda del consumidor está dada por la funciónEjemplo 5Calcular la velocidad instantánea del punto material D( x)  :que cae por la acción de la fuerza de gravedad. xSolución a) Encuentre la razón promedio de cambio en la de-Por cuanto la ley del movimiento de este punto se manda D(x) con respecto al precio x, cuando éste varía 1 de x = 5 a x = 5,5;determina por la función S  g t 2 , entonces el camino b) Encuentre la derivada e interprete su resultado. 2S, recorrido por el punto en un intervalo de tiempo det a t + h, es igual a Solución a) La razón promedio de cambio está dada por el co- g (t  h)2 g t 2 g h2 S    gth  ciente de diferencias: 2 2 2 5 5Por eso la velocidad media en este mismo intervalo de  D D( x  h)  D( x) x  h x  5 51tiempo es igual a      h h h  xh xh S 1 vm   gt  gh  5x 5( x  h)  1 5 x  5( x  h) h 2    Por consiguiente, en el momento fijado de tiempo t, la  ( x  h) x x ( x  h )  h x ( x  h )hvelocidad instantánea v es igual a 5h 5   . S  1  x ( x  h) h x ( x  h ) v  lim  lim  g t  g h   g t h 0 h h 0  2  Para un cambio de precio de 5 a 5.5, se hace x = 5 yDe hecho, se ha calculado la derivada de la función h = 0.5, de modo que x + h = 5.5. Sustituyendo se tiene JOE GARCIA ARCOS
  5. 5. LA DERIVADA 91 D 5 5 su velocidad inicial fue v(0) = -20(0) = 0 en un tiempo    0.18 . h x( x  h) 5(5.5) posterior, cuando t = 3, la piedra ha alcanzado la velo-Es decir, cuando el precio cambia de $ 5 a $ 5,5, la cidad v(3) = -20(3) = -60 metros por segundo. El signodemanda del consumidor disminuye un promedio de negativo indica el movimiento de la piedra hacia abajo.0.18, o 18 artículos por dólar de aumento. Ejemplob) Aplicando el límite al cociente de diferencias, ob- Supóngase que la distancia que recorre un objeto en eltenemos tiempo t está dado por la función s(t) = 3t2 + 2t. Deter- D 5 5 mine la velocidad instantánea de este objeto en el tiem- D´( x)  lim  lim  2 po t. ¿Cuál es la velocidad en el tercer segundo? h0 h h  0 x ( x  h) x SoluciónConsidere que la razón instantánea de cambio en la La velocidad instantánea del objeto, se calcula derivan- 5 do s(t):demanda, D´( x)  , es negativa, sin importar el pre- x2 S (t  h)  S (t ) s´(t )  limcio x. Esto significa que la demanda del consumidor h 0 hsiempre disminuye con respecto al aumento en los 3(t  h)2  2(t  h)  3t 2  2tprecios. Observe también que, cuando x = 5, la razón  lim h 0 hinstantánea de cambio en la demanda es h(6t  3h  2) 5 1  lim  6t  2 . D´( x)   . h 0 h 25 5 La velocidad en el tercer segundo es:Esto significa que, cuando el precio es de $ 5, la fun- v(3) = 6(3) + 2 = 20 mts/seg.ción de demanda disminuye a la razón instantánea de0,2 (ciento) de artículos por dólar de aumento en el Ejemploprecio. Supóngase que el tiempo t, el peso de un pollo está dado por la función w(t) = 1 + 2t + t2. Hallar la rapidezEjemplo instantánea de cambio en el peso, en el tiempo t. ¿CuálSe deja caer una piedra desde una altura de 50 metros. es esta rapidez de cambio en la quinta semana?Su altura sobre el suelo está dada por la función SoluciónH(t) = 50 – 10t2 en el tiempo t; 0  t  3. Encuentre la La rapidez instantánea de cambio en el peso, se calculavelocidad promedio para un periodo de t a t + h. Se- derivando w(t):guidamente, obtenga la velocidad instantánea de la w(t  h)  w(t )piedra en el tiempo t. w´(t )  lim h 0 hSoluciónEn el periodo de t a h, el cambio en la posición de la 1  2(t  h)  (t  h)2  1  2t  t 2  limpiedra es h 0 h H = H(final) – H(inicial) = H(t + h) – H(t)  lim h(2  2t  h)  2  2t .entonces h 0 h H H (t  h)  H (t ) La rapidez de cambio en la quinta semana es: Velocidad promedio   h h w´(t) = 2 + 2(5) = 12 lbs/sem. (50  10(t  h)2 )  (50  10t 2 )  Ejemplo h El volumen de agua contenido en un tanque en el ins- 50  10t 2  20t  h  10h2  50  10t 2 tante t está dado por la función V(t) = 8(8 – t)2. Hallar  h dV e interprete su resultado. Obtener el tiempo t para 20t  h  10h 2 dr  h dV el que 0.  20t  10h . drSi se toman intervalos de tiempo cada vez más peque- Soluciónños, es decir cuando h  0, se deduce que dV V (t  h)  V (t )  lim Velocidad instantánea  lim (20t  10h)  20t . dt h0 h h0 8(8  (t  h)2 )  8(8  t 2 )Por tanto, la velocidad en cualquier instante t, en que  lim h 0 h0  x  3, queda dada por la función v(t) = -20t. En h(h  16  2t )particular, en el tiempo t = 0, cuando se soltó la piedra,  8 lim  128  16t . h 0 h JOE GARCIA ARCOS
  6. 6. LA DERIVADA 92dV función de ingreso marginal. ¿Es el ingreso marginal representa la rapidez de variación del volumendt mayor para 50 artículos o para 100? ¿Qué significa dV esto?con respecto al tiempo t. Haciendo  0 , entonces: Solución dt 128 La función de ingreso marginal, se obtiene derivando la 128 – 16t = 0  t  8 seg. función ingreso total: 16 R ( x  h)  R ( x )Este resultado indica que se necesitan 8 segundos para R ´( x)  limvaciar el tanque. h 0 h 150 150 300   300 Ejemplo  lim x  h 1 x 1La utilidad obtenida por una empresa que fabrica y h 0 hvende x artículos, está dada por la función P(x) = - 25 150h 150  lim  .+ 5x – 2x2. Hallar P´(x) e interprete su resultado. De- h 0 h( x  h  1)( x  1) ( x  1)2terminar también P´(3). Calculamos el ingreso marginal para x = 50 y x = 100:Solución 150 150 P ( x  h)  P ( x ) R ´(50)    0.058 P´( x)  lim (50  1)2 2601 h 0 h y 25  5( x  h)  2( x  h)2  25  5x  2 x 2  lim R ´(100)  150  150  0.015 . h 0 h (100  1) 2 10201 h(5  4 x  2h)  lim  5  4x . El ingreso marginal es mayor cuando x = 50. Esto h 0 h significa que, a más artículos, menor es el ingresoLa derivada de la función utilidad, se le denomina marginal.función utilidad marginal. La utilidad marginal para 3artículos, está dada por: Ejemplo P´(3) = 5 – 4(3) = -7. Una fábrica de ropa estima que su costo para elaborar xComo el signo de la utilidad marginal es negativo, se artículos está dado por la función C(x) = 50 + 5x +puede decir que la utilidad marginal disminuirá. 0,03x2. Si cada pantalón que fabrica se vende en $ 30, ¿cuál es la función de utilidad? Obtener la función deEjemplo utilidad marginal y evaluar en x = 50 y x = 100. 4r 3 dV SoluciónEl volumen de una esfera es V (r )  . Hallar y 3 dr La función de utilidad es igual a los ingresos menos los dV costos de fabricación, esto esdeterminar el significado de esta función. Evaluar dr U(x) = 30x – C(x),en r = 2. es decir:Solución U(x) = 30x – 50 –5x – 0,03x2 dV V ( r  h)  V ( r ) = - 50 + 25x – 0,03x2.  lim dr h0 h La función utilidad marginal se encuentra derivando la función utilidad: 4(r  h)3 4r 3  U ( x  h)  U ( x ) 3 3 U ´( x)  lim  lim h 0 h h 0 h 50  25( x  h)  0.03( x  h)2  50  25x  0.03x 2 h(12r 2  12rh  4h2 )  lim  lim  4r 2 . h 0 h h 0 3h h(25  0.06 x  0.03h)dV  lim representa la rapidez de variación del volumen de h 0 hdr  25  0.06xla esfera con respecto del radio. La variación del vo-lumen de la esfera cuando r = 2 es: Calculamos la utilidad marginal para x = 50 y x = 100: U´(50) = 25 – 0,06(50) = 22 V ´(2) = 4(2)2 = 16. y U´(100) = 25 – 0,06(100) = 19Ejemplo La utilidad marginal es mayor cuando x = 50. EstoUna empresa pronostica que su ingreso total por la significa que, a más artículos, menor es la utilidad 150venta de x artículos es R( x)  300  . Hallar la marginal. x 1 JOE GARCIA ARCOS
  7. 7. LA DERIVADA 933.1.7 Tarea1) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: x 1 b) f ( x)  x2 1  x ; c) f ( x)  x 1  x 2 ; d) f ( x)  ( x2  x)e x ;a) f ( x)  ; x  x 1 2e) f ( x)  x ; 2 x 4  3x 2  1 1 x 5x2  7 f) f ( x)  ; g) f ( x)  ; h) f ( x)  ; x  x 1 2 x2 1 x x2  2 x x 1 k) f ( x)  x2 ln x ; 1  x  x2i) f ( x)  ; j) f ( x)  ; l) f ( x)  ; x2  1 x2  x  1 1  x  x2m) f ( x)  Sen 1  x 2 ; n) f ( x)  1  ln 2 x ; Tanx x o) f ( x)  ; p) f ( x)  ; x 1  Cosx x 1 r) f ( x)  xArcTan x .q) f ( x)  ; ex2) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones: x2  1 b) f ( x)  6 x 2   5 2 c) f ( x)  1a) f ( x)  ; ; ; x 1 2 x 3 x 2 6x  5 1 x 1d) f ( x)  ; e) f ( x)  ; f) f ( x)  3 7 x2  4 x  3 ; x4  x2  1 x 1 4 h) f ( x)  ( x  x1)2 ; ( x  1)( x  3)g) f ( x)  ; i) f ( x)  ; 3x  2 2 ( x  1)( x  3)j) f ( x)  ( x2  x2 )2 ; k) f ( x)  6 ;  2  2 x2  x  (3x  1) 2 4 l) f ( x)  ln  ;  2  2 x2  x   m) f ( x)  ex ; n) f ( x)  ln   x  1  x2  ;  o) f ( x)  ln x  1  x 2 .  Senx  x   3) Un grupo de ingenieros de caminos diseña un tra- a) Calcule la velocidad del globo para t = 4 segundos.mo de carretera que debe conectar una autopista hori- b) Determine la velocidad del globo en el momento enzontal con otra que tiene una inclinación de 20º. El que se encuentra a 50 pie del suelo.enlace debe realizarse sobre una distancia horizontalde 600 metros usando una curva parabólica para unir 6) Un objeto se mueve a lo largo de una recta de ma-los puntos A y B. Obtenga una ecuación del tipo f(x) = nera que después de t minutos su distancia desde elax2 + bx + c para la parábola respectiva y determine las 5 punto de partida es D(t )  10t  metros:coordenadas de B. t 1 a) ¿A qué velocidad se desplaza el objeto al final de 44) Se estima que dentro de t años, la circulación de un minutos?periódico local será C(t) = 100t2 + 400t + 5000: b) ¿Cuánto se desplaza realmente el objeto durante ela) Obtenga una expresión para la razón a la cual la quinto minuto?circulación cambiará con respecto al tiempo dentro det años. 7) El volumen de agua contenido en un tanque en elb) ¿A qué razón cambiará la circulación con respecto instante t lo da V(t) = 10(10 – t)2. Hallar V ´(t) e inter-al tiempo dentro de 5 años?¿disminuirá o aumentara la prete el resultado. Obtener el tiempo t para el quecirculación en ese momento? V ´(t) = 0.c) ¿En cuánto cambiará en realidad la circulacióndurante el sexto año? 8) Un estudio ambiental de cierta comunidad subur- bana señala que dentro de t años el nivel promedio de5) Un globo meteorológico se eleva verticalmente de monóxido de carbono en el aire será Q(t) = 0.05t2 +manera que su altura s(t) sobre el suelo durante los 0.1t + 3.4 partes por millón:primeros 10 segundos de su ascenso está dada por a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido des(t) = 6 + 2t + t2 metros y t está dada en segundos: carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año? JOE GARCIA ARCOS
  8. 8. LA DERIVADA 94b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de 16) Se estima que dentro de t años la población decarbono este año? 6 cierta comunidad suburbana será P(t )  20  miles:c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de t 1carbono durante los próximos 2 años? a) Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo,9) Dos atletas se disponen a correr los 100 metros dentro de t años.planos. Las distancias s1(t) y s2(t) que cada uno de b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año?ellos recorre a los t segundos está dada por c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el 1 1100t segundo año?s1 (t )  t 2  8t y s2 (t )  para t ≥ 0. Determine 5 t  100 d) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9cuál de los corredores es: años?a) El más rápido en la salida; e) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de lab) El que gana la carrera; población a largo plazo?c) El más rápido al cruzar la meta. 17) Un globo esférico se infla y su radio en centíme-10) Cuando cierto jugador de básquetbol salta para tros a los t minutos está dado por r (t )  3 3 t , donde 0 ≤hacer una canasta, la altura de sus pies sobre el piso t ≤ 10. Calcule la razón de cambio con respecto alestá dada por s(t) = -gt2 + 16t pies: octavo minuto de las siguientes cantidades:a) Suponga que g = 32, calcule el tiempo de vuelo en a) r(t);que el jugador se halla en el aire. b) El volumen del globo;b) Determine la velocidad inicial y la altura de salto o c) El área de la superficie del globo.distancia máxima que alcanzan sus pies sobre el suelo. 32c) En la Luna se tiene que g  . Resuelva las par- 18) La utilidad obtenida por una compañía que fabrica 6 y vende x artículos, la da P(x) = - 50 + 10x – x2. Hallartes a) y b) para este valor de g. P´(x) e interpretar esta nueva función. Determinar también P´(5).11) Se lanza una piedra hacia abajo con una veloci-dad inicial de –50 pies/seg desde el techo de un edifi- 19) Un hombre que está en un muelle tira de unacio y choca con el suelo 3 segundos después: cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cen-a) ¿Cuál es la altura del edificio? tímetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobreb) ¿A qué velocidad choca la piedra con el suelo? una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 metros del agua. Si tira de la cuerda a razón de 1 metro12) Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba por segundo, ¿con qué rapidez se acerca el bote aldesde el nivel del suelo con una velocidad inicial de muelle en el momento en que la proa está a 6 metros160 pies/seg: del punto sobre el agua que se encuentra directamentea) ¿Cuándo chocará el proyectil con el suelo? debajo de la polea.b) ¿Cuál es la velocidad de impacto?c) ¿Cuándo alcanzará el proyectil su altura máxima? 20) Una pelota baja rodando por un plano inclinadod) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyec- de manera que la distancia en centímetros que recorretil? al cabo de 3 segundos está dada por s(t) = 2t3 + 3t2 + 4, donde 0 ≤ t ≤ 3:13) La utilidad al producir y vender x artículos queda a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en el segundodada por P(x) = x2 – 200. Hallar P´(x) y determinar qué segundo?representa esta función. Evaluar también P´(x) en x = b) ¿En qué momento alcanza una velocidad de 3010 y x = 20. centímetros por segundo?14) Un biólogo estima que el número de bacterias 21) Se estima que dentro de t años la población depresentes en el instante t está dada por N(t) = 500 + 2t cierto pueblo será+ 5t2. Obtener N´(t) e interprete esta función. Estimar P(t) = t2 + 200t + 10000:N´(t) en t = 1, t = 3 y t = 5. a) Exprese la razón de cambio porcentual de la pobla- ción como una función de t; simplifique esta función en15) Supóngase que la distancias que recorre un objeto forma algebraica.en el tiempo t se modela por S(t) = 4t2 + t. Determinar b) ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentualla velocidad instantánea de este objeto en el tiempo t. de la población a largo plazo?¿Cuál es la velocidad en t = 2? JOE GARCIA ARCOS
  9. 9. LA DERIVADA 9522) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía 29) Cuando un disco metálico circular se calienta, sufueron A(t) = 0.1t2 + 10t + 20 miles de dólares t años diámetro aumenta a razón de 0.01 centímetros pordespués de su formación en 1994: minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del área de unoa) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales bru- de sus lados?tas de la compañía con respecto al tiempo en 2003?b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias 30) Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pieanuales brutas, con respecto al tiempo, en 2003? cúbicos por minuto. ¿Si la presión se mantiene constan- te, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el23) Dos automóviles salen de una intersección al diámetro mide 18 pulgadas?mismo tiempo. Uno viaja hacia el este a una velocidadconstante de 60 km/hora, mientras que el otro va hacia 31) Una persona comienza a correr a partir de unel norte a una velocidad constante de 80 km/hora. punto A hacia el este, a 3 metros por segundo. UnEncuentre una expresión para hallar la razón a la cual minuto después, otra persona sale corriendo desde Acambia la distancia entre los automóviles con respecto hacia el norte a 2 metros por segundo. ¿Cuál es la rapi-al tiempo. dez de variación de la distancia entre las dos personas un minuto más tarde?24) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16pie de altura. Una persona de 5 pie de estatura se aleja 32) La ley de Boyle de los gases asegura que pv = c,del poste a una velocidad de 4 pie por segundo. ¿Con donde p es la presión, v el volumen y c una constante.qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra En cierto momento el volumen es de 75 pulgadas cúbi-cuando él se encuentra a 18 pie del poste? ¿Cuál es la cas, la presión es de 30 libras por pulgada cuadrada ytasa de crecimiento de su sombra? ésta disminuye a razón de 2 libras por pulgada cuadra- da por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del vo-25) Un cohete que se tiene emplazado al pie de una lumen en ese momento?colina cuya pendiente es 1/5 se dispara hacia una coli-na y sigue una trayectoria dada por f(x) = -0.016x2 + 33) Una bola esférica de nieve se derrite de manera1.6x: que su radio disminuye con rapidez constante, de 30 aa) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál era la rapidez deen el momento del disparo? cambio del volumen en el momento en que el radiob) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando mide 25 centímetros?choca contra la colina?c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo. 34) Los extremos de un abrevadero de 4 metros de largo tienen la forma de triángulo equilátero, con lados26) Una barra de metal tiene la forma de un cilindro de 75 centímetros. Se suministra agua al abrevadero acircular recto. Cuando se calienta, su longitud y su razón de 15 litros por minuto. ¿Cuál es la rapidez dediámetro aumenta a razón de 0.002 centímetros por cambio del nivel del agua cuando la profundidad es 15minuto y 0.001 centímetro por minuto, respectivamen- centímetros?te. ¿A razón de cuántos centímetros cúbicos por minu-to aumenta el volumen de la barra en el momento en 35) Un cable de 150 pie de largo y 4.5 pulgadas deque mide 1 metro de largo y 4 centímetros de diáme- diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corro-tro? sión, el área de la superficie del cable disminuye a razón de 600 pulgadas cuadradas por año. Encuentre la27) A las 12:00 horas el barco A se encuentra a 20 rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando lamillas al sur del barco B. Suponiendo que A navega corrosión en los extremos del cable.hacia el oeste a razón de 15 millas por hora, y que Bnavega hacia el sur a 20 millas por hora, evaluar la 36) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pierapidez de cambio o variación de la distancia entre los de largo y 30 pie de ancho. Su profundidad aumentados barcos a las 12:45. uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de 40 pie y después continúa al mismo nivel los 20 pie28) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada restantes, la cual representa una sección transversal. Lacontra la pared de un edificio. La base de la escalera piscina se está llenando a razón de 500 galones porresbala alejándose de la pared a razón de 3 pie por minuto de agua. Calcule aproximadamente la rapidezsegundo. ¿Con qué rapidez desciende el extremo supe- de cambio del nivel del agua en el momento en que larior de la escalera cuando se encuentra a 8 pie del profundidad en la parte más honda es de 4 pie.piso? JOE GARCIA ARCOS
  10. 10. LA DERIVADA 9637) Una persona que hace volar una cometa sostiene 45) Un vaso de papel con agua tiene la forma de unel cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 cono circular recto truncado de 20 centímetros de altu-pie por segundo, mientras la cometa se mueve horizon- ra con radios de la base y de la orilla libre de 3 centí-talmente a una altura de 110 pie. Suponiendo que el metros y 5 centímetros, respectivamente. El agua sehilo se mantiene tenso, encuentre la rapidez con la que fuga del vaso a razón de 100 centímetros cúbicos porse mueve la cometa cuando se han soltado 130 pie de hora. ¿A razón de cuántos centímetros por hora dismi-hilo. nuye la profundidad del agua cuando es de 5 centíme- tros?38) Un globo de aire caliente se eleva en forma verti-cal y una cuerda atada a la base del globo se va soltan- 46) Un tanque esférico de agua de radio r contienedo a razón de 2 metros por segundo. El torno desde el este líquido con una profundidad h y el volumen delcual se suelta la cuerda está a 10 metros de la plata- 1 agua en el tanque está dado por V   h2 (3r  h) . Su-forma de abordaje. ¿Si se han soltado 180 metros de 3cuerda, con qué rapidez asciende el globo? ponga que un tanque esférico de 6 metros de radio se está llenando a razón de 300 litros por minuto. Calcule39) Se lanza una piedra a un lago y produce ondas a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivelcirculares cuyos radios crecen a razón de 20 centíme- del agua cuando la altura es de 1.5 metros.tros por segundo. ¿A razón de cuántos metros porsegundo aumenta el perímetro de una onda cuando su 47) Un tanque esférico está cubierto por una caparadio es de 5 metros? uniforme de hielo de 3 pulgadas de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente pro-40) Cuando dos resistencias R1 y R2 se conectan en porcional al área de la superficie. Demuestre que esparalelo, la resistencia total R está dada por constante la rapidez de cambio del diámetro exterior.1 1 1   . Si R1 y R2 aumentan a razón de 0,01R R1 R2 48) Una persona deja caer una piedra a un lago desdeohmios por segundo y 0,02 ohmios por segundo, res- un acantilado de 50 metros de altura y, dos segundospectivamente, ¿a razón de cuántos ohmios por segundo después, deja caer otra piedra desde el mismo lugar.varía R en el momento en que R1 = 30 ohmios y R2 = Describa la rapidez de cambio de la distancia entre las90 ohmios? dos piedras durante el siguiente segundo.41) La fórmula de la expansión adiabática del aire es 49) La cubierta de un silo tiene la forma de un hemis-pv1.4 = c, donde p es la presión, v es el volumen y c es ferio de 6 metros de diámetro. En dicha cubierta seuna constante. En cierto momento la presión es 40 deposita una capa de hielo de 5 centímetros de gruesodinas por centímetro cuadrado y aumenta a razón de 3 que disminuye a razón de 0.5 centímetros por hora.dinas por centímetro cuadrado por segundo. En ese ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen de hielo?mismo momento el volumen es de 60 centímetroscúbicos. Calcule la rapidez de variación del volumen. 50) Un avión vuela con velocidad constante de 550 kilómetros por hora y con una inclinación de 45º hacia42) El área de un triángulo equilátero disminuye a arriba. Encuentre la rapidez de cambio de la distanciarazón de 3 centímetros cuadrados por minuto. Calcule del avión a una torre de control en tierra, un minutola rapidez de variación de la longitud de sus lados en el después de que éste pasó directamente a 4 kilómetrosmomento en que el área del triángulo es de 250 centí- arriba de ella. Desprecie la altura de la torre.metros cuadrados. 51) Una carretera A que va de norte a sur y otra B que43) Un incendio que comenzó en un terreno seco se va de este a oeste se cruzan en un punto P. A las 10:00extiende formando un círculo. El radio del círculo horas un automóvil pasa por P viajando hacia el nortecrece a razón de 2 metros por minuto. Calcule la rapi- por la carretera A a 100 kilómetros por hora. En esedez con que crece el área del círculo cuando el radio es mismo momento, un avión que vuela hacia el este ade 50 metros. 400 kilómetros por hora y a 8000 metros de altura, se encuentra directamente arriba de un punto en la carre-44) El gas contenido en un globo esférico escapa a tera B que se halla 200 kilómetros al este de P. Si am-razón de 7 libras por hora. ¿A razón de cuántos centí- bos mantienen la misma velocidad y la misma direc-metros por hora disminuye el radio del globo en el ción, ¿cuál es la rapidez de cambio de la distancia entremomento en que el volumen es 450 libras? el avión y el automóvil a las 10:15 horas? JOE GARCIA ARCOS
  11. 11. LA DERIVADA 973.2 Derivadas derecha e izquierdaObservando la completa analogía con los conceptos de Al mismo tiempo, existen las funciones que, en elvalores límite derecho e izquierdo de una función se punto x, tienen la derivada, tanto derecha como iz-introducen los conceptos de derivadas derecha e iz- quierda, pero no la tienen en dicho punto.quierda de la función y = f(x) en el punto dado x. EjemploDefinición Derivar la funciónSe denomina derivada derecha de la función y = f(x) en f ( x)  x  8el punto fijado x el valor límite derecho de la relación Soluciónde diferencias (3) en el punto h = 0, observando la Aplicando la definición de valor absoluto, tenemoscondición de que este valor límite exista.  x  8, x  8 f ( x)  x  8  Definición  x  8, x  8Se denomina derivada izquierda de la función y = f(x) En el punto x = 8 esta función tiene la derivada derechaen el punto fijado x el valor límite izquierdo de la igual arelación de diferencias (3) en el punto h = 0, observan- ( x  h  8)  ( x  8) h lim  lim  1do la condición de que este valor límite exista. h 8 h h 8 h y la derivada por la izquierda esLa derivada derecha de la función y = f(x) en el punto x ( x  h  8)  ( x  8) h lim   lim  1se denota por el símbolo f  ( x) y la izquierda, por el h 8 h h 8 hsímbolo f  ( x) . Como las derivadas por la izquierda y por la derecha son diferentes, entonces la función f(x) no tiene deriva- da en el punto x = 8.Si la función y = f(x) tiene derivada en el punto x, ellatiene en este punto las derivadas derecha e izquierdacoincidentes entre sí. Si la función y = f(x) tiene deri-vada tanto derecha como izquierda en el punto x, y sidichas deriva das coinciden entre sí, entonces la fun-ción y = f(x) tiene derivada en el punto x.3.3 Derivación por fórmulasEn esta sección enunciaremos propiedades, que nos pequeños ypermitan derivar sin necesidad de utilizar la defini- k xhx h    1 (x > 0).ción general. h h h Si x < 0, tenemos x + h < 0 para h suficientemente pe-Teorema queños ySi una función f(x) tiene derivada en c, entonces es k  ( x  h)  (  x ) hcontinua en c.     1 (x < 0). h h h De este modo,Esta propiedad nos hace notar que, si una función es k  1, si x  0,derivable en un punto, entonces la función debe ser y   lim continua en ese punto. Por lo tanto, la derivabilidad h0h  1, si x  0.es una propiedad más eficaz que la continuidad. Sea ahora x = 0. Entonces k h hEjemplo   Sign h   Sign h h h hAnalice la derivada de la función f ( x)  x .  1, si h  0,Solución Para dicha función  1, si h  0. xh  x k k k  . Por esta razón lim  1 y lim   1 . De esta manera, h0h h0h h h h0 h0Si x > 0, tenemos x + h > 0 para h suficientemente JOE GARCIA ARCOS
  12. 12. LA DERIVADA 98la función x tiene en el punto x = 0 una derivada Teoremaderecha igual a 1, y una derivada izquierda igual a -1, Si f y g tienen derivadas en un punto c, entonces fg tienelo que es indicio de que en el punto x = 0 la función también una derivada, y (fg)´(c) = f ´(c)g(c) + f(c)g´(c). x no tiene derivada. La derivada de una suma es la derivada de las derivadas:Teorema (f1 f2 ... fn)´ = (f1´ f2 ... fn) + (f1 f2´ ... fn) + ...La derivada de una función constante es igual a cero. + (f1 f2 ... fn´). Hay una extensión correspondiente de la regla del pro-Ejemplo ducto el caso de más de dos factores. Para tres factores,La derivada de una función constante es la función tenemos: d (3) (fgh)´ = f ´gh + fg´h + fgh´,cero. Enfatizamos que si  0 no significa que la dx y, en general, la derivada de un producto de n funcionesderivada del número 3 sea 0; en cambio la derivada es una suma de n términos, en cada uno de los cuales unade la función constante f(x) = 3 es la función cons- de las n funciones se ha derivado:tante g(x) = 0. (f1f2 ... fn)´ = f1´ + f2´ + ... + fn´.Teorema EjemploSi f tiene derivada en algún punto c, entonces tam- Resuelva la ecuación f ´(x) = 0:bién la tiene kf y f ( x)  x( x  1)2 ( x  2)3 . (kf)´(c) = kf ´(c). Solución Multiplicando los tres factores, obtenemos:TeoremaSean f y g funciones cualesquiera, y definamos una f ( x)  x6  8x5  25x4  38x3  28x2  8x .nueva función f + g por la regla Derivamos esta última expresión: (f + g)(x) = f(x) + g(x). f ´( x)  6 x5  40 x4  100 x3  114 x2  56 x  8Si f y g tienen derivadas en algún punto c, entonces Igualamos a cero esta expresión y luego calculamos sustambién la tiene f + g, y raíces (f + g)´(c) = f ´(c) + g´(c). 3x5  20x4  50 x3  57 x2  28x  4  0La regla para sumas se aplica cuando aparecen más  13 5  13 5  3( x  1)( x  2) 2  x     x   0de dos funciones. Por ejemplo, una suma de tres  6 6   6 6funciones puede escribirse como suma de dos fun-ciones, una de las cuales es a su vez una suma:  x 1  x2 f + g + h = (f + g) + h. Aplicando la regla para sumas dos veces, tenemos  5 13 . [(f + g) + h]´ = (f + g)´ + h´ = f ´ + g´ + h´. x  Esto puede extenderse para cubrir el caso de cual-  6 6  5 13quier número de funciones como sumandos. x    6 6TeoremaSi f(x) = xn, siendo n un número entero positivo, Teoremaentonces f es derivable sobre los reales, y además Si f ´(c) y g´(c) existen, y g(c)  0, entoncesf ´(x) = nxn-1. f  g (c) f ´(c)  f (c) g ´(c)   (c )  .Ejemplo g g 2 (c )Resuelva la ecuación f ´(x) = 0: f ( x)  x3  6 x2  9 x  12 . Cualquier función de la forma f , donde f y g son poli-Solución g f ´( x)  3x2  12 x  9  x2  4 x  3  0 nomios, se llama función racional, porque es la razón de dos polinomios. Las reglas para sumas y productos pro- x 1 porcionan una sencilla fórmula para la derivada de cual- (x - 3)(x - 1) = 0   . x  3 quier polinomio; combinando esto con la regla del co- ciente, podemos derivar cualquier función racional. Po- demos darnos cuenta que no es cierto que la derivada de JOE GARCIA ARCOS
  13. 13. LA DERIVADA 99un producto es el producto de las derivadas respecti- (1  x3 ) 2vas. De manera análoga, la derivada de un cociente   2 x2 3no es simplemente el cociente de las derivadas. (1  x3 )2 (1  x3 )6 1  x3Ejemplo   2 x2 3Derivar la siguiente función: (1  x3 )3 (1  x3 )4 x2  5x  6 1  x3 2x2 1  x3a) f ( x)  ; b) f ( x)  3 .  3 . x  x7 2 1 x 3 x  1 1  x3 6Solución ( x 2  x  7)(2 x  5)  ( x 2  5 x  6)(2 x  1) Ejemploa) f ´( x)  Resuelva la ecuación f ´(x) = 0: ( x 2  x  7)2 x2  x  6 6 x 2  2 x  41 f ( x)  .  . x  10 x  25 2 ( x 2  x  7)2 Solución ( x 2  10 x  25)(2 x  1)  ( x 2  x  6)(2 x  10) 2 f ´( x)  ( x 2  10 x  25) 1  1  x3  3 (1  x3 )(3x 2 )  (1  x3 )(3x 2 )b) f ´( x)    3  1  x3    (1  x3 )2  11x 2  62 x  35 . 2 ( x 2  10 x  25) 6 1 x3  3 x2 11x2  62 x  35  0  (x – 5)(11x – 7) = 0    1  x3  (1  x3 )2  3   x5  2 x2 1  x3  7 .  3  x  11  (1  x3 )(1  x3 ) 1  x33.3.1 Costo marginalDado C como una función de costos de producción, Si C es derivable y x se aproxima a c, entonces este co- C ( x) ciente diferencial tiende a C´(c). Así C´(c) es a menudono necesariamente lineal. Definimos que C ( x)  x igualado con el costo unitario de producir unidades in-es el costo promedio por unidad de producir las pri- crementales, después que c unidades se han producido.meras unidades de x. En comparación Llamamos a la derivada de la función del costo de pro-C (c  h)  C ( c ) ducción, la función del costo marginal. es el costo promedio por unidad de hproducción h unidades adicional, después que c hasido producida.3.3.2 Elasticidad de demandaDado que D(p) describe una función de demanda si Formalmente nuestra razón es:el precio de un bien cambia de c a p dólares, enton- D ( p )  D (c )ces el porcentaje cambia en precios y la cantidad D (c ) c [ D( p)  D(c)] demandada será: pc ( p  c ) D (c )  pc  D ( p )  D (c )  c 100%   y 100%   Desafortunadamente, a menos que D sea una función  c   D (c ) La razón porcentual de cambio en cantidad deman- lineal, esta razón cambia en la medida en que varía p. Sindada al porcentaje de cambio en precio, mide las embargo, si p tiende hacia c, entonces podemos aproxi-respuestas de la demanda a las fluctuaciones en pre- D ( p )  D (c ) mar por D´(c). Por tanto, cuando p tiendecios. Es esencial que se compare el porcentaje de pccambio más que el cambio mismo. hacia c JOE GARCIA ARCOS
  14. 14. LA DERIVADA 100 D ( p )  D (c ) a) Encuentre el aumento en el número de litros deman- D (c ) c dados semanalmente;  E (c)  D´(c) . pc D (c ) b) Encuentre el porcentaje de cambio en el precio; c c) Encuentre el porcentaje de cambio en la cantidadDonde a E(c) llamamos punto de elasticidad de de- demandada;manda para el precio c. d) ¿Cuál es la razón porcentual del cambio en cantidad demandada, al porcentaje de cambio en precio?;Ejemplo e) Calcule el punto de elasticidad de la demanda;Suponga que el costo de producir x impresoras está f) Use E(1) para estimar el porcentaje de cambio en ladado por la función C(x) = 375 + 25x + 2x2. Encuen- cantidad demandada si el precio cambia de $ 1 a $ 1,05.tre la función de costo marginal en x = 4 y x = 16, y Soluciónluego interprete su resultado. a) El incremento esSolución D(0,95) – D(1) = 1364,625 – 1350 =14,625Si C(x) es la función de costo total, entonces C ´(x) litros por semana.se denomina función de costo marginal. Es decir: C´(x) = 25 + 4x. b) El cambio en precio es 0,95 – 1 = -0,05 dólares, porSi x = 4, tanto el porcentaje de cambio en el precio es C ´(4) = 25 + 4(4) = 25 + 16 = 41 0,05 100%  5% . dólares por artículo, 1lo cual representa el costo aproximado de la quinta c) Si el cambio en cantidad demandada es 14.625, elimpresora. porcentaje de cambio esAnálogamente, si x = 16, 14,625 100%  1,08% . C ´(16) = 25 + 4(16) = 89 dólares por artículo, D(1)lo cual representa el costo aproximado de la décima 1,08séptima impresora. d) La razón es  0,216 . 5El costo exacto de producir la quinta impresora es e) Debemos calcularC(5) – C(4) = [375 + 25(5) + (5)2] – (1) D´(1) - [375 + 25(4) + (4)2] = 525 – 491 = 34 dólares. E (1)  . D(1)Ejemplo Si D´(p) = -300p,Dado C(x) = 2x2 +5x+350 como una función de (1)(300)(1) E (1)   0,2 .costo externo. 1350a) Calcule el costo promedio por unidad de producir f) Para estimar el porcentaje de cambio en la cantidad100 unidades adicionales, después de haber produci- demandada, multiplique el porcentaje de cambio en eldo 1000; precio por el punto de elasticidad. Si el precio es 5 centa-b) Calcule el costo marginal después de haber pro- vos, el porcentaje de cambio en el precio es 5 %. Así elducido 1000 unidades. porcentaje de cambio en la cantidad demandada es apro-Solución ximadamente (-0,2)(5) = -1%. El signo menos indica quea) El costo de producción de diez unidades adiciona- la cantidad demandada disminuirá.les es el costo de producir 1100 unidades menos elcosto de producción de 1000 unidades. Así el costo Ejemplopromedio por unidad es: La parte superior de una escalera de mano de 2 metros de C (1100)  C (1000) 2425850  2005350 largo descansa sobre una pared vertical, y su parte infe-  100 100 rior empieza a deslizarse sobre un pavimento horizontal, 420500 hacia abajo y hacia afuera. En el momento en que el pie   $ 4205 . de la escalera se encuentra a 1.2 metros de la pared, se 100b) Puesto que C ´(x) = 4x +5, el costo marginal está deslizando a la velocidad de 0.2 metros por segundo.cuando x = 1000 es 4(1000) + 5 = $ 4005. ¿A qué distancia de la pared se encontrará el pie de la escalera cuando los dos extremos se mueven a la mismaEjemplo velocidad?Si el precio por litro de aceite para cocina es p dóla- Soluciónres, entonces los consumidores podrán comprar Supongamos que OA representa el pavimento, OB laD(p) = 1500 – 150p2 litros semanalmente. Suponga pared y AB la escalera; las flechas representan la direc-que el precio se reduce de $ 1 a $ 0,95. ción del movimiento. Si x es la distancia OA del pie de la escalera a la pared, y y la distancia OB de la parte alta al JOE GARCIA ARCOS

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