APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo
ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR
APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE
CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE
PLACAS PERFURADAS
CAMPINAS
2015

CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE
PLACAS PERFURADAS
Dissertação de Mestrado apresentada à
Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura
e Urbanismo da Unicamp, para obtenção do
título de Mestre em Engenharia Civil na área
de Estruturas e Geotécnica.
Orientador: Prof. Dr. LEANDRO PALERMO JUNIOR

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): Não se aplica.
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Soares Junior, Romildo Aparecido, 1988-
So11a SoaAplicação do método dos elementos de contorno na análise de
instabilidade de placas perfuradas / Romildo Aparecido Soares Junior. –
Campinas, SP : [s.n.], 2015.
SoaOrientador: Leandro Palermo Junior.
SoaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade
de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.
Soa1. Placas (Engenharia). 2. Método de elementos de contorno. 3.
Flambagem (Mecânica). I. Palermo Junior, Leandro,1960-. II. Universidade
Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e
Urbanismo. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Application of the boundary element method in the instability
analysis of perforated plates
Palavras-chave em inglês:
Plates (Engineering)
Boundary element method
Buckling (Mechanics)
Área de concentração: Estruturas e Geotécnica
Titulação: Mestre em Engenharia Civil
Banca examinadora:
Leandro Palermo Junior [Orientador]
Cilmar Donizeti Basaglia
Raul Rosas e Silva
Data de defesa: 15-12-2015
Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E
URBANISMO
CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS
PERFURADAS
Dissertação de Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constituída por:
Prof. Dr. Leandro Palermo Junior
Presidente e Orientador/Universidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Cilmar Donizeti Basaglia
Universidade Estadual de Campinas
Prof. Dr. Raul Rosas e Silva
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se
no processo de vida acadêmica do aluno.
Campinas, 15 de dezembro de 2015

DEDICATÓRIA
A Deus, À minha família, Pai, Mãe, Irmão e meus amigos por acreditarem na
possibilidade do desenvolvimento deste trabalho. À Carla, minha companheira de
todos os dias. Também dedico este trabalho ao meu orientador Prof. Dr. Leandro
Palermo Junior, pois este trabalho foi possível de ser realizado graças a seus
ensinamentos. E aos que utilizarem esta obra como fonte de estudo.

AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Leandro Palermo Junior por ter confiado
no meu trabalho e ter estado sempre disposto a ajudar e compartilhar seu
conhecimento. Agradeço também a CAPES pela ajuda financeira no
desenvolvimento deste trabalho.

RESUMO
O método dos elementos de contorno é usado no presente trabalho para obter as
cargas críticas de placas perfuradas. O efeito da deformação por cortante é incluído
no modelo de flexão de placas isotrópicas. O efeito da não linearidade geométrica
relacionado com a carga no plano da placa é introduzido com a adição de duas
integrais na formulação: uma é aplicada no domínio e a outra no contorno. A
equação integral pode ser relacionada a uma das condições naturais de acordo com
o problema de valor de contorno. Elementos de contorno quadráticos contínuos e
descontínuos foram utilizados. Os pontos de colocação foram posicionados no
contorno. A mesma função de mapeamento foi utilizada para as interpolações
conformes e não-conformes, isto é, nós nas extremidades de elementos quadráticos
continuam nas extremidades quando elementos descontínuos são utilizados,
somente o ponto de colocação é movido. A subtração de singularidade e a técnica
da transformação de variáveis foram utilizadas para as singularidades de tipo
Cauchy e fraca, respectivamente, quando é realizada a integração em elementos
contendo o ponto de colocação. Células retangulares foram utilizadas para
discretizar a integral de domínio relacionada com o efeito da não linearidade
geométrica. Resultados para alguns tipos de condições de contorno foram
comparados com os da literatura. Análises de convergência foram feitas em alguns
problemas para mostrar o comportamento da formulação de acordo com o número
utilizado de células de domínio.
Palavras chave: Placas (Engenharia), Método de elementos de contorno, Flambagem
(Mecânica)

ABSTRACT
The boundary element method is used in this study to obtain critical loads of
perforated plates. The effect of shear deformation is included in the bending model of
isotropic plates. The effect of geometrical non-linearity related to in-plane loading is
introduced with two additional integrals in the formulation: one is performed on the
domain and other on the boundary. The boundary integral can be related to one of
the natural conditions according to the boundary value problem. Quadratic
continuous or discontinuous boundary elements were used. Collocation points were
always placed on the boundary. The same mapping function was used for conformal
and non-conformal interpolations, i.e. nodes at ends of quadratic elements remain at
ends when discontinuous elements were employed and collocation points are shifted.
The singularity subtraction and the transformation of variable technique were
employed for the Cauchy and the weak type singularity, respectively, when
integrations were performed on elements containing the collocation points.
Rectangular cells were used to discretize the domain integral related to the
geometrical non-linearity effect. Results for some types of boundary conditions were
compared with those from the literature. Convergence analyses were done in some
problems to show the behavior of the formulation according to the number used for
domain cells.
Keywords: Plates (Engineering), Boundary element method, Buckling (Mechanics)

LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido ....................................................42
Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa ..............................................................46
Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal .............................49
Figura 5.1 – Posicionando o ponto no contorno .......................................................60
Figura 5.2 – Discretização de um problema de placa...............................................73
Figura 5.3 – Mudança de coordenadas para o elemento isoparamétrico.................74
Figura 5.4 – Plotagem das funções de forma...........................................................76
Figura 5.5 – Integração com ponto fonte fora do elemento (placa) ..........................84
Figura 5.6 – Integração com ponto fonte dentro do elemento (placa) ......................84
Figura 5.7 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas de placas ...........85
Figura 5.8 – Placa engastada em um dos lados.......................................................86
Figura 5.9 – Sistema de equações...........................................................................87
Figura 5.10 – Sistema de equações com aplicação das condições de contorno......88
Figura 5.11 – Sistema de equações linear ...............................................................89
Figura 5.12 – Sistema de equações linear com integral da carga............................90
Figura 6.1 – Placa com solicitação no plano ............................................................93
Figura 6.2 – Placa deformada devido à solicitação no plano ...................................94
Figura 6.3 – Elemento diferencial com solicitação no plano.....................................94
Figura 6.4 – Elemento diferencial deformado...........................................................95
Figura 6.5 – Elemento diferencial com forças de cisalhamento no plano.................96
Figura 6.6 – Discretização de um problema de instabilidade de placas .................100
Figura 6.7 – Discretização de um problema instabilidade de placas com furo .......101
Figura 7.1 – Exemplo de problema bidimensional..................................................109
Figura 7.2 – Integração com ponto fonte fora do elemento ....................................113
Figura 7.3 – Integração com ponto fonte dentro do elemento ................................113
Figura 7.4 – Ilustração da matriz de coeficientes para problemas bidimensionais.118
Figura 9.1 – Tipos de vinculação............................................................................139
Figura 9.2 – Vinculação todos os lados simplesmente Apoiados - AAAA ..............140
Figura 9.3 – Vinculação 2 lados apoiada e engastada em 2 - AEAE ....................141
Figura 9.4 – Vinculação com quatro lados engastados - EEEE .............................143
Figura 9.5 – Tipos de vinculação..........................................................................146
Figura 9.6 – Malha com 10 elementos por lado e 25 células de domínio.............147
Figura 9.7 – Malha com 32 elementos por lado e 256 células de dominio ...........147
Figura 9.8 – Placa verificada quanto à instabilidade - AAAA - HARD ....................148
Figura 9.9 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAA - HARD
................................................................................................................................148
Figura 9.10 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAE - HARD.................149

Figura 9.11 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAE - HARD
................................................................................................................................149
Figura 9.12 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAAA – HARD..................150
Figura 9.13 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAAA - HARD
................................................................................................................................150
Figura 9.14 – Placa verificada quanto à instabilidade – AEAE - HARD..................151
Figura 9.15 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAE - HARD
................................................................................................................................151
Figura 9.16 – Placa verificada quanto à instabilidade - EAEA - HARD ..................152
Figura 9.17 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EAEA - HARD
................................................................................................................................152
Figura 9.18 – Placa verificada quanto à instabilidade – LAAA - HARD..................153
Figura 9.19 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAAA -
HARD ......................................................................................................................153
Figura 9.20 – Placa verificada quanto à instabilidade - LAEA - HARD...................154
Figura 9.21 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LAEA - HARD
................................................................................................................................154
Figura 9.22 – Placa verificada quanto à instabilidade – LALA - HARD ..................155
Figura 9.23 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - LALA - HARD
................................................................................................................................155
Figura 9.24 – Placa verificada quanto à instabilidade - AEAL - HARD...................156
Figura 9.25 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AEAL - HARD
................................................................................................................................156
Figura 9.26 – Placa verificada quanto à instabilidade – AAAL - HARD..................157
Figura 9.27 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - AAAL - HARD
................................................................................................................................157
Figura 9.28 – Placa verificada quanto à instabilidade - EEEE - HARD ..................158
Figura 9.29 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - EEEE - HARD
................................................................................................................................158
Figura 9.30 – Placa verificada quanto à instabilidade – ALAL - HARD .................159
Figura 9.31 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - ALAL - HARD
................................................................................................................................159
Figura 9.32 – Placa verificada quanto à instabilidade – carga biaxial - AAAA - HARD
................................................................................................................................160
Figura 9.33 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial -
AAAA.......................................................................................................................160
Figura 9.34 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AEAL - HARD
................................................................................................................................161
Figura 9.35 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - carga biaxial
- AEAL.....................................................................................................................161
Figura 9.36 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - AAAL - HARD
................................................................................................................................162

AAAL.......................................................................................................................162
Figura 9.38 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – AALL - HARD
................................................................................................................................163
AALL .......................................................................................................................163
Figura 9.40 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial - ALAL - HARD
................................................................................................................................164
ALAL .......................................................................................................................164
Figura 9.42 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga biaxial – EEEE - HARD
................................................................................................................................165
EEEE.......................................................................................................................165
Figura 9.44 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento -
AAAA.......................................................................................................................166
Figura 9.45 – Parâmetros críticos de acordo com células de domínio - cisalhamento
- AAAA ....................................................................................................................166
Figura 9.46 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento –
EEEE.......................................................................................................................167
- EEEE ....................................................................................................................167
Figura 9.48 – Placa verificada quanto à instabilidade - carga de cisalhamento –
EAEA.......................................................................................................................168
– EAEA....................................................................................................................168
Figura 9.50 – Vinculação para placas com furos....................................................171
Figura 9.51 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,1; 0,2; 0,3 e 0,4)
................................................................................................................................172
Figura 9.52 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno (d/L = 0,5; 0,6 e 0,7)...173
Figura 9.53 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1 – Carga Uniaxial
................................................................................................................................174
................................................................................................................................175
................................................................................................................................176
................................................................................................................................177
................................................................................................................................178
................................................................................................................................179

................................................................................................................................180
Figura 9.60 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 1 .........182
Figura 9.61 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno ....................................183
Figura 9.62 – Malha 2 – cg da célula distante do contorno refinada ......................184
Figura 9.63 – Gráfico para os parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 .........188
Figura 9.64 – Malha com cg da célula distante do contorno 2................................189

LISTA DE TABELAS
Tabela 9.1 – Coeficientes para placas comparadas com a solução analítica.........139
Tabela 9.2 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AAAA – HARD
................................................................................................................................140
Tabela 9.3 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – HARD ..............141
Tabela 9.4 – Resultados para o ponto central da placa – AAAA – SOFT...............141
Tabela 9.5 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – AEAE– HARD
................................................................................................................................142
Tabela 9.6 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – HARD ..............142
Tabela 9.7 – Resultados para o ponto central da placa – AEAE – SOFT...............143
Tabela 9.8 – Parâmetros de máxima deflexão para a vinculação – EEEE– HARD 143
Tabela 9.9 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – HARD ..............144
Tabela 9.10 – Resultados para o ponto central da placa – EEEE – SOFT............144
Tabela 9.11 – Coeficientes para problemas de instabilidade..................................145
Tabela 9.12 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAA – HARD...........................148
Tabela 9.13 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAE – HARD...........................149
Tabela 9.14 – Parâmetro crítico de flambagem – EAAA – HARD...........................150
Tabela 9.15 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAE – HARD...........................151
Tabela 9.16 – Parâmetro crítico de flambagem – EAEA – HARD...........................152
Tabela 9.17 – Parâmetro crítico de flambagem LAAA – HARD..............................153
Tabela 9.18 – Parâmetro crítico de flambagem – LAEA – HARD...........................154
Tabela 9.19 – Parâmetro crítico de flambagem – LALA – HARD ...........................155
Tabela 9.20 – Parâmetro crítico de flambagem – AEAL – HARD...........................156
Tabela 9.21 – Parâmetro crítico de flambagem – AAAL – HARD...........................157
Tabela 9.22 – Parâmetro crítico de flambagem – EEEE – HARD...........................158
Tabela 9.23 – Parâmetro crítico de flambagem – ALAL – HARD ...........................159
Tabela 9.24 –Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAA - HARD .....160
Tabela 9.25– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AEAL – HARD.....161
Tabela 9.26 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AAAL – HARD....162
Tabela 9.27 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – AALL – HARD ....163
Tabela 9.28– Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – ALAL – HARD .....164
Tabela 9.29 – Parâmetro crítico de flambagem - carga biaxial – EEEE – HARD ...165
Tabela 9.30 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – AAAA –
HARD ......................................................................................................................166
Tabela 9.31 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EEEE –
HARD ......................................................................................................................167
Tabela 9.32 – Parâmetro crítico de flambagem - carga de cisalhamento – EAEA –
HARD ......................................................................................................................168
Tabela 9.33 – Malha 1 – cg da célula próximo ao contorno para placas com furos170
Tabela 9.34 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0.1 – Malha 1
................................................................................................................................174
Tabela 9.35 – Parâmetros críticos de flambagem, placa com furo d/L = 0,2 – Malha 1
................................................................................................................................175

................................................................................................................................176
................................................................................................................................177
................................................................................................................................178
................................................................................................................................179
................................................................................................................................180
Tabela 9.41 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 1....182
Tabela 9.42 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2.......185
Tabela 9.43 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 –
Comparação............................................................................................................186
Tabela 9.44 – Parâmetros críticos de flambagem, com relação a d/L – Malha 2, h/L =
0,001 .......................................................................................................................188
Tabela 9.45 – Parâmetros críticos de flambagem, placas com furo – Malha 2 –
Tensão média..........................................................................................................190
Tabela 9.46 – Parâmetros críticos de flambagem – Malha 2 – Tensão média –
Comparação............................................................................................................191
Tabela 9.47 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação de todas as malhas,
h/L = 0,01 ................................................................................................................192
Tabela 9.48 – Parâmetros críticos de flambagem, comparação da malha 2 e tensão
média ......................................................................................................................193

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas
MEC – Métdodo dos Elementos de Contorno
MEF – Método dos Elementos Finitos
UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

LISTA DE SÍMBOLOS
D = Módulo de Rigidez à Flexão
E = Módulo de Young
M = Momento Fletor
N = Normal
Q = Cortante
h = Espessura
L = Comprimento de um lado
 = Variável intrinsica utilizada na integração
 = Variável utilizada na transformação de Telles


= Posição do Ponto Fonte
 = Tensão
u = função dos deslocamentos
 = Delta de Kronecker
 = Grafiente de uma função
 = Laplaciano
 = Deformação
ijC = Coeficientes para ponto no contorno
n = Cossenos diretores
F = Forças de corpo
 = Coeficiente de Reissner

*
T = Soluções fundamentais de força de superfície
*
U = Soluções fundamentais de deslocamento
q = Carga uniformemente distribuída
w= Deslocamento na direção z

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................22
1.1 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................25
1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................25
1.2.1 Objetivo Geral: .................................................................................................26
1.2.2 Objetivos Específicos: ......................................................................................26
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.................................................................................27
2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE
CONTORNO .............................................................................................................27
2.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS
NÃO PERFURADAS .................................................................................................33
2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes ..........................................................33
2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares..............................................................34
2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro.........................................................34
2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas.......................................................35
PERFURADAS..........................................................................................................35
2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes........................................35
2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro ......................................36
2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas.....................................37
2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos ..............................................................37
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO
TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ........................37
3 REVISÃO MATEMÁTICA.....................................................................................39
3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................39
3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS................................................................................39
3.2.1 Notação indicial................................................................................................39
3.2.2 Vetor Gradiente ................................................................................................40
3.2.3 Laplaciano........................................................................................................40
3.2.4 Delta de Kronecker...........................................................................................41
3.2.5 Delta de Dirac...................................................................................................41
3.2.6 Teorema da Divergência ..................................................................................41
3.3 ELASTICIDADE LINEAR.....................................................................................42
3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS ..........................................................................43

4 TEORIA DE PLACAS...........................................................................................44
4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................44
4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF ...................................................................................44
4.3 TEORIA DE REISSNER......................................................................................48
5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER..........................53
5.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................53
5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO ........................................53
5.3 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO CONTORNO...................................60
5.4 ESFORÇOS GENERALIZADOS A PARTIR DAS SOLUÇÕES
FUNDAMENTAIS......................................................................................................62
5.5 A APLICAÇÃO NUMÉRICA DO MEC PARA PLACAS DE REISSNER ..............73
6 O EFEITO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA ..............................................93
6.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................93
6.2 AS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA O PROBLEMA DE INSTABILIDADE..94
6.3 AS EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA O PROBLEMA DE
INSTABILIDADE .......................................................................................................97
6.4 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO
QUE LEVA EM CONTA A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA.............................102
7 PROBLEMAS DE ELASTICIDADE BIDIMENSIONAL .......................................109
8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA................................................................................121
8.1 INTEGRAÇÃO REGULAR ..............................................................................121
8.2 TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES ...........................................121
8.2.1 Singularidade do tipo ln(r) ............................................................................122
8.2.2 Aplicação de acordo com o posicionamento do ponto fonte ........................129
8.2.3 Singularidade do tipo 1/r...............................................................................130
9 RESULTADOS...................................................................................................139
9.1 VALIDAÇÃO DO MÉTODO UTILIZADO - RESULTADOS PARA PROBLEMAS
DE FLEXÃO EM PLACAS SEM FUROS ................................................................139
9.1.1 Comentários sobre os resultados para problemas de flexão de placas .......144
9.2 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS SEM FUROS ..............145
9.2.1 Exemplo 1 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAA ........148
9.2.2 Exemplo 2 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAE ........149
9.2.3 Exemplo 3 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAAA ........150
9.2.4 Exemplo 4 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAE ........151
9.2.5 Exemplo 5 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EAEA ........152
9.2.6 Exemplo 6 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAAA.........153

9.2.7 Exemplo 7 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LAEA.........154
9.2.8 Exemplo 8 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação LALA .........155
9.2.9 Exemplo 9 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AEAL.........156
9.2.10 Exemplo 10 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação AAAL.....157
9.2.11 Exemplo 11 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação EEEE ....158
9.2.12 Exemplo 12 – Placa com carga constante uniaxial – Vinculação ALAL .....159
9.2.13 Exemplo 13 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAA ......160
9.2.14 Exemplo 14 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AEAL.......161
9.2.15 Exemplo 15 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AAAL.......162
9.2.16 Exemplo 16 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação AALL .......163
9.2.17 Exemplo 17 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação ALAL .......164
9.2.18 Exemplo 18 – Placa com carga constante biaxial – Vinculação EEEE ......165
9.2.19 Exemplo 19 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação AAAA.......166
9.2.20 Exemplo 20 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EEEE.......167
9.2.21 Exemplo 21 – Placa com carga de cisalhamento – Vinculação EAEA.......168
9.2.22 Comentários sobre os problemas de instabilidade de placas sem furos....169
9.3 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 1 -
CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO ........................................................170
9.3.1 Vinculação para placas com furos................................................................171
9.3.2 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos pequenos
................................................................................................................................172
9.3.3 Malha 1 - cg da célula próximo ao contorno para placas com furos grandes
................................................................................................................................173
9.3.4 Exemplo 1 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,1..............174
9.3.10 Exemplo 7 – Malha 1, placa com furo quadrado, relação d/L = 0,7............180
9.3.11 Comentários sobre os resultados para placas com furos – Malha 1 – cg
próximo ao contorno................................................................................................181
9.3.12 Comparação dos resultados para a malha 1 – cg da célula próximo ao
contorno ..................................................................................................................182
9.4 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 –
CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO .......................................................183

9.4.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula
distante do contorno................................................................................................185
distante do contorno................................................................................................187
9.4.3 Comparação dos resultados – Malha 2 – cg da célula distante do contorno......
................................................................................................................................188
9.5 RESULTADOS PARA INSTABILIDADE DE PLACAS COM FUROS – MALHA 2 –
CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO – TENSÃO MÉDIA ........................189
9.5.1 Resultados para placas com furos – Carga Uniaxial – Malha 2 – cg da célula
distante do contorno – Tensão média .....................................................................190
distante do contorno – Tensão média .....................................................................192
10 PROGRAMAS DESENVOLVIDOS ..................................................................194
10.1 PROGRAMA ESTADO PLANO DE TENSÃO/DEFORMAÇÃO ......................194
10.2 PROGRAMA PARA PROBLEMAS DE PLACAS ............................................194
10.3 MÓDULO – MOD_INP_QP1 ...........................................................................194
10.4 MÓDULO – MOD_GEO_QP1 .........................................................................196
10.5 MÓDULO – MOD_MAT_QP1..........................................................................197
10.6 MÓDULO – MOD_SOL_AUTOVALOR_QP1..................................................198
10.7 MAIN_QP1 ......................................................................................................199
10.8 PROGRAMA GERADOR DE MALHAS...........................................................199
11 CONCLUSÃO...................................................................................................200
11.1 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE FLEXÃO DE PLACAS ...............200
11.2 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS NÃO
PERFURADAS........................................................................................................200
11.3 CONCLUSÕES SOBRE O PROBLEMA DE INSTABILIDADE DE PLACAS
PERFURADAS – MALHA 1 – CG DA CÉLULA PRÓXIMO AO CONTORNO.........201
PERFURADAS – MALHA 2 – CG DA CÉLULA DISTANTE DO CONTORNO........202
PERFURADAS – MALHA 2 – TENSÃO MÉDIA......................................................202
12 PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS ...............................................203
REFERÊNCIAS.......................................................................................................204

22
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho trata da aplicação e desenvolvimento de uma solução
computacional para utilização do método dos elementos de contorno em problemas
de flexão e instabilidade de placas perfuradas utilizando a teoria de REISSNER
(1945), obtendo-se os parâmetros críticos de flambagem. A eficácia do método na
resolução deste tipo de problema já foi comprovada por diversos trabalhos na
literatura como PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005), sendo notáveis as vantagens
da utilização do método dos elementos de contorno com relação a outros métodos,
como a discretização apenas do contorno do problema, a boa convergência para
gradientes e derivadas e a menor utilização de processamento. Apesar destes
pontos positivos observa-se algumas desvantagens do método como a necessidade
do cálculo de integrais singulares, a necessidade da solução de matrizes cheias e a
necessidade da utilização das soluções fundamentais previamente obtidas,
conforme descrito por KATSIKADELIS (2002).
Conforme BREBBIA et al. (1991), a precisão dos resultados é de grande
dependência do método de integração utilizado, no presente trabalho é abordada a
técnica da subtração de singularidade para resolução de integrais singulares do tipo
1/r, as quais são chamadas de fortemente singulares ou do tipo Cauchy, sendo
vista nos trabalhos de ALIABADI (2002), PALERMO JR. (2000) e KZAM (2010).
Também é abordada a técnica da transformação de Telles para resolução de
integrais singulares do tipo ln(r), as quais são chamadas de fracamente singulares
conforme o trabalho de KARAM (1986). Também no presente trabalho são
apresentadas as soluções fundamentais obtidas por WEEËN (1982) utilizadas no
método dos elementos de contorno para placas de Reissner. A aplicação do método
de forma numérica também é analisada demonstrando-se a montagem e cálculo
das parcelas de cada solução fundamental. As placas resolvidas serão finas ou
moderadamente espessas, isotrópicas, em regime linear para pequenos
deslocamentos e em diversos tipos de condições de contorno. Um breve resumo
dos capítulos no presente trabalho é encontrado abaixo:
O capítulo 1 inicia o presente trabalho mostrando os objetivos gerais e
específicos, juntamente com a justificativa.

23
O capítulo 2 mostra a revisão da literatura com os principais trabalhos
relacionados com placas e o método dos elementos de contorno. Detalhando desde
os primeiros passos do método no desenvolvimento das equações integrais até a
sua utilização em modelos computacionais.
O capítulo 3 tem uma breve revisão matemática abordando as funções mais
utilizadas no método dos elementos de contorno, também é apresentada a notação
indicial utilizada no presente trabalho. As equações da teoria da elasticidade são
mostradas neste capítulo.
O capítulo 4 é dedicado para a explicação do comportamento de placas de
acordo com as teorias de Kirchhoff e Reissner. Primeiramente será abordada a
teoria de Kirchhoff ou também chamada de teoria clássica de placas, mostrando-se
sua dedução e principais hipóteses. Depois será mostrada a teoria de Reissner, que
difere da teoria clássica por considerar a contribuição do esforço cortante na
deformação da placa.
O capítulo 5 mostra como é aplicado o método dos elementos de contorno no
problema de placas de Reissner. Este capítulo mostra a dedução completa da
equação integral de contorno, sendo feita a partir do teorema da reciprocidade de
Betti. Será feita a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície a
partir das soluções fundamentais de deslocamento, multiplicando-se os momentos
pelos cossenos diretores. Também será descrito a aplicação do método de maneira
numérica abordando-se a integração das soluções fundamentais, montagem do
sistema de equações e solução do problema em nós do contorno e em nós internos.
No capítulo 6 é feita uma breve análise do problema de instabilidade de
placas, são desenvolvidas as equações de equilíbrio para este tipo de problema.
Depois é apresentada a teoria de instabilidade de placas utilizando-se o método dos
elementos de contorno, desenvolvendo-se as equações integrais de contorno e os
métodos numéricos para análise. É também mostrada a aplicação do método
numérico quociente de Rayleigh para solução do problema de autovalor utilizado
para encontrar os parâmetros críticos de flambagem das placas analisadas. É
descrito o processo de integração de células de domínio para considerar os efeitos
das tensões de domínio da placa.

24
No capítulo 7 é mostrado o desenvolvimento do método dos elementos de
contorno para problemas de elasticidade em duas dimensões, os quais são usados
para extrair as tensões nas bordas de furos, a fim de promover uma análise mais
precisa dos parâmetros críticos de flambagem. São apresentadas as soluções
fundamentais utilizadas no cálculo e também a aplicação numérica, para encontrar
as soluções em pontos do contorno e também em pontos internos do domínio.
No capítulo 8 são desenvolvidos os métodos de integração singular
utilizados no presente trabalho. É deduzida a técnica da integração de Telles,
necessária quando o problema apresente um tipo de singularidade ln(r). É também
deduzida a técnica da subtração de singularidade, utilizada quando o problema
apresenta o tipo de singularidade 1/r.
No capítulo 9 são apresentados os resultados obtidos para os parâmetros
críticos de flambagem avaliados em diversos tipos de exemplos de placas
quadradas perfuradas e não perfuradas, utilizando-se vários tipos de condições de
contorno diferentes, como borda livre, engastada ou simplesmente apoiada.
No capítulo 10 são apresentados os programas desenvolvidos ao longo do
presente trabalho, explicando os módulos utilizados.
No capítulo 11 é feita uma análise dos resultados obtidos, mostrando as
conclusões obtidas no decorrer do presente trabalho.
No capítulo 12 são feitas algumas propostas para trabalhos futuros.

25
1.1 JUSTIFICATIVA
Os trabalhos que apresentam os parâmetros críticos de flambagem para
placas perfuradas são muito poucos quando comparados com os problemas de
placas não perfuradas. Os resultados da literatura para estes tipos de problemas
também são muito limitadas. Devido a complexidade da geometria, observa-se uma
maior dificuldade na obtenção de soluções analíticas e muitos trabalhos recorrem a
métodos numéricos.
Apesar de existirem trabalhos que avaliam a instabilidade de placas com furos
centrais, como é o caso de SABIR e CHOW (1983), BROWN e YETTRAM (1986),
EL-SAWY e NAZMY (2001) e DOVAL et al. (2013), estes trabalhos não mostram a
influência da espessura da placa no parâmetro crítico de flambagem.
A análise de instabilidade de placas levando em conta o efeito da deformação
por cortante, a partir do estado de tensões iniciais na chapa perfurada obtido pela
elasticidade plana, pode levar à boa convergência dos parâmetros críticos de
flambagem mesmo quando é analisada a influência do tamanho da espessura até
placas moderadamente espessas.
O método dos elementos de contorno para resolução de placas pode ser
também de grande utilidade para softwares de cálculo de estruturas, devido ao
menor uso de processamento e também à melhor precisão das respostas em
problemas de placas se comparado ao método dos elementos finitos, conforme
mencionado por HARTMANN (1989) e KATSIKADELIS (2002). Uma análise mais
precisa dos esforços e cargas críticas das peças delgadas ou de moderada
espessura poderão gerar estruturas mais seguras e baratas.
1.2 OBJETIVOS
O principal objetivo do presente trabalho é calcular os parâmetros críticos de
flambagem de placas perfuradas e não perfuradas utilizando o método dos
elementos de contorno, quando aplicado na teoria de placas que leva em conta o
efeito da deformação por cortante. O presente trabalho também visa mostrar a
metodologia utilizada para realizar a aplicação do método dos elementos de
contorno no problema de instabilidade de placas. Para este propósito foi necessário
o desenvolvimento de um código em uma linguagem matemática, a linguagem

26
escolhida foi o FORTRAN 90 devido à sua fácil implementação, velocidade do
cálculo e alta precisão. O programa foi desenvolvido no ambiente de programação
Visual Studio 2015 Community, integrado ao compilador INTEL FORTRAN 2016
versão para estudantes. Foram obtidos resultados com diversas condições de
contorno e comparados com outros trabalhos para diversos tipos de problemas de
placas, como problemas de flexão e a obtenção do parâmetro crítico de flambagem.
1.2.1 Objetivo Geral:
Obter os parâmetros críticos de placas perfuradas utilizando elementos de
contorno.
1.2.2 Objetivos Específicos:
• Desenvolver um programa que resolva os problemas de maneira rápida e precisa;
• Demonstrar a aplicação do método numérico passo a passo;
• Analisar as equações dos problemas propostos e suas soluções;
• Apresentar de maneira completa os métodos de integração singular;
• Resolver problemas com diversos tipos de condições de contorno;
• Comparar os resultados obtidos com outros autores

27
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE
CONTORNO
A aplicação dos métodos numéricos da maneira que se observa nos dias de
hoje, utilizando-se softwares de computador para resolver problemas de engenharia,
é fruto de anos de progresso da utilização de técnicas matemáticas obtidas por
pesquisadores. Muito antes do aparecimento dos computadores utilizados hoje para
resolução de problemas, LORD KELVIN (1848) resolveu o problema de um corpo
elástico e isotrópico em um espaço em três dimensões solicitado por uma carga
concentrada. A solução encontrada para este problema é chamada de Solução
Fundamental de Kelvin, a qual ainda é usada para solucionar problemas de
elasticidade utilizando-se métodos numéricos, muito anos depois de Kelvin concebê-
la. As soluções analíticas para problemas simplificados de placas e instabilidade de
placas podem ser encontrados na literatura, exemplos destes trabalhos são dos
livros de TIMOSHENKO e WOINOWSKY-KRIEGER (1959) e também
TIMOSHENKO e GERE (1961), contendo soluções analíticas para problemas
simples como placas retangulares ou circulares. Porém, estas soluções podem não
ser suficientes para problemas de engenharia práticos, o que levou a busca de
métodos numéricos para resolução dos problemas de placas mais complexos, já que
estes têm solução analítica de difícil obtenção ou até mesmo impossível. Como já
mencionado a aplicação atual do método vem de um somatório de técnicas obtidas
ao longo do tempo por diversos pesquisadores, como o artigo de HÖRMANDER
(1963) que apresentou os avanços na teoria de operadores diferenciais parciais
lineares, este trabalho teve grande uso mais tarde, na obtenção das soluções
fundamentais. E também o livro de ABRAMOVITZ e STEGUN (1965), o qual detalha
as funções de Bessel modificadas utilizadas em problemas de placas anos depois no
trabalho de WEEËN (1982).
A utilização de equações integrais na resolução de problemas de elasticidade
linear foi introduzida por FREDHOLM (1903). Posteriormente diversos trabalhos
devem ser citados como MUSKHELISHVILI (1953), MIKHLINI (1957) e SMIRNOV
(1964), onde tratam problemas de engenharia utilizando-se equações integrais.
Porém, a popularidade destes métodos foi pouca, devido a não existência de

28
computadores capazes de processar estas técnicas. KUPRADZE (1965) apresentou
os primeiros passos para a utilização da formulação indireta, utilizando-se a solução
fundamental de Lord Kelvin.
A primeira aplicação do método dos elementos de contorno em placas
utilizando-se a teoria clássica foi observada no trabalho de JASWON et al. (1967)
mostrando-se que os problemas demonstrados pela equação bi harmônica podem
ser formulados em termos de equações integrais, utilizando-se o método indireto
para cálculo. CRUSE (1969) apresentou a resolução de problemas de elasticidade
em três dimensões utilizando-se o método dos elementos de contorno e apresentou
a solução de uma placa engastada sendo tracionada.
NIWA et al. (1974) descreveram a primeira solução de problemas de
instabilidade elástica de placas por meio do auxílio de equações integrais. MAITI e
CHAKRABARTY (1974) apresentaram a solução de placas poligonais simplesmente
apoiadas utilizando-se equações integrais de contorno.
HANSEN (1976) apresentou a análise de placas infinitas com furos e contorno
não carregado utilizando duas equaçoes integrais, uma correspondente a expressao
do deslocamento e outra correspondente a sua derivada em relaçao a uma direção
qualquer. ALTIERO e SIKARSKIE (1978) sugeriu o tratamento do problema de
placas mais geral, baseando-se em um problema em que a função de Green é
conhecida, utilizando-se uma placa fictícia.
Os primeiros pesquisadores a utilizar métodos diretos para resolução de
placas foram BEZINE (1978), STERN (1979) e DANSON (1979). Essa técnica foi
mais tarde generalizada para quaisquer condições de contorno por WU e ALTIERO
(1979). TOTTENHAM (1979) discutiu a aplicação de métodos diretos e indiretos em
elementos estruturais de cascas e placas. GOSPODINOC e LJUTSKANOV (1982)
apresentaram uma formulação direta do método dos elementos de contorno para a
teoria clássica, sendo feita também uma análise de instabilidade de placas.
O primeiro pesquisador a aplicar o método dos elementos de contorno na
teoria de placas proposta por REISSNER (1945) foi WEEËN (1982). Weeën deduziu
as soluções fundamentais para os deslocamentos e trações para aplicação do

29
método, mostrando resultados para placas circulares e retangulares. Weeën propôs
para futuros trabalhos uma melhor investigação das quadraturas utilizadas na
integração e expansão das capacidades de calculo do programa como cargas
transversais não uniformes.
KATAYAMA et al. (1983) apresentaram soluções para placas perfuradas com
contorno livre ou engastadas, utilizando-se a teoria clássica e o método dos
elementos de contorno. DU et al. (1984) resolveram problemas de placas com furos
retangulares utilizando-se elementos de contorno e baseando-se na teoria clássica.
BREBBIA et al. (1984) lançam em seu livro diversas técnicas para solução de placas
utilizando-se elementos de contorno e a teoria clássica. COSTA e BREBBIA (1985)
obtém a formulação geral para os problemas de instabilidade de placas utilizando-se
o método dos elementos de contorno. GUO-SHU e MUKHERJEE (1986) resolveram
problemas de placas com furos circulares por elementos de contorno baseando-se
na teoria clássica.
KARAM (1986) apresentou em sua dissertação de mestrado diversas técnicas
para refinamento do método para placas de Reissner, como a transformação
quadrática para resolução de integrais singulares. PARIS e LEÓN (1987)
apresentaram a solução de placas com apoios internos pelo método dos elementos
de contorno baseando-se na teoria clássica. SYNGELLAKIS e KANG (1987)
apresentaram a solução de instabilidades de placas utilizando-se elementos de
contorno e células de domínio triangulares. LIU (1987) apresentou uma nova
formulação para problemas de instabilidade de placas, que envolve apenas dois
tipos de equações integrais, sendo estas semelhantes às utilizadas na análise linear
dos problemas de flexão de placas pelo método dos elementos de contorno e
adequadas para placas com formas arbitrárias no plano. TANAKA e MIYAZAKI
(1988) resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método
dos elementos de contorno. KARAM e TELLES (1988) analisaram o problema de
placas pelo método direto e mostraram que o problema também pode ser aplicado a
placas infinitas.
HARTMANN (1989) apresentou em seu livro problemas de placas com furos
retangulares utilizando-se a teoria clássica. BREBBIA et al. (1991) lançam um livro

30
introdutório para elementos de contorno contendo a resolução de problemas de
potencial e elasticidade. RIBEIRO (1992) resolveu problemas de placas por
elementos de contorno submetidos a um gradiente de temperatura. BECKER (1992)
lança seu livro com diversos tipos de problemas, disponibilizando o código para um
programa de elementos constantes. VENTURINI e PAIVA (1993) apresentou a
resolução de diversos tipos de problemas de placas utilizando-se diversas condições
de contorno diferentes. KATSIKADELIS e YOTIS (1993) aplicaram o método dos
elementos de contorno para placas espessas utilizando-se a teoria de Reissner, a
solução é expressa em termos de dois potenciais, um bi harmônico e um de Bessel.
KANE (1994) detalhou em seu livro o método de colocação do ponto fonte,
com aplicações em problemas de duas e três dimensões. SYNGELLAKIS e ELZEIN
(1994) apresentaram uma formulação para o cálculo de instabilidade placas
utilizando-se elementos de contorno, resolvendo diversos tipos de problemas. EL-
ZAFRANY et al. (1995) apresentaram uma solução fundamental modificada para
análise de placas finas e espessas com formas arbitrárias. MARCZAK (1995)
apresentou em seu trabalho uma solução para instabilidade de placas de Reissner
utilizando-se o método dos elementos de contorno, mostrando a necessidade de
malhas com celulas de domínio refinadas para verificar a convergência dos
resultados.
RASHED et al. (1997) apresentaram uma formulação hiper singular para o
problema de placas de Reissner utillizando-se elementos de contorno, mostrando o
problema da torção em um cubo. FERNANDES (1998) apresentou em seu trabalho
a solução de placas pela teoria clássica utilizando-se a técnica de sub-elementos
para cálculo das soluções fundamentais de contorno. DUARTE (1999) avaliou a
instabilidade de placas pelo método dos elementos de contorno utilizando-se a
técnica dos nós duplos e células de domínio triangulares. LIN et al. (1999)
resolveram diversos problemas de instabilidade de placas utilizando o método dos
elementos de contorno, inclusive o problema de a placa circular com carga uniforme
ao longo do contorno. FOLTRAN (1999) mostrou que é possível utilizar soluções
analíticas para as integrais das soluções fundamentais para problemas de
elasticidade planos, utilizando-se elementos lineares.

31
RASHED (2000) detalhou o processo de cálculo de placas espessas
utilizando o método dos elementos de contorno, calculando as soluções
fundamentais de singularidade forte de maneira indireta, apresentou também os
métodos para cálculo de placas de fundação. ANDRADE (2001) realizou a
comparação entre as teorias de Reissner, Mindlin e Kirchhoff quando calculadas
utilizando o método dos elementos de contorno. SIMÕES (2001) obteve as cargas
críticas em placas utilizando o método dos elementos de contorno baseando-se na
teoria clássica.
VENTSEL e KRAUTHAMMER (2001) realizaram em seu livro a comparação
entre os métodos direto e indireto da aplicação do método dos elementos de
contorno. KATSIKADELIS (2002) publicou em seu livro diversas técnicas para
utilização no método dos elementos de contorno, como o tratamento de integrais
singulares fortes, podendo ser resolvidas pela técnica dos sub-elementos.
PALERMO JR. (2000) aplicou a integração analítica e elementos lineares
para calcular problemas de placas baseando-se nas teorias de Reissner e Mindlin
utilizando método dos elementos de contorno. ALIABADI (2002) foi pioneiro em
apresentar o método da subtração de singularidade para aplicações em integrais
singulares no método dos elementos de contorno. NERANTZAKI e KATSIKADELIS
(2003) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas com espessura
variável baseado na teoria de Von Karman, utilizando-se o método dos elementos de
contorno. CRESCE (2003) realisou a análise não-linear de pavimentos de concreto
armado considerando a teoria de Reissner, apresentando diversos tipos de
problemas entre eles o problema com carga em linha no centro da placa.
PURBOLAKSONO (2003) apresentou em sua tese a análise de instabilidade de
placas com fissuras utilizando-se o método dos elementos de contorno. WEN et al.
(2005) resolveram o problema de grandes deslocamentos de placas quando
baseado na teoria de Reissner.
PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) apresentaram a resolução de
problemas de instabilidade em placas utilizando o efeito da deformação por cortante,
neste artigo é demonstrado o procedimento de cálculo utilizando o método dos
elementos de contorno utilizando-se células de domínio e também da utilização do

32
método da reciprocidade dual, realizando-se então uma comparação entre os dois
métodos.
PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) resolveram o problema de grandes
deslocamentos de placas quando baseado na teoria de Reissner utilizando-se de
uma formulação hipersingular e também uma função de aproximação para o cálculo
dos termos não-lineares.
SAKANAKA (2006) apresentou os métodos para obtenção das frequências
naturais de vibração livre e cargas críticas de placas de Reissner pelo método dos
elementos de contorno. SANCHES (2009) utilizou pontos de colocação fora do
domínio da placa, a fim de não haver a necessidade de cálculo de integrais
singulares, para calcular placas de Reissner. ALIABADI e SUPRIYONO (2007)
apresentam a resolução de problemas de placas de Reissner considerando os
efeitos da não linearidade física e geométrica, utilizando-se do método dos
elementos de contorno.
RASHED (2008) propôs uma nova formulação para problemas de placas que
levam em conta o efeito da deformação por cortante. Em seu trabalho, ele descreve
a técnica utilizada para diminuir integrais hipersingulares para integrais do tipo valor
principal de Cauchy, diminuindo assim os recursos computacionais necessários para
resolução do problema.
BAIZ e ALIABADI (2009) demonstraram que o problema de instabilidade de
placas pelo método dos elementos de contorno pode ser resolvido utilizando-se
apenas integrais de contorno, utilizando o método da reciprocidade dual e o método
da integração radial. KZAM (2009) apresentou em seu trabalho sobre mecânica da
fratura a solução das integrais singulares pelo método da subtração de
singularidade. KZAM e CODA (2010) demonstraram em detalhes a aplicação do
método da subtração de singularidade utilizando-se a expansão de Taylor em
problemas resolvidos pelo método dos elementos de contorno.
DOVAL et al. (2010) apresentaram a análise de instabilidade de placas uma
formulação que incorpora a flexão clássica de placas e formulacão para elasticidade

33
plana, apresentando um método puro com apenas integrais de contorno, utilizando-
se a integração radial. CHEN e ZHOU (2010) demonstraram a teoria detalhada
sobre o cálculo de placas utilizando a teoria de Kirchhoff e apresentaram a relação
de que, quanto maior o grau da equação diferencial a ser resolvida no problema de
engenharia, maior será a vantagem do método dos elementos de contorno contra o
método dos elementos finitos. BUI et al. (2011) apresentaram em seu artigo sobre a
resolução de problemas sem a utilização de malhas, comparando os resultados da
metodologia apresentada e o método dos elementos de contorno.
OCHIAI e SHIMIZU (2012) apresentam em seu trabalho o método da tripla
reciprocidade para problemas de placas utilizando-se a teoria de Kirchhoff. DOVAL
(2013) apresentou em sua dissertação a solução dos problemas de estabilidade
para placas de materiais compositos laminados, utilizando o método da integração
radial.
FENNER (2014) descreveu com detalhes a integração de integrais singulares
utilizando a quadratura logaritmica, técnica importante no cálculo das integrais
quando o ponto fonte coincide com o elemento a ser integrado. KATSIKADELIS
(2014) lança seu livro abordando os diferentes problemas de placas uttilizando o
método dos elementos de contorno, entre eles a análise de instabilidade e grandes
deslocamentos.
NÃO PERFURADAS
2.2.1 Placas solicitadas por cargas uniformes
BRYAN (1891) apresentou a análise da carga crítica para uma placa
retangular infinita simplesmente apoiada ao longo de todas as bordas e submetida a
uma carga uniforme de compressão longitudinal. Para problemas de placas de
largura finita, podem-se encontrar soluções analíticas no livro de TIMOSHENKO e
GERE (1961). HINTON (1978) resolveu o problema utilizando-se o método das
faixas finitas. SAKIYAMA e MATSUDA (1987) abordaram diversas condições de
contorno para o problema de instabilidade de uma placa, utilizando-se a teoria de
Mindlin. THAM e SZETO (1990) resolveu problemas com diversos tipos de cargas,

34
utilizando o método das faixas finitas. MIZUSAWA (1993) apresentou soluções para
problemas de instabilidade de placas com diversas espessuras, mostrando a
variação da carga crítica de acordo com a espessura da placa, utilizando-se do
método das faixas finitas. REDDY (2002) apresentou uma solução para placas com
compressão uniforme para diversas condições de contorno. XIANG e WEI (2004)
mostrou a solução para placas com variação de espessura. HOSSEINI-HASHEMI et
al. (2008) apresentou uma solução analítica para os problemas de instabilidade de
placas espessas, quando considerada a teoria de Mindlin. JALALI e NAEI (2010)
resolveu problemas de instabilidade de placas de geometria variada, como placas
circulares. BUI et al. (2011) analisou problemas de placas utilizando um método que
dispensa a utilização de malhas. GHANNADPOUR et al. (2015) realizou o cálculo do
coeficiente de buckling em placas espessas utilizando-se um método das faixas
finitas exato.
2.2.2 Placas solicitadas por cargas lineares
LIBOVE et al. (1949) verificou o problema de instabilidade de placas
simplesmente apoiadas. GERARD e BECKER (1957) resolveu problemas com
diversas condições de contorno. As cargas críticas para placas solicitadas por
cargas lineares são dadas por YOSHIZUKA e NARUOKA (1971).
BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974) apresentaram uma tabela contendo os
valores de carga crítica para diversas condições de contorno com cargas lineares.
PEKÖZ (1987) apresentou a solução para várias condições de contorno. KANG e
LEISSA (2005) mostrou soluções para placas com vários tipos de cargas lineares.
2.2.3 Placas solicitadas por cisalhamento puro
Para placas solicitadas por cargas somente de cisalhamento, as soluções
analíticas para placas simplesmente apoiadas podem ser encontradas em
TIMOSHENKO (1910), BERGMANN e REISSNER (1932). Considerando a placa
engastada em dois lados e simplesmente apoiada nos outros, uma solução para
este problema foi dada por IGUCHI (1938) para o caso geral, e por LEGGETT (1941)
para o caso de a placa quadrada. COOK e ROCKEY (1963) obtiveram soluções
considerando o modo de flambagem não simétrico que não foi considerado por

35
IGUCHI (1938). JOHNS (1971) verificou o problema de placas ortotrópicas. XIANG
(1993) apresentou soluções para placas de diversas espessuras, quando solicitadas
por cargas biaxiais.
2.2.4 Placas solicitadas por cargas combinadas
O caso da placa solicitada por forças de cisalhamento combinado com
compressão longitudinal, com todos os lados simplesmente apoiado, foi tratada por
IGUCHI (1938). BATDORF e STEIN (1947) e também BATDORF e HOUBOLT
(1945) analisaram uma série de problemas deste tipo com outras condições de
contorno. TIMOSHENKO (1932) obteve as soluções para uma placa simplesmente
apoiada nos quatro lados, solicitada pela combinação de cargas de flexão e
cisalhamento. Este problema também foi analisado por STEIN (1936), WAY (1936),
CHWALLA (1936) e MCKENZIE (1964). BROCKENBROUGH e JOHNSTON (1974)
analisaram o problema quando a placa é solicitada por flexão, compressão e
cisalhamento.
PAVLOVIC e BAKER (1989) apresentaram uma solução exata para a
estabilidade de uma placa retangular solicitada por compressão biaxial. LIEW et al.
(1996) calculou placas com espessuras variadas com cargas biaxiais. SHUFRIN e
EISENBERGER (2005) analisaram o problema de placas com cargas biaxiais
utilizando teorias que consideram o efeito da deformação por cortande de primeira e
segunda ordem. HWANG e LEE (2006) abordaram os problemas de placas com
cargas especiais como carga concentrada e senoidal. SHUFRIN e EISENBERGER
(2007) resolveram problemas de placas com cargas combinadas de compressão e
cisalhamento.
PERFURADAS
2.3.1 Placas Perfuradas solicitadas por cargas uniformes
O problema de uma placa quadrada com um furo central e simplesmente
apoiada ou engastada no contorno foi abordado por: LEVY et al. (1947), KUMAI
(1952), SCHLACK (1964), KAWAI e OHTSUBO (1968) e FUJITA et al. (1969).

36
YANG (1969) mostrou que furos retangulares provocam uma redução maior dos
parâmetros críticos de flambagem que furos circulares. VANN (1971) analisou placas
com furo circular tanto numericamente quanto de maneira experimental. BROWN e
YETTRAM (1986) mostraram que os parâmetros críticos de flambgem diminuem ao
se aumentar o tamanho do furo com relação a largura da placa. SHAKERLEY e
BROWN (1996) analisaram problemas de placas com furos com excentricidade com
relação ao centro da placa.
CHANG-JUN e RONG (1996) trataram placas perfuradas utilizando-se o
método dos elementos de contorno. SHANMUGAM et al. (1999) propôs uma fórmula
para dimensionamento de placas perfuradas solicitadas por cargas uniformes. EL-
SAWY e NAZMY (2001) verificou placas com furo circular e quadrado de diversos
tamanhos e em várias posições dentro do domínio da placa, utilizando o método dos
elementos finitos, concluindo que à medida com que se aumenta o furo em uma
placa quadrada, o seu parâmetro crítico também diminui. EL-SAWY e MARTINI
(2007) resolveu problemas de placas retangulares com várias configurações de
geometria. KOMUR e SONMEZ (2008) analisou placas retangulares com diversos
posicionamentos de um furo circular. MAIORANA et al. (2008) verificou placas
perfuradas sujeitas a cargas localizadas. KOMUR et al. (2010) analisou placas com
furo central elíptico. NEJAD e SHANMUGAM (2011) resolveram problemas de
placas inclinadas com furos. JAYASHANKARBABU e KARISIDDAPPA (2013)
analisaram o problema da placa quadrada com furos circulares ou quadrados
centrais com diversas espessuras. KOMUR e SONMEZ (2015) resolveram
problemas com cargas uniformes parciais.
2.3.2 Placas perfuradas solicitadas por cisalhamento puro
SOUTHWELL e SKAN (1924) analisaram placas quando solicitadas por
cisalhamento uniforme. O problema de instabilidade de uma placa quadrada com um
furo circular central solicitada por cisalhamento puro foi examinado por COOK e
ROCKEY (1969). O problema com placas quadradas de furo quadrado foi
investigado por GROSSKURTH et al. (1976). NARAYANAN e CHOW (1984)
analisaram problemas de placas com furos centrais solicitadas por cisalhamento.

37
CHENG e LI (2012) verificaram o problema de placas quadradas com furo circular
central.
2.3.3 Placas perfuradas solicitadas por cargas combinadas
NARAYANAN e CHOW (1984) verificou o coeficiente de flambagem de placas
com furos quadrados solicitadas por cargas biaxiais. CHOW e NARAYANAN (1984)
apresentaram soluções para problemas com furos com diversos tipos de cargas. O
problema de instabilidade de uma placa quadrada com um furo central solicitada por
cargas combinadas de flexão, cisalhamento e compressão foi analisado por BROWN
e YETTRAM (1986), estes também verificaram as placas solicitadas por cargas
biaxiais. SABIR e CHOW (1986) verificou problemas com furos com excentricidade
com relação ao centro da placa. BROWN (1990) tratou problemas de placas com
furos quando solicitadas por cargas concentradas. PAIK (2008) resolveu o problema
da carga perfurada com cargas de cisalhamento e biaxial. MAIORANA et al. (2009)
verificou placas perfuradas sujeitas a cargas combinadas.
2.3.4 Placas perfuradas por múltiplos furos
A placa quadrada com múltiplos furos solicitada por compressão foi analisada
por diversos pesquisadores, como MAY e GANABA (1988), BROWN e YETTRAM
(2000), EL-SAWY e NAZMY (2001). A placa quadrada com múltiplos furos solicitada
por cisalhamento puro foi analisada por MICHAEL (1960). Os problemas com
combinação de cisalhamento e flexão foram abordados por REDWOOD e UENOYA
(1979), MOEN e SCHAFER (2008).
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A INSTABILIDADE DE PLACAS QUANDO
TRATADAS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
BEZINE et al. (1985) analisou o problema de instabilidade de placas
utilizando-se a teoria de Kirchhoff. MANOLIS et al. (1986) tratou o problema de
instabilidade de placas e vigas fazendo-se uso do teorema da reciprocidade de Betti,
utilizando-se o método direto. LIU (1987) introduziu a resolução do problema
utilizando-se células de domínio, resolvendo placas quadradas e circulares.
IRSCHIK et al. (1987) utilizou o método dos elementos de contorno para resolver

38
problemas de instabilidade utilizando-se a teoria de Mindlin. SYNGELLAKIS e KANG
(1987) resolveu problemas de placas triangulares utilizando-se o método dos
elementos de contorno. TANAKA e MIYAZAKI (1988) analisou o problema de
instabilidade de placas conjuntas, como o perfil retangular tubular. SHI (1990) tratou
o problema de instabilidade de placas ortotrópicas. SYNGELLAKIS et al. (1991)
verificou os resultados numéricos do método dos elementos de contorno com
ensaios experimentais. ELZEIN e SYNGELLAKIS (1992) aplicou com sucesso o
método da reciprocidade dual no problema de instabilidade de placas.
SYNGELLAKIS e ELZEIN (1994) resolveu diversos tipos de problemas de
instabilidade de placas e comparou os resultados com a literatura.
MARCZAK (1995) resolveu problemas com compressão biaxial e com
cisalhamento puro. CHANG-JUN e RONG (1996) resolveu problemas de placas
perfuradas de geometria circular com furo central. NERANTZAKI e KATSIKADELIS
(1996) avaliou problemas de instabilidade de placas com variação de espessura. LIN
et al. (1999) avaliou problemas de instabilidade de placas com cargas lineares.
PURBOLAKSONO e ALIABADI (2005) avaliou problemas de instabilidade de placas
utilizando-se a teoria de Mindlin. WEN et al (2006) resolveu problemas buckling e
pós-buckling de placas utilizando-se a teoria de Reissner.
KATSIKADELIS e BABOUSKOUS (2007) apresentaram um novo método
para tratar problemas de pós-buckling, o método da equação análoga.
CHINNABOON et al. (2007) apresentaram o método da equação análoga para tratar
problemas de buckling. ALBUQUERQUE et al. (2008) resolveram o problema de
instabilidade de placas constituídas de materiais compósitos. YIOTIS e
KATSIKADELIS (2008) apresentaram o método da equação análoga para tratar
problemas de buckling em placas com variação de espessura. BAIZ e ALIABADI
(2009) avaliaram problemas de instabilidade de placas conjuntas, como perfis I e U.
DOVAL et al. (2011) resolveram problemas de placas constituídas de materiais
compósitos solicitadas por cargas não uniformes. DOVAL et al (2012) resolveram
problemas de placas quadradas com furos retangulares de materiais compósitos.
DOVAL (2013) desenvolveu em sua tese a resolução de problemas de instabilidade
de placas com furos retangulares.

39
3 REVISÃO MATEMÁTICA
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentadas as principais funções matemáticas e regras
utilizadas no presente trabalho. São vistos alguns exemplos abordando a notação
indicial e sua utilização, as propriedades de algumas funções importantes como o
delta de Kronecker e o delta de Dirac. Também é feita uma revisão das equações
utilizadas no presente trabalho da teoria da elasticidade, base da análise estrutural
com uso de métodos numéricos. São apresentadas as relações básicas entre tensão
e deformação, as equações constitutivas e as equações de equilíbrio. No presente
trabalho, o material é assumido isotrópico e homogêneo. A teoria da elasticidade
gera um sistema de equações independentes com quinze incógnitas para problemas
tridimensionais onde três provém das equações de equilíbrio, seis das equações de
tensão-deformação e seis das equações constitutivas. Utilizando-se das equações
de equilíbrio será possível deduzir uma equação integral de contorno e aplicar o
método dos elementos de contorno numericamente.
3.2 FUNÇÕES MATEMÁTICAS
3.2.1 Notação indicial
Este trabalho utilizará a notação indicial introduzida por Einstein para facilitar
a visualização de grandes expressões. Serão demonstradas algumas regras, as
quais fazem parte das formulações mostradas. A conversão para notação indicial
pode ser feita em diversas expressões, como a seguinte:
1 11 1 12 2 13 3
2 21 1 22 2 23 3
3 31 1 32 2 33 3
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
  
  
  
(3.1)
A expressão 3.1 pode ser escrita como:
, 1,2,3 , 1,2,3i ij jy a x i j   (3.2)

40
Em que os índices em latin irão variar de 1 até 3, os índices gregos irão variar
de 1 até 2. Quando os índices forem iguais, deve-se realizar o somatório de todas as
substituições de índices, como demonstrado em 3.3:
11 22 33
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
11 22
ii
i i
i i
a a a a
a b a b a b a b
a a a a a a a a a a a
a a a
  
  
     
 
(3.3)
No presente trabalho, as derivadas parciais serão demonstradas conforme a
equação 3.4:
1
1,1
1
2
2,2
2
1
1,2
2
;
;
x
y
x
u u
u
x x
u u
u
y x
u u
u
y x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3.4)
3.2.2 Vetor Gradiente
O vetor gradiente pode ser mostrado da seguinte maneira:
1 1 1
1 2 3
2 2 2
,
1 2 3
3 3 3
1 2 3
i
i i j
j
u u u
x x x
u u u u
u u
x x x x
u u u
x x x
   
 
   
    
    
    
   
 
   
(3.5)
3.2.3 Laplaciano
O laplaciano de uma função pode ser escrito como se segue:
2
,iiu u u    (3.6)

41
3.2.4 Delta de Kronecker
A função delta de Kronecker é definida como se segue:
1 se
0 se
ij
i j
i j


 

(3.7)
A função delta de Kronecker é um tensor isotrópico que nos permite converter
ou contrair índices. A conversão de índices é feita da seguinte maneira:
i ij ju u  (3.8)
A contração de índices é feita como se segue:
i j ij i ia b a b  (3.9)
3.2.5 Delta de Dirac
A função Delta de Dirac é definida por:
 0
1,
0,
t a
t t
outros valores

 
   
 
(3.10)
A função delta de Dirac possui uma propriedade importante quando utilizada
na obtenção das equações integrais de contorno:
( ´ ) ( ) ( ´)i ix x u x d u x

   (3.11)
3.2.6 Teorema da Divergência
O teorema da divergência, utilizado para relacionar integrais de domínio com
integrais de contorno, é dado por:

42
, ,Tu d Tun d uT d  
  
       (3.12)
3.3 ELASTICIDADE LINEAR
Um corpo sólido e homogêneo, quando é solicitado por alguma ação exterior,
sofre deformação quando a distância entre dois pontos em seu interior é alterada.
Na figura 3.1 se apresenta um sólido inicialmente indeformado que, quando
solicitado, sofre deformação.
Figura 3.1 – Estado de deformação de um sólido
Quando não ocorre a mudança da distância entre dois pontos, é possível
observar o movimento de corpo rígido. Observando-se que (a) desloca-se para (a*),
(b) desloca-se para (b*), o segmento de linha (ab) alonga-se e gira para (a*b*).
Quando a análise do deslocamento levar em conta a não linearidade geométrica,
este comportamento é dado pelo tensor Lagrangeano de deformações, sendo
definido por:
, , , ,
1
( )
2
ij i j j i k i k ju u u u    (3.13)
A equação 3.13 é utilizada na resolução do problema de carga crítica de
placas. Na análise de flexão sem o efeito da não linearidade geométrica, neste
trabalhosão considerados pequenos deslocamentos e os termos quadráticos da
equação 3.13 foram desprezados. A equação 3.13 passa a ser dada por:

43
, ,
1
( )
2
ij i j j iu u   (3.14)
3.4 EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS
As equações constitutivas são obtidas ao relacionarem-se linearmente as
tensões e as deformações, obtendo-se tensor de tensões:
ij ijkl klC  (3.15)
Para um material sólido linear e isotrópico, pode-se deduzir a partir da
observação física que só há duas constantes de material independentes que se
relacionam com todos os componentes de tensão e deformação. O módulo de
Young (E), definido pela taxa de variação da deformação como função da tensão, ou
seja, a inclinação da reta parte de um diagrama de tensão-deformação. O coeficiente
de Poisson (v) é um coeficiente que relaciona linearmente a deformação transversal
em relação à deformação longitudinal, em um material homogêneo e isotrópico. Este
coeficiente é uma grandeza adimensional. Assumindo-se a relação linear entre
tensão e deformação, pode-se observar:
(1 )(1 2 ) (1 )
ij ij kk ij
Ev E
v v v
    
  
(3.16)
Onde:
Módulo de Young
Coeficiente de Poisson
Delta de Kroneckerij
E





(3.17)
Esta equação pode ser escrita em termos das deformações:
1
ij ij ij kk
v v
E E
   

  (3.18)

44
4 TEORIA DE PLACAS
4.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentadas as bases e fundamentos para a teoria de
placas que levam em conta o efeito da deformação por cortante. Placas são
elementos estruturais planos, as quais tem sua espessura de ordem menor com
relação as outras dimensões. As teorias de placas são extensões das teorias de
vigas, buscam reduzir o problema de elasticidade em três dimensões para um
problema mais simples, em duas dimensões.
Diversas teorias foram apresentadas para descrever o comportamento de
placas, entre as principais pode-se citar a teoria de KIRCHHOFF (1888), que
também é chamada de teoria clássica, foi desenvolvida para ser utilizada em
problemas de placas finas com pequenos deslocamentos, sem levar em conta o
efeito da deformação por cortante, a teoria de VON-KARMAN (1910), desenvolvida
para descrever grandes deslocamentos em placas finas e a teoria de REISSNER
(1945), sendo esta a teoria de placas que leva em conta o efeito da deformação por
cortante. Esta teoria pode ser utilizada tanto para resolver problemas de placas finas
quanto para placas moderadamente espessas, sendo de grande utilidade em
problemas de engenharia.
Mais tarde MINDLIN (1951) propôs sua teoria similar, mas não idêntica à de
Reissner, pois existem diferenças entre os resultados de Reissner e Mindlin,
segundo WANG et al. (2001). A partir dos conceitos mostrados neste capítulo será
possível deduzir as equações integrais necessárias para aplicação do método dos
elementos de contorno.
4.2 TEORIA DE KIRCHHOFF
Será apresentada a teoria clássica de placas, sendo esta proposta por
KIRCHHOFF (1888). A teoria clássica tem como principal característica o cálculo
dos deslocamentos e rotações em função do deslocamento transversal, interpretada
por uma equação biharmonica.
As principais hipóteses de Kirchhoff são as seguintes, segundo VENTSEL e
KRAUTHAMMER (2001):

45
- Pequenos deslocamentos
- Superfície média indeformável
- A tensão normal ao plano médio, 33 , é pequena em comparação com os
outros componentes de tensão e pode ser negligenciada nas relações tensão-
deformação
- A teoria não leva em conta o efeito da deformação por cortante
- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece normal
após a deformação da placa
- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear
As equações que descrevem o comportamento da teoria clássica são as
seguintes :
3 ,
3 1 2( , )
u x w
u w x x
  

(4.1)
Nas equações 4.1 é possível observar que as derivadas indicam a variação
angular do deslocamento. No eixo médio da placa, as deformações são nulas, mas
faz-se necessário calcular as deformações fora do eixo médio, utilizando as
seguintes relações :
3 ,x w    (4.2)
É possível deduzir as tensões utilizando-se a lei de Hooke generalizada:
 3 , ,2
(1 )
1
E
x vw v w
v
       

(4.3)
Deve-se integrar as tensões ao longo da espessura para encontrar os
esforços unitários:

46
/2
3 3/2
/2
3 3 3/2
h
h
h
h
M x dx
Q x dx
 
 








(4.4)
Após a integração os momentos e cortantes são dados por:
, ,
,
(1 )M D v w v w
Q Dw
   
 
     
 
(4.5)
Onde D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela
equação:
3
2
12(1 )
Eh
D
v


(4.6)
Encontrados os esforços unitários é necessário equilibrar um elemento
infinitesimal de placa com relação a cada eixo, a figura 4.1 ilustra as forças atuando
na placa:
Figura 4.1 – Elemento diferencial de placa
Realizando-se o equilíbrio do elemento infinitesimal encontra-se:
   
3
1 2 1 1,1 1 2 2 1 2 2,2 2 1 1 2
0
0
Fx
Q dx Q Q dx dx Q dx Q Q dx dx pdx dx

      

(4.7)

47
Simplificando-se o equilíbrio das forças vertiais:
1,1 2,2 0Q Q p   (4.8)
Fazendo-se o somatório de momento em torno do eixo x1, no ponto 1,
desconsiderando-se os resíduos de dx2/2, encontra-se :
 
 
11
12 22 1 22 22,2 2 1
12 12,1 1 2 2 1 2
0
0
M
M dy M dx M M dx dx
M M dx dx Q dx dx

   
   

(4.9)
Simplificando-se o equilíbrio de momentos encontra-se a seguinte equação:
12,1 22,2 2M M Q  (4.10)
De maneira análoga, fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao eixo
x2, encontra-se :
12,2 11,1 1M M Q  (4.11)
Em notação indicial estas equações ficam da seguinte maneira:
,
,
0
0
M Q
Q p
  
 
 
 
(4.12)
Substituindo as relações do momento com a cortante, na equação do
equilíbrio das forças verticais é possível obter:
12,21 11,11 12,12 22,22
p
M M M M
D
    (4.13)
Substituindo as relações do momento com os deslocamentos transversais:

48
   ,1221 ,1111 ,2211 ,1212 ,2222 ,1122
p
w w vw w w vw
D
      (4.14)
Sendo esta chamada equação de Lagrange, podendo ser escrita em notação
indicial:
,
p
w
D
  (4.15)
4.3 TEORIA DE REISSNER
A teoria proposta por REISSNER (1945) considera a deformação por efeito de
cortante. Segundo TIMOSHENKO (1959), para placas moderadamente espessas, a
teoria clássica apresenta um desvio maior em problemas práticos, principalmente
aqueles com furos de ordem da espessura da placa, isso mostra a necessidade de
uma teoria aperfeiçoada. Nesta teoria, segundo KARAM (1986), obtem-se um
problema de integração de sexta ordem, satisfazendo até três condições de
contorno, em contraste com a teoria clássica, a qual satisfaz apenas duas condições
de contorno. As hipóteses de Reissner são as seguintes:
- Pequenos deslocamentos
- Superfície média indeformável
- Um segmento de reta normal à superfície média da placa permanece reta,
mas não necessariamente normal após a deformação da placa
- Material homogêneo, isotrópico e elástico linear
A figura 4.2 ilustra o comportamento de um segmento normal à superfície
média após a deformação da placa:

49
Figura 4.2 – Comportamento de um seguimento de reta normal
De acordo com TIMOSHENKO (1959) as tensões nas faces da placa são
dadas por:
3
33 3
33 3
0
2
0
2
h
q para x
h
para x




   
  
(4.16)
Reissner admitiu uma variação linear das tensões ao longo da espessura da
placa, portanto, as equações que descrevem este comportamento são:
33
2
3
3
2
3 3
33
12
3 2
1
2
2 21 1
3
4 2
M
x
h
Q x
h h
x x
q
h h








  
   
   
      
       
       
(4.17)
As equações 4.17 coincidem com a teoria clássica, exceto a última equação.
Segundo TIMOSHENKO (1959) ao se realizar o equilíbrio das forças no elemento
infinitesimal de placa, é possível obter a equação 4.18 (onde Q é a cortante, M é
o momento e q é a carga distribuída):

50
,
,
0
0
Q q
M Q
 
  
 
 
(4.18)
Nesta teoria, os deslocamentos transversais e rotações das seções em x e y
são obtidos realizando-se uma média ponderada dos mesmos ao longo da
espessura. Reissner admitiu, supondo um material isotrópico e que os
deslocamentos sejam pequenos com relação a espessura, as seguintes relações
tensão-deformação:
   
 
1,1 11 22 33 2,2 22 11 33
1,2 2,1 12
1,3 3,1 13
2,3 3,2 23
3,3 33 11 22
1 1
( ) ; ( )
1
1
1
1
( )
u v u v
E E
u u
G
u u
G
u u
G
u v
E
     



  
     
 
 
 
  
(4.19)
Reissner também indicou que o trabalho realizado pelos esforços solicitantes
pode ser igualado a uma média ponderada entre os deslocamentos e as tensões,
podendo ser verificado na equação 4.20:
/2
3/2
/2
3 3 3/2
h
h
h
h
u dx M
u dx Q w
   
 
 







(4.20)
Utilizando-se a equação 4.17 pode-se substituir as tensões pelos esforços
solicitantes, chegando a uma equação da seguinte maneira:
/2
3 33/2
2
/2
3
3 3/2
12
2
3 1
2
h
h
h
h
M
x u dx M
h
Q x
u dx Q w
h h

  






  
   
   


(4.21)

51
Isolando-se os deslocamentos médios, é possível obter as seguintes
equações:
/2
3 33 /2
2
/2
3
3 3/2
12
23
1
2
h
h
h
h
u x dx
h
x
w u dx
h h
 



  
   
   


(4.22)
Utilizando as equações 4.19 com as relações tensão-deformação é possível
expressar as tensões em função dos deslocamentos em cada eixo, ou seja:
 
 
2
, , , , ,2
3
3 3
, ,
(1 ) 2 (1 )
1 2 1 (1 )(1 )
2 23 2 1
2(1 ) 4(1 ) 3 3
E v v v
u u u u vu
v v v v
x xE qv
u vu
v v h h
            
    
  

  
     
    
  
      
     
(4.23)
Integrando-se as tensões ao longo da espessura, é possível encontrar as
equações dos esforços solicitantes.
/2
3 3/2
/2
3 3 3/2
h
h
h
h
x dx M
x dx Q
 
 








(4.24)
Substituindo as tensões em função das deformações provenientes das
equações 4.23 nas equações 4.24 e observando as equações dos deslocamentos
médios encontra-se:
 
 
3
3 3
1,1 2,2 32
/2
11 33/2
11 1,1 2,2 2
2 23 2 1
12
1 4(1 ) 3 3
(1 )
h
h
x xE qv
u vu x
v v h h
M dx
h
v
M D v q
v
 


   
             
  

 (4.25)

52
Em que D significa o módulo de rigidez a flexão da placa, definido pela
equação 4.6 e  é o parâmetro que leva em conta o efeito da deformação por
cortante.
Fazendo-se o mesmo para as outras equações de tensões, obtêm-se todas
as equações de momento e cortante, conforme a equação 4.26:
, , , 2
2
,
(1 ) 2
2 1 (1 )
(1 )
( )
2
D v v vq
M
v v
D v
Q w
        
  
    



  
    
  

 
(4.26)
Para a teoria de Reissner o parâmetro  vale:
10
h
  (4.27)
Para a teoria de Mindlin ele é dado pela equação 4.28:
Mindlin
h

  (4.28)

53
5 O MEC APLICADO NO CÁLCULO DE PLACAS DE REISSNER
5.1 INTRODUÇÃO
A aplicação numérica do método é feita a partir da equação integral de
contorno, a qual é desenvolvida neste capítulo. É também demonstrado como é feita
a dedução das soluções fundamentais de forças de superfície, utilizando-se das
soluções fundamentais de deslocamento. É mostrado como é feita a modelagem
numérica do problema, desde a utilização das funções de forma até a resolução do
sistema final de equações.
Segundo CHEN (2010), com relação ao método dos elementos finitos, o
método dos elementos de contorno é de maior viabilidade para cálculo de placas
devido a natureza bi harmônica da equação de placas. Como o método dos
elementos finitos necessita de uma malha de grande refinamento para garantir a
precisão no cálculo de gradientes, este pode necessitar de maior processamento e
uma maior quantidade de avaliações de quadraturas de integração. As primeiras
aplicações do método dos elementos de contorno em placas de Reissner foram
feitas por WEEËN (1982), utilizando o método de HÖRMANDER (1963), ele deduziu
as soluções fundamentais e a equação integral de contorno, para aplica-las no
cálculo do método dos elementos de contorno.
PALERMO JR. (2000) também obteve uma dedução alternativa para as
soluções fundamentais de deslocamento.
5.2 EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTO NO DOMÍNIO
Existem algumas maneiras diferentes para deduzir-se a equação integral de
contorno para este problema. Vários autores já demonstraram esta dedução,
KARAM (1986) deduziu este problema aplicando o teorema da reciprocidade de Betti
e também o método dos resíduos ponderados, RIBEIRO (1992) deduziu esta
equação pelo método dos resíduos ponderados. No presente trabalho, será feita a
dedução a partir do teorema da reciprocidade de Betti, o qual está escrito na
equação 5.1, representado em integrais de volume:

54
* *
ij ij ij ij
V V
dV dV     (5.1)
*
ij e *
ij são as soluções fundamentais de forças de superfície e deformação,
respectivamente. Aplicando-se as hipóteses de Reissner, o segundo membro da
equação 5.1 passa a ser:
* * * * *
1 11 11 22 22 12 12 13 13 23 23
V
I dV              (5.2)
Fazendo-se uso das equações 4.17 que relacionam tensões com os esforços
solicitantes e também as equações 4.3 que relacionam as deformações com os
deslocamentos médios é possível obter (por conveniência os deslocamentos médios
são representados pela variável u):
   
2
* * * *3
1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,23
2 2
* * * *3 31 2
3,1 1 3,2 2
12
( )
2 23 3
1 1
2 2
V
V
x
I M u M u M u u dV
h
x xQ Q
u u u u dV
h h h h
     
      
           
         


(5.3)
Integrando-se os dois membros de 5.3 ao longo da espessura:
   
2
/2
* * * *3
1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2 33/2
2 2
/2
* * * *3 31 2
3,1 1 3,2 2 3/2
12
( )
2 23 3
1 1
2 2
h
h
h
h
x
I M u M u M u u dx
h
x xQ Q
u u u u dx
h h h h


     
      
           
         


(5.4)
Realizando-se a integração da equação 5.4 é possível obter a integral de
domínio dada pela equação 5.5:
   
* * * *
1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2
* * * *
1 3,1 1 2 3,2 2
( )I M u M u M u u d
Q u u Q u u d


    
    


(5.5)

55
Uma das diferenças entre as teorias de Reissner e Mindlin é a contribuição
que contém o valor da carga distribuída (q) nos momentos 11M e 22M . Para elaborar
este raciocínio, substituindo-se as relações constitutivas dadas por 4.23, é possível
obter:
 * * *
, 3,
*
1,1 1,1 1,1 2,2 1,12
*
2,2 2,2 1,1 2,2 2,22
* *
2,1 1,2 2,1 1,2
2
(1 ) 2
( )
2 1 (1 )
(1 ) 2
( )
2 1 (1 )
(1 )
( )( )
2
(1 )
2
M u Q u u d
D v v vq
u u u u u d
v v
D v v vq
u u u u u d
v v
D v
u u u u d
D v
     







   
   
         
   
          

   






     
2
* * * *
3,1 1 3,1 1 3,2 2 3,2 2
(1 )
2
D v
u u u u u u u u d



     
(5.6)
Expandindo-se as duas primeiras integrais de 5.6 é possível obter:
 
* * * *
1,1 1,1 1,1 1,1 2,2 1,1 1,12
* * * *
2,2 2,2 1,1 2,2 2,2 2,2 2,22
* *
2,1 1,2 2,1 1,2
2
3,1 1 3
(1 ) 2 2
2
2 1 1 (1 )
(1 ) 2 2
2
2 1 1 (1 )
(1 )
( )( )
2
(1 )
2
D v v v vq
u u u u u u u d
v v v
D v v v vq
u u u u u u u d
v v v
D v
u u u u d
D v
u u u






  
    
   
  
     
   

   

 



    
2
* * * *
,1 1 3,2 2 3,2 2
(1 )
2
D v
u u u u u d



    
(5.7)
Tirando os termos que contém a carga distribuída para fora da integral e
rearranjando os que sobraram de maneira conveniente é possível obter:

56
 
    
* * *
, 3,
* * *
1,1 1,1 2,2 1,1
* * *
2,2 1,1 2,2 2,2
* *
2,1 1,2 2,1 1,2
2 2
* *
3,1 1 3,1 1 3,2 2 3,
(1 ) 2
2 ( )
2 1
(1 ) 2
2 ( )
2 1
(1 )
( )( )
2
(1 ) (1 )
2 2
M u Q u u d
D v v
u u u u d
v
D v v
u u u u d
v
D v
u u u u d
D v D v
u u u u u u u
     
 




   
  
   
 
  
    
 

   
 
    




 * *
2 2
* *
1,1 2,22
( )
(1 )
u d
vq
u u d
v 


 
  



(5.8)
Observando as equações 5.8 é possível verificar que:
   * * * * * *
, 3, , 3, ,2
(1 )
vq
M u Q u u d M u Q u u u d
v
             
 
       
  (5.9)
Portanto, esta é a uma forma do teorema da reciprocidade de Betti quando
consideradas as hipóteses de Reissner. Passando-se o termo da carga distribuída
para a direita:
   * * * * * *
, 3, , 3, ,2
(1 )
vq
M u Q u u d M u Q u u u d
v
             
 
       
  (5.10)
Observando 5.10 na equação obtida 5.5, deve-se proceder com a subtração
do termo da carga distribuída (q):
* * * *
1 11 1,1 22 2,2 12 2,1 1,2
* * * * * *
1 3,1 1 1 2 3,2 2 2 1,1 2,22
( )
( )
(1 )
I M u M u M u u d
vq
Q u Q u Q u Q u d u u d
v 

 
    
       


 
(5.11)
Aplicando-se o teorema da divergência em todas as integrais de 5.11 é
possível obter a equação 5.12, que adiciona integrais de contorno:

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NA ANÁLISE DE INSTABILIDADE DE PLACAS PERFURADAS

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