Funciones

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Es una presentación sobre las funciones reales de variable real elementales en Matemáticas

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Funciones

  1. 1. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Las funciones elementales Grado en Química Universidad de Huelva Curso 2009/10 Grado en Química Las funciones elementales
  2. 2. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  3. 3. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  4. 4. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Grado en Química Las funciones elementales
  5. 5. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva Grado en Química Las funciones elementales
  6. 6. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades Grado en Química Las funciones elementales
  7. 7. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definición Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley” que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama dominio de la función. Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades 3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso Grado en Química Las funciones elementales
  8. 8. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Grado en Química Las funciones elementales
  9. 9. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Grado en Química Las funciones elementales
  10. 10. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de cada valor x ∈ D Grado en Química Las funciones elementales
  11. 11. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Para determinar una función f , hay que indicar: Dominio D Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de cada valor x ∈ D Grado en Química Las funciones elementales
  12. 12. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x Grado en Química Las funciones elementales
  13. 13. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades g : [−1, 5] −→ R x −→ x 2 + 2 Grado en Química Las funciones elementales
  14. 14. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Ejemplos 1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada positiva f : R+ ∪ {0} −→ R√ x −→ + x 2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado aumentado en dos unidades g : [−1, 5] −→ R x −→ x 2 + 2 3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso h : R{0} −→ R x −→ 1/x Grado en Química Las funciones elementales
  15. 15. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Grado en Química Las funciones elementales
  16. 16. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible Grado en Química Las funciones elementales
  17. 17. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible El dominio de una función depende también de la naturaleza de las magnitudes que pretendemos describir Grado en Química Las funciones elementales
  18. 18. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f: D −→ R x → f (x) Observaciones Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f es el máximo posible El dominio de una función depende también de la naturaleza de las magnitudes que pretendemos describir En los ejemplos anteriores, x recibe el nombre de variable independiente Grado en Química Las funciones elementales
  19. 19. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definiciones Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el dominio D; es decir, Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}. Grado en Química Las funciones elementales
  20. 20. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real Definiciones Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el dominio D; es decir, Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}. Se llama gráfica de f a la curva resultante al representar en unos ejes cartesianos el conjunto siguiente: {(x, f (x)) : x ∈ D} La ecuación de la gráfica de una función viene dada por y = f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  21. 21. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Grado en Química Las funciones elementales
  22. 22. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞) Grado en Química Las funciones elementales
  23. 23. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real f (x) = x 2 Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞) f(x)=x2 40 y 35 30 25 20 X: 4 Y: 16 15 10 5 x 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  24. 24. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 Grado en Química Las funciones elementales
  25. 25. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 Grado en Química Las funciones elementales
  26. 26. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función real de variable real ¿Puede ser esta curva la gráfica de alguna función? y2=x 4 3 X: 9 Y: 3 2 1 0 −1 −2 X: 9 Y: −3 −3 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 ¡¡x = 9 tiene dos imágenes!! Grado en Química Las funciones elementales
  27. 27. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  28. 28. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  29. 29. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece f (x). Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que f (x1 ) > f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, decrece f (x). Grado en Química Las funciones elementales
  30. 30. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: Grado en Química Las funciones elementales
  31. 31. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Grado en Química Las funciones elementales
  32. 32. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Monotonía 12 10 8 X: −2 X: 4 6 Y: 5 Y: 5 4 X: −1.5 Y: 2.25 2 X: −1 X: 3 Y: 0 Y: 0 0 −2 X: 1 Y: −4 −4 −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 2 La función f (x) = x − 2x − 3 es: decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) creciente en (1, +∞): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Grado en Química Las funciones elementales
  33. 33. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  34. 34. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  35. 35. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en I. Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en I. Se dice que f está acotada en el intervalo I ⊂ D si está acotada superior e inferiormente en I. En virtud de las definiciones anteriores, esto puede resumirse diciendo que existe un número K > 0 tal que −K ≤ f (x) ≤ K cualquiera que sea x ∈ I. La constante K recibe el nombre de cota de f en I. Grado en Química Las funciones elementales
  36. 36. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): Grado en Química Las funciones elementales
  37. 37. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior) Grado en Química Las funciones elementales
  38. 38. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=arctg(x) 3 2 1 0 −1 −2 −3 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = arctg (x): está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior) está acotada inferiormente en R (m = −2 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  39. 39. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: Grado en Química Las funciones elementales
  40. 40. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: no está acotada superiormente en R Grado en Química Las funciones elementales
  41. 41. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1: no está acotada superiormente en R está acotada inferiormente en R (m = 1 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  42. 42. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: Grado en Química Las funciones elementales
  43. 43. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: está acotada superiormente (M = 5 es cota superior) Grado en Química Las funciones elementales
  44. 44. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x2+1 en [−2,2] 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]: está acotada superiormente (M = 5 es cota superior) está acotada inferiormente (m = 1 es cota inferior) Grado en Química Las funciones elementales
  45. 45. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : Grado en Química Las funciones elementales
  46. 46. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : no está acotada superiormente Grado en Química Las funciones elementales
  47. 47. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Acotación f(x)=x3 1000 800 600 400 200 0 −200 −400 −600 −800 −1000 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 x La función f (x) = x 3 : no está acotada superiormente no está acotada inferiormente Grado en Química Las funciones elementales
  48. 48. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D. Grado en Química Las funciones elementales
  49. 49. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría Sea f una función con dominio D. Definiciones Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D. Se dice que f es impar si f (−x) = −f (x) cualquiera que sea x ∈D Grado en Química Las funciones elementales
  50. 50. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 Grado en Química Las funciones elementales
  51. 51. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 f (x) = es par 1 + x2 Grado en Química Las funciones elementales
  52. 52. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) 1 0.8 0.6 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 0.4 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 0.2 0 −6 −4 −2 0 2 4 6 1 f (x) = es par 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  53. 53. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  54. 54. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par f (x) = x 3 es impar 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  55. 55. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Simetría f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3 80 1 60 X: 3.5 Y: 42.88 0.8 40 20 X: 2 0.6 Y: 8 X: −1 X: 1 Y: 0.5 Y: 0.5 X: −2 0 Y: −8 0.4 −20 X: −2 X: 2 Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5 Y: −42.88 0.2 −40 −60 0 −80 −6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 f (x) = es par f (x) = x 3 es impar 1 + x2 1 1 f (−x) = 1+(−x)2 = 1+x 2 = f (x) f (−x) = (−x)3 = −x 3 = −f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  56. 56. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . Grado en Química Las funciones elementales
  57. 57. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  58. 58. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  59. 59. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  60. 60. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Periodicidad Sea f una función con dominio D. Definición Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0 cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las cantidades T se le llama periodo de f . f(x)=sen(x) 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Grado en Química Las funciones elementales
  61. 61. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  62. 62. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : Grado en Química Las funciones elementales
  63. 63. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  64. 64. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  65. 65. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. Grado en Química Las funciones elementales
  66. 66. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. En general, g ◦ f = f ◦ g. Grado en Química Las funciones elementales
  67. 67. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Composición de funciones Definición Se define la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la función que a cada x asigna g f (x) : g ◦ f : D −→ R x −→ g f (x) f g x −→ f (x) −→ g f (x) Observaciones El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del dominio de g. En general, g ◦ f = f ◦ g. (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), cualesquiera que sean f , g, h Grado en Química Las funciones elementales
  68. 68. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  69. 69. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Grado en Química Las funciones elementales
  70. 70. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Ejemplos Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  71. 71. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Definición Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos, entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor. Ejemplos Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva. Cualquier función decreciente en todo su dominio es inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  72. 72. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. Grado en Química Las funciones elementales
  73. 73. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 20 X: −4 X: 4 Y: 16 Y: 16 15 10 5 0 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; Grado en Química Las funciones elementales
  74. 74. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 20 X: −4 X: 4 Y: 16 Y: 16 15 10 5 0 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; f (−4) = f (4) = 16 Grado en Química Las funciones elementales
  75. 75. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inyectiva Observación Toda función inyectiva verifica la propiedad de que cualquier recta horizontal corta a su gráfica en, a lo sumo, un punto. f(x)=x2 25 25 20 20 X: −4 X: 4 X: 4 Y: 16 Y: 16 Y: 16 15 15 10 10 5 5 0 0 −5 0 5 −5 0 5 f (x) = x 2 no es inyectiva; f (x) = x 2 en [0, ∞) f (−4) = f (4) = 16 sí es inyectiva Grado en Química Las funciones elementales
  76. 76. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Grado en Química Las funciones elementales
  77. 77. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: Grado en Química Las funciones elementales
  78. 78. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  79. 79. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Grado en Química Las funciones elementales
  80. 80. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Grado en Química Las funciones elementales
  81. 81. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) Grado en Química Las funciones elementales
  82. 82. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Grado en Química Las funciones elementales
  83. 83. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo f (x) = 3x + 2 Grado en Química Las funciones elementales
  84. 84. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo Se despeja x de y −2 f (x) = 3x + 2 ⇒x = y = 3x + 2 3 Grado en Química Las funciones elementales
  85. 85. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Procedimiento para obtener la función inversa f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y ) Ejemplo Se despeja x de y −2 y −2 f (x) = 3x + 2 ⇒x = f −1 (y ) = y = 3x + 2 3 3 Grado en Química Las funciones elementales
  86. 86. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Definición La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen: f −→ x ←− f (x) f −1 Grado en Química Las funciones elementales
  87. 87. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Grado en Química Las funciones elementales
  88. 88. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Grado en Química Las funciones elementales
  89. 89. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD Grado en Química Las funciones elementales
  90. 90. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD 2 f ◦ f −1 = idIm (f ) Grado en Química Las funciones elementales
  91. 91. Conceptos básicos sobre funciones Algunas características sobre funciones Composición de funciones Inversa de una función Estudio de las funciones elementales Función inversa Sea f : D −→ R una función inyectiva. Observaciones ¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva? Función identidad en I: idI : I −→ R x −→ x Entonces se verifica: 1 f −1 ◦ f = idD 2 f ◦ f −1 = idIm (f ) La gráfica de f −1 es simétrica de la gráfica de f respecto de la recta y = x. Grado en Química Las funciones elementales
  92. 92. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Contenido 1 Conceptos básicos sobre funciones 2 Algunas características sobre funciones 3 Composición de funciones 4 Inversa de una función 5 Estudio de las funciones elementales Función polinómica Función racional Función irracional Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Grado en Química Las funciones elementales
  93. 93. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica Definición Función polinómica de grado n: f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0. Grado en Química Las funciones elementales
  94. 94. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica Definición Función polinómica de grado n: f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0. Dominio: R Grado en Química Las funciones elementales
  95. 95. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b Grado en Química Las funciones elementales
  96. 96. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 10 5 0 −5 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  97. 97. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 15 10 10 5 5 0 0 −5 −5 −10 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 a<0 Grado en Química Las funciones elementales
  98. 98. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función afín f (x) = ax + b 15 15 15 10 10 10 5 5 5 0 0 0 −5 −5 −5 −10 −10 −10 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 a>0 a<0 a=0 Grado en Química Las funciones elementales
  99. 99. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  100. 100. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −5 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 a>0 Grado en Química Las funciones elementales
  101. 101. Función polinómica Conceptos básicos sobre funciones Función racional Algunas características sobre funciones Función irracional Composición de funciones Función exponencial Inversa de una función Función logarítmica Estudio de las funciones elementales Funciones trigonométricas Función polinómica: casos particulares Función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, a>0 45 5 40 0 35 −5 30 −10 25 −15 20 −20 15 −25 10 −30 5 −35 0 −40 −5 −45 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 a>0 a<0 Grado en Química Las funciones elementales

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