Identidades Trigonometricas 2

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Identidades Trigonometricas 2

  1. 1. El maravilloso mundo de Trigonometría
  2. 2. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei
  3. 3. Identidades Trigonométricas
  4. 4. Definición: <ul><li>Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular. </li></ul>
  5. 5. Demostración de una identidad: <ul><li>Teniendo que Tg x + Ctg x = Sec x . Cosec x </li></ul><ul><li>Comprobamos que: </li></ul><ul><li>Si x=45º  Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º </li></ul><ul><li>1 + 1 = √2 . √2 </li></ul>
  6. 6. Tipos de Identidades
  7. 7. Recíprocas: <ul><li>Sen x = 1 . Cosec x = 1 . </li></ul><ul><li>Cosec x Sen x </li></ul><ul><li>Cos x = 1 . Sec x = 1 . </li></ul><ul><li>Sec x Cos x </li></ul><ul><li>Tg x = 1 . Ctg x = 1 . </li></ul><ul><li>Ctg x Tg x </li></ul>
  8. 8.           sen x tan x = --------              csc x             cos x ctg x = -------             sen x <ul><li>            cos x sen x = --------               ctg x              sen x cos x = ------              tan x </li></ul>Por cociente
  9. 9. Pitagóricas <ul><li>sen² x + cos² x = 1 sec² x - tan² x = 1 csc² x - ctg² x = 1 </li></ul>
  10. 10. Ejercicios con Identidades Trigonométricas
  11. 11. Demostración: <ul><li>Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos: </li></ul><ul><li>Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X </li></ul><ul><li>1 . – Cos x . Cos x = Sen x </li></ul><ul><li>Sen x Sen x </li></ul><ul><li>1 . – Cos ² x = Sen x </li></ul><ul><li>Sen x Sen x </li></ul><ul><li>1 – Cos ² x = Sen x </li></ul><ul><li>Sen x </li></ul><ul><li>Pero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x </li></ul><ul><li>Sen x </li></ul>L.q.q.d Sen x = Sen x
  12. 12. Simplificación <ul><li>Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas. </li></ul><ul><li>Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x </li></ul><ul><li>Cos x . Sen x + 1 </li></ul><ul><li>Cos x </li></ul><ul><li>Cos x . Sen x + Cos x </li></ul><ul><li>Cos x </li></ul><ul><li>Sen x + Cos x = Sen x + Cos x </li></ul>
  13. 13. Tipo Condicional <ul><li>Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida. </li></ul><ul><li>Si Tg x + Ctg x = 4 </li></ul><ul><li>¿Tg ² x + Ctg ² x ? </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>(Tg x + Ctg x) ² = (4) ² </li></ul><ul><li>Tg ² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg ² x = 16 </li></ul><ul><li>Tg ² x + Ctg ² x = 16 – 2 </li></ul><ul><li>Tg ² x + Ctg ² x = 14 </li></ul>
  14. 14. Eliminación Angular <ul><li>Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. </li></ul><ul><li>ß de: </li></ul><ul><li>x = 4 Sen ß y = 5 Cos ß </li></ul><ul><li>x = 4Cos ß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ß </li></ul><ul><li>y= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß </li></ul><ul><li>X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß </li></ul><ul><li>X²/16 + y²/25 = 1 </li></ul>
  15. 15. &quot;Ecuaciones Trigonométricas&quot;
  16. 16. Definición: <ul><ul><li>Una ecuación trigonométrica es una </li></ul></ul><ul><ul><li>igualdad entre ecuaciones trigonométricas </li></ul></ul><ul><ul><li>de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica. </li></ul></ul><ul><ul><li>Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas. </li></ul></ul>
  17. 17. <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Sen 2x + Cos x = 0  sí es E.T. </li></ul><ul><li>2x + 3 Tan x = √2  no es E.T. </li></ul><ul><li>Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1  sí es E.T. </li></ul>
  18. 18. Soluciones Generales: <ul><li>Para Sen y Cosc: </li></ul><ul><li>n Л + (-1) V.P. </li></ul><ul><li> k </li></ul><ul><li>Para Cos y Sec: </li></ul><ul><li>2n Л + - V.P </li></ul><ul><li> k </li></ul><ul><li>Para Tag y Cotg: </li></ul><ul><ul><li>m Л + V.P. </li></ul></ul><ul><ul><li>k </li></ul></ul>
  19. 19. &quot;Tipos de Ecuaciones Trigonométricas&quot;
  20. 20. Elementales
  21. 21. <ul><li>Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas. </li></ul><ul><li>Son aquellas que presentan la siguiente forma: </li></ul><ul><li>Donde: K Є R – {0} ; a Є R </li></ul>F.T. (Kx) = a
  22. 22. Ejemplo: <ul><li>Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0 </li></ul><ul><li>Resolución: </li></ul><ul><li>Resolviendo la ecuación tenemos: </li></ul><ul><li>Cotg 3 X -1 = 0  Cotg 3x = 1 </li></ul><ul><li>Hallando la soluciones generales para la cotangente: </li></ul><ul><li>x = n Л + arc Cotg (1) </li></ul><ul><li>3 </li></ul><ul><li>x = n Л + Л ; o también; </li></ul><ul><li> 3 12 </li></ul><ul><li>x = 60° n + 15° Solución General </li></ul>
  23. 23. <ul><li>Luego (n Є Z) </li></ul><ul><ul><li>n = 0  x = 60° (0) + 15° = 15° </li></ul></ul><ul><ul><li>n = 1  x = 60° (1) + 15° = 75° </li></ul></ul><ul><ul><li>n = 2  x = 60° (2) + 15° = 135° </li></ul></ul><ul><ul><li>C.S = { 15° ; 75° ; 135°} </li></ul></ul>
  24. 24. No Elementales
  25. 25. <ul><li>Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución. </li></ul>
  26. 26. Ejemplo: <ul><li>Hallar el menor valor positivo de “x” en: </li></ul><ul><li>4 Sen x Cos x – 1 = 0 </li></ul><ul><li>Resolución: </li></ul><ul><li>Recordemos que: </li></ul>En la ecuación tenemos: 2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0 2 Sen 2x – 1 = 0 Sen 2x = 1 2 2x = {30º ; 150º ; 390º ; …} x = {15º ; 75º ; 195º ; …} Solución principal Sen 2 x = 2 Sen x Cos x x = 15º
  27. 27. Recomendaciones Generales para resolver una E.T. <ul><li>Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico. </li></ul><ul><li>Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente. </li></ul>
  28. 28. <ul><li>“ La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles” </li></ul>Gracias
  29. 29. <ul><li>Integrantes : </li></ul><ul><li>Ana María Guerrero </li></ul><ul><li>Diana Rodríguez </li></ul><ul><li>Vannia Rivera </li></ul><ul><li>Estefanía Rengifo </li></ul><ul><li>Solandge Fanton </li></ul><ul><li>Sandra Saavedra </li></ul>

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