Sistemas dinámicos varios grados de libertad

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Sistemas dinámicos varios grados de libertad

  1. 1. SISTEMAS DINÁMICOS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINÁMICO EN SISTEMAS DE VARIOSGRADOS DE LIBERTADSe realizarán algunas consideraciones relacionadas con la idealización dinámica de lasestructuras para ensamblar las ecuaciones de equilibrio: se utilizara la masa de la losa comoconcentrada al nivel del piso y segundo, el amortiguamiento se introducirá posteriormente,una vez se defina la solución debido a la complejidad en la modelación.Este sistema estructural es altamente idealizado, ya que solo se consideran lasdeformaciones laterales en la estructura, considerando la losa y vigas infinitamente rígidasa flexión, y se desprecian las deformaciones axiales en vigas y columnas. Este modelo esconocido como el Edificio de Cortante, y solo puede ser posible para estructuras con vigaso losas de gran altura, columnas esbeltas y concreto con un módulo de elasticidad muyalto.1.1 Vibración LibreEl siguiente sistema dinámico representa un edificio de 3 pisos con un grado de libertadhorizontal por piso.Masa m1 Fr1 − Fr2 = Fi .. ( ) m1 x + k1x1 − k 2 x 2 − x1 = 0 1 1
  2. 2. Masa m 2 Fr2 − Fr3 = Fi .. ( ) ( m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0 2 )Masa m 3 Fr3 = Fi .. ( ) m3 x + k 3 x3 − x 2 = 0 3Reorganizando y factorizando: .. ( )m1 x1 + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = 0 .. ( )m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = 0 2 ..m3 x 3 − k 3x 2 + k 3x 3 = 0Cada ecuación anterior corresponde a una ecuación diferencial de equilibrio dinámico de ungrado de libertad. En forma matricialm  ..  0 0   x1   k1 + k 2 − k2 0   x1  0 1   ..       0 m2 0  x 2  +  − k 2 k 2 + k 3 − k 3  x 2  = 0 .. 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   x 3  0          ..[m]x  + [k ]{x} = {0}    Ecuación de equilibrio dinámico en vibración libre para varios grados de libertad1.2 Excitación ArbitrariaAhora se supone el mismo sistema anterior, pero cada masa de la losa es excitada por unafuerza externa Pi(t), variable en el tiempo. 2
  3. 3. Masa m1 Fr1 − P1 − Fr2 = Fi ( ).. k1x1 − P1 (t ) − k 2 x 2 − x1 = − m1 x 1Masa m 2 Fr2 − P2 − Fr3 = Fi ( ) ( ) .. k 2 x 2 − x1 − P2 (t ) − k 3 x 3 − x 2 = − m 2 x 2Masa m 3 Fr3 − P3 = Fi ( ) .. k 3 x 3 − x 2 − P3 (t ) = − m 3 x 3Reorganizando y factorizando: .. ( )m1 x + k1 + k 2 x1 − k 2 x 2 = P1 (t ) 1 .. ( )m 2 x − k 2 x1 + k 2 + k 3 x 2 − k 3 x 3 = P2 (t ) 2 ..m 3 x − k 3 x 2 + k 3 x 3 = P3 (t ) 3En forma matricial  .. m 0 0   x1   k1 + k 2 − k2 0   x1   P1 (t )  1  ..       0 m2 0  x 2  +  − k 2 k 2 + k3 − k 3  x 2  = P2 (t ) .. 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   x 3   P3 (t )          .. [m]x  + [k ]{x} = {P(t )}    3
  4. 4. Ecuación dinámica para un sistema estructural de varios grados de libertad con excitaciónarbitraria.1.3 Excitación en la BaseSe supone ahora que la misma estructura, es sometida a un sismo en la base, como semuestra en la figura. ..Desplazamientos relativos xou1 = x1 − x 0u2 = x2 − x0u =x −x 3 3 0Forma matricialu   x  1 1  1  u 2  =  x 2  − 1 x 0u   x  1 3  3  {u} = {x} − [γ ]{x 0 }[γ ] : Matriz que indica que el grado de libertad o coordenadas de la masa, en la línea delsistema de ecuaciones simultáneas, es colineal con la aceleración del terreno.Despejo x y derivo respecto al tiempo. 4
  5. 5. {x} = {u} + [γ]{x 0 }. . . x  = u  + [γ ]x 0       ..  ..  ..  x  = u  + [γ ]x      0.. .. ..x1 = u + x 1 0.. .. ..x2 = u + x 2 0.. .. ..x3 = u + x 3 0Ecuaciones de equilibrio dinámicoMasa m1 : .. ( ) m x +k x −x −k x −x =0 1 1 1 1 0 2 2 ( 1 )Masa m 2 : .. ( ) ( m 2 x + k 2 x 2 − x1 − k 3 x 3 − x 2 = 0 2 )Masa m 3 : .. m x +k x −x =0 3 3 3 3 ( 2 )Se tiene que:x1 − x 0 = u1 ( )x 2 − x = x − u1 + x 0 = x 2 − x 0 − u1 = u 2 − u1 1 2 ( )x3 − x 2 = x − u 2 + x0 = x3 − x0 − u 2 = u3 − u 2 3Las ecuaciones de equilibrio quedan: 5
  6. 6. .. (m1 x + k1u1 − k 2 u 2 − u1 = 0 1 ) .. ( )m 2 x + k 2 u 2 − u1 − k 3 u 3 − u 2 = 0 2 ( ) .. (m3 x + k 3 u3 − u 2 = 0 3 )Factorizando: .. ( )m1 x + k1 + k 2 u1 − k 2 u 2 = 0 1 .. ( )m 2 x − k 2 u1 + k 2 + k 3 u 2 − k 3 u 3 = 0 2 ..m 3 x − k 3u 2 + k 3u 3 = 0 3Matricialmente: ..m 0   x1   k + k 0 − k2 0   u1  0 1   ..   1   2     0 m2 x2 +  − k2   .. 0 k 2 + k3 − k 3  u 2  = 0 0 0 m3 x 3   0 − k3 k 3   u 3  0          ..[m]x  + [k ]{u} = {0}      ..   ..   .. Pero  x  = u  + [γ ] x       0 .. ..[m]u  + [m][γ]x 0  + [k ]{u} = {0}         .. ..[m]u  + [k ]{u} = −[m][γ]x 0         Este es un sistema matricial de ecuaciones diferenciales simultáneas de equilibrio dinámico,para un sistema de varios grados de libertad sometido a una excitación en la base.Problema: (Ref: Structural Dynamics. Craig, Roy. R.) El movimiento de un edificio sujetoa una excitación sísmica, se estudia usando el modelo mostrado. Use la segunda Ley paraderivar la ecuación de movimiento del sistema. Considere desplazamientos rotacionales θpequeños, y la masa de la fundación m como una partícula.Diagrama de cuerpo libre de los componentes del sistema. 6
  7. 7. Ecuaciones básicas de movimiento de cada cuerpo rígido.Para la fundación∑ Fx = m&& = −2f1 − 2f 2 + f 3 u (1)Para el elemento vertical:∑ Fx = M&x&G = −f 3 & ( 2)∑ Fy = M&& G = −f 4 − Mg y (3)∑ M G = I G && = − M1 + f 4 asenθ + f 3acosθ θ ( 4) 7
  8. 8. De la relación entre fuerza y desplazamiento y velocidad y amortiguamiento, se tiene:f1 = (u − z ) k (5) 2f 2 = (u − z ) c & & ( 6) 2M = Kθ (7 ) 1Usando las relaciones cinemáticas que relacionan xG y yG con u y θ, se tiene que paradesplazamientos pequeños Senθ = θ y Cosθ=1.x G = u + asenθ = u + aθy G = acosθ = aReemplazo en (1) las ecuaciones (5) y (6):m&& + k(u − z) + c(u − z) + M&& = 0 u & & x Gm&& + ku − kz + cu − cz + M&& G = 0 u & & xPero :x G = && + a&& u θ(m + M)&& + Ma&& + ku + cu + M&& u θ & x = kz + cz & GReemplazo (2), (3) y (7) en (4):I G && = − kθ + f aθ + f a θ 4 3I G && = − kθ + (Mg + M&& )aθ − M&& a = 0 θ y x G GI G && + kθ − Mgaθ − M&& aθ + M&& a = 0 θ y x (8) G GPero :&& G = 0y y && G = && + a&& x u θI G && + (k − Mga)θ + Ma(&& + a&&) = 0 θ u θ(I G + Ma 2 )&& + (k − Mga)θ + Ma&& = 0 θ u (9)Escribiendo las ecuaciones de movimiento (8) y (9) en forma matricial:(M + m ) Ma  &&  c 0 u  k u & 0  u  cz + kz  & & +  θ  +  0  θ  =  0  Ma ( 2   ) I G + Ma  && 0 0  &   θ (K − Mga )     8
  9. 9. 2. IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASALa segunda Ley de Newton relaciona el movimiento de la masa con la fuerza inercial. Lamasa de una estructura está distribuida en todos los elementos que la componen, aunquepuede ser idealizada como una masa concentrada en los nudos de la estructura discretizada.2.1 Matriz de masa distribuida.La masa y la rigidez corresponden a un elemento continuo con infinitos grados de libertad.No es práctico en la mayoría de casos, aunque se puede concentrar la masa en los extremos,usando una matriz consistente de masa, análoga a la de rigidez.Para armar la matriz se considera el siguiente elemento con masa distribuida dm, se aceleracada extremo en cada dirección, generando una fuerza inercial en x e y, en el elemento demasa diferencial dm u u u uPor la segunda ley: ∑ F െ ∑ m ‫ כ‬a y ∑ m ൌ ∑ I଴ θሷ Fଵ୶ Mଵ୶ଵ୶ Mଵ୶ଵ୷ Mଵ୶஘ଵ Mଵ୶ଶ୶ Mଵ୶ଶ୷ Mଵ୶஘ଶ µଵ୶ ሷ‫ۓ‬F ۗ ‫ ۍ‬Mଵ୷ଵ୶ Mଵ୷ଵ୷ Mଵ୷஘ଵ Mଵ୷ଶ୶ Mଵ୷ଶ୷ ‫ې‬ Mଵ୷஘ଶ ‫ۓ ۑ‬µଵ୶ ۗ ሷۖ ଵ୷ ۖ ‫ێ‬ ۖ ۖ ۖ ሷ ۖ Mଵ ‫ێ‬Mଵ஘ଵ୶ Mଵ஘ଵ୷ M஘ଵ஘ଵ Mଵ஘ଶ୶ Mଵ஘ଶ୷ M஘ଵ஘ଶ ‫ ۑ‬θଵ ൌ‫ێ‬‫۔‬Fଶ୶ ۘ ‫ێ‬Mଶ୶ଵ୶ Mଶ୶ଵ୷ Mଶ୶஘ଵ Mଶ୶ଶ୶ Mଶ୶ଶ୷ Mଶ୶஘ଶ ‫۔ ۑ‬µଶ୶ ۘ ሷ ‫ ۑ‬µሷۖFଶ୷ ۖ ‫ێ‬Mଶ୷ଵ୶ Mଶ୷ଵ୷ Mଶ୷஘ଵ Mଶ୷ଶ୶ Mଶ୷ଶ୷ Mଶ୷஘ଶ ‫ ۖ ۑ‬ଶ୶ ۖ ۖ ۖ‫ ە‬Mଶ ۙ ‫ۏ‬Mଶ஘ଵ୶ Mଶ஘ଵ୷ M஘ଶ஘ଵ Mଶ஘ଶ୶ Mଶ஘ଶ୷ M஘ଶ஘ଶ ‫ ە ے‬θଶ ۙ ሷSe empotran los extremos del elemento, y se le da una aceleración unitaria a cada grado delibertad, induciendo unas fuerzas inerciales en cada elemento de masa dm, proporcionales ala elástica.dF୶ ൌ Xሷdm dF୷ ൌ Yሷdm Yሷ െ Xሷ ൌ µሷLa fuerza inercial de extremo es proporcional a la deformada:dF୧ି୨ ൌ y୧ ‫ כ‬Yሷj ‫ כ‬dm mdF୧ି୨ ൌ y୧ ‫ כ‬y୨ ‫ כ‬ቀ ቁ dx l 9
  10. 10. F୧ି୨ ൌ ‫׬ כ‬଴ y୧ ‫ כ‬y୨ dx ୫ ୪ ୪Se encuentran las ecuaciones de la elástica para cada elemento, EI ‫ כ‬ర ൌ െw , se integra ୢర ୷ ୢ୶y se encuentra la matriz de masa consistente en coordenadas locales. 140 0 0 70 0 0 ‫0 ۍ‬ 156 22L 0 54 െ13L ‫ې‬ m ‫0 ێ‬ 22L 4Lଶ ‫ۑ‬ 0 13L െ3Lଶ ‫ ۑ‬ൌ ቂmଵିଵ mଵିଶሾmሿ ൌ ‫ێ‬ 420 ‫07ێ‬ 0 0 140 0 0 ‫ۑ‬ mଶିଵ mଶିଶ ቃ ‫0ێ‬ 54 13L 0 156 െ22L‫ۑ‬ ‫ 0 ۏ‬െ13L െ3Lଶ 0 െ22L 34 ‫ے‬L: longitud del elementoPara transformar a coordenadas globales se usa la matriz de transformación [T] C S 0 0 0 0 ‫ۍ‬െS C 0 0 0 0‫ې‬ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ S ൌ sen θሾTሿ ൌ ‫0 ێ‬ 0 1 0 0 0‫ۑ‬ C ൌ cos θ ‫0ێ‬ 0 0 C S 0‫ۑ‬ θ ൌ angulo entre eje logal y global ‫0ێ‬ 0 0 െS C 0‫ۑ‬ ‫0ۏ‬ 0 0 0 0 1‫ے‬ ሾTሿሾMଵିଵ ሿሾTሿ୘ ሾTሿሾMଵିଶ ሿሾTሿ୘ YሾMሿ ൌ ൤ ൨ XL ሾTሿሾMଶିଵ ሿሾTሿ୘ ሾTሿሾMଶିଶ ሿሾTሿ୘ θ X 140C ଶ ൅ 156S ଶ 16S ‫ כ‬C 22L ‫ כ‬S 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ16S ‫ כ‬C െ13L ‫ כ‬S ‫ۍ‬ ‫ې‬ 16S ‫ כ‬C 140C ଶ ൅ 156S ଶ 22L ‫ כ‬C െ16S ‫ כ‬C 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ13L ‫ כ‬C ‫ۑ‬ m ‫ێ‬ 22L ‫ כ‬S 22L ‫ כ‬C 4Lଶ 13L ‫ כ‬S 13L ‫ כ‬C െ3L ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ଶ ሾMሿ ൌ 420 ‫ێ‬ 70C ଶ ൅ 54S ଶ െ16S ‫ כ‬C 13L ‫ כ‬S 140C ଶ ൅ 156S ଶ 16S ‫ כ‬C െ22L ‫ כ‬S ‫ۑ‬ ‫ێ‬ െ16S ‫ כ‬C 70C ଶ ൅ 54S ଶ 13L ‫ כ‬C 16S ‫ כ‬C 140C ଶ ൅ 156S ଶ െ22L ‫ כ‬C‫ۑ‬ ‫ۏ‬ െ13L ‫ כ‬S െ13L ‫ כ‬C െ3Lଶ െ22L ‫ כ‬S െ22L ‫ כ‬C 4Lଶ ‫ے‬2.2 Matriz de Masa Concentrada:En un cuerpo rígido no existe deformación interna y las propiedades inerciales se puedenexpresar en el centro de masa. Como la masa está relacionada con la aceleración, entonceslos grados de libertad serán las aceleraciones. Se tiene que en una placa rígida a flexión hay3 grados de libertad: dos desplazamientos horizontales, ux y uy y un giro o rotación de laplaca θz. 10
  11. 11. Cuando el sistema de coordenadas coincide con en el centroide de la placa y se considera lamasa de las columnas despreciable, la matriz de masa de la losa queda:   m 0 0 [m] =  0 m 0   m  0 0 J   A 0m: Masa de la LosaA: Área de la Losa = a x b ba 3 ab 3Jo: Momento polar de inercia = I xx + I yy = + 12 12Para un sistema estructural reticular aporticado con diafragma rígido, se puede considerar lamatriz de masa diagonal, siempre y cuando la mayor parte de la masa este concentrada enla placa Esto significa que la masa de la losa, (Se puede usar la mitad de la masa de lascolumnas para el segundo y tercer piso y 1/3 de la de la masa de las columnas del primerpiso), induce una fuerza inercial solo en el grado de libertad de desplazamiento indicado, esdecir la masa mi, se mueve en la dirección xi asociada a una aceleración ai en la mismadirección. Por lo tanto la matriz de masa para el pórtico mostrado es: m 0 0   3 [m] =  0 m 2 0   0 0 m1    11
  12. 12. En estructuras donde la mayor cantidad de la masa se encuentre en los muros estructuralescomo bodegas, o donde el diafragma del piso sea flexible, como en puentes, no se puedeusar diafragma rígido, y se debe usar la matriz consistente de masa para armar la ecuaciónde equilibrio dinámico.La masa concentrada se utiliza en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, cuando elelemento es muy rígido se desprecia la deformación interna y las propiedades inerciales sereferencian al centro de masa. Se acelera la placa respecto al punto (0,0,0)X; Y ‫ ׷‬distancia al centro de masa X Z u Ö u ?Las fuerzas inerciales son: ሷF୶ ൌ mµሷ ୶ െ mYθ୸F୷ ൌ mµሷ ୷ െ mXθሷ୸ m ሷ ଶ ଶM୞ ൌ െmYµሷ ୶ െ mXµሷ ୷ ൅ ቂ J଴ ൅ MሺX ൅ Y ሻቃ θ୸ Am: masa totalJ୭ Momento polar de inerciaA: área de la placa ଶ ଶI୭ ൌ J ൅ MሺX ൅ Y ሻ ୫ ୅ ଴ Fଡ଼ m 0 െYm µሷ ୶൝ Fଢ଼ ൡ ൌ ൦ 0 m Xm ൪ ቐµሷ ୷ ቑ m M୞ J ൅ MሺX ൅ Y ሻ θሷ୸ ଶ ଶ െYm Xm A ଴ሼFሽ ൌ ሾMሿሼµሷ ሽCuando la aceleración se hace respecto al centro de masa Xሷ ൌ Yሷ ൌ 0, la matriz de masaqueda: 12
  13. 13. Fଡ଼ m 0 0 µሷ ୶൝ Fଢ଼ ൡ ൌ ቎ 0 m m 0 ቏ ቐµሷ ୷ ቑ M୞ 0 0 J ሷ A ଴ θ୸Para un conjunto de cuerpos rígidos, unidos por conexiones rígidas ‫ ۍ‬Σmi 0 െΣY୧ m୧ ‫ې‬ሾMሿ ൌ ‫0 ێ‬ Σmi ΣX୧ m୧ ‫ۑ‬ ‫ێ‬ m ଶ ଶ ‫ۑ‬ ‫ۏ‬െΣY୧ m୧ ΣX୧ m୧ Σ ቀ J଴ ൅ MሺX ൅ Y ሻቁ‫ے‬ AProblema: Una losa de concreto maciza, con rigidez infinita (diafragma rígido), tiene unamasa concentrada m= 25 Ton en un extremo. Calcule la matriz de masa respecto a su ejecentroidal. Öz u uM୮୪ୟୡୟ ൌ 24 kNൗmଷ ‫ 52,0 כ 02 כ 01 כ‬ൌ 120 TnEl centroide de área coincide con el de masa ΣX୧ m୧ 0 ‫ 52 כ‬൅ 5 ‫021 כ‬Xൌ ൌ ൌ 4,14 m Σmi 145 ΣY୧ m୧ 0 ‫ 52 כ‬൅ 10 ‫021 כ‬Yൌ ൌ ൌ 8,28 m Σmi 145Masa de la Placa 10 ‫02 כ‬ଶ 20 ‫01 כ‬ଶA= 10x20 = 200J଴ ൌ Iଡ଼ଡ଼ ൅ Iଢ଼ଢ଼ ൌ ൅ ൌ 833,33 mସ 12 12X୔ ൌ 5 െ 4,14 ൌ 0,86 m 13
  14. 14. Y୔ ൌ 10 െ 8,28 ൌ 1,82 mYm୔ ൌ 218,4 Tn ‫ כ‬mXm୔ ൌ 103,2 Tn ‫ כ‬mm ଶ ଶ 120 ‫33,3338 כ‬ J଴ ൅ M ቀX ൅ Y ቁ ൌ ൅ 120 ‫ כ‬ሺ0,86ଶ ൅ 1,82ଶ ሻ ൌ 5486,24 Tn ‫ כ‬mଶA 200Masa excéntricaA= o , J଴ ൌ 0X ൌ 4,14 m , Y ൌ 8,28 mXm ൌ 103,5 Tn ‫ כ‬m , Ym ൌ 207 Tn ‫ כ‬mm ଶ ଶ J଴ ൅ M ቀX ൅ Y ቁ ൌ 25 ‫ כ‬ሺ4, 14ଶ ൅ 8, 28ଶ ሻ ൌ 2142,45 Tn ‫ כ‬mଶA 145 0 െ425,4ሾMሿ ൌ ൥ 0 145 206,7 ൩ െ425,4 206,7 7628,7 Unidades [Ton] y [m]3. MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LA ESTRUCTURA3.1 MATRIZ DE RIGIDEZDe la escogencia y localización de los grados de libertad, depende la forma del sistema deecuaciones de equilibrio. La Rigidez se define como la fuerza necesaria para producir undesplazamiento unitario en la dirección de la carga. El Análisis Estructural relaciona larigidez, el desplazamiento y la fuerza, por medio de la ecuación de equilibrio estático{F} = [K ]{u}. Este modelo matemático, de múltiples ecuaciones simultáneas, describe elcomportamiento de la estructura ante unas cargas estáticas.Un pórtico estructural puede ser idealizado como un ensamblaje reticular de elementos devigas y columnas interconectadas en los nudos, los muros estructurales no se consideraránen este modelo. Los desplazamientos de los nudos son los grados de libertad. Para unpórtico plano, cada nudo tiene 3 grados de libertad: dos desplazamientos y un giro. Seasume un comportamiento dentro del rango elástico lineal de los materiales, y por lo tantolas fuerzas resistentes del piso serán proporcionales a los desplazamientos. 14
  15. 15. 3.2 DIAFRAGMA RÍGIDOSe considera la losa muy rígida en su propio plano; se puede idealizar como un cuerporígido, y describir cualquier coordenada dentro del diafragma. La localización de cualquierpunto dentro del diafragma se puede describir a partir de 2 desplazamientos horizontales yun giro. θ θSe toma el origen en el centro de masa del diafragma, Los desplazamientos verticales encolumnas y diafragma, y las rotaciones alrededor de los ejes horizontales, se muestran en lasiguiente gráfica:“Dos puntos de una losa de entrepiso, que se idealice como diafragma rígido no puedentener desplazamientos relativos horizontales, pero si desplazamientos verticales y girosrespecto a ejes horizontales”. [García. L.E.]Las propiedades inerciales de la masa, se encuentran en el centro de la masa, y no se tieneen cuenta la masa de columnas y pantallas, hipótesis aplicable a edificios aporticados, perono a sistemas de muros estructurales. Cada losa se puede deformar ante diferentes cargasexternas, como en la siguiente figura: 15
  16. 16. Lo anterior implica que cada losa posee infinitos grados de libertad, por lo tanto si seconsidera que las losas son infinitamente rígidas solo existirían 3 grados de libertad únicospara describir el movimiento de cualquier fragmento o partícula, tal y como se muestra enla figura No. 14.Las losas de Diafragma No Rígido, se presentan en sistemas sobre muros, Placas deentrepiso sobre elementos prefabricados sin superficies rígidas en el nudo, Edificio convacios grandes en el diafragma, Edificios con irregularidades tipo 2P y 3P, Losas detransferencia en edificios y losas de transición.3.3 MODELACIÓN DE EDIFICIO APORTICADOA continuación se presenta el modelo de una edificación de dos niveles. Inicialmente seconsideran todos los grados de libertad de la estructura. Si se supone un diafragma rígido,se observa que sobre las losas existen dos desplazamientos horizontales y un grado delibertad rotacional. Del método de la rigidez directa, se sabe que cada nudo tiene 3 gradosde libertad y que la masa de la losa se concentra en estos, sumando un total de 12 grados delibertad. θ θ3.3.1 Se genera la matriz de rigidez de cada elemento y se ensambla la matriz de rigidez decada pórtico [ Kp1 ],[ Kp2 ],[ KpA ] y [ KpB ], para éste caso. Cada una de 12 x 12. 16
  17. 17. [ K ]12x12 Pórtico 1 y A3.3.2. Se suponen las vigas con rigidez axial infinita debido al diafragma rígido. Se defineun grado de libertad horizontal X e Y por piso independientes y las otra dependientes, searma la matriz [ R ] a partir de las relaciones lineales entre los grados de libertad.[ Ki ] = [ R ]T [ Kp ][ R ]Para el pórtico tipo 1 [ Ki1 ]10x10Para el pórtico tipo A [ KiA ]10x103.3.3. Condensación de grados de libertadPara pórticos bajos y largos H/B ≤ 5, se eliminan los grados de libertad verticales, donde Hes la altura de la edificación y B es el lado, se pueden eliminar los grados de libertadverticales, omitiendo tanto la fila como la columna correspondiente en la matriz de rigidez.Caso I: H/B > 5 Se consideranCaso II: H/B ≤ 5 Se desprecian 17
  18. 18. Caso I:Se reordena la matriz para que en las primeras filas y columnas queden los grados delibertad horizontal y rotacional, y a la derecha y parte inferior los grados de libertadverticales. Kଵ kଶሾK ୧ ሿ ൌ ቈ ୧ ୧ ቉ K୧ Kସ ଷ {Fi} = [Ki]{ui} ସLa Matriz de rigidez del pórtico con grados de libertad verticales condensados queda:ሾK ୗ୚ ሿ ൌ ቂሾKଵ ሿ െ ሾK ଶ ሿሾK ସ ሿሾK ଷ ሿቃ ୧ ୧ ୧ ୧Los grados de libertad condensados se obtienen con:{Uv} = -[Ki4]-1[ Ki2] {Usv}Caso II:Se eliminan filas y columnas de grados de libertad verticales {Uv}=0 en la matriz [Ki] y seobtiene la matriz [Ksv].Para el pórtico 1 [Ksv1] 6x6Para el pórtico A [KsvA] 6x6 18
  19. 19. 3.3.4. Condensación de los grados de libertad rotacionales.No hay ningún efecto inercial asociado a los grados de libertad rotacionales respecto a ejeshorizontales del diafragma, por lo tanto se puedan condensar.[Ksv]: Se reordena para que en las primeras filas y columnas queden los grados de libertadhorizontales y las inferiores y derecha las verticales y rotacionales. Kଵ KଶሾK ୱ୴ ሿ ൌ ൤ ୱ୴ ୱ୴ ൨ Kଷ ୱ୴ Kସ ୱ୴Se condensa.[Kc] = [ [Ksv1] – [Ksv2] [Ksv4 ]-1 [Ksv 3] ]Los grados de libertad condensados se calculan con:{Urot} = -[Ksv3]-1 [Ksv2] {Up}Las Matrices de efectos horizontales, contienen la rigidez solo para desplazamientoshorizontales, quedan:Pórtico 1 [Ksv1]2x2Pórtico A [KsvA]2x23.3.5. Transformación de los grados de libertad de un desplazamiento por piso a tres porpiso en diafragma rígido. θ θSe localiza el origen en la intersección del eje 2 y el eje B. Los grados de libertad deldiafragma en el centro de la masa, para que la matriz quede diagonal. 19
  20. 20. Se hace equilibrio entre las fuerza en casa piso del pórtico y la resultante en el centro de lamasa del diafragma. Se toma la fuerza del pórtico local y del diafragma global. αLas coordenadas (xA ,yA ) y (xB, yB) deben estar en la línea de acción del pórtico.d ൌ ඥሺሺX ୆ െ X ୅ ሻଶ ൅ ሺY୆ െ Y୅ ሻଶ ሻSen α = (YB – YA)/d Cos α = (XB – XA)/dSi FL se mantiene en su línea de acción, no importa la localización que tenga, si el pórticono es perpendicular: Fix Sen α F୶୐୧Del equilibrio: ൝Fiyൡ ൌ ൥ Cosα ൩ ቐF୷୐୧ ቑ Mi ത ഥ െ X ୅ ሻSenα M୐୧ ሺy െ y୅ ሻCosα െ ሺX{ Fi } = [ Ti ] { FLi }{ Fi } = Fuerzas globales diafragma piso i{ FLi } = Fuerzas locales pórtico i 20
  21. 21. El centro de masa de cada piso i se define con el vector de posición: ഥ തതതതri ൌ ሺyన െ തതതሻCosα െ ሺX న െ X ୅ ሻSenα ഥ y୅Para el edificio de dos pisos.C = Cos α r = Vector de posición S = Sen α Fଶ୶ S 0 ‫ۓ‬F ۗ ‫ۍ‬C ‫ې‬ ۖ ଶ୷ ۖ 0 Mଶ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ‫ێ‬ r2 0 ‫ ۑ‬Fଶ୶ ൌ ൜ ൠ ‫۔‬Fଵ୶ ۘ ‫ 0 ێ‬S ‫ ۑ‬Fଵ୶ ۖFଵ୷ ۖ ‫ 0ێ‬C‫ۑ‬ ‫ ە‬Mଵ ۙ ‫ 0 ۏ‬r1‫ے‬{ F } = [ Tp ] { FL } TଵൣT୮ ൧ ൌ ൤ ൨ Tଶ ଶ୬୶ଶ୬Donde [Ti ]2x1 n = Numero de pisosPara cada pórtico.{FPL } = [ KCL ] { UPL }{FP } = [TP ] { FPL } = [ TP ][ KCL ] { UPL}Se tiente:{ U } = [ TP ] { UPL } { U } = Grados de libertad globales del diafragma{ UPL } = [ TP ]-1 { U }{ UPL } = [ TP ]T { U }Reemplazando en { FP }{ FPL } = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T { U }{ KP }9x9 = [ TP ] [ KCL ] [ TP ]T[ KP ]: Matriz del pórtico en función de los grados de libertad globales de la estructura. 21
  22. 22. 3.3.6. Ensamblaje matriz de masa[ Mi ]: Matriz de masa piso i; suponiendo diafragma rígido. mଵ Uଵ୶[ Mi ]3x3 = ቎ mଶ ቏ Uଵ୷ mଷ MଵMatriz de masa de la estructura [ M ]. ሾmଶ ሿଷ୶ଷ[ M ] = ቈ൤ ൨቉ ሾmଵ ሿଷ୶ଷ 2 pisos ଺୶଺La fuerza inercial es { F } = [ M ]{ Ü }3.3.7. Ecuación de equilibrio dinámico de la estructura.[M]{Ü }+[K]{U}={0} Vibración Libre ሷ[ M ] { Ü } + [ K ] { U } = - [ K ] { γ } { Xo} Vibración Forzada ሷ{ γ } { Xo} = Aceleraciones en los grados de libertad de la estructura.El registro acelerográfico tiene cinco componentes de aceleración: Dos horizontalesortogonales NS y EW y una vertical. No registra aceleración rotacional asociada a la inerciade una masa rotacional del diafragma. Para diafragma rígido no se incluyen los efectosverticales de aceleración. ሷX ୒ୗ ൌ Aceleración Norte െ Sur ሷX ୉୛ ൌ Aceleración Este െ Oeste ሷ ሷX ୒ୗ y X ୉୛ : Aceleraciones horizontales ortogonales del terreno, no colineales con losgrados de libertad globales del diafragma. 22
  23. 23. ሷ ሷ ሷX ୭୶ ൌ X ୒ୗ Cosβ െ X୉୛ Senβ ሷ ሷ ሷX ୭୷ ൌ X ୒ୗ Senβ ൅ X ୉୛ CosβSi se usa una componente del acelerograma ሷ ሷX ୭୶ ൌ X ୒ୗ Cosβ ሷ ሷX ୭୷ ൌ X ୉୛ Senβ ሷ X ୭୶La matriz [ γ ] queda: ሼv୭ ሽ ൌ ሾγሿ ቊX ቋ ሷ ୭୷ v୭୶ଶ ሷ ‫ۓ‬v ሷ ۗ 1 0 ‫0ۍ‬ 1‫ې‬ ۖ ୭୷ଶ ۖ ۖv ሷ ۖ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ሷሼv୭ ሽ ൌ v ሷ ሷ ஘ଶ ൌ ‫0ێ‬ 0‫ ۑ‬ൌ ቊ X ୒ୗ Cosβ ቋ ‫ ۔‬୭୶ଵ ۘ ‫1ێ‬ 0‫ۑ‬ ሷ X ୉୛ Senβ ۖv୭୷ଵ ۖ ۖ ሷ ۖ ‫0ێ‬ 1‫ۑ‬ ‫0ۏ‬ 0‫ے‬ ‫ ە‬v஘ଵ ۙሷSi la aceleración del terreno es colineal con el grado de libertad del diafragma de laestructura se coloca 1, sino 0.3.3.8. Fuerzas en los elementosDespués de resolver la ecuación de equilibrio dinámico y encontrar los desplazamientosglobales { U } se calculan:- Grados de libertad rotacionales condensados{Urot} = -[ KSV4 ]-1 [ KSV3 ] { UP }- Grados de libertad verticales{ Uv } = - [ Ki4 ]-1 [ Ki3 ] { USV } para H/B > 5 U୔ሼUୗ୚ ሽ ൌ ൜ ൠDonde: U୰୭୲Si H/B ≤ 5 { UV } = { 0 } entonces: UሼU୧ ሽ ൌ ൜ ୗ୚ ൠ U୚Por último se obtiene los desplazamientos de todos los grados de libertad del pórtico. 23
  24. 24. ሼU୐ ሽ ൌ ሾRሿሼUiሽ ሼU୅ ሽ ൌ ሾRሿሼU୧ ሽ ሼUଵ ሽSe calculan los grados de libertad del pórticoComo los desplazamientos están en coordendas locales del pórtico { UL }, se calculan lasfuerzas en los elementos de la estructura, y reacciones en los apoyos.4. SOLUCIÓN DE LA RESPUESTA DINÁMICA PARA SISTEMAS CON VARIOSGRADOS DE LIBERTADExisten varias formas de Solución, entre las que se tiene: La Solución Modal, que consisteen convertir el sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas y linealmente dependientes,en un conjunto de ecuaciones de equilibrio independiente. Generalmente se realiza elanálisis modal cronológico y el modal espectral. Otra forma de solución se hace por mediode integración de las ecuaciones de equilibrio, el cual es análogo a sistemas de un grado delibertad, con aplicación en sistemas estructurales con características no lineales.Para encontrar la respuesta dinámica se utilizará un espacio vectorial, que es una región delespacio-tiempo con ciertas propiedades o características matemáticas, construida a partir deun conjunto de vectores linealmente independientes, que se conocen como la Base delsistema, y que describen el movimiento del modelo estructural dentro del espacio vectorial,usando combinaciones lineales y otras propiedades.4.1 Solución Modal para el caso no amortiguadoEn Vibración Libre se tiene el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: ..[m]u  + [k ]{u} = {0}    Se supone la solución de la forma:{u i (t )}= {φi }f i (t ){φi }: Vector de amplitudesf (t ) i : Función que depende del tiempoDerivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial. 24
  25. 25. {u i (t )}= {φi }f&i (t ) &{&u&i (t )}= {φi }&f&i (t )[m]{φ i }f&i (t ) + [k ]{φ i }f i (t ) = {0} & n   n  ∑ mijφ i && (t ) +  ∑ kijφ i f (t ) = 0 f j i  j i j =1   j =1 Usando el método clásico de separación de variables en ecuaciones diferenciales: n && (t ) ∑ kijφ j i f = w2 j=1− i = n f (t ) ∑ mijφ i i i j j=1Se observa que ambos lados de la expresión anterior son iguales a la frecuencia natural wial cuadrado. Por analogía a los sistemas de un grado de libertad la solución de esta ecuacióntiene dos partes:La parte que depende del tiempo es:&& (t ) + w 2 f (t ) = 0f i i iLa solución de la anterior ecuación diferencial es de la forma:f (t ) = A Senw t + B Cosw t i i i i iw i : Frecuencia naturalA B i , i : Constantes que dependen de las condiciones iniciales y representan la amplituddel movimiento oscilatorio.La otra expresión es:n 2n∑ kijφ j − w i ∑ mijφ j = 0 i ij=1 j=1n 2n  i ∑ kij − w i ∑ mijφ j = 0 j=1 j=1 ( ){ } [k ] − w i2 [m] φ i = 0 (1)Para solucionar este sistema de ecuaciones simultáneas se recurre al teorema de Cramer: 25
  26. 26. a) Si el determinante de un sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones en el mismo φnúmero de incógnitas n , es diferente de cero, el sistema tiene exactamente una solución.b) Si el sistema es homogéneo y el determinante es diferente de cero, únicamente se tiene la φsolución trivial n =0c) Si el sistema es homogéneo y el determinante es igual a cero, se tiene soluciones no φ ≠triviales n 0.Usando la parte c) del teorema se tiene que la ecuación (1) tiene solución no trivial si eldeterminante de la matriz de coeficientes es ceroDet = [k ] − w 2 [m ] = 0 i Determinante característicoAl expandir el determinante se encuentra la ecuación característica o frecuencial, que es unpolinomio de grado 2n.Como las matrices de masa y rigidez son simétricas y positivas definidas, las n raíces deesta ecuación son reales y positivas, y se conocen como los Valores Propios, Eigenvalues ovalores normales. La matriz [k ] es positiva definida para evitar el movimiento de cuerporígido de la estructura soportada, aunque no es necesario para estructuras como los aviones.La matriz [m] es positiva definida para asegurar que la masa concentrada no sea eliminadaen todos los grados de libertad del análisis por la condensación estática.Las n raíces son las frecuencias naturales de vibración del sistema, que es un valor propio sise cumple el teorema de Cramer. Una matriz nxn tiene exactamente n frecuencias naturales.Despejando de la ecuación anterior, se tiene:[k ] = w i2 [m][m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m][m]−1[k ] = w i2 (2)La Frecuencia fundamental es la frecuencia natural w más pequeña de las i-avas ifrecuencias naturales. Una vez obtenidas las frecuencias de (2) se reemplazan en (1) los wvalores de i y se obtienen n sistemas del tipo.([k] − w 2 [m]){φ n }= 0 n n = 1, 2, 3….... 26
  27. 27. Para cada valor de w n { } existe un vector independiente φ n que es una solución no trivialdel sistema de ecuaciones simultáneas, que se conoce como vector característico,Eigenvector o modo de vibración.Para cada frecuencia w n { } se tiene un vector φ n que tiene una forma definida peroamplitud arbitraria, dado por los valores relativos de los n desplazamientos,correspondientes a las n frecuencias de vibración. Si existen n frecuencias naturalesentonces excitarán n modos de vibración. Si dos frecuencias son iguales, cualquiercombinación lineal de los modos, también es otro modo de vibración.Los Modos de Vibración son propiedades del sistema que dependen de la rigidez y masa.Cada modo se puede excitar independientemente y el movimiento del conjunto de masas se wmoverá con la forma del modo y con una frecuencia natural n asociada al modo. Elmovimiento general de un sistema de n grados de libertad se representa por lasuperposición de los modos del sistema.4.2 Ortogonalidad de los modos.Cada modo corresponde a una frecuencia natural diferente que satisface la siguientecondición de ortogonalidad. Cuando w ≠ w . i n { }= w 2 [m]{φ n }[k ] φ n nPremultiplicando por la transpuesta del r-avo modo φ r{} T{φ r } [k]{φ n }= w 2 {φ r } [m]{φ n } T n T (3)Si se inicia con el modo r y premultiplicamos por el vector transpuesto del modo n, se tiene:{φ n } [k]{φ r }= w 2 {φ n } [m]{φ r } T r T ( 4)Como la matriz [k ] = [k ] y la [m ] = [m ] , debido a que son simétricas, se tiene que la T Ttranspuesta de la matriz del lado derecho es igual a la transpuesta del lado izquierdo.Usando la ecuación (3):{φ n } [k]{φ r }= w 2 {φ n } [m]{φ r } T n T (5)Restando (4) de (5) 27
  28. 28.  r { } {} w 2 − w 2  φ n T [m ] φ r = 0 nw2 − w2  = 0 n r{φ n } [m]{φ r }= 0 T w2 ≠ w2La ecuación anterior es verdadera cuando n r , que para sistemas con frecuencias w ≠wnaturales positivas implica que n r , se puede concluir que:{φ r } [k]{φ n }= 0 T y {φ r } [m]{φ n }= 0 TY sustituyendo en la ecuación (3) y (4), se observa que se cumple la igualdad.La ortogonalidad de los modos naturales de vibración implica que las siguientes matricescuadradas son diagonales, siempre y cuando r=n, si son diferentes, entonces las matricesson iguales a cero{φ r } [k]{φ n }= {w 2 } T r{φ r } [m]{φ n }= {1} TEl significado físico que implica la ortogonalidad modal, es que el trabajo hecho por lafuerza inercial en el n-avo modo a través del desplazamiento en el r-avo modo, es igual acero.4.3 Normalización de los Modos.La Normalización consiste en tomar uno de los elementos del vector y asignarle un valorarbitrario, por ejemplo 1, los elementos restantes quedan normalizados, respecto a este { }valor, y los vectores se denominan modos normales. Si el vector φ n es un modo normal,cualquier vector proporcional es prácticamente el mismo modo escalado por un factor. Aveces es conveniente normalizar cada modo en los elementos correspondientes a un gradode libertad en particular, por ejemplo asignarle la unidad al último piso de un edificio devarios pisos. Es común normalizar los modos respecto a la matriz de masa, es decir que lan-ésima masa mn tenga valores unitarios, esta normalización se conoce como masaortonormal.{φ r }T {φ r } = 1{φ r }T [m]{φ r } = [I] 28
  29. 29. [I] es la matriz identidad.Si los modos se normalizan con {φ r }T [m]{φ r }, entonces los vectores modales componenun conjunto de vectores linealmente independientes. Se acostumbra a escribir todos losmodos en una sola Matriz modal[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 } {φ n }  ......   4.4 Desacople de las Ecuaciones de MovimientoUn vector siempre puede expresarse como una combinación lineal de los modos y puedendescribir cualquier movimiento del sistema, cada modo multiplicado por unas constantesque dependen de las condiciones iniciales. Si el movimiento es forzado, las constantesdependen de la solicitación. Las constantes indican el grado de participación de cada modoen el movimiento total. Para vibración libre el movimiento del sistema se describe con lasiguiente expresión:{u} = [Φ]{η}Donde:{U}: Grados de libertad globales{η}: Nuevos Grados de libertad o generalizados[Φ] : Matriz modal normalizadaDerivo dos veces y reemplazo en la ecuación diferencial de equilibrio dinámico. ..  .. u  = [Φ ]η    ..[m]u  + [k ]{u} = {0}     ..[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = {0}    Premultiplicamos por [Φ ] T[Φ]T [m][Φ]{&&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = {0} ηPor el principio de ortogonalidad: 29
  30. 30. [Φ]T [m ][Φ]{η} = [I] [Φ]T [k ][Φ] = w 2    y  [I]{&&} + w 2 {η} = 0 η    Esto implica que se tienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo:..ηi + w 2 η = 0 i iPara solucionar esta ecuación diferencial se aplican los mismos métodos que se usaron pararesolver sistemas de un grado de libertad.Después que se obtiene la solución de la ecaución diferencial de cada grado de libertadgeneralizado, la respuesta dinámica de la estructura es la superposición de la contribuciónde cada modo.{u} = [Φ ]{η} = n [{ } ] { } { } ∑ φ η (t ) = φ1 η1 (t ) + φ 2 η 2 (t ) + K + {φ n }η n (t ) i=1 i i{η}: Sistema de coordenadas generalizadas, donde cada una actúa independientementecomo si fuera un grado de libertad único, que a su vez afecta los grados de libertadglobales, de forma tal que se mueven armónicamente en el modo correspondiente.4.5 Vibración con Condiciones InicialesUna vez obtenida la respuesta dinámica de la estructura de cada una de las ecuacionesdesacopladas, se debe emplear la transformación de coordenadas siguiente para pasar a losgrados de libertad globales.{u (t )} = [Φ ]{η}Derivo{u (t )} = [Φ ]{η} & &Para el caso no amortiguado la solución para los grados de libertad generalizados es de laforma:{η(t )} = {ASenwt} + {BCoswt}Derivo{η(t )} = {AwCoswt} − {BwSenwt} &Reemplazando en la respuesta dinámica de los grados de libertad globales: 30
  31. 31. {u(t )} = [Φ]{ASenwt} + [Φ]{BCoswt}. u (t ) = [Φ ]{wACoswt } + [Φ ]{− wBSenwt }  { } . Si se tienen condiciones iniciales u y u o  o  { } u = [Φ]{η(0 )} = [Φ]{B} o .   . u o  = [Φ ]η(0 ) = [Φ]{wA} &   Premultiplicando por [Φ ] [m ] T[Φ]T [m]{u o }= [Φ]T [m][Φ]{B} = {B}[Φ]T [m]{u o }= [Φ]T [m][Φ]{wA} = {wA} &La solución de la respuesta dinámica de desplazamiento en el tiempo, de un sistema devarias grados de libertad no amortiguado con condiciones iniciales es:{u (t )} = [Φ][Φ]T [m ]{u o } 1 Senwt  + [Φ][Φ]T [m]{u o }{Coswt} &   w Problema: (Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.).Hallar las frecuencias naturales, modos de vibración y la Respuesta Dinámica dedesplazamiento en coordenadas globales.Estructura Idealizada 31
  32. 32. Matriz de masa de la estructura: m 0 0   0 2m 0 [m] =    0 0 2m  Usando el método de la rigidez directa: 12EIDonde k = ×4 Columnas L3I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado.E: Modulo de elasticidad del material. 32
  33. 33. L: Altura del piso.k: Rigidez del piso.Matriz de rigidez del Edificio:  k −k 0 [k ] = − k 2k − k     0 − k 2k   Ecuaciones de Movimiento  ..  u m 0 0  .. 3   k − k 0   u 3  0 0 2m 0  u  + − k 2k − k  u  = 0  2    2    0 0 2m  ..    0 − k 2k   u  0     1    u   1  Se pueden obtener n sistemas del tipo:([k] − w 2 [m]){φ n }= 0 nLas Frecuencias Naturales se hallan:Det = [k ] − w 2 [m ] = 0 n k − w 2m −k 0Det = −k 2k − w 2 2m −k 0 −k 2k − w 2 2mExpando el determinanteD = 4m 3 w 6 − 12km 2 w 4 + 9k 2 mw 2 − k 3 = 0 ÷ 4m 3 k 4 9 k 2 2 1 k3w6 − 3 w + w − =0 m 4 m2 4 m3 kSe puede hacer por comodidad w 2 = u y = 1 , se obtiene un polinomio de grado 3 con 3 mraíces 33
  34. 34. 9 1u 3 − 3u 2 + u− =0 4 4u1 = 0.134u2 = 1u 3 = 1.886 kPero u = w 2 y colocando 1 = y ordenando de menor a mayor se obtienen las mfrecuencias naturales del sistema k k kw 2 = 0.134 w2 = w 2 = 1.886 1 m 2 m 3 mLos modos de vibración se calculan con:([k] − w 2 [m]){φ n }= 0 n kPara w 2 = 0.134 1 m  k k −  0.134 m m −k 0     φ 3  0 −k  k 2k −  0.134 2m −k  φ  = 0  m  2         k    φ1  0 0 −k 2k −  0.134 2m   m  0.866k −k 0  φ 3  0 −k     1.732k − k  φ 2  = 0  0 −k 1.732k   φ1  0    0.866kφ 3 − kφ 2 = 0 φ 3 = 1.155φ 2 (1)− kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0 (2)− kφ 2 + 1.732kφ1 = 0 (3) φ 2 = 1.732kφ1De (3)De (1) ( ) 0.866kφ 3 − k 1.732φ1 = 0 φ 3 = 2φ1De (2) ( ) − 2kφ1 − 1.732k 1.732φ1 − kφ1 = 0 0=0 φ 1 Solución Trivial 34
  35. 35. φ1 Puede tomar cualquier valor. φ =1Sea 1  2 Primer modo de vibración o modo fundamental { }   φ1 = 1.732  1    kPara w 2 = 2 m 0 − k 0  φ 3  0− k 0 − k  φ  = 0  2    0 − k 0   φ  0  1   − kφ 3 = 0− kφ 3 − kφ1 = 0 φ 3 = −φ1− kφ 2 = 0 : Pueden tomar cualquier valor . Si φ1 = 1φ1 φ 3 y − 1 { }Segundo modo de vibración o Modo 2 φ 2 =  0    1   kPara w 2 = 1.886 3 m− 0.866 −k 0  φ 3  0 −k     − 1.732k − k  φ 2  = 0  0 −k − 1.732  φ1  0    − 0.866kφ 3 − kφ 2 = 0− kφ 3 − 1.732kφ 2 − kφ1 = 0− kφ 2 − 1.732kφ1 = 0 φ 2 = −1.732φ1De (1) ( ) − 0.866kφ 3 − k − 1.732φ1 = 0 φ 3 = 2φ1Si φ1 = 1  2  { }  Modo 3 φ 3 = − 1.732  1    35
  36. 36. Fuente: Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico. García, Luis E.Normalizando los modos respecto a la matriz de masa{φ r }T [m]{φ r } = [I] Se obtienen las modas ortonormalesModo 1: m 0 0  2 {2 1.732 1} 0 2m  1.732 = 12m  0   0 0  1  2m       2  0.557 { } φ1 = 1   1.732 = 2 3m  1  m  0.5      1  0.289 Modo 2: m 0 0  − 1  0 2m 0   0  = 3m{− 1 0 1}    0 0 2m   1     − 1 − 0.557 {φ 2 }= 1   0 = 3m   1  m  0    1  0.557 Modo 3: 36
  37. 37. m 0 0  2 {2 − 1.732 1} 0 2m  − 1.732 = 12m  0     1  2m   0 0    2  0.557 { } φ3 = 1   − 1.732 = 2 3m  1  m   − 0.5     1  0.289Matriz Modal 0.557 − 0.557 0.557 1 [Φ ] =  0.5 0 − 0.5   m 0.289 0.557 0.289  Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:  0.557 0.5 0.289  m 0 0  0.557 − 0.557 0.557  1    0 2m 0  1  0.5[Φ ] [m][Φ ] = − 0.5  T m − 0.557 0 0.557    m 0   0.557 − 0.5 0.289   0 0 2m     0.289 0.557 0.289    1 0 0[Φ ] T [m][Φ ] = 0 1 0   0 0 1     0.557 0.5 0.289   k − k 0  0.557 − 0.557 0.557  1  0.557  − k 2k − k  1 [Φ ] [k ][Φ ] = − 0.5  T − 0.557 0  m  0.5 0 m    0.557 − 0.5 0.289   0 − k 2k     0.289 0.557 0.289    0.1341 0 0 [Φ ] T [k ][Φ ] =  0 1 0  k  m  0  0 1.886 Las ecuaciones desacopladas  .. 1 0 0  η1  0.134 0 0   η1  00 1 0 η..  + k  0      2  m  1 0  η 2  = 0 0 0 1  ..   η   0  0 1.886  η 3  0      3 37
  38. 38. Como ecuaciones diferenciales independientes:.. kη1 + 0.134 η1 = 0 m.. kη2 + η2 = 0 m.. kη3 + 1.886 η3 = 0 mSuponiendo un desplazamiento unitario como condición inicial y velocidad inicial igual acero: . u o  = {0}  1{u o } = 1  1   0.557 0.5 0.289 m 0 0  1 2.1547  B1  { }{B} = [Φ ]T [m] u o = 1  m − 0.557 0        0.557  0 2m 0  1 = m 0.5774 = B 2   0.557 − 0.5 0.289  0 0 2m 1     0.1548  B     3La respuesta del sistema es:{u} = {φ1}η1 (t ) + {φ 2 }η 2 (t ) + {φ 3 }η3 (t ) u  0.557 − 0.557 0.557 3      u 2  =  0.5 2.1517Cosw1t +  0 0.5774Cosw 2 t +  − 0.5 0.1547Cosw 3 t u  0.289  0.557  0.289 1       u   1.244  − 0.333  0.089  3   k   k   ku 2  = 01.077Cos 0.134 t +  0 Cos t + − 0.077 Cos 1.886 t u   0.622  m   m   m 1    0.333   0.045 4.6 Análisis Modal en vibración libre con amortiguamientoCuando se incluye el amortiguamiento, la respuesta en la vibración libre es: 38
  39. 39. [m]{&&} + [c]{u} + [k ]{u} = {0} u & {u o } y .  u o    , se pueden expresar los desplazamientosSi existen condiciones iniciales{u} en términos de los modos naturales del sistema sin amortiguamiento:[m][Φ]{&&} + [c][Φ]{η} + [k ][Φ]{η} = {0} η &Premultiplicando por [Φ] T[M]{&&} + [C]{η} + [K]{η} = {0} η &Donde[M] = [Φ]T [m][Φ][C] = [Φ]T [c][Φ][K ] = [Φ]T [k ][Φ][C]es una matriz cuadrada pero no es diagonal, ya que depende de la distribución delamortiguamiento en todo el sistema estructural. Si [C] es diagonal, representa elamortiguamiento en las n-avas ecuaciones diferenciales desacopladas en las coordenadas delos grados de libertad generalizados η , y se dice que el sistema tiene un amortiguamientoclásico, ya que es aplicable a tales sistemas, con las mismas frecuencias naturales y modosde vibración que el sistema no amortiguado.El amortiguamiento generalmente se especifica con un valor para una relación modal,suficiente para realizar un análisis de un sistema lineal. Por lo tanto no es práctico definirlos coeficientes en la matriz de amortiguamiento a partir de la geometría estructural,sección de los elementos, y propiedades de amortiguamiento en materiales. Elamortiguamiento es un valor obtenido de ensayos experimentales los cuales son usados enla relación modal.Los coeficientes de la matriz de amortiguamiento clásicos se definen imponiendo unascondiciones iniciales de velocidad unitaria en cada uno de los grados de libertadgeneralizados, es decir de la ecuación de equilibrio desacoplada, obteniendo las fuerzasinternas de amortiguamiento en cada uno de los grados de libertad, se repite el proceso paracada grado de libertad y se obtiene la matriz de amortiguamiento. Desacoplando la Matriz[C] se tiene:[C] = [Φ]T [c][Φ] = [2ξ i ωi ] 39
  40. 40. [2ξiωi ] es una matriz diagonal y i es el amortiguamiento asociado con el modo i en elgrado de libertad i obtenido de ensayos. Aunque la matriz de amortiguamiento se puededesacoplar, no tiene relación con el amortiguamiento real en el grado de libertaddeterminado. Por lo tanto lo que se hace es desacoplar la ecuación de equilibrio dinámico ydespués el amortiguamiento se introduce en la ecuación desacoplada, evitando un granerror. 2&& + 2ξ w η + w ηi = 0η & i i i i iEsta ecuación se resuelve por cualquiera de los métodos vistos anteriormente, para sistemasde un grado de libertad. En cada ecuación desacoplada el amortiguamiento es elcorrespondiente al modo i.4.7 Excitación en la BaseLa ecuación de movimiento para excitación en la base es: .. ..[m]u  + [k ]{u} = −[m][γ ]x o         Usando coordenadas generalizadas y derivando respecto al tiempo:{u (t )} = [Φ ]{η}{u (t )} = [Φ ]{η} & &{&&(t )} = [Φ ]{&&} u ηReemplazando en la ecuación de equilibrio .. ..[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o         Premultiplicamos por [Φ ] T ..[Φ]T [m][Φ]{&&} + [Φ]T [k ][Φ]{η} = −[Φ]T [m][γ]x o  η    Por el principio de ortogonalidad:[Φ]T [m ][Φ]{η} = [I] [Φ]T [k ][Φ] = w 2    y  Se obtienen n ecuaciones desacopladas de un grado de libertad. 40
  41. 41. 2 ..&& + w ηi = −α i xη i i oSe introduce el amortiguamiento clásico 2 ..&& + 2ξ w η + w η = −α i xη & i i i i i i oDonde:[α] = [Φ]T [m][γ]El valor máximo que puede tener η entre la base y la masa del sistema, es igual al leído en iel espectro de respuesta del sismo para la misma frecuencia w y el mismo amortiguamientoξ en un sistema de un grado de libertad.η (max) = α Sd T ξ i i i i ( )Donde ( ) Sd T ξ i i es el valor del espectro de desplazamientos.Si se tiene el espectro de aceleraciones:η (max) = α i i 1 2 ( ) Sa T ξ i i w iLa matriz modal es:[Φ] = {φ1}{φ 2 }{φ 3 } {φ n }  ......   La respuesta dinámica de desplazamientos de la estructura se obtiene con:{u (t )} = [Φ][α]{η} = {φ1}α1η1 (t ) + {φ 2 }α 2 η 2 (t ) + .............. + {φ n }α n η n (t ) = n {} ∑ φ ⋅ α η i (t ) i i i =1Si se toman los máximos de la respuesta dinámica de los grados de libertad generalizadosη i , y se superponen, no se obtiene la máxima respuesta, ya que estos desplazamientosmáximos ocurren en tiempos diferentes, debido a la variación en el tiempo de la magnitudde la aceleración. La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal,correspondiente al modo i es: 41
  42. 42. {u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}= { } ( ) n ∑ φ ⋅ α Sd w ξ i i i i i =1Las fuerzas dinámicas inerciales en la estructura de cada modo, se obtienen multiplicandolos desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura.{Fi} = [k ]{u i }El cortante basal en el modo i correspondiente a la fuerza en el piso i es:{Vi} = {1}T {Fi}El momento de volcamiento en el modo i es:{Mi} = {h}T {Fi}Donde hi es la altura del piso i.Para cada modo, las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas se obtiene con:{Fmod }= [k]{u imod }= [k]{φi }(ηi )max = [k]{φi }αiSd(w iξ i ) i [α] por [Φ]T y usando ([Φ][m]) =  [m] [Φ]  = [m][Φ] T  T T TPremultiplicando  [Φ]T [α ] = [Φ]T [Φ]T [m][γ ] = [Φ]T [m ][Φ][γ ] = [γ ]La masa total de la estructura en cualquier grado de libertad, es la suma de las masas encada dirección principal. La masa total se relaciona con cada grado de libertad:[m ]Total = [γ ]T [m ][γ ]Reemplazando [γ ] T[m]Total =  [Φ]T [α] [m][Φ]T [α] = [α]T [Φ][m][Φ]T [α]    [m]Total = [α] [I][α] = T [∑ αi2 ]La masa total corresponde a la suma de los cuadrados de los coeficientes de participaciónmodal αi. Este valor es la masa efectiva modal, y es el porcentaje de masa total que semueve en determinado modo de vibración. De acuerdo al NSR-98, se deben tener en cuentalos modos que muevan más del 90% de la masa total del sistema estructural. 42
  43. 43. Problema: Encontrar la respuesta dinámica modal en términos de desplazamiento y lasfuerzas dinámicas inerciales máximas, de una edificación para vivienda ubicada en el nortede la ciudad de Cali, donde de acuerdo a las características geotécnicas del suelo, este se hacatalogado como un S2. El edificio tiene diafragma rígido y está sometido a la aceleraciónespectral del NSR-98 en la base. La altura del entrepiso a ejes es 2.8 m, en cada piso hay 6columnas y todas tiene una sección de 40X40 cm. Las losas de los pisos 1 y 2 tienen unpeso de 800 kgf/m2, la losa del piso 3 tiene un peso de 200 kgf/m2, todas las losas tienenun área de 20X15 m2, y f´c = 28 MPa. Desprecie la masa de las columnas.Coeficientes del espectro:I= 1Aa = 0.25S= 1.2Tc = 0.576 sTL = 2.88 s ESPECTRO DEFINIDO PARA UN COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO RESPECTO AL CRÍTICO ξ = 5% a(g) 0.7 0.6 0.5 0.4 Sa (g) 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 T (s) 43
  44. 44. Evaluación de cargasPiso 1 y 2:m1 = m2 = 800*15*20 = 240.000 kgPiso 3:m3 = 200*15*20 = 60.000 kgMatriz de masa [kg] o [Tn] 60 0 0   0 240 0 [m] =   0  0 240  [Tn]Matriz de rigidezLas unidades se dan en [N/m] o [kN/m], si la matriz de está en [kg] o [Tn] respectivamente.Se ha encontrado que una losa con un módulo de elasticidad como el del concreto,Ec = 3900 f´c = 20637 MPa , y con una altura de más de 1.50 m, no es suficientementerígida a flexión. Por lo tanto, la rigidez del piso, es similar a la de una columna en voladizo.Para simular un piso rígido, se debe usar un módulo de elasticidad muchísimo mas grandeque el del concreto.Por lo tanto la rigidez del piso será: 3EIk= ×6 Columnas L3I: Momento de Inercia respecto al eje flexionado.E: Modulo de elasticidad del material.L: Altura del piso. 0.4 * 0.4 3 3 * 20637 * 10 6 * Ik= 12 × 6 = 36100 kN/m 2.83Usando el método de la rigidez directa: 44
  45. 45. Matriz de rigidez del Edificio:  36100 − 36100 0  − 36100 72200 − 36100[k ] =    0  − 36100 72200   [kN/m]Ecuaciones de Movimiento .. ..[m][Φ]η + [k ][Φ]{η} = −[m][γ]x o           ..  u  x 60 0 0  .. 3   36100 − 36100 0  u 3  60 0 0  1&& o1  0 240 0  u  + − 36100 72200 − 36100 u  = −  0 240 0  1x   2    2     && o 2 0  0 240 ..   0 u  − 36100 72200  1 0 0 240 1          &&  x u1   o3   Se pueden obtener n sistemas del tipo:([k] − w 2 [m]){φ n }= 0 nLas Frecuencias Naturales se hallan:Det = [k ] − w 2 [m ] = 0 n 45
  46. 46. [k ] = w i2 [m][m]−1[k ] = w i2 [m]− 1[m][m]−1[k ] = w i2 (2)Las frecuencias naturales al cuadrado del sistema son: 2 2 2  rad   rad   rad w 2 = 47.93  w 2 = 354.67  w 2 = 800.73  1  s  2  s  3  s La matriz modal es:  1 − 0.872 1  - 0.331 - 0.358 0.920[Φ] =    0  1 0.547 La columna 1 corresponde al modo 1, la 2 al modo 2 y la 3 al modo 3. El modo 1 y 3 estánnormalizados respecto a la unidad en el último piso, mientras que en el modo 2 se le asignoun valor unitario al primer piso.Normalizando los modos respecto a la matriz de masaModo 1: 60 0 0  1 {1 − 0.331 0.1}  0 240 0  - 0.331 = 88.65   0  0.1  0 240      0.1062 { }   φ1 = - 0.0351  0.0106   Modo 2: 60 0 0  - 0.872{− 0.872 − 0.358 1} 0 240 0  - 0.358 = 316.36   0  1  0 240     − 0.0490{ }   φ 2 =  - 0.0201   0.0562    46
  47. 47. Modo 3: 60 0 0  1 {1 0.920 0.547} 0 240 0  0.920 = 335.19    0.547  0 240  0   0.0546{ }   φ 3 = 0.0503 0.0299  Matriz Modal Normalizada  0.1062 − 0.0490 0.0546[Φ] = - 0.0351 - 0.0201 0.0503    0.0106 0.0562 0.0299  Usando la matriz [Φ] , se desacopla el sistema:  0.1062 − 0.0351 0.0106 60 0 0   0.1062 − 0.0490 0.0546[Φ ] T - 0.0490 - 0.0201 0.0562  0 240 0  - 0.0351 - 0.0201 0.0503 [m][Φ ] =      0.0546 0.0503 0.0299  0   0 240  0.0106 0.0562 0.0299   1 0 0[Φ ] T [m][Φ ] = 0 1 0   0 0 1     0.1062 − 0.0351 0.0106  36100 − 36100 0   0.1062 − 0.0490 0.0546[Φ]T - 0.0490 - 0.0201 0.0562 − 36100 72200 − 36100 - 0.0351 - 0.0201 0.0503 [k ][Φ ] =      0.0546 0.0503 0.0299  0   − 36100 72200   0.0106 0.0562 0.0299   800.73 0 0 [Φ] T  0 [k ][Φ] =  354.7 0   0  0 47.93   0.4767 [α] = [Φ]T [m][γ] =  5.7233    22.5172  Las ecuaciones desacopladas 47
  48. 48.  .. 1 0 0  η1  800.73 0 0   η1   0.4767  ..  0 1 0  η +     2  0 354.7 0  η 2  = - 5.7233  ⋅ && (t)    xo0 0 1   ..   0 η   0 47.93  η 3  22.5172      3Como ecuaciones diferenciales independientes:..η1 + 800.73η1 = −0.4767&& (t) x o..η 2 + 354.7 η 2 = 5.7233&& (t) x o..η 3 + 47.93η = 22.5172&& (t) x 3 oSe introduce el amortiguamiento clásico modal 2 ..&& + 2ξ w η + w η = −α i xη & i i i i i i oDonde  es el coeficiente de amortiguamiento crítico. Usando = 5%, como elamortiguamiento asociado con los modos en cada uno de los 3 grados de libertad.2ξ w = 2 * 0.05 * 28.30 = 2.83 1 12ξ w = 2 * 0.05 * 18.83 = 1.88 2 22ξ w = 2 * 0.05 * 6.92 = 0.692 3 3Las ecuaciones desacopladas quedan:..η1 + 2.83η + 800.73η1 = −0.4767 && (t) & x 1 o..η 2 + 1.88η + 354.7 η 2 = 5.7233&& (t) & x 2 o..η 3 + 2.83η + 47.93η = 22.5172&& (t) & x 3 3 oDel espectro de respuesta se tiene Tc = 0.576 s y TL = 2.88 s.Modo 1: 48
  49. 49. 2πT1 = = 0.222 s w 1 mSa = 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13 2 1 s SaSd = = 0.0077 m 1 2 w1Modo 2: 2πT2 = = 0.334 s w 2 mSa = 2.5AaI = 2.5 * 0.25 * 9.81 * 1.0 = 6.13 2 s2 SaSd = = 0.0173 m 2 2 w2Modo 3: 2πT3 = = 0.908 s w3 1.2AaIS 1.2 * 0.25 * 9.81 * 1.0 * 1.2 mSa 3 = = = 3.89 T 0.908 s2 SaSd = = 0.0811 m 3 2 w3La máxima respuesta dinámica de desplazamiento modal, correspondiente al modo i es:{u (t )i }max = [Φ]{α iSd(w i ξ i )}= { } ( ) n ∑ φ ⋅ α Sd w ξ i i i i i =1η max = α Sd w ξ i i i i ( )η max = α Sd = 0.4767 * 0.0077 = 0.00365 m 1 1 1η max = α Sd = 5.7233 * 0.017 = 0.097 m 2 2 2η max = α Sd = 22.5172 * 0.0077 = 0.173 m 3 3 3La respuesta del sistema es:{u}max = {φ1}η1 max + {φ 2 }η 2 max + {φ 3 }η3 max 49
  50. 50.  u   0.1062  − 0.0490 0.0546 3      u 2  = - 0.0351 * 0.0365 +  - 0.0201  * 0.097 + 0.0503 * 0.173 u   0.0106   0.0562    1     0.0299 u   0.00388  − 0.00475 0.00944 3      u 2  = - 0.00128 +  - 0.00195  + 0.00870 u   0.00039   0.00545  0.00517  1       u  0.00857  3  u 2  = 0.00547  [m] u   0.01101 1  Las fuerzas inerciales máximas resultantes de todos los modos{Fi} = [k ]{u i } F   111.91  3  F2  = - 311.90 [kN] F   597.46  1  El momento de volcamiento es:{Mi} = {h}T {Fi} M   313.35  3  M 2  = - 873.32 [kN.m] M  1588.89  1   50

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