Unmsm fisi-06-ingeniería económica -capitulo 6-serie gradiente uniforme

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Unmsm fisi-06-ingeniería económica -capitulo 6-serie gradiente uniforme

  1. 1. Curso de Ingeniería Económica
  2. 2. Definición de Gradiente Uniforme  Es un flujo de Caja que aumenta o disminuye de  manera uniforme. Es decir, el flujo de caja; ya sea  ingreso o desembolso, varia en la misma cantidad cada  año.  El gradiente es la cantidad que aumenta o disminuye  en cada año.  En el caso de un gradiente, los ingresos o desembolsos  del flujo de caja de fin de año son diferentes, de  manera que debe deducirse una nueva fórmula.  Al desarrollar una formula para gradientes uniformes,  es conveniente suponer que el pago que ocurre al final  del año uno no involucra un gradiente sino mas bien  un pago base.
  3. 3. Definición de Gradiente Uniforme  La primera cantidad de final de año se denominará  cantidad base.  El gradiente es el cambio anual aritmético en la  magnitud de las entradas o desembolsos, el cual puede  ser positivo o negativo.  El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como:  CFn = cantidad base + (n‐1)G
  4. 4. Definición de Gradiente Uniforme  Ejemplo: Una empresa piensa obtener el próximo año  un rendimiento de USS 100,000 de la venta de un  producto. Sin embargo, se espera que las ventas  disminuyan uniformemente hasta un nivel de 47,500,  dentro de ocho años, por la entrada de la competencia. Solución:  Cantidad base: US$ 100,000 Pérdida de ingresos en  ocho años:  100,000 ‐47,500 =  US$ 52,500 Gradiente:  = Pérdida /(n‐1) = 52,500/(8‐1)  = US$ 7,500 por año.
  5. 5. Deducción de fórmulas de Gradiente  Existen varias maneras por medio de las cuales se  puede deducir la formula del gradiente uniforme:  Factor Valor  Presente ‐ Pago Único (P/F, i%, n)  Factor Cantidad Compuesta – Pago Único (F/P, i%, n)  Cantidad Compuesta ‐ Serie Uniforme (F/A, i%, n)  Serie Uniforme – Valor Presente (P/A, i%, n) Para deducir la formula de gradiente usaremos la suma  de los valores presentes de los pagos únicos
  6. 6. 4G (n-1)G (n-2)G 0 21 3 4 n-1 n5 G 2G 3G P= G(P/F,i,2) + 2G(P/F,i,3) + 3G(P/F,i,4) + …  +(n-2)G(P/F,i,n‐1) + (n‐1)G (P/F,i,n) Factorizando G P= G[(P/F,i,2) + 2(P/F,i,3) + 3(P/F,i,4) + ….  +(n-2)(P/F,i,n‐1) + (n‐1)(P/F,i,n)] reemplazando los símbolos dentro del corchete por la expresión  valor presente‐pago único (P/F) Definición de Gradiente Uniforme
  7. 7. Definición de Gradiente Uniforme P=G[ 1 (1+i)2 + 2 (1+i)2 + 3 (1+i)2 +……+ n-2 (1+i)n-1 + n-1 (1+i)n ] Al multiplicar ambos lados por  (1+i), P (1+i) =G[ 1 + 2 (1+i)2 + 3 (1+i)2 +……+ n-2 (1+i)n-1 + n-1 (1+i)n ] (1+i) Restando ésta última ecuación de la anterior,  iP = G[ 1 + 2 (1+i)2 + 3 (1+i)2 +……+ n-2 (1+i)n-1 + n-1 (1+i)n (1+i) ]‐G[ n (1+i)n ]
  8. 8. Definición de Gradiente Uniforme iP = G[ 1 + 2 (1+i)2 + 3 (1+i)2 +……+ n-2 (1+i)n-1 + n-1 (1+i)n (1+i) ‐ G[ n (1+i)n ]] Ésta expresión es igual  a aquella que se presenta  con el factor P/A por lo que  la  sustituimos por la expresión simplificada: (1+i)n-1 i(1+i)n ‐ n (1+i)n P = G i [ ]
  9. 9.  Con ésta formula se convierte  un gradiente  aritmético G, sin incluir la cantidad base, para n  años, en un valor presente en el año cero. P= G(P/G,i,n) P 1 2 n 0 Definición de Gradiente Uniforme
  10. 10.  Por otro lado, la serie anual uniforme equivalente  (A) de un gradiente aritmético G, se calcula  multiplicando el valor presente del Gradiente  (P/G,i,n) por la expresión del factor (A/P,i,n). A= G(P/G,i,n) (A/P,i,n) Definición de Gradiente Uniforme G i A= (1+i)n-1 i(1+i)n ‐ n (1+i)n[ ] (1+i)n - 1 i(1+i)n [ ] = G n [ 1 i ‐ ](1+i)n - 1  La expresión entre corchetes se denomina Factor  de Gradiente Aritmético de una Serie Uniforme  y se identifica como  (A/G,i,n)

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