Unmsm fisi - el problema dual - io1 cl09-dualidad

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Unmsm fisi - el problema dual - io1 cl09-dualidad

  1. 1. 1 El Problema Dual Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática Investigación Operativa I 2 El Problema Dual PROBLEMA 1.- Se desea averiguar las cantidades de ciertos alimentos que deben comerse para satisfacer ciertos requerimientos nutritivos a un costo mínimo. Supongamos que las consideraciones se limitan a leche, carne, huevos y a las vitaminas A, C y D. Supongamos que el número de miligramos de vitaminas contenidas en cada unidad de alimentos se da en la tabla siguiente:
  2. 2. 2 3 El Problema Dual A 1 1 10 1 C 100 10 10 50 D 10 100 10 10 Costo en soles 40 44 20 VITAMINA Mínimo requerido a diario (mg) Galón de leche Libra de carne Docena de huevos 4 El Problema Dual SOLUCION.- xL : cantidad de leche en galones xC : cantidad de carne en libras xH : cantidad de huevos por docena Variables de decisión
  3. 3. 3 5 El Problema Dual Restricción por requerimiento mínimo de vitamina A: 110xxx HCL ≥++ Restricciones Restricción por requerimiento mínimo de vitamina C: 5010x10x100x HCL ≥++ Restricciones de no negatividad: Restricción por requerimiento mínimo de vitamina D: 1010x100x10x HCL ≥++ 0x,x,x HCL ≥ 6 El Problema Dual HCL 20x44x40xZMin ++= Función objetivo
  4. 4. 4 7 El Problema Dual El programa queda: sujeto a HCL 20x44x40xZMin ++= 110xxx HCL ≥++ 5010x10x100x HCL ≥++ 1010x100x10x HCL ≥++ 0x,x,x HCL ≥ 8 El Problema Dual Primera Fase: Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol. Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1 w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50 w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10 Z 1 111 111 30 -1 -1 -1 0 0 0 61 w1 1 1 1 10 -1 0 0 1 0 0 1 1,00 w2 1 100 10 10 0 -1 0 0 1 0 50 0,50 w3 1 10 100 10 0 0 -1 0 0 1 10 1,00 Z 1 0 999/10 189/10 -1 11/100 -1 0 -111/100 0 11/2 w1 1 0 9/10 99/10 -1 1/100 0 1 -1/100 0 1/2 0,56 xL 0 1 1/10 1/10 0 -1/100 0 0 1/100 0 1/2 5,00 w3 1 0 99 9 0 1/10 -1 0 -1/10 1 5 0,05 Z 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 0 -111/110 -111/110 5/11 w1 1 0 0 108/11 -1 1/110 1/110 1 -1/110 -1/110 5/11 0,05 xL 0 1 0 1/11 0 -1/99 1/990 0 1/99 -1/990 49/99 5,44 xC 0 0 1 1/11 0 1/990 -1/99 0 1/990 1/99 5/99 0,56 Θ
  5. 5. 5 9 El Problema Dual Z xL xC xH x1 x2 x3 w1 w2 w3 Sol. Z 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 0 xH 0 0 0 1 -11/108 0 0 11/108 0 0 5/108 xL 0 1 0 0 1/108 -6/589 0 -1/108 6/589 0 53/108 xC 0 0 1 0 1/108 0 -6/589 -1/108 0 6/589 5/108 Θ 10 El Problema Dual Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol. Z 1 -40 -44 -20 0 0 0 xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108 xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108 xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108 Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27 xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108 xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108 xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108 Θ Segunda Fase:
  6. 6. 6 11 El Problema Dual La solución es: 108/53xL = 108/5xC = 108/5xH = 27/610Z = 0x1 = 0x2 = 0x3 = 12 El Problema Dual PROBLEMA 2.- Se desea averiguar a que precio, como máximo, se deben vender las vitaminas A, C y D, de manera que resulten más convenientes que consumir las alternativas: leche, carne y huevos, y satisfacer ciertos requerimientos nutritivos . Supongamos que el número de miligramos de vitaminas contenidas en cada unidad de alimentos se da en la tabla siguiente:
  7. 7. 7 13 El Problema Dual A 1 1 10 1 C 100 10 10 50 D 10 100 10 10 Costo en soles 40 44 20 VITAMINA Mínimo requerido a diario (mg) Galón de leche Libra de carne Docena de huevos 14 El Problema Dual SOLUCION.- yA : precio por miligramo de vitamina A yC : precio por miligramo de vitamina C yD : precio por miligramo de vitamina D Variables de decisión
  8. 8. 8 15 El Problema Dual Restricción por reemplazo del galón de leche: 4010yy100y DCA ≤++ Restricciones Restricción por reemplazo de la libra de carne: 44100y10yy DCA ≤++ Restricciones de no negatividad: Restricción por reemplazo de la docena de huevos: 2010y10y10y DCA ≤++ 0y,y,y DCA ≥ 16 El Problema Dual DCA 10y50yyWMax ++= Función objetivo
  9. 9. 9 17 El Problema Dual El programa queda: sujeto a DCA 10y50yyWMax ++= 4010yy100y DCA ≤++ 44100y10yy DCA ≤++ 2010y10y10y DCA ≤++ 0y,y,y DCA ≥ 18 El Problema Dual Resolviendo el PPL: W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 -1 -50 -10 0 0 0 0 y1 0 1 100 10 1 0 0 40 0,400 y2 0 1 10 100 0 1 0 44 4,400 y3 0 10 10 10 0 0 1 20 2,000 Θ W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20 yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5 y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40 y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16 Θ
  10. 10. 10 19 El Problema Dual W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 -1/2 0 -5 1/2 0 0 20 yC 50 1/100 1 1/10 1/100 0 0 2/5 4,000 y2 0 9/10 0 99 -1/10 1 0 40 0,404 y3 0 99/10 0 9 1/10 0 1 16 1,778 Θ W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99 yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495 yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99 y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11 Θ 20 El Problema Dual W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 -5/11 0 0 49/99 5/99 0 2180/99 yC 50 1/110 1 0 1/99 -1/990 0 178/495 39,556 yD 10 1/110 0 1 -1/990 1/99 0 40/99 44,444 y3 0 108/11 0 0 -1/11 -1/11 1 136/11 1,259 Θ W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27 yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135 yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135 yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27 Θ
  11. 11. 11 21 El Problema Dual La solución es: 27/34yA = 135/47yC = 135/53yD = 27/610W = 0y1 = 0y2 = 0y3 = 22 El Problema Dual El programa del Primal: s. a. HCL 20x44x40xZMin ++= 110xxx HCL ≥++ 5010x10x100x HCL ≥++ 1010x100x10x HCL ≥++ 0x,x,x HCL ≥ El programa del Dual: DCA 10y50yyWMax ++= 4010yy100y DCA ≤++ 44100y10yy DCA ≤++ 2010y10y10y DCA ≤++ 0y,y,y DCA ≥ s. a.
  12. 12. 12 23 El Problema Dual W yA yC yD y1 y2 y3 Sol. W 1 0 0 0 53/108 5/108 5/108 610/27 yC 50 0 1 0 6/589 0 0 47/135 yD 10 0 0 1 0 6/589 0 53/135 yA 1 1 0 0 -1/108 -1/108 11/108 34/27 Θ Z xL xC xH x1 x2 x3 Sol. Z 1 0 0 0 -34/27 -47/135 -53/135 610/27 xH 20 0 0 1 -11/108 0 0 5/108 xL 40 1 0 0 1/108 -6/589 0 53/108 xC 44 0 1 0 1/108 0 -6/589 5/108 Θ Tablero óptimo del Primal (modelo de minimización): Tablero óptimo del Dual (modelo de maximización): 24 El Problema Dual Reglas de transformación de un problema Primal a un problema Dual
  13. 13. 13 25 Dado el siguiente PPL primal: sujeto a 321 x2x4x3ZMax −+= 12x3x12x4 321 ≤+− 40x6xx5- 321 −≥−+ 0x1 ≥ 10x2x4x3 321 =−+ El Problema Dual 6xx3x2- 321 ≤++ 0x2 ≤ 3x irrestricta 1y 2y 3y 4y Variables duales 26 En el problema primal se observa que: El Problema Dual 1) Es un modelo de Maximización 2) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T 3) Tiene 4 restricciones 4) El vector de coeficientes de la función objetivo es: [ 3 4 -2 ] 5) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T 6) La matriz de coeficientes tecnológicos es: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2-43 6-15- 132- 312-4 A =
  14. 14. 14 27 Reglas de Transformación.- Estas reglas se utilizan para determinar el problema dual a partir de un problema primal dado. El Problema Dual 28 Regla 1 El número de variables del problema dual es igual al número de restricciones del problema primal. El número de restricciones del problema dual es igual al número de variables del problema primal. El Problema Dual
  15. 15. 15 29 Regla 1 El Problema Dual Problema primal 1) Tiene 3 variables, siendo el vector: [ x1 x2 x3 ]T 2) Tiene 4 restricciones Problema dual 1) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T 2) Tiene 3 restricciones 30 Regla 2 Si el problema primal es un modelo de maximización, el problema dual es un modelo de minimización. Si el problema primal es un modelo de minimización, el problema dual es un modelo de maximización. El Problema Dual
  16. 16. 16 31 El Problema Dual Regla 2 Problema primal 1) Es un modelo de Maximización Problema dual 1) Es un modelo de Minimización 32 Regla 3 El vector de coeficientes de la función objetivo en el problema dual es igual al vector de recursos del problema primal. El Problema Dual
  17. 17. 17 33 El Problema Dual Regla 3 Problema primal 1) El vector de recursos es: [ 2 6 -40 10 ]T Problema dual 1) El vector de coeficientes de la función objetivo es: [ 2 6 -40 10 ] 34 Regla 4 El vector de recursos en el problema dual es igual al vector de coeficientes de la función objetivo del problema primal. El Problema Dual
  18. 18. 18 35 El Problema Dual Regla 4 Problema primal 1) El vector de coeficientes de la función objetivo es: [ 3 4 -2 ] Problema dual 1) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T 36 Regla 5 Los coeficientes de la i-ésima restricción del problema dual son iguales a los coeficientes de la variable i en las restricciones del problema primal. El Problema Dual
  19. 19. 19 37 El Problema Dual 4321 y3y5-y2-y4 + 4321 y4yy3y12- +++ 4321 y2y6yy3 −−+ Regla 5 Problema primal 1) Coeficientes tecnológicos de x1: 4, -2, -5, 3. 2) Coeficientes tecnológicos de x2: -12, 3, 1, 4. 3) Coeficientes tecnológicos de x3: 3, 1, -6, -2. Problema dual 1) Restricción 1: 2) Restricción 2: 3) Restricción 3: 38 Regla 6 El sentido de la i-ésima restricción del problema dual es = si y sólo si la i-ésima variable del problema primal es irrestricta. El Problema Dual
  20. 20. 20 39 El Problema Dual Regla 6 Problema primal 1) Problema dual 1) Restricción 3: 3x irrestricta 2y2y6yy3 4321 −=−−+ 40 Regla 7 Si el problema primal es un modelo de maximización, después de aplicar la regla 6, asigne a las restantes restricciones del problema dual el mismo sentido de las variables correspondientes del problema primal. Si el problema primal es un modelo de minimización, después de aplicar la regla 6, asigne a las restantes restricciones del problema dual el sentido contrario de las variables correspondientes del problema primal. El Problema Dual
  21. 21. 21 41 El Problema Dual Regla 7 Problema primal 1) 2) Problema dual 1) Restricción 1: 2) Restricción 2: 0x1 ≥ 0x2 ≤ 3y3y5-y2-y4 4321 ≥+ 4y4yy3y12- 4321 ≤+++ 42 Regla 8 La i-ésima variable del problema dual es irrestricta si y sólo si la i-ésima restricción del problema primal tiene sentido de =. El Problema Dual
  22. 22. 22 43 El Problema Dual Regla 8 Problema primal 1) Restricción 4: Problema dual 1) 10x2x4x3 321 =−+ 4y irrestricta 44 Regla 9 Si el problema primal es un modelo de maximización, después de aplicar la regla 8, asigne a las restantes variables del problema dual el sentido contrario de las restricciones correspondientes del problema primal. Si el problema primal es un modelo de minimización, después de aplicar la regla 8, asigne a las restantes variables del problema dual el mismo sentido de las restricciones correspondientes del problema primal. El Problema Dual
  23. 23. 23 45 El Problema Dual Regla 9 Problema primal 1) Restricción 1: 2) Restricción 2: 3) Restricción 3: Problema dual 1) 2) 3) 12x3x12x4 321 ≤+− 40x6xx5- 321 −≥−+ 6xx3x2- 321 ≤++ 0y1 ≥ 0y2 ≥ 0y3 ≤ 46 El PPL dual, resulta: sujeto a 4321 y10y40y6y2WMin +−+= El Problema Dual 2y2y6yy3 4321 −=−−+ 3y3y5-y2-y4 4321 ≥+ 4y4yy3y12- 4321 ≤+++ 4y irrestricta0y1 ≥ 0y2 ≥ 0y3 ≤
  24. 24. 24 47 En el problema dual se observa que: El Problema Dual 1) Es un modelo de Minimización 2) Tiene 4 variables, siendo el vector: [ y1 y2 y3 y4 ]T 3) Tiene 3 restricciones 4) El vector de coeficientes de la función objetivo es: [ 2 6 -40 10 ] 5) El vector de recursos es: [ 3 4 -2 ]T 6) La matriz de coeficientes tecnológicos es: AT = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − −− 2613 41312 3524

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