Este documento describe el método gráfico para el análisis de sensibilidad en problemas de programación lineal. Explica las diferentes regiones que pueden presentarse (limitada, ilimitada, vacía), tipos de problemas lineales, y cómo los cambios en los coeficientes o restricciones pueden afectar la solución óptima.

1. Método Gráfico
Análisis de sensibilidad

2. Método gráfico
 Regiones
 Clasificación de problemas PL.
 Análisis de sensibilidad.
IO1 R.Delgadillo 2

3. Regiones
 Según sea el conjunto de restricciones
del modelo de programación linea, se
puede tener los siguientes casos:
 Región limitada (cerrada)
 Región ilimitada (abierta)
 Región vacia
IO1 R.Delgadillo 3

4. Región limitada
 Max 2x1 + 7x2
sujeto a:
3x1 + 4x2 <= 12
x1 + 8x2 <= 8
6x1 + x2 <= 15
x1, x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 4

5. Región limitada
Payoff: 2.0 x + 7.0 y = 9.6
y : 3.0 x + 4.0 y = 12.0
1
: 1.0 x + 8.0 y = 8.0
: 6.0 x + 1.0 y = 15.0
0
x
0 1 2 3
Optimal Decisions(x,y): ( 2.4, 0.7)
: 3.0x + 4.0y <= 12.0
: 1.0x + 8.0y <= 8.0
: 6.0x + 1.0y <= 15.0
IO1 R.Delgadillo 5

6. Región ilimitada
 Min 50 x1 + 100 x2
Sujeto a:
7 x1 + 2 x2 >= 28
2 x1 + 12 x2 >= 24
x1, x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 6

7. Región ilimitada
x2
14
13
12
11
: 7.0 x1 + 2.0 x2 = 28.0
10
9
8
7
6
5
4
3 Payoff: 50.0 x1 + 100.0 x2 = 320.0
2 : 2.0 x1 + 12.0 x2 = 24.0
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.6, 1.4)
: 7.0x1 + 2.0x2 >= 28.0
: 2.0x1 + 12.0x2 >= 24.0
IO1 R.Delgadillo 7

8. Región vacia
 Min 50 x1 + 100 x2
Sujeto a:
7 x1 + 2 x2 >= 28
2 x1 + 12 x2 >= 24
x1 <= 2.5
x2 <= 5
x1, x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 8

9. Región vacia
x2
14
13
12
11
: 7.0 x1 + 2.0 x2 = 28.0
10
9
8
7
6
5
4
3 Payoff: 50.0 x1 + 100.0 x2 = 320.0
2 : 2.0 x1 + 12.0 x2 = 24.0
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.6, 1.4)
: 7.0x1 + 2.0x2 >= 28.0
: 2.0x1 + 12.0x2 >= 24.0
IO1 R.Delgadillo 9

10. Ejercicio
Max 3x1 + 2 x2
sujeto a:
1/40 x1 + 1/60 x2 <= 1
1/50 x1 + 1/50 x2 <= 1
x1 >= 30
x2 >= 20
x1, x2>= 0
IO1 R.Delgadillo 10

11. Tipos de problemas lineales
Se pueden presentar cuatro tipos de problemas
lineales según sea su solución
 Problemas que admiten una única solución
 Problemas que admiten multiples soluciones
(óptimas alternativas)
 Problemas que no tienen solución (problemas
inviables)
 Problemas con solución ilimitada.
IO1 R.Delgadillo 11

12. Tipos de problemas lineales
Problemas que admiten una única
solución
 Se presenta cuando la región es
limitada y la solución cae en un vertice
de la región.
IO1 R.Delgadillo 12

13. Tipos de problemas lineales
Problemas que admiten multiples
soluciones (óptimas alternativas)
 Se presenta cuando la solución cae en un
extremo (lado o rayo) de la región
esto es, todos los puntos (infinitos) que se
encuentran en el extremo óptimo hacen
máximo (o minímo) el valor de la función
 Se presenta cuando la linea de la F.O. Es
paralela a una de las restricciones.
IO1 R.Delgadillo 13

14. Tipos de problemas lineales
Problemas que no tienen solución
(problemas inviables)
 Se presenta cuando la región que
describe el problema es vacio.
 Esta clase de problemas se presenta
cuando existe incongruencia en los
datos y/o especificaciones; o cuando el
problema no esta bien formulado.
IO1 R.Delgadillo 14

15. Tipos de problemas lineales
Problemas con solución ilimitada
(Problemas ilimitados).
 Se presenta cuando la región es ilimitada y la
solución no cae en ningún extremo de la
región. Esto es posible encontrar puntos en la
región factible con valores de la función
objetivo muy grandes (∞ en caso de
problema de máx.) o muy pequeños (-∞ en
caso de problemas de min)
 Se presenta en caso de que la formulación
del problema no es correcto.
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16. Tipos de problemas lineales
En Resumen:
 Región limitada P.L. solución única
P.L.óptimas alternativas
P.L.solución única
 Región ilimitada PL óptimas alternativas
P.L. ilimitado
 Región vacia P.L. Inviable.
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17. Análisis de sensibilidad
¿ Qué es análisis de sensibilidad?
 Es el estudio del efecto de los cambios
en los parámetros del modelo de
programación lineal en la solución
óptima.
 Da al modelo una característica
dinámica.
IO1 R.Delgadillo 17

18. Análisis de sensibilidad
¿ Porqué es importante?
 Permite incorporar factores omitidos
 Corregir Datos inexactos
 Corregir Ingresos y costos inciertos.
IO1 R.Delgadillo 18

19. Análisis de sensibilidad
Cambios en el coeficiente de la F.O.
 Cambiando los coeficientes de la
función objetivo se cambia la pendiente
de los contornos de esta.
 Esto puede o no afectar a la solución
óptima y al valor óptimo de la función
IO1 R.Delgadillo 19

20. Ejemplo.
5000x1 + 10000x2
x2
9
8
7 4000x1 + 5000x2
6
5
4
3 Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0
2 5000x1 + 4000x2
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0
IO1 R.Delgadillo 20

21. Cambio en las restricciones
 El cambio en el valor de un lado
derecho produce un desplazamiento
paralelo de la restricción modificada.
 Esto puede afectar tanto a la solución
óptima como al valor objetivo. El efecto
dependerá precisamente de cuál lado
derecho se haya cambiado y en qué
medida.
IO1 R.Delgadillo 21

22. Ejemplo.
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 49000.0
x2 x2
9 6
8
LD 135 5 LD 210
7
6 4
5
3
4
3 2
2
1
1
0 0
x1 x1
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50624.7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0) Optimal Decisions(x1,x2): ( 5.0, 6.0)
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0 : 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0 : 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0 : 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0 : 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0 : 30.0x1 + 10.0x2 >= 210.0
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23. Estrechamiento de una restricción
 Estrechar una desigualdad significa
hacerla más difícil de satisfacer.
 Para una restricción >= esto significa
aumentar el lado derecho de la
desigualdad
 Para una restricción <= significa
disminuir el lado derecho de la
desigualdad
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24. Relajación de una restricción
Relajar una restricción de desigualdad
significa hacerla más fácil de cumplir
 Para una restricción >= esto significa
disminuir el lado derecho
 Para una restricción <= significa
aumentar el lado derecho de la
desigualdad
IO1 R.Delgadillo 24

25. Efectos sobre la región factible
 Al estrechar una restricción de
desigualdad, o bien se contrae el
conjunto factible o posiblemente quede
inalterado.
 Al relajar una restricción de
desigualdad, o bien se expande el
conjunto factible o posiblemente quede
inalterado.
IO1 R.Delgadillo 25

26. Ejemplo
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0
x2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 8.0
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0
IO1 R.Delgadillo 26

27. Restricciones redundantes
 Una restricción es redundante si al ser
eliminada no cambia la región factible
 Es muy posible que una restricción
redundante para un conjunto de datos
no lo sea cuando se cambian algunos
datos.
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28. Ejemplo
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0
x2
9
8
7
6 Restricción redundante
5
4
3
2
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0)
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 160.0
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0
IO1 R.Delgadillo 28

29. Restricciones activas
 Las restricciones importantes son aquellas
que determinan o definen el conjunto
factible.
 Dentro de las restricciones importantes las
restricciones activa (o limitantes) son aquellas
que determinan la solución óptima.
 Se determina porque al reemplazar los
valores optimos en las restricciones ambos
lasdos de la restricción son de igualdad
 Las restricciones inactivas (no limitantes)
verifican la desigualdad al reemplazarse los
valores óptimos.
IO1 R.Delgadillo 29

30. Ejemplo
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 50500.0
x2
9 Restricciones Activas
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 4.5, 7.0) Restricciones inactivas
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 159.4
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0
IO1 R.Delgadillo 30

31. Adición o eliminación de
restricciones
 Al eliminar restricciones la región
factible queda inalterada o aumenta
 La adición restricciones hace que la
región factible quede inalterada o se
reduzca.
IO1 R.Delgadillo 31

32. Efecto sobre el valor objetivo
 La adición de restricciones en un
modelo o bien empeora el valor
objetivo o lo deja inalterado.
 La eliminación de restricciones en el
modelo o bien mejora el valor objetivo
o lo deja inalterado.
IO1 R.Delgadillo 32

33. Ejemplo
Payoff: 5000.0 x1 + 4000.0 x2 = 47112.0 Nuevo punto
óptimo
x2
9
Punto óptimo
anterior
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x1
0 1 2 3 4 5 6 7
Optimal Decisions(x1,x2): ( 3.0, 8.0)
: 1.0x1 + 1.0x2 >= 5.0 Adición de una nueva restricción
: 1.0x1 - 3.0x2 <= 0.0
: 10.0x1 + 15.0x2 <= 150.0
: 20.0x1 + 10.0x2 <= 159.4
: 30.0x1 + 10.0x2 >= 135.0
: 15.0x1 + 10.0x2 <= 125.4
IO1 R.Delgadillo 33

34. Ejercicios
 Resolver gráficamente los siguientes
modelos
 Max 5000 x1 + 3000 x2
S.a: 3 x1 + 5 x2 <= 15
500 x1 + 200 x2 <= 1000
x1 , x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 34

35. Ejercicios
 Max 4 x1 + 4 x2
S.a: -2 x1 + 2 x2 <= 2
- x1 + 2 x2 <= 4
x1 , x2 >= 0
 Max 2 x1 + 2 x2
S.a: x1 - x2 <= 2
x1 + x2 >= 4
x1 , x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 35

36. Ejercicios
 Min 3 x1 + 5 x2
S.a: 3 x1 + 2 x2 <= 18
x1 <= 4
x2 <= 6
x1 + 4x2 <= 10
x1 , x2 >= 0
IO1 R.Delgadillo 36