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Derivación implícita

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Derivación implícita

  1. 1. Universidad tecnológica Antonio José de sucre Escuela de informática Julio Aguirre CI 18862237
  2. 2.  Geométricamente, la derivada de una función en un punto es el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.  La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.  DERIVACIÓN IMPLÍCITA  Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.  Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.  Por ejemplo:  define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y. 
  3. 3. aplicación  RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS  En la derivación implícita se derivó una ecuación que involucra a x y a y tratada como una función de x. Sin embargo, en algunas aplicaciones donde x y están relacionadas por una ecuación ambas son funciones de una tercera variable t (que puede representar tiempo). Muchas veces las fórmulas de x y dey como función de t no son conocidas. Cuando se deriva una función de este tipo con respecto a t, se está originando una relación entre las razones de cambio  1. De ser posible, traza un diagrama (dibujo) que ilustre la situación que el problema plantea.  2. Designar con símbolos todas cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.  3. Analice el enunciado del problema y debe distinguir cuales razones de cambio se conocen y cuál es la razón de cambio que busca.  4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse. Estrategias para resolver
  4. 4. Derivación Implícita Funciones explícitas y funciones implícitas En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
  5. 5.  Estrategia para la Derivación Implícitas  1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x  2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.  3. Sacar factor común en la izquierda.  4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda

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