1. Guía para la calibración de recipientes volumétricos por el método gravimétrico
Laboratorio: Laboratorio de Volumen.
Elaboró: Stivinson Cordoba Sanchez.
1 Introducción.
La calibración de los distintos recipientes volumétricos consiste en determinar el volumen de líquido
que puede contener o suministrar el recipiente a una temperatura de referencia indicada por el
instrumento (normalmente 20 °C), este volumen de líquido lo podemos determinar midiendo la
masa de agua y su densidad. Mediante La implementación y elaboración de esta Guía Técnica se
dan a conocer los criterios técnicos para adelantar y desarrollar las calibraciones de recipientes
volumétricos por el método Gravimétrico, con el propósito de lograr la ejecución de servicios de
calibración con incertidumbre de medida confiables.
2 Alcance.
En esta guía técnica se describen los pasos requeridos para desarrollar las calibraciones de
recipientes volumétricos de vidrio y plásticos, diseñados para contener y para suministrar líquidos
en un intervalo de medición desde 1 mL hasta 10000 mL, mediante el método gravimétrico de
Lectura directa.
3 Terminología y símbolos.
Terminología
INSTRUMENTOS CLASE A: Se consideran recipientes volumétricos de mayor exactitud, son
fabricados con Vidrio Boro Silicato el cual tiene un bajo coeficiente cubico de expansión térmica.
INSTRUMENTOS CLASE B: Se consideran recipientes volumétricos de menor exactitud. La tolerancia
permitida para los artículos clase B, es el doble con respecto a los de clase A. se fabrican con vidrio
de aluminio de borosilicato, presentando un coeficiente de expansión relativamente grande.
INSTRUMENTOS PARA CONTENER IN: Medida de capacidad en la cual el volumen nominal
corresponde al líquido contenido hasta la línea de aforo a una temperatura de referencia.
INSTRUMENTOS PARA SUMINISTRAR EX: Medida de capacidad en la cual el volumen nominal
corresponde al líquido suministrado después de haber ajustado el menisco en la línea de afro a una
temperatura de referencia. El volumen suministrado siempre es menor que el volumen contenido
debido a la capa de líquido que queda adherida a las paredes del recipiente. El volumen
suministrado depende también del tiempo de vertido y escurrido.
MENISCO: Formación cóncava o convexa del líquido debida a la tensión superficial del líquido y a la
adherencia con las paredes del recipiente que lo contiene.

2. MENSURANDO: Magnitud que se desea medir [1].
MAGNITUD: Propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que puede expresarse
cuantitativamente mediante un número y una referencia [1].
MEDICIÓN: Proceso que consiste en obtener experimentalmente uno o varios valores que pueden
atribuirse razonablemente a una magnitud [1].
VALOR MEDIDO DE UNA MAGNITUD: Valor de una magnitud que representa un resultado de
medida [1].
UNIDAD DE MEDIDA: Magnitud escalar real, definida y adoptada por convenio, con la que se puede
comparar cualquier otra magnitud de la misma naturaleza para expresar la relación entre ambas
mediante un número [1].
ERROR DE MEDIDA: Diferencia entre un valor medido de una magnitud y un valor de referencia [1].
ERROR SISTEMATICO DE MEDIDA: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas,
permanece constante o varia de manera predecible [1].
ERROR ALEATORIO DE MEDIDA: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas,
varia de manera impredecible [1].
TRAZABILIDAD: propiedad de un resultado de medida, por la cual ese resultado puede relacionarse
con una referencia mediante una cadena ininterrumpida y documentada de calibraciones, cada una
de las cuales contribuye a la incertidumbre de medida [1].
CALIBRACION: Operación que bajo condiciones especificadas Primera etapa relación entre los
valores y sus incertidumbres de medida asociadas, obtenidas a partir de los patrones de medida,
Segunda etapa utiliza esta información para establecer una relación que permita obtener un
resultado de medida a partir de una indicación [1].
Símbolos.
SIMBOLO DESCRIPCIÓN
V Volumen de Liquido
m Masa
ρ Densidad
mw Diferencia de las masa indicadas para vacío y lleno, masa de agua total
ρw Densidad del agua
ρA Densidad del aire
ρB Densidad del material de las pesas
Iv Indicación de masa con el recipiente Vacío
ILL Indicación de masa con el recipiente Lleno
V20°C Volumen calculado a 20 °C
ϒ Coeficiente Cúbico de Expansión Térmica
α Coeficiente Lineal de Expansión Térmica
td Temperatura de prueba
to Temperatura de referencia

3. SIMBOLO DESCRIPCIÓN
Ra Recipiente Auxiliar
Rv Recipiente bajo calibración
C20°C Capacidad del recipiente calculada a 20 °C
p Presión barométrica en el sitio de medición
t Temperatura del aire
hr Humedad Relativa
u(V20°C) Incertidumbre estándar del Volumen a 20°C
u(ILl) Incertidumbre estándar de la indicación de masa del RVM Lleno
u(Iv) Incertidumbre estándar de la indicación de masa del RVM Vacío
u(ρw) Incertidumbre estándar de la densidad del agua
u(ρB) Incertidumbre estándar de la densidad de las pesas
u(ρA) Incertidumbre estándar de la densidad del aire
u(ϒ) Incertidumbre estándar del coeficiente cubico de expansión térmica
u(td) Incertidumbre estándar de la temperatura de trabajo
u(res) Incertidumbre estándar de la resolución
u(δVrep) Incertidumbre estándar por repetibilidad de la medición de volumen
u(modelo) Incertidumbre del modelo matemático
u(δVmen) Incertidumbre ajuste del menisco
u(volumen medido) Incertidumbre del volumen medido en la escala
u(división) Incertidumbre de la división
s Desviación estándar de la medición
r Resolución del instrumento
n Numero de mediciones
u(termómetro) Incertidumbre reportada para el error del termómetro
u(δt) Incertidumbre estándar de la estabilidad de la temperatura
tMáxima Temperatura Máxima
tMinima Temperatura mínima
vi Grados de Libertad
σ2 Varianza
veef Grados Efectivos de Libertad
k Factor de Cobertura
U Incertidumbre Expandida
U(relativa) Incertidumbre Relativa
CIPM Comité Internacional de Pesas y Medidas
OIML Organización Internacional de Metrología Legal
EMP Error Máximo Permitido
IN Ajustado para contener liquido
EX Ajustado para suministrar liquido
4 Generalidades de la calibración.
El método de referencia usado ampliamente para la calibración de instrumentos volumétricos, es el
método gravimétrico. El método consiste en pesar la masa de agua que puede contener o
suministrar un instrumento volumétrico bajo calibración con respecto su densidad, a partir de la
diferencia de masa cuando el recipiente está vacío y cuando está lleno de líquido. El líquido usado
generalmente para el desarrollo de este método es agua pura grado 3 (destilada, bi-destilada o
desionizada) con conductividades igual o menor a 5 µS/cm. La densidad del agua pura se determina
en función de la temperatura. Para realizar la evaluación del volumen correctamente se deben

4. registrar la temperatura del medio ambiente, la humedad relativa, la presión atmosférica, la
temperatura del líquido, y conocer el coeficiente cubico de expansión termina del material de
construcción del instrumento. La ecuación recomendada se describe en la norma ISO 4787 [2] la
cual se describe a continuación.
𝑉0 = (𝐼𝐿𝐿 − 𝐼𝑣) ∗ (1 −
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) ∗ (
1
𝜌𝑊 − 𝜌𝐴
) ∗ (1 − 𝛾 ∗ (𝑡𝑑 − 𝑡0)) (1)
Donde:
𝑉0 Volumen a la temperatura de referencia en mL
𝐼𝐿𝐿 Indicación de la masa del recipiente lleno de agua en gramos
𝐼𝑣 Indicación de la masa del recipiente vacio en gramos
𝜌𝐴 Es la densidad del aire a las condiciones ambientales del laboratorio en g/cm3
𝜌𝑊 Es la densidad del agua usada en la calibración en g/cm3
𝜌𝐵 Es la densidad de las pesas (8 g/cm3
) valor convencional según la OIML R111-1
𝑡𝑑 Temperatura del agua medida durante la calibración en °C
𝛾 Coeficiente cubico de expansión térmica del material de construcción del instrumento en °C-1
𝑡0 Temperatura de referencia del aparato volumétrico en °C.
5 Método de calibración.
De las leyes de la física, y más exactamente, de la hidrostática se sabe que el volumen (v) de un
líquido se puede obtener a partir de su masa (m) y su densidad (ρ) mediante la ecuación (2):
𝑉 =
𝑚
𝜌
(2)
Ahora bien, en la práctica, cuando un cuerpo cualquiera se coloca sobre el platillo de un
instrumento de pesaje, con el fin de determinar su masa este se encuentra inmerso en el aire ( a
menos que esta labor se pudiera realizar en vacío absoluto), por lo que se hace necesario tener en
cuenta que además de la fuerza de la gravedad existe otra ( la de empuje) actuando sobre dicho
cuerpo, por lo tanto, el valor indicado (mw) por dicho instrumento debe ser diferente de la masa.
Si por ejemplo el cuerpo de interés es el agua contenida en un recipiente, su volumen se podría
determinar mediante la ecuación (3):
𝑉 = 𝑚𝑤 ∗ (1 −
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) ∗ (
1
𝜌𝑊 − 𝜌𝐴
) (3)
Donde:
V es el volumen del agua
𝑚𝑤 el valor de pesada indicada por el instrumento de pesaje

5. ρW, ρA, y ρB son las densidades del agua, el aire, y las pesas con que fue calibrado el instrumento de
pesaje, respectivamente
Por otra parte, a partir de las propiedades de los líquidos, se puede concluir que si el recipiente
estaba completamente lleno, su capacidad (C) es igual al volumen del líquido, es decir:
𝐶 = 𝑉 = 𝑚𝑤 ∗ (1 −
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) ∗ (
1
𝜌𝑊−𝜌𝐴
) (4)
El valor de mw se halla pesando el recipiente vacío (IV) y lleno (ILL) consecutivamente
𝑚𝑤 = 𝐼𝐿𝐿 − 𝐼𝑉 (5)
Finalmente, para determinar la capacidad (Vo) que tendrá el recipiente a una temperatura de
referencia (to) (como es la práctica internacional) se hace necesario conocer el coeficiente cúbico
de expansión térmica (γ) del material de fabricación, y aplicar la ecuación (6):
𝑉20°𝐶 = 𝑚𝑤 ∗ (1 −
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) ∗ (
1
𝜌𝑊 − 𝜌𝐴
) ∗ (1 − 𝛾 ∗ (𝑡𝑑 − 𝑡0)) (6)
Donde td y to son las temperaturas de prueba, y de referencia respectivamente.
Esta es la expresión que se emplea para la calibración de instrumentos volumétricos. El respaldo
normativo se encuentra en la ISO 4787 [2].
La densidad del agua (ρw) será calculada mediante la recomendación internacional de Tanaka [3]
para el cálculo de la densidad a intervalos de temperatura del agua entre 0°C y 40°C.
Por otro lado la densidad del aire (ρA) será calculada mediante la versión simplificada de la fórmula
recomendad por el CIPM versión normal [4] de la guía SIM MWG7/cg-01/v.00 apéndice A cálculo
para la densidad del aire aplicable en su totalidad para el cálculo de esta variable con su
incertidumbre asociada.
El coeficiente cúbica de expansión térmica (𝛾) del material de construcción del recipiente será en
caso de ser proporcionado por el fabricante, el valor propuesto y en caso de no tenerse se sacará
de recomendaciones internacionales y guías. Cabe aclarar que el coeficiente debe ser cubico,
referida al volumen del material, por lo general se encuentra el coeficiente lineal de expansión,
donde en tal caso se debe emplear desarrollando la expresión: 𝛾 = 3 ∝, y las unidades se darán
en °C-1
5.1 Procedimiento para desarrollar la calibración
Para desarrollar el procedimiento de medida, en la calibración de los distintos instrumentos
volumétricos por el método gravimétrico se siguen los pasos que se enlistan a continuación:
➢ se realiza una inspección visual con el propósito de verificar el buen estado del equipo.

6. ➢ Limpiar el recipiente volumétrico bajo calibración con detergente de baja alcalinidad y secar
a temperaturas menores de 70 °C.
➢ Aclimatar el equipo bajo calibración a su temperatura de prueba, junto con los instrumentos
patrones (Instrumento de pesaje, termómetro para el agua, liquido de prueba, barómetro,
higrómetro, termómetro para el aire) e instrumentos auxiliares, en el laboratorio donde se
realiza la calibración.
➢ Medición de la masa del recipiente volumétrico vacío.
➢ Llenar le recipiente volumétrico con agua grado 3, y ajustar el menisco.
➢ Medición de la masa de agua contenida o suministrada por el recipiente volumétrico.
➢ Registrar la temperatura del agua.
➢ Registrar las condiciones ambientales (temperatura del aire, humedad relativa, presión
atmosférica).
➢ Determinar la masa de agua con la diferencia de masas del recipiente volumétrico vacío y
lleno.
➢ Calcular el volumen usando el modelo matemático.
➢ Resultado de la medición con su incertidumbre asociada.
5.2 Equipos de medición
Balanza.
Se bebe tener una balanza con una división de escala adecuada, de acuerdo a los requisitos
mínimos para desarrollar la calibración de aparatos volumétricos descritos en la norma ISO
4787.
Volumen de calibración
Resolución
(mg)
Desviación
estándar (mg)
Linealidad
(mg)
100 µL > V> 10 mL 0,1 0,2 0,2
10 mL > V > 1000 mL 1 1 2
1000 mL > V > 2000 mL 10 10 20
V > 2000 mL 100 100 200
Tabla 1. Requisitos mínimos para los instrumentos de pesaje no automáticos usados en la
calibración de recipientes volumétricos.
Termómetro para medir la temperatura en el líquido.
El termómetro usado para medir la temperatura del líquido, de acuerdo a los lineamiento de la
norma ISO 4787 para volúmenes menores a 1000 mL debe tener un error de medición ≤ 0.2 °C
y para volúmenes mayores o iguales a 1000 mL debe tener un error de medición ≤ 0.1 °C. Los
termómetros para medir la temperatura del agua y del aire deben contar con incertidumbres
típicas de medida (k = 1) mejor o igual a 0.2 °C.
Higrómetro.
Se requiere un higrómetro para medir la humedad relativa del medio ambiente con un error
de medición ≤ 5%, en un intervalo de medida de 35% al 85%.
Barómetro.

7. Se requiere un barómetro para la medición de la presión atmosférica en el laboratorio de
calibración con un error máximo de medida de 1kPa.
Agua.
De acuerdo a los lineamientos descritos en las normas y documentos guías usados para
desarrollar las calibraciones de pequeños Volúmenes. El nivel de la calidad del agua debe ser
grado 3 (adecuada para trabajo general de laboratorio analítico y preparación de soluciones)
producida por: destilación, bidestitalación, des-ionización, u osmosis inversa. Los requisitos del
agua grado 3 conforme a la norma ISO 3696:1987 [5], Water for analytical laboratory use -
Specification and test methods. Son los siguientes:
Parámetros Grado 3
pH a 25 °C 5.0 a 7.5
Conductividad eléctrica máxima a 25 °C ≤ 0.5 mS / m
Material oxidable. Contenido de oxígeno (O)
máximo
0.4 mg/L
Residuos máximos después de evaporación por
sobrecalentamiento a 110 °C
2 mg/kg
Tabla 2. Requisitos para el agua grado 3 conforme a la norma ISO 3696:1987
Una forma de asegurar la calidad del agua según las recomendaciones internacionales
expuestas en los documentos guías y por parte de los laboratorios de volumen de los Institutos
Nacionales de Metrología es medir en forma periódica su conductividad eléctrica [11].
Instalaciones.
De acuerdo a los lineamientos de la norma ISO 4787 numeral “9.2” las instalaciones de
laboratorio de ensayo y calibración deben cumplir con las siguientes especificaciones.
INSTALACIONES ISO 4787
Temperatura del laboratorio (15-30) °C
Estabilidad de temperatura Local ± 1 °C
Temporal ± 0.5 °C
Humedad (35-85)%
Aclimatización del líquido de prueba* e
instrumento a calibrar (α)
1 h a 2 h
*Líquido de prueba: Agua destilada o desionizada grado 3 (ISO 3696)
Tabla 3. Lineamiento para las condiciones ambientales requeridas en el área de calibración.
Estabilidad de la temperatura local medida en toda el área de trabajo del laboratorio,
Estabilidad temporal medida en el punto de ubicación de los instrumentos bajo calibración y los
patrones de trabajo durante la calibración.
6 Resultados de la medición.
EJEMPLO NUMÉRICO
El siguiente ejemplo corresponde al cálculo de la capacidad de un picnómetro tipo 6 con
termómetro acoplado y capilar lateral determinación de la capacidad para contener líquido a 20 °C.

8. Para realizar este ejercicio se utilizó un picnómetro tipo 6 con termómetro acoplado y capilar
lateral con las siguientes características:
Volumen Nominal 100 mL
Capacidad nominal 100.291 mL
Temperatura de referencia 20 °C
Material de construcción Vidrio
Fabricante Brand
Coeficiente cubico de expansión térmica 9.9 x 10-6 °C-1
6.1 Equipos empleados para la calibración
Equipo y/o
Patrón
Identificación
Fecha de
calibración
Corrección/Error
Incertidu
mbre
Divisió
n de
escala
Unidad
Balanza
Mettler Toledo
MS304S
2017-03-21 -2.30E-04 5.06E-04 0.0001 g
Termómetro
agua
ISOTECH
Canal 0
2016-07-15 -0.004 0.04 0.0001 °C
Temperatura Lufft Opus 20 2016-01-20 0 0.2 0.1 °C
Humedad Lufft Opus 20 2013-01-30 -0.6 1.7 0.1 %
Presión Lufft Opus 20 2013-01-30 -0.43 0.065 0.1 hPa
Coeficiente
de expansión
térmico
9.9 X 10-6 7.5% del valor
reportado
°C-1
Densidad de
las pesas
8
0.14 según la OIML R-
111
g/cm3
Agua Tipo II
Tabla 4. Equipos Empleados en la Calibración

9. 6.2 DATOS DE ENTRADA PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACIDAD
6.2.1 Medición de la masa del recipiente vacío (IV).
A continuación un listado de las cinco (5) mediciones de la masa indicada del picnómetro
vacío bajo calibración (IV):
i IV (g)
1 63.3055
2 63.3056
3 63.3055
4 63.3056
5 63.3057
Tabla 5. Indicaciones de la medición de las masas del picnómetro vacío corregidas con
respecto a la corrección del certificado de calibración de la balanza. En la columna izquierda
se indica el número de lecturas y en la derecha en valor de la masa en gramos.
6.2.2 Medición de la masa del recipiente lleno (ILL).
A continuación un listado de las cinco (5) mediciones de la masa indicada del picnómetro
lleno con agua bajo calibración (ILL):
i ILL (g)
1 163.3453
2 163.3373
3 163.3379
4 163.3372
5 163.3380
Tabla 6. Indicaciones de la medición de las masas del picnómetro lleno con agua grado 3
corregidas con respecto a la corrección del certificado de calibración de la balanza. En la
columna izquierda se indica el número de lecturas y en la derecha en valor de la masa en
gramos.
6.2.3 Medición de temperatura del líquido (td).
A continuación un listado de las cinco (5) mediciones de la temperatura del líquido
contenida en el picnómetro (td):
i td (°C)
1 20.146
2 20.206
3 20.226
4 20.256
5 20.226
Tabla 7. Indicaciones de la medición de las temperaturas del líquido corregidas con respecto
a la corrección del certificado de calibración del termómetro. En la columna izquierda se
indica el número de lecturas y en la derecha en valor de la temperatura en grados celsius.
6.2.4 Medición de las condiciones ambientales (temperatura del aire (t), humedad relativa (hr)
y la presión atmosférica (P)).

10. Se realizaron cinco (5) mediciones de la temperatura del aire, de la humedad relativa y de
la presión atmosférica a lo largo del proceso de calibración del picnómetro.
1 2 3 4 5
Temperatura(t) 21.5 21.7 21.8 21.9 22.0 °C
Humedad (hr) 52.4 52.3 52.2 52.0 51.8 %
Presión (P) 753.77 753.67 753.47 753.07 752.67 hPa
Tabla 8. Condiciones ambientales corregidas.
6.2.5 Calculo de la densidad del agua (ρw).
El cálculo de las densidades del agua que se enlistan a continuación se calcularon utilizando
la ecuación de TANAKA [6]. Tomando en cuenta los valores de la temperatura del líquido y
la presión atmosférica en pascales. Ver anexo A.
i ρw (g/cm3
)
1 0.9981592
2 0.9981467
3 0.9981425
4 0.9981362
5 0.9981425
Tabla 9. Densidad del agua calculada con la ecuación de TANAKA. Variables de entrada
temperaturas del líquido y presión atmosférica en cada punto de medida.
6.2.6 Calculo de la densidad del aire (ρA).
El cálculo de las densidades del aire se determina de acuerdo a los lineamientos descritos
en la versión simplificada de la fórmula recomendad por el CIPM versión normal de la guía
SIM MWG7/cg-01/v.00. La fórmula ofrece resultados con una incertidumbre relativa de
aproximadamente 1.41 x 10-3
kg/m3
bajo las siguientes condiciones ambientales
(incertidumbres de medición de Presión atmosférica, Humedad relativa, Temperatura no
incluida). 600 hPa ≤ P ≤ 1100hPa, 20 % ≤ hr ≤ 80 %, 15 °C ≤ t ≤ 27 °C. Ver anexo B.
i ρA (g/cm3
)
1 0.00088541
2 0.00088461
3 0.00088404
4 0.00088325
5 0.00088246
Tabla 10. Densidad del aire calculada con la ecuación del CIPM versión exponencial. Con
respecto a las condiciones ambientales en la tabla 8 registradas durante el proceso de
calibración del picnómetro.
6.2.7 Densidad de las pesas (ρB).
En el desarrollo de este ejercicio se tomó como referencia el valor de la densidad de las
pesas especificado en la OIML R 111-1 [7], la cual tiene un valor de 800 kg/m3
(8 g/cm3
)
aproximadamente para las pesas fabricadas en acero inoxidable. Este valor también puede
ser consultado en el certificado de calibración de las pesas con las que se calibro la balanza.
6.2.8 Coeficiente cubico de expansión térmica (𝜸).

11. El coeficiente cubico de expansión térmica se obtiene de la literatura o generalmente de la
información del fabricante del recipiente, de acuerdo con el tipo de material del cual están
construidos los equipos volumétrico. El material de construcción para el picnómetro usado
en este ejemplo es Vidrio Borosilicato en cual tiene un Coeficiente cubico de expansión
térmica de 9.9 x 10-6
1/°C. En la siguiente tabla se muestra algunos coeficientes cúbicos
de expansión térmica para diferentes materiales.
Material Coeficiente cubico de expansión térmica 𝜸 (1/°C)
Vidrio Borosilicato 3.3 9.9 x 10-6
Vidrio Borosilicato 5.0 15 x 10-6
Vidrio soda lime 2.5 x 10-5
Plástico (polipropileno) 2.4 x 10-4
Plástico 300 x 10-6 a 600 x 10-6
Acero inoxidable 304 51.8 x 10-6
Acero inoxidable 316 47.7 x 10-6
Tabla 11. Coeficiente cubico de expansión térmica 𝜸
6.3 Calculo de la capacidad
Para el cálculo de la capacidad del picnómetro fue necesario emplear los datos de entradas
descritos en el numeral 6.2 de esta guía.
De acuerdo al modelo matemático se obtiene el siguiente resultado:
𝑉20°𝐶 = 𝑚𝑤 ∗ (1 −
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) ∗ (
1
𝜌𝑊 − 𝜌𝐴
) ∗ (1 + 𝛾 ∗ (𝑡𝑑 − 𝑡0))
IV 63.3055 63.3056 63.3055 63.3056 63.3057 g
ILL 163.3453 163.3373 163.3379 163.3372 163.3380 g
td 20.146 20.206 20.226 20.256 20.226 °C
𝒎𝒘 = (𝑰𝑳𝑳 − 𝑰𝑽) 100.0398 100.0317 100.0324 100.0316 100.0323 g
0.999889 0.999889 0.999889 0.999890 0.999890
1.002733677 1.002745441 1.002749092 1.002754595 1.002747516 g/cm3
0.999999 0.999998 0.999998 0.999997 0.999998
100.3020704 100.2950762 100.2961304 100.2958589 100.2958924 mL
Valor del Volumen promedio a 20 °C 100.2970057 mL
Tabla 12. Resultados de Medición en la Calibración del picnómetro
10 Estimación de la incertidumbre.
Para la estimación y cálculo de la incertidumbre se ha tomado como base el documento:
JGCM 100. GUM-1995 con correcciones menores [8].
Sin embargo para las particularidades del método gravimétrico, se toma como base la Guía
Euramet cg-19 versión 2.1 [9].
La metodología de cálculo establecida es la siguiente:
 Identificación del modelo matemático.
 Establecimiento de las variables a evaluar.
 Ecuación general de incertidumbre estándar de la capacidad.

12.  Cuantificación de la incertidumbre estándar de cada variable.
 Determinación de los coeficientes de sensibilidad.
 Determinación de los grados de libertad de cada variable evaluada.
 Calculo de la incertidumbre estándar combinada de la medición.
 Calculo de los grados efectivos de libertad de la incertidumbre estándar combinada.
 Designación del factor de cobertura apropiado de acuerdo al nivel de confianza requerido.
 Calculo de la incertidumbre expandida.
De acuerdo a lo anterior se tienen en cuenta los siguientes parámetros:
a) Pesaje: los resultados de las mediciones de la masa de agua que contienen o suministran los
instrumentos de vidrio se ven altamente influenciados por las condiciones del instrumento de
pesaje, por tal razón se tienen en cuenta factores como la resolución del instrumento, la
calibración de la balanza: excentricidad, linealidad y repetibilidad, que son tomados como el
resultado en el certificado de calibración que entrega el laboratorio de masa y la repetibilidad
arrojada por el chequeo inicial que se le aplica al instrumento antes de ser usado.
b) Densidad del agua: De acuerdo al principio físico del método, la densidad del agua es el medio
por el cual es calculado el volumen empleando una relación inversamente proporcional, por lo
tanto la contribución de la densidad del agua y el cálculo adecuado de la misma reflejará una
buena estimación de la capacidad del instrumento. El valor es obtenido del tratamiento de la
ecuación propuesta por TANAKA [3], por esta razón se tienen en cuenta factores como la
incertidumbre que aporta la medición de la temperatura en el agua, la presión del ambiente, la
estabilidad de la temperatura y una contribución final debida al modelo matemático.
c) Temperatura del agua: La temperatura del agua tiene una incidencia directa sobre el cálculo de
la densidad y por tanto del volumen, ya que esta cambia de acuerdo a las variaciones de
temperatura, para el cálculo de la contribución de incertidumbre debida a la medición de la
temperatura durante el proceso, se tienen en cuenta contribuciones como: la calibración del
termómetro, la resolución para la lectura de temperatura, la estabilidad de la temperatura
durante la medición, que es un factor que depende de la manipulación y reutilización del líquido
de calibración.
d) Densidad del aire: para esta contribución se tienen en cuenta principalmente las condiciones
ambientales, por tanto las contribuciones de los instrumentos con que son medidas, así pues la
resolución del termómetro el higrómetro y el barómetro; la estabilidad de la temperatura, la
presión o la humedad relativa mediadas al momento de la medición y una contribución debida
al modelo matemático empleado para el cálculo de dicha densidad [4].
e) Densidad de las pesas: De acuerdo al principio físico del método de medición, el instrumento
lleno o vacío así como el líquido experimentan una fuerza a la cual llamamos empuje y el modelo
matemático refleja una corrección al valor de la masa debida a este suceso, de allí que es
importante tener en cuenta la incertidumbre de este factor mediante la contribución de la
densidad de las pesas con las que fue calibrado el instrumento de pesaje y la relación de la
misma con la densidad del aire. Normalmente se toma de la recomendación internacional del
OIML R-111 [7].

13. f) Coeficiente de expansión del material: Esta estimación toma los estudios realizados a los
materiales de fabricación de los instrumentos [10].
g) Características del instrumento: La calidad en la construcción de los materiales de vidrio debe
ser tenida en cuenta para la estimación de la incertidumbre está determina la clase de exactitud
de los instrumentos, la estimación medible de esta calidad se ve reflejada en el ancho de las
marcaciones impresas, en el diámetro del cuello del capilar del instrumento volumétrico, que
son el punto de referencia para la adecuada lectura del menisco, por tal razón se toma como
contribución a la incertidumbre debido al ajuste del menisco.
Por otro lado cabe resaltar que aquellas otras contribuciones a la incertidumbre debidas a la
calidad de fabricación del material de vidrio se ven reflejadas en la repetibilidad o contribución
tipo A de la medición, así como la estimación de contribuciones por pérdidas por evaporación,
entre otras.
10.1 Calculo de la capacidad y modelo matemático para el cálculo de la incertidumbre.
   
 
 
7
20
1
1
)
(
)
(
1
)
(
,
,
,
20
men
rep
d
B
eq
A
eq
A
tw
pw
eq
w
I
V
I
LL
C
C
t
C
C
C
C
C
C
I
C
I
V A
A
w
V
LL











 

















 







(7
Donde:
𝑉20 Volumen a la temperatura de referencia en mL
𝐼𝐿𝐿 Indicación de la masa del recipiente lleno de agua en gramos
𝐼𝑣 Indicación de la masa del recipiente vacío en gramos
𝜌𝐴 Es la densidad del aire a las condiciones ambientales del laboratorio en g/cm3
𝜌𝑊 Es la densidad del agua usada en la calibración en g/cm3
𝜌𝐵 Es la densidad de las pesas (8 g/cm3
) valor convencional según la OIML R111-1
𝑡𝑑 Temperatura del agua medida durante la calibración en °C
𝛾 Coeficiente cubico de expansión térmica del material de construcción del
instrumento en °C-1
LL
I
C Corrección de la indicación de la masa del recipiente con agua en la balanza
V
I
C Corrección de la indicación de la masa del recipiente vacío en la balanza
w
eq
C 
,
Corrección del modelo matemático usado para determinar la densidad del liquido
pw
C Corrección de la presión atmosférica en función de la densidad del liquido
tw
C Corrección de la temperatura del líquido en función de la densidad del liquido
A
eq
C 
,
Corrección del modelo matemático usado para determinar la densidad del aire
𝐶𝑟𝑒𝑝, 𝐶𝑚𝑒𝑛 Contribuciones adicionales con respecto a la repetibilidad en la medición del
volumen, y la lectura y ajuste del menisco.

14. 10.2 Estimación y cálculo de la incertidumbre combinada asociada la capacidad a la
temperatura de referencia
Usando como referencia la ley de propagación de incertidumbres, podemos definir que la
incertidumbre estándar combinada de la capacidad estará dada por:
𝑢2(𝑉
𝑜) = ∑ (
𝜕𝑉
𝑜
𝜕𝑥𝑖
∗ 𝑢(𝑥𝑖))
2
( 8 )
Por lo tanto es necesario establecer cada una de las contribuciones y sus coeficientes de
sensibilidad de acuerdo a los datos de entrada del ejemplo desarrollado en el numeral 6 de
esta guía como se describe a continuación:
10.2.1 Contribución por lectura de la masa del recipiente vacío
La contribución a la incertidumbre debía a la medición de la masa del recipiente vacío está dada por:
𝑢𝐼𝑉
=√
𝑟
√12
2
+𝑢𝐼𝑣
2 (9)
• Resolución del instrumento de pesaje: la incertidumbre estándar con respecto a la
resolución de la balanza se asumió considerando una distribución de probabilidad uniforme.
La resolución de la balanza es de 0.0001 g.
𝑢(𝐼𝑣, 𝑟𝑒𝑠) =
0.0001 𝑔
√12
= 2.88675 𝑥 10−5
𝑔
• Incertidumbre de la balanza: Tomada del certificado de calibración, es la incertidumbre
asociada al error reportado para el punto más cercano al valor medido para el recipiente
vacío; se debe tener en cuenta si la ecuación que viene en el certificado arroja el resultado
de la incertidumbre expandida y cuál es el factor de cobertura.
El certificado de la balanza indica una incertidumbre de 0.00031 g con k = 2.
𝑢(𝐼𝑣, 𝑐𝑎𝑙) =
0.00031 𝑔
2
= 1.53 𝑥 10−4
𝑔
10.2.2 Contribución por lectura de la masa del recipiente lleno
La contribución a la incertidumbre debía a la medición de la masa del recipiente lleno está dada por:
𝑢𝐼𝐿𝐿
=√
𝑟
√12
2
+𝑢𝐼𝐿𝐿
2 (10)

15. • Resolución del instrumento de pesaje: la incertidumbre estándar con respecto a la
resolución de la balanza se asumió considerando una distribución de probabilidad uniforme.
La resolución de la balanza es de 0.0001 g.
𝑢(𝐼𝐿𝐿, 𝑟𝑒𝑠) =
0.0001 𝑔
√12
= 2.88675 𝑥 10−5
𝑔
• Incertidumbre de la balanza: Tomada del certificado de calibración, es la incertidumbre
asociada al error reportado para el punto más cercano al valor medido para el recipiente
lleno; se debe tener en cuenta si la ecuación que viene en el certificado arroja el resultado
de la incertidumbre expandida y cuál es el factor de cobertura.
El certificado de la balanza indica una incertidumbre de 0.00051 g con k = 2.
𝑢(𝐼𝐿𝐿, 𝑐𝑎𝑙) =
0.00051 𝑔
2
= 2.53 𝑥 10−4
𝑔
10.2.3 Contribución por el cálculo de la densidad del agua:
La contribución por la densidad del agua está calculada mediante la estimación a partir de la
ecuación de Tanaka [3] como se muestra en el Anexo A. Se debe tener en cuenta que la
incertidumbre se debe tomar en su forma estándar para incluirla en la ecuación general de cálculo
de incertidumbre.
Incertidumbre estándar calculada de acuerdo al Anexo A.
𝑢(𝜌𝑤) = 7.84 𝑥 10−6 𝑔
𝑐𝑚3
⁄
10.2.4 Contribución por el cálculo de la densidad del aire:
La contribución de la densidad del aire debe ser evaluada de acuerdo a la ecuación elegida para la
realización del cálculo, de acuerdo a la estimación a partir de la ecuación del CIPM-2007 [4], de
acuerdo a la Guía Euramet cg-19 versión 2.1 [9], La fórmula ofrece resultados con una incertidumbre
de aproximadamente 1.41 x 10-3
kg/m3
bajo las siguientes condiciones ambientales (incertidumbres
de medición de Presión atmosférica, Humedad relativa, Temperatura no incluida). 600 hPa ≤ P ≤
1100hPa, 20 % ≤ hr ≤ 80 %, 15 °C ≤ t ≤ 27 °C. Como lo muestra el Anexo B
Incertidumbre estándar calculada de acuerdo al Anexo B
𝑢(𝜌𝐴) = 1.59 𝑥 10−6 𝑔
𝑐𝑚3
⁄
10.2.5 Contribución por la densidad de las pesas:
El valor de la densidad de las pesas fue tomado de la recomendación OIML R111-1 [7], la densidad
de las pesas de acero inoxidable es de aproximadamente 800 kg/m3
(8 g/cm3
), con una
incertidumbre expandida de 0.140 g/cm3
con k = 2.
Incertidumbre estándar de la densidad de las pesas:
𝑢(𝜌𝐵) =
0.140 𝑔 𝑐𝑚3
⁄
2
= 0.070
𝑔
𝑐𝑚3
⁄

16. 10.2.6 Contribución por el coeficiente cubico de expansión térmica:
De acuerdo a lo evidenciado en la Guía Euramet cg-19 versión 2.1 [9] y la literatura se tiene una
duda para este valor de referencia entre el 5% y el 10%, por lo tanto se le asigna este porcentaje al
valor escogido para el cálculo, ya sea el reportado por la literatura o la información que
proporcionen los fabricantes de los recipientes. Así pues si tomamos a modo de ejemplo el 7.5% del
valor de coeficiente de dilatación cubica con una distribución de probabilidad uniforme tenemos:
𝑢(𝛾) =
(9.9 𝑥 10−6
°𝐶−1) 𝑥 0.075
√12
= 2.1 𝑥 10−7
°𝐶−1
10.2.7 Contribución por la temperatura del agua:
La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la temperatura del agua:
𝑢𝑡𝑑
=√(
𝑢𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑡
2 (11)
Donde utermómetro corresponde a la incertidumbre que reporta el certificado de calibración, r
corresponde a la contribución por la lectura de la temperatura, es decir la resolución del
termómetro y finalmente una contribución por la estabilidad del agua durante todo el proceso de
medición.
• Resolución del termómetro: la resolución del termómetro es de 0.0001 °C. la incertidumbre
estándar se calcula mediante una distribución rectangular:
𝑢(𝑡𝑑, 𝑟𝑒𝑠) =
0.0001 °𝐶
√12
= 2.89 𝑥 10−5
°𝐶
• Calibración del termómetro: El certificado de calibración del termómetro reporta una
incertidumbre de 0.04 °C con k=2.
𝑢(𝑡𝑑, 𝑐𝑎𝑙) =
0.04 °𝐶
2
= 0.02 °𝐶
• Estabilidad de la temperatura del líquido: se evalúa como la máxima variación de la
temperatura durante el periodo de calibración. La incertidumbre estándar se obtiene
suponiendo una distribución rectangular:
𝑢(𝑡𝑑, 𝑒𝑠𝑡) =
0.1 °𝐶
√12
= 3.18 𝑥 10−2
°𝐶
10.2.8 Contribución por resolución en el ajuste del menisco:
Para en análisis de esta contribución se siguió los lineamientos descritos en la guía Euramet cg-19
version 2.1 (03/2012) [9] numeral 5.3.7.2, su incertidumbre típica de medida se evaluará mediante

17. una distribución rectangular uniforme. Esta contribución depende de la geométrica del cuello y/o
capilar del picnómetro
𝑢(𝛿𝑉
𝑚𝑒𝑛) =
𝑢𝑝 ∗ 𝐸
√3
Donde:
𝑢𝑝
Incertidumbre en el posicionamiento del menisco.
𝐸 Área de la sección transversal.
𝐸 =
𝜋 ∗ 𝑑2
∗ ℎ
4
=
𝜋 ∗ (0.17𝑐𝑚)2
∗ 0.005 𝑐𝑚
4
= 1.13 𝑥 10−4
𝑐𝑚3
𝑢(𝛿𝑉
𝑚𝑒𝑛) =
1.13 𝑥 10−4
√3
= 6.55 𝑥 10−5
𝑐𝑚3
10.2.9 Contribución repetibilidad del proceso de medición:
Tomada como la desviación estándar del volumen, tiene una forma de evaluación tipo A:
𝑢(𝛿𝑉
𝑟𝑒𝑝) =
𝑠(𝑉20°𝐶)
√𝑛
=
0.0029 𝑚𝐿
√5
= 0.00128 𝑚𝐿
10.3 COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD
Para facilidad de manejo del modelo se establecieron las siguientes contracciones para evaluar los
coeficientes de sensibilidad:
𝐴 =
1
𝜌𝑤 − 𝜌𝐴
(12)
𝐵 = 1 − (
𝜌𝐴
𝜌𝐵
)
(13)
𝐶 = 1 − 𝛾(𝑡𝑑 − 𝑡0) (14)
𝑚𝑤 = 𝐼𝐿𝑙 − 𝐼𝑉 (15)
𝑉20°𝐶 = 𝑚 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 + 𝛿𝑉
𝑚𝑒𝑛 + 𝛿𝑉
𝑟𝑒𝑝 (16)
Las derivadas parciales son la razón de cambio que nos expresaran el impacto de cada variable
sobre la magnitud, y dan como resultado los siguientes coeficientes de sensibilidad:
10.3.1 Lectura de masa
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝑚𝑤
) = 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶
(17)

18. 10.3.2 Temperatura del agua
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝑡𝑑
) = 𝑚𝑤 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ (−𝛾) (18)
10.3.3 Densidad de las pesas
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝐵
) = 𝑚𝑤 ∗ 𝐶 ∗ 𝐴 (
𝜌𝐴
𝜌𝐵
2
) (19)
10.3.4 Densidad del aire
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝐴
) = 𝑚𝑤 ∗ 𝐶 ∗ 𝐴 ∗ [
1
(𝜌𝑤 − 𝜌𝐴)2
∗ (1 − (
𝜌𝐴
𝜌𝐵
) −
1
𝜌𝐵
)] = 𝑚𝑤 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ (𝐵 ∗ 𝐴 −
1
𝜌𝐵
) (20)
10.3.5 Densidad del agua
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝑤
) = −𝑚𝑤 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 ∗
1
(𝜌𝑤 − 𝜌𝐴)2
= −𝑚𝑤 ∗ 𝐴2
∗ 𝐶 ∗ 𝐵 (21)
10.3.6 Coeficiente cubico de expansión térmica
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝛾
) = 𝑚𝑤 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵(−(𝑡𝑑 − 𝑡𝑜) (22)
10.3.7 Lectura del menisco
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝛿𝑉
𝑚𝑒𝑛
) = 1 (23)
10.3.8 Repetibilidad de las mediciones
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝛿𝑉
𝑟𝑒𝑝
) = 1 (24)

19. LA INCERTIDUMBRE COMBINADA DE LA CAPACIDAD A 20°C ESTÁ DADA POR LA SIGUIENTE
ECUACIÓN:
𝑢𝒄𝑽𝟐𝟎
=
√
(
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝐼𝐿𝑙
∗ 𝑢𝐼𝐿𝑙
)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝐼𝑉
∗ 𝑢𝐼𝑉
)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝑤
∗ 𝑢𝜌𝑤
)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝐴
∗ 𝑢𝜌𝐴
)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝐵
∗ 𝑢𝜌𝐵
)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝛾
∗ 𝑢𝛾)
2
+ (
𝜕𝑉20°𝐶
𝜕𝜌𝑡
∗ 𝑢𝜌𝑡
)
2
+ (𝑢𝑚𝑒𝑛)2 + 𝑢(𝛿𝑉
𝑟𝑒𝑝)
2
(25)
10.4 Grados de libertad
Los grados de libertad vi ha sido establecida de acuerdo a la experiencia del laboratorio y en el
conocimiento del proceso de medición, así pues para las contribuciones a la incertidumbre debidas
a las mediciones o aleatorias, se asigna los valores de n-1 y para las contribuciones de cada una de
las variables de entrada del modelo matemático se toman como referencia las mostradas en la tabla
13.
Fuente Grados de libertad vi
Repetibilidad n-1
Resolución de la balanza 100
Calibración de la balanza 50
Densidad del agua 100
Densidad del aire 100
Densidad de las pesas 100
Coeficiente cubico de dilatación 100
Resolución del termómetro 100
Calibración del termómetro 50
Temperatura del recipiente estabilidad 100
Tabla 13. Grados de libertad asociado a las principales fuentes de incertidumbre. Valores tomado de
la tabla 5 referencia [11]
10.5 Grados de libertad y Factor de Cobertura
Teniendo estimadas y calculadas las contribuciones a la incertidumbre, se asume que el
comportamiento de la distribución de las incertidumbres es normal y por lo tanto se puede realizar
una aproximación a la distribución por medio de una distribución t, calculada a su vez por medio de
un numero efectivo de grados de libertad veff obtenido mediante la fórmula de Welch-Satterthwaite
[12]:
𝑣𝑒𝑓𝑓 =
𝑢𝑐
4
(𝑥)
∑
𝑢𝑖
4
(𝑥)
𝑣𝑖
𝑁
𝑖=1
(26)

20. 𝑣𝑒𝑓𝑓
=
𝑢𝑐
4(𝑉20)
𝑢4(𝐼𝐿𝐿)
𝜐𝐼𝐿𝐿
+
𝑢4(𝐼𝑣)
𝜐𝐼𝑣
+
𝑢4(𝜌𝐴)
𝜐𝜌𝐴
+
𝑢4(𝜌𝑤)
𝜐𝜌𝑤
+
𝑢4(𝜌𝐵)
𝜐𝜌𝐵
+
𝑢4(𝑡𝑑)
𝜐𝑡𝑑
+
𝑢4(𝛾)
𝜐𝛾 +
𝑢4(𝐶𝑚𝑒𝑛)
𝜐𝐶𝑚𝑒𝑛
+
𝑢4(𝐶𝑟𝑒𝑝)
𝜐𝐶𝑟𝑒𝑝
(27
)
10.6 Incertidumbre expandida
Finalmente se obtiene la incertidumbre expandida U con un nivel de confianza de aproximadamente
el 95% de acuerdo a los cálculos anteriores, mediante la siguiente expresión:
𝑈 = 𝑘 ∗ 𝜇(𝑉20°𝐶) (28)
11 Presentación de los resultados.
Resultado de la calibración del picnómetro de 100 mL
RESULTADOS PRUEBA DE CALIBRACIÓN
Volumen Nominal 100.291 mL
Volumen Medido 100.297 mL
Incertidumbre 0.0031 mL
Incertidumbre relativa 0.0031 %
Factor de cobertura 2.02
Tabla 14.resultados de la calibración

21. Anexos.
Anexo A. Densidad del agua.
Calculo de la densidad del agua y estimación de su incertidumbre
La densidad del agua es normalmente provista por la literatura por medio de fórmulas que a partir
de correcciones de las condiciones ambientales y la temperatura arrojan un resultado con una
incertidumbre aceptable para los modelos de medición. Para este caso el cálculo de la densidad del
agua se desarrolla usando el modelo matemático de Tanaka [3] cuyo proceso se describe a
continuación.
1. Modelo matemático y mesurando.
   
 
   
  t
s
s
p
t
k
t
k
k
a
t
a
a
t
a
t
a 1
0
2
2
1
0
4
3
2
2
1
5 101325
1
1 




























 (29)
Donde:
TABLA 15. CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LA DENSIDAD DEL AGUA
CONSTANTES
a1 -3,983035
a2 301,797
a3 522528,9
a4 69,34881
a5 (kg/m3
) 999,97200
FACTOR DE CORRECCIÓN POR COMPRESIBILIDAD
k0 5,07 x 10-10
Pa-1
k1 -3,26 x 10-12
Pa-1
º C-1
k2 4,16 x 10-14
Pa-1
ºC-2
Po 101325 Pa
CORRECCIÓN POR EL AIRE DISUELTO EN EL AGUA
s0 -4,61E-03
s1 1,06E-04
a5 hace referencia al tipo de agua empleada en la calibración. Cuando se usa agua corriente (tap
wáter) en vez de agua oceánica a5 toma el valor de 999.972 kg/m3

22. Al evaluar la densidad del agua usando el modelo matemático con las distintas temperaturas del
líquido y la presión atmosférica tenemos:
Temperatura del
líquido td (°C)
Presión atmosférica (P)
en (Pa)
Densidad del agua ρw
(kg/m3
)
Densidad del agua ρw
(g/cm3
)
20.146 75377.0 998.1592 0.9981592
20.206 75367.0 998.1467 0.9981467
20.226 75347.0 998.1425 0.9981425
20.256 75307.0 998.1362 0.9981362
20.226 75267.0 998.1425 0.9981425
2. Fuentes de incertidumbre
Las fuentes de incertidumbre relacionadas con la densidad del agua son:
Medición de la presión atmosférica:
a) Calibración del barómetro.
b) Resolución del barómetro.
c) Estabilidad de la presión atmosférica durante la calibración.
Medición de la temperatura del líquido:
a) Calibración del termómetro.
b) Resolución del termómetro.
c) Estabilidad de la temperatura del agua durante la calibración.
El modelo matemático tiene una incertidumbre aproximada de 0.00084 kg/m3
con k=2
3. Cuantificación de las fuentes de incertidumbre.
Medición de la presión atmosférica:
a) Calibración del barómetro:
El certificado de calibración del barómetro indica una incertidumbre de 0.065 con k=2.
𝑢(Ρ, 𝑐𝑎𝑙) =
0.065 ℎ𝑃𝑎
2
= 0.0325 ℎ𝑃𝑎
b) Resolución del barómetro.
La resolución del barómetro es de 0.1 hPa. La incertidumbre estándar se calcula
aplicando una distribución rectangular.

23. 𝑢(𝑃, 𝑟𝑒𝑠) =
0.1 ℎ𝑃𝑎
√12
= 0.02888 ℎ𝑃𝑎
c) Estabilidad de la presión atmosférica durante la calibración.
Se evalúa como la máxima variación de la presión atmosférica durante el periodo de
calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución
rectangular:
𝑢(𝑃, 𝑒𝑠𝑡) =
1.1 ℎ𝑃𝑎
√12
= 0.3175 ℎ𝑃𝑎
La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la presión atmosférica:
𝑢𝑃=√(
𝑢𝑏𝑎𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑃
2 (30)
Medición de la temperatura del líquido:
a) Calibración del termómetro.
El certificado de calibración del termómetro reporta una incertidumbre de 0.04 °C con
k=2.
𝑢(𝑡𝑑, 𝑐𝑎𝑙) =
0.04 °𝐶
2
= 0.02 °𝐶
b) Resolución del termómetro.
La resolución del termómetro es de 0.0001 °C. La incertidumbre estándar se calcula
mediante una distribución rectangular:
𝑢(𝑡𝑑, 𝑟𝑒𝑠) =
0.0001 °𝐶
√12
= 2.89 𝑥 10−5
°𝐶
c) Estabilidad de la temperatura del agua durante la calibración.
Se evalúa como la máxima variación de la temperatura durante el periodo de
calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución
rectangular:
𝑢(𝑡𝑑, 𝑒𝑠𝑡) =
0.1 °𝐶
√12
= 3.18 𝑥 10−2
°𝐶

24. La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la temperatura del agua:
𝑢𝑡𝑑
=√(
𝑢𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑡
2 (31)
4. Incertidumbre combinada
Coeficientes de sensibilidad
Los coeficientes de sensibilidad con respecto a la temperatura del líquido (td) y la presión
atmosférica (P), se obtienen derivando el modelo matemático (29) con respecto a cada una
de estas variables de entrada.
Coeficiente de sensibilidad de la temperatura con respecto a la densidad del agua.
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑡𝑑
=
𝑎5
𝑎3
[
(𝑡𝑎 − 𝑎1)2
(𝑡𝑎 + 𝑎4)
−
2(𝑡𝑎 − 𝑎1) ∗ (𝑡𝑎 + 𝑎2)
(𝑡𝑎 + 𝑎4)
−
(𝑡𝑎 − 𝑎1)2
∗ (𝑡𝑎 + 𝑎2)
(𝑡𝑎 + 𝑎4)2
] = −0.2086
𝑘𝑔 𝑚3
⁄
℃
(32)
Coeficiente de sensibilidad de la presión atmosférica con respecto a la densidad del
agua.
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑝
=
𝑎5
𝑎3
[
1 − (𝑡𝑎 − 𝑎1)2(𝑡𝑎 + 𝑎2)
(𝑡𝑎 + 𝑎4)
] ∗ (𝑘0 + 𝑘1𝑡𝑎 + 𝑘2𝑡2) = 4.5766 𝑥 10−5
𝑘𝑔 𝑚3
⁄
ℎ𝑃𝑎
(33)
Coeficiente de sensibilidad de la corrección del modelo matemático con respecto a la
densidad del agua.
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
= 1 𝑘𝑔 𝑚3
⁄ (34)

26. Anexo A. Presupuesto de incertidumbre para la determinación de la densidad del agua.
TABLA 16. EJEMPLO DE PRESUPUESTO DE INCERTIDUMBRE PARA LA DENSIDAD DEL AGUA
ESTIMACIÓN Y CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE PARA LA DENSIDAD DEL AGUA FORMULA DE TANAKA
Magnitud de
entrada
Valor
estimado (xi)
Fuente
informació
n
Incertidumbre
original
Tipo
distribució
n
Divisor Incertidumbre
estándar u(xi)
Coeficiente de
sensibilidad, ci
Contribución
ui(y)
(ui(y))2
grados de
libertad
Vi
Densidad del agua
(g/cm3
)
Ecuación 0 Ec. Tanaka 8.40E-04 kg/m3
Normal K=2 2 4.20E-04 kg/m3
1 kg/m3
4.20E-04 kg/m3
1.76E-07 50
Tagua (°C) 20.212
Calibración
termómetro
-0.004 Certificado
calibración
0.04 °C Normal K=2 2 0.02 °C -0.208574613 kg/m3
/°C -4.17E-03 kg/m3
1.74E-05 50
Resolución
termómetro
20.216 equipo 0.0001 °C Rectangular raíz(12) 2.88675E-05 °C -0.208574613 kg/m3
/°C -6.02E-06 kg/m3
3.63E-11 100
Gradiente
temperatura
0 mediciones 0.1100 °C Rectangular raíz(12) 0.031754265 °C -0.208574613 kg/m3
/°C -6.62E-03 kg/m3
4.39E-05 100
Presión (hPa) 753.33
Calibración
higrómetro
-0.43 Certificado
calibración
0.065 hPa Normal K=2 2 0.0325 hPa 4.5766E-05 kg/m3
/hP
a
1.49E-06 kg/m3
2.21E-12 50
resolución higrómetro 753.76 equipo 0.1 hPa Rectangular raíz(12) 0.028867513 hPa 4.5766E-05 kg/m3
/hP
a
1.32E-06 kg/m3
1.75E-12 100
Gradiente higrómetro 0 mediciones 1.1 hPa Rectangular raíz(12) 0.317542648 hPa 4.5766E-05 kg/m3
/hP
a
1.45E-05 kg/m3
2.11E-10 100
Densidad del agua
(kg/m3
)
998.14542 Incertidumbre combinada uc (Dagua)= 7.84E-03 kg/cm3
Densidad del agua
(kg/m3
)
998.14542 Grados de
Libertad
1.49E+0
2
2.0
Densidad del agua
(g/cm3
)
0.99814542 Incertidumbre Expandida U(Dagua)= 1.57E-02 kg/cm3
Incertidumbre combinada uc (Dagua)= 7.84E-06 g/cm3

27. Anexo B. densidad del aire.
Calculo de la densidad del aire y estimación de su incertidumbre
La densidad del aire se calcula usando la versión simplificada de la formula CIPM, versión normal.
La fórmula ofrece resultados con una incertidumbre de aproximadamente 0.00141 kg/m3
bajo las
siguientes condiciones ambientales (incertidumbres de medición de Presión atmosférica, Humedad
relativa, Temperatura no incluida). 600 hPa ≤ P ≤ 1100hPa, 20 % ≤ hr ≤ 80 %, 15 °C ≤ t ≤ 27 °C
1. Modelo matemático y mesurando.
𝜌𝐴 =
0.34848p − ℎ𝑟 ∗ (0.00252 ∗ t − 0.020582)
273.15 + 𝑡
(35)
Al evaluar la densidad del aire usando el modelo matemático con las variables de entrada
temperaturas del aire, humedad relativa y la presión atmosférica tenemos:
Temperatura(t)
°C
Humedad (hr) % Presión (P) hPa Densidad del aire
(kg/m3
)
Densidad del aire
(g/cm3
)
21.5 52.4 753.77 0.885410143 0.000885410
21.7 52.3 753.67 0.884613379 0.000884613
21.8 52.2 753.47 0.884044149 0.000884044
21.9 52.0 753.07 0.883251012 0.000883251
22.0 51.8 752.67 0.882458753 0.000882459
2. Fuentes de incertidumbre
Las fuentes de incertidumbre relacionadas con la densidad del aire son:
Medición de la presión atmosférica:
d) Calibración del barómetro.
e) Resolución del barómetro.
f) Estabilidad de la presión atmosférica durante la calibración.
Medición de la temperatura del aire:
d) Calibración del termómetro.
e) Resolución del termómetro.
f) Estabilidad de la temperatura del aire durante la calibración.
Medición de la humedad relativa:
a) Calibración del higrómetro.
b) Resolución del higrómetro.
c) Estabilidad de la humedad del aire durante la calibración.
El modelo matemático tiene una incertidumbre aproximadamente de 0.00141 kg/m3

28. 3. Cuantificación de las fuentes de incertidumbre.
Medición de la presión atmosférica:
d) Calibración del barómetro:
El certificado de calibración del barómetro indica una incertidumbre de 0.065 con k=2.
𝑢(Ρ, 𝑐𝑎𝑙) =
0.065 ℎ𝑃𝑎
2
= 0.0325 ℎ𝑃𝑎
e) Resolución del barómetro.
La resolución del barómetro es de 0.1 hPa. La incertidumbre estándar se calcula
aplicando una distribución rectangular.
𝑢(𝑃, 𝑟𝑒𝑠) =
0.1 ℎ𝑃𝑎
√12
= 0.02888 ℎ𝑃𝑎
f) Estabilidad de la presión atmosférica durante la calibración.
Se evalúa como la máxima variación de la presión atmosférica durante el periodo de
calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución
rectangular:
𝑢(𝑃, 𝑒𝑠𝑡) =
1.1 ℎ𝑃𝑎
√12
= 0.3175 ℎ𝑃𝑎
La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la presión atmosférica:
𝑢𝑃=√(
𝑢𝑏𝑎𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑃
2 (36)
Medición de la temperatura del aire:
a) Calibración del termómetro.
El certificado de calibración del termómetro reporta una incertidumbre de 0.2 °C con
k=2.
𝑢(𝑡, 𝑐𝑎𝑙) =
0.2 °𝐶
2
= 0.1 °𝐶

29. b) Resolución del termómetro.
La resolución del termómetro es de 0.1 °C. La incertidumbre estándar se calcula
mediante una distribución rectangular:
𝑢(𝑡, 𝑟𝑒𝑠) =
0.1 °𝐶
√12
= 0.02887 °𝐶
c) Estabilidad de la temperatura del aire durante la calibración.
Se evalúa como la máxima variación de la temperatura durante el periodo de
calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución
rectangular:
𝑢(𝑡, 𝑒𝑠𝑡) =
0.5 °𝐶
√12
= 0.144 °𝐶
La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la temperatura del aire:
𝑢𝑡=√(
𝑢𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑡
2 (37)
Medición de la humedad relativa:
a) Calibración del higrómetro.
El certificado de calibración del higrómetro reporta una incertidumbre de 1.7 % con
k=2.
𝑢(ℎ𝑟, 𝑐𝑎𝑙) =
1.7 %
2
= 0.85 %
b) Resolución del termómetro.
La resolución del higrómetro es de 0.1 %. La incertidumbre estándar se calcula
mediante una distribución rectangular:
𝑢(ℎ𝑟, 𝑟𝑒𝑠) =
0.1 %
√12
= 0.02887 %
c) Estabilidad de la humedad relativa del aire durante la calibración.
Se evalúa como la máxima variación de la humedad durante el periodo de calibración.
La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución rectangular:
𝑢(ℎ𝑟, 𝑒𝑠𝑡) =
0.6 %
√12
= 0.173 %

30. La siguiente ecuación expresa las contribuciones que constituyen la incertidumbre por medición
de la temperatura del aire:
𝑢ℎ𝑟=√(
𝑢ℎ𝑖𝑔𝑟𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑘
)2+
𝑟
√12
2
+𝑢𝛿𝑡
2 (38)
4. Incertidumbre combinada
Coeficientes de sensibilidad
Los coeficientes de sensibilidad con respecto a la temperatura del aire (t), la presión
atmosférica (P), y la humedad relativa se obtienen derivando el modelo matemático (35)
con respecto a cada una de estas variables de entrada.
Coeficiente de sensibilidad de la temperatura con respecto a la densidad del aire.
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑡
= − {[
(𝒉𝒓∗𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓𝟐)
(𝟐𝟕𝟑.𝟏𝟓+𝒕)
] + [
[(𝟎.𝟑𝟒𝟖𝟒𝟒𝟒∗𝑷)−{[𝒉𝒓∗((𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓𝟐∗𝒕)−𝟎.𝟎𝟐𝟎𝟓𝟖𝟐)]}]
(𝟐𝟕𝟑.𝟏𝟓+𝒕)𝟐 ]} = −0.003442672
𝑘𝑔
𝑚3 ℃
⁄ (39)
Coeficiente de sensibilidad de la humedad relativa con respecto a la densidad del aire.
𝜕𝜌𝐴
𝜕ℎ𝑟
= − {
[(𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓𝟐 ∗ 𝒕) − 𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝟓𝟖𝟐]
(𝟐𝟕𝟑. 𝟏𝟓 + 𝒕)
} = −0.000116311
𝑘𝑔
𝑚3
%
⁄
(40)
Coeficiente de sensibilidad de la presión atmosférica con respecto a la densidad del aire.
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑃
= [
𝟎. 𝟑𝟒𝟖𝟒𝟒𝟒
(𝟐𝟕𝟑. 𝟏𝟓 + 𝒕)
] = 0.001181446
𝑘𝑔
𝑚3
ℎ𝑃𝑎
⁄
(41)
Coeficiente de sensibilidad de la corrección del modelo matemático con respecto a la
densidad del agua.
𝜕𝜌𝐴
𝜕𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜
= 1 𝑘𝑔 𝑚3
⁄ (34)

31. Anexo B. Presupuesto de incertidumbre para la determinación de la densidad del aire.
TABLA 17. EJEMPLO DE PRESUPUESTO DE INCERTIDUMBRE PARA LA DENSIDAD DEL AIRE
ESTIMACIÓN Y CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE DENSIDAD DEL AIRE FORMULA RESUMIDA DEL CIPM
Magnitud de
entrada
Valor estimado (xi) Fuente información Incertidumbre original Tipo
distribución
Divisor Incertidumbre estandar
u(xi)
Coeficiente de sensibilidad,
ci
Contribución ui(y) (ui(y))2
grados de
libertad Vi
Densidad del aire
(g/cm3
)
Ecuacion 0 CIPM-2007 resumida 0.00141 kg/m3
Normal K=1 1 0.00141 kg/m3
1 kg/m3
1.41E-03 kg/m3
1.99E-06 50
Taire (°C) 21.78
Calibración
termómetro
0 Certificado calibración 0.2 °C Normal K=2 2 0.1 °C -0.00344267 kg/m3/°C -3.44E-04 kg/m3
1.19E-07 50
Resolución
termómetro
21.78 Indicación equipo 0.1 °C Rectangular raíz(12) 0.02886751 °C -0.00344267 kg/m3/°C -9.94E-05 kg/m3
9.88E-09 100
Gradiente temperatura 0 mediciones 0.5 °C Rectangular raíz(12) 0.14433757 °C -0.00344267 kg/m3/°C -4.97E-04 kg/m3
2.47E-07 100
Humedad (%) 52.14
Calibración
higrómetro
-0.6 Certificado calibración 1.7 % Normal K=2 2 0.85 % -0.00011631 kg/m3/% -9.89E-05 kg/m3
9.77E-09 50
Resolución
higrómetro
52.74 Indicación equipo 0.1 % Rectangular raíz(12) 0.02886751 % -0.00011631 kg/m3/% -3.36E-06 kg/m3
1.13E-11 100
Gradiente higrómetro 0 mediciones 0.6 % Rectangular raíz(12) 0.17320508 % -0.00011631 kg/m3/% -2.01E-05 kg/m3
4.06E-10 100
Presión (hPa) 753.33
Calibración
barómetro
-0.43 Certificado calibración 0.065 hPa Normal K=2 2 0.0325 hPa 0.001181446 kg/m3/hPa 3.84E-05 kg/m3
1.47E-09 50
Resolución barómetro 753.76 Indicación equipo 0.1 hPa Rectangular raíz(12) 0.02886751 hPa 0.001181446 kg/m3/hPa 3.41E-05 kg/m3
1.16E-09 100
Gradiente barómetro 0 mediciones 1.1 hPa Rectangular raíz(12) 0.31754265 hPa 0.001181446 kg/m3/hPa 3.75E-04 kg/m3
1.41E-07 100
Densidad del aire
(kg/m3
)
0.883954595 Incertidumbre combinada uc (Daire)= 1.59E-03 kg/cm3
Densidad del aire
(kg/m3
)
0.883954595 Grados de Libertad 7.90E+01 2.0
Densidad del aire
(g/cm3
)
0.000883955 Incertidumbre expandida U(Daire)= 3.17E-03 kg/cm3
Incertidumbre combinada uc (Daire)= 1.59E-06 g/cm3

32. 12 Referencias.
[1] NTC 2194 “Vocabulario de términos básicos y generales en metrología” - metrología y
mediciones en general 1997-11-26.
[2] Norma ISO 4787-2011. “Vidrio para laboratorio. Instrumentos volumétricos. Métodos para el
ensayo de la capacidad y su uso.
[3] Tanaka, M., et. al; Recommended table for the density of water between 0 °C and 40 °C based
on recent experimental reports, Metrología, 2001, 38, 301-309.
[4] SIM MWG7/cg-01/v.00 Guía para la calibración de los instrumentos de pesar de funcionamiento
no automático. APENDICE A.
[5] Norma ISO 3696:1987 Water for analytical laboratory use -- Specification and test methods.
[6] Tanaka, M., et. al; Recommended table for the density of water between 0 °C and 40 °C based
on recent experimental reports, Metrologia, 2001, 38, 301-309
[7] INTERNATIONAL ORGANIZATION OF LEGAL METROLOGY. INTERNATIONAL RECOMMENDATION
OIML R 111 Weights of classes E1, E2, F1, F2, M1, M2, M3 part 1. Metrological and technical
requirements.
[8] BIPM et al, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 2nd ed., International
Organization for Standardization, Genève, 1995.
[9] Euramet cg-19 version 2.1 (03/2012) “Guideline on the determination of uncertainty in
gravimetric volume calibration”
[10] Information’s technical Brand(R)
[11] Guía Técnica sobre Trazabilidad metrológica e Incertidumbre de medida en los Servicios de
Calibración de Recipientes Volumétricos por el Método Gravimétrico / Junio 2016
[12] BIPM et al, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 2nd ed.,
International Organization for Standardization, Genève, 1995
[13] Norma ISO 3696 Water for analytical laboratory use -- Specification and test methods

34. Anexo C. Ejemplo presupuesto de incertidumbre en la calibración de un picnómetro de 100 mL
ESTIMACIÓN Y CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE
Magnitud de entrada
Valor estimado
(xi)
Fuente información Incertidumbre original Tipo distribución Divisor
Incertidumbre
estándar u(xi)
Coeficiente de
sensibilidad, ci
Contribución ui(y) (ui(y))2
Grados de
Libertad Vi
Masa de agua (g) 100.033
IV: masa del recipiente vacío (g) 63.3054
Resolución 63.30548 División Escala Balanza 0.0001 g B, Rectangular 2.88675E-05 g -1.0026E+00 cm3/g -2.89E-05 cm3 8.37728E-10 100
Calibración -8.88E-05 Certificado Calibración 0.00031 g B, Normal K=2 2 1.53E-04 g -1.0026E+00 cm3/g -1.53E-04 cm3 2.35E-08 50
ILL: masa del agua (g) 163.3387
Resolución 163.3389 División Escala Balanza 0.0001 g B, Rectangular 2.9E-05 g 1.0026E+00 cm3/g 2.9E-05 cm3 8.4E-10 100
Calibración -2.30E-04 Certificado Calibración 0.00051 g B, Normal K=2 2 2.53E-04 g 1.0026E+00 cm3/g 2.54E-04 cm3 6.43463E-08 50
Excentricidad (g) 0 Certificado Calibración 0.0002 g Triangular 4.08248E-05 g 1.0026E+00 cm3/g 4.09E-05 cm3 1.68E-09 100
Deriva (g) 0 Certificado Calibración 0 g B, Rectangular 0.00E+00 g 1.0026E+00 cm3/g 0.00E+00 cm3 0.00E+00 50
Densidad agua (g/cm3)
calculada Tanaka 0.998145 Calculada Densidad del Agua Tanaka 1 7.839E-06 g/cm3 -100.57 cm6/g -7.9E-04 cm3 6.2E-07 100
Densidad aire (g/cm3)
CIPM-2007 0.000883955 Calculada CIPM-2007 Resumida 1 1.6E-06 g/cm3 8.80E+01 cm6/g 1.4E-04 cm3 2.0E-08 100
Coeficiente expansión Térmica (1/°C)
Coeficiente expansión Térmica del material 9.90E-06 Referencias 7.43E-07 1/°C B, Rectangular 2.1E-07 1/°C -2.13E+01 cm3/g -4.6E-06 cm3 2.1E-11 100
Temperatura termómetro (°C) 20.2120
Resolución termómetro 20.216 División escala 0.0001 °C B, Rectangular 2.89E-05 °C -9.93E-04 cm3/g -2.9E-08 cm3 8.2E-16 100
Calibración termómetro -0.004 Certificado calibración 0.040 °C B, Normal K=2 2 0.02 °C -9.93E-04 cm3/g -1.99E-05 cm3 3.94372E-10 50
Estabilidad de la temperatura 0 Observación 0.1 °C B, Rectangular 3.18E-02 °C -9.93E-04 cm3/g -3.15E-05 cm3 9.94E-10 100
Densidad de las masas (g/cm3)
OIML R - 111-1 8 OIML R - 111-1 0.14 g/cm3 B, Normal K=2 2 0.070 g/cm3 1.39E-03 cm3/g 9.7E-05 cm3 9.4E-09 100
Ajuste por menisco 0 Euramet cg-19 (5.3.7) 1.13E-04 cm3 B, Rectangular 6.55E-05 cm3 1 6.55E-05 cm3 4.29E-09 100
Repetibilidad 0 Mediciones 0.0029 cm3 A, Normal K=1 0.00128 mL 1 0.0013 cm3 0.000 100
Resolución 0 División escala 0 cm3 B, Rectangular 0.000 cm3 1 0.00 cm3 0.0E+00 100
Volumen a 20 °C 100.297 mL Incertidumbre Combinada uc (V20)= 0.0015 cm3
√12
√12
√12
√12
√𝑛
√3
√12
√12
√12
√24

35. Grados de Libertad Vi= 1.8E+02 2.02
Incertidumbre Expandida U(V20)= 0.0031 cm3
Incertidumbre Relativa U(Relativa)= 0.0031 %