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FACULTAD DE FÍSICA                                   Introducción a la difracción     FACULTAD DE FÍSICA                  ...
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P2 Difrac[1]

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  1. 1. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción INTRODUCCIÓN A LA DIFRACCIÓN INTRODUCCIÓN MATERIAL El fenómeno de la difracción es una característica de la radiación luminosa1 que se observa cuando un haz de luz encuentra a su paso un obstáculo que limita - Banco de óptica de 90 cm. su extensión. Un ejemplo típico es el representado en la Fig. 1. En ella se - Diodo láser ( λ =650 nm) con montura muestran dos situaciones diferentes, a saber, un haz esférico ilimitado (Fig. 1a) y - Diapositiva con 3 Diafragmas circulares de diferente diámetro el mismo haz cuando interacciona con una apertura circular que limita su - Diapositiva con 3 rendijas de diferente anchura extensión (Fig. 1b). La distribución de intensidad observada sobre el plano focal - Diapositiva con 3 doble rendija en cada caso pone de manifiesto que, mientras que el haz ilimitado sigue las - red de difracción previsiones de la Óptica Geométrica (en la que la luz se describe por rayos que - disco compacto (CD) viajan en línea recta), ésta no sirve para explicar el resultado obtenido en el caso - Pantalla difusora del haz truncado. Esta separación del modelo "geométrico" es tanto mayor cuanto - Pantalla difusora con abertura central menor es la extensión de la apertura que limita el haz (llamada abertura - Soporte portaobjetos difractante) respecto de la longitud de onda de la radiación. Este efecto es, por lo - Cinta métrica tanto, una consecuencia del caracter ondulatorio de la luz. - Regla graduada metálica Este fenómeno juega un papel decisivo en la formación de imágenes a través - 3 deslizadores de los sistemas ópticos reales, ya que el tamaño finito de los elementos que lo - 2 Soportes conforman limita necesariamente la extensión de las ondas incidentes. Esto hace que la imagen de un punto objeto no sea otro punto sino una cierta mancha de difracción, cuyas dimensiones limitan el poder de resolución de los sistemas formadores de imágenes2. Nótese también que, de acuerdo con lo indicado en el párrafo anterior, el tamaño de estas "imágenes" de un punto será tanto menor cuanto menor sea la longitud de onda de la radiación incidente. OBJETIVO El objetivo de esta práctica es familiarizarse con el fenómeno de difracción de las ondas luminosas, obteniendo los patrones de difracción de Fraunhofer de Figura 1 algunas aberturas características. A partir de los patrones de difracción, se pretende medir las dimensiones geométricas elementales de estas aberturas (por ejemplo, la anchura y separación entre las dos rendijas idénticas de una doble rendija o el período de 1 En realidad, se trata de una propiedad de todo fenómeno ondulatorio. una red de difracción) así como determinar la longitud de onda del haz de luz 2 En particular, también el ojo humano tiene limitada su resolución debido al tamaño finito de su proporcionado por un puntero láser. pupila. 1 2
  2. 2. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FUNDAMENTO TEÓRICO 1.0 En la Fig. 3 se representa la variación s inc2(α) Sea una rendija vertical de lado L X , iluminada normalmente con un haz con α de la función sinc (α ) . De acuerdo 2 paralelo de luz monocromática de longitud de onda λ (véase la Fig. 2). La con la Ec. (1), la energía difractada por la distribución de intensidad que se obtiene en un plano de observación situado a una distancia D suficientemente grande —para las dimensiones de las aberturas rendija se concentra a lo largo de una recta utilizadas en esta experiencia y para las longitudes de onda del espectro visible horizontal ( y =0) y la posición de los 0.5 una distancia D de unos pocos metros es suficiente—, se conoce como el patrón mínimos de intensidad a lo largo de dicha de difracción de Fraunhofer de la abertura. Puede demostrarse que para la recta, depende de las dimensiones de la abertura considerada, la distribución de intensidades en el plano de observación abertura difractante. De hecho, la viene dada por: separación entre mínimos Δx vale α 0.0 ⎧ 2 ⎛ xL x ⎞ λD -3 -2 -1 0 1 2 3 ⎪sinc ⎜ ⎟ si y = 0 Δx = ⎪ ⎝ λD ⎠ . (3) I ( x, y ) = ⎨ , (1) LX ⎪ Figura 3 ⎪ ⎩ 0 si y = 0 / Obsérvese, sin embargo, que los dos mínimos que limitan el máximo central donde sinc representa la función seno cociente, definida como están separados una distancia 2Δx. sin( πα ) sinc( α ) = . (2) πα Patrón de difracción Patrón de difracción Apertura Apertura D L D LX Figura 4 Por otro lado, cuando la abertura difractante es una abertura circular de Figura 2 diámetro L (véase la Fig. 4), la distribución de intensidad correspondiente al patrón de difracción de Fraunhofer tiene simetría radial y está formada por un disco central brillante (que se conoce como disco de Airy) y una serie de anillos 3 4
  3. 3. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción concéntricos alternativamente claros y oscuros, como muestra la Fig. 5. De donde I A ( x, y ) representa el patrón de Fraunhofer de cada una de las rendijas nuevo, la escala de los anillos de difracción de este patrón depende del tamaño que forman la abertura doble dado por la Ec. (1) y el término en coseno cuadrado de la abertura circular, de la longitud de onda y de la distancia a la pantalla de cuyo período es observación. En particular, el diámetro φ del primer anillo de intensidad mínima λD viene dado por p= , (7) 2a 2λD φ = 1'22 . (5) L aparece debido a la interferencia entre los haces de luz difractados por cada una de las aberturas elementales. De este modo, la figura de difracción de Fraunhofer de una abertura doble está constituida por el patrón de franjas cosenoidales de Young moduladas por el patrón de Fraunhofer de la abertura individual correspondiente tal como se reume en la Fig.7. Figura 5 Consideremos a continuación el caso de una abertura difractante doble for- mada por la repetición de dos rendijas idénticas de anchura L separadas una distancia 2a , como la mostrada en la Fig. 6. 2a Figura 6 Ahora, el patrón de difracción de Fraunhofer viene dado por ⎛ π 2ax ⎞ I ( x, y ) = cos 2 ⎜ ⎟ I A ( x, y ) , ⎝ λD ⎠ Figura 7. Gráfica del patrón de difracción de una doble rendija 5 6
  4. 4. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción Por último, consideremos el caso en que la abertura objeto es una red de difracción unidimensional, es decir, una abertura constituida por un número muy grande de rendijas idénticas muy estrechas dispuestas paralelamente y separadas una distancia constante d , generalmente muy pequeña,que se denomina periodo de la red (véase el esquema de la Fig. 8. Figura 8 Figura 9 En la Fig. 9 se muestra una red de difracción, que tiene sus rendijas dispuestas perpendicularmente al plano del dibujo, iluminada por un haz plano de Como es fácil ver a partir de la Fig. 9, la diferencia de caminos Δr viene dada luz monocromática que incide normalmente sobre la red. Tal como muestra la por Δr=dsenθ y por tanto las direcciones θ que satisfacen la condición de máximo Figura, cuando el haz de luz incide sobre una red, se producen simultáneamente cumplen la relación (conocida como ecuación de la red) dos fenómenos: por un lado, debido al pequeño tamaño de las rendijas, la luz que pasa por cada una de ellas resulta difractada y, por otro, los haces de luz d sen θ = m λ , m = 0, ± 1, ± 2, ... (8) difractados por las distintas rendijas interfieren entre sí. Esto ocurre porque las ondas están en fase cuando emergen de cada una de las rendijas, pero al donde d, como ya se ha indicado, es la distancia entre dos rendijas consecutivas alcanzar un punto de la pantalla (muy distante), las ondas procedentes de y los ángulos θ son positivos cuando al llevar la normal a la red a coincidir con la rendijas adyacentes han recorrido caminos distintos y pueden producir dirección que definen se va en sentido antihorario. interferencias. Órdenes de Red de m=+2 difracción Debido al gran número de rendijas presentes en la red, el resultado neto de la difracción m=+1 interferencia de todas las ondas elementales, sólo produce una intensidad Haz monocromático apreciable para aquéllas direcciones en que todas estas ondas se superponen en incidente θ m=0 Luz fase. El resultado global es que la luz transmitida por la red es difractada en una no difractada serie de direcciones muy bien definidas (máximos principales) para las cuales la m=–1 interferencia es constructiva. Para estas direcciones se cumplirá la condición de Órdenes de difracción máximo, por lo que la diferencia de caminos Δr entre dos de estas ondas será un m=–2 número entero de longitudes de onda, es decir, Δr= mλ. Figura 10 Como se ha representado en la Fig. 10 la luz emergente de la red consiste en una serie de haces colimados difractados en las direcciones θ que satisfacen la Ec. (8). Cada uno de estos haces difractados se denomina orden de difracción. Obsérvese que, de acuerdo con la Ec.(8), el orden asociado a m = 0 (orden cero) corresponde a un haz de luz que se propaga en la dirección de incidencia. Por 7 8
  5. 5. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción esto se dice que es la luz no difractada. Además, los órdenes de difracción PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL correspondientes al mismo valor de m pero con distinto signo, se distribuyen simétricamente respecto a la luz no difractada. El láser con el que se va a trabajar, al ser de muy baja potencia, es Las redes de difracción que se utilizan en muchas aplicaciones, como la inofensivo. Sin embargo para evitar deslumbramientos molestos e incluso daños espectroscopia por ejemplo, no están constituidas por un conjunto de rendijas. leves en la retina, nunca se debe mirar el haz del laser directamente. Asimismo Normalmente consisten en una lámina transparente planoparalela en la que se se debe evitar que el haz del laser perturbe la realización de las prácticas de otros han efectuado una serie de surcos paralelos, "lineas", que son los que hacen las compañeros. Por otro lado, no se deben de tocar las superfícies de los elementos veces de rendijas. Otro tipo de redes de uso frecuente –redes holográficas– se ópticos (aberturas, redes, ...) ya que las huellas dejadas pueden deteriorarlos fabrican registrando un patrón interferencial de doble haz en una placa fotográfica seriamente. Por ello, estos elementos hay que manejarlos cogiéndolos por su de alta resolución. La red que se emplea en esta práctica es de este tipo. Dejando soporte o, en su defecto, por los bordes. aparte su tamaño y calidad, una red de difracción queda caracterizada por un sólo Para obtener los patrones de difracción de las distintas aberturas se parámetro: el espaciado d entre líneas o, equivalentemente, su valor inverso, empleará, básicamente, el dispositivo esquematizado en la Fig 11. En el camino N = 1/d, que proporciona el número de líneas por unidad de longitud (y que del haz del láser se deben situar sucesivamente las diversas aberturas, usualmente se expresa en líneas/mm). Por esta razón la Ec. (8) tambien suele procurando que éstas estén centradas sobre el haz y bien iluminadas. La luz escribirse como difractada por la abertura objeto se observa sobre la pantalla difusora, que se debe situar a una distancia D de entre 2 y 3 m. De este modo, sobre la pantalla ⎛1⎞ sen θ = m λ ⎜ ⎟ = mλN , m = 0, ± 1, ± 2, ... (9) se obtiene el patrón de difracción de Fraunhofer característico de la abertura ⎝d ⎠ considerada. Independientemente del método de fabricación, las direcciones en las que es difractada la luz que incide en una red vienen gobernadas por las ecuaciones anteriores. De acuerdo con estas ecuaciones, a partir del patrón de difracción generado por la red puede determinarse el valor de la longitud de onda de iluminación λ si se conoce el período d (o su inversa N) ó bien el espaciado entre lineas (d), si se conoce λ. Figura 11 Con este dispositivo se realizarán las siguientes experiencias: A) ABERTURAS RECTANGULARES A.1) Rendija de anchura variable: Determinación de la longitud de onda de la radiación emitida por el láser Como abertura difractante se utilizará un pie de rey con micrómetro digital, cuyas “hojas” actúan como una rendija de anchura variable conocida. En la fotografía de la Fig. 12 se muestra un detalle de este elemento y cómo situarlo en el dispositivo para obtener el patrón de difracción de interés. 9 10
  6. 6. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción Con objeto de garantizar la validez de estos resultados, todas estas medidas experimentales, así como las que se realicen en los apartados siguientes, deben de repetirse al menos tres veces. Sin embargo, para simplificar el proceso de toma de datos, bastará con realizar una sola medida de la magnitud D , tal y como se recuerda en las hojas de resultados. De acuerdo con la Ec. (3), el valor de la longitud de onda se puede obtener a partir de estas medidas con ayuda de la relación Detalle del pie de rey LX Δx λ= . (10) D El resultado obtenido para λ se debe comparar con el valor más preciso dado al principio de este guión. Nótese que el método propuesto permite determinar de modo muy simple una Figura 12 magnitud microscópica (inferior de hecho a una micra) característica de la luz. En primer lugar se estudiará cualitativamente la influencia de la anchura de la La precisión obtenida no es muy elevada, debido a que se requiere la medida de rendija sobre la forma y escala del patrón de Fraunhofer. tres longitudes (de escala macroscópica) independientes. Como resumen, puede A continuación, se determinará la longitud de onda del láser, a partir de las decirse que gracias a la difracción y con la ayuda de una regla, podemos medir medidas directas de L X , D y Δx que intervienen en la Ec. (3): la longitud de onda de la luz. La anchura L X se obtiene directamente de la lectura del micrómetro digital del pie de rey (se sugiere trabajar con valores de L X próximos a 0.15 mm). El valor A.2) Determinar de la anchura de una de las rendijas, identificada como “B” seleccionado para la anchura no se debe modificar en todo este apartado de la Ahora, utilizando la Ec. (3) se va a determinar la anchura de una rendija. Para práctica. ello, es necesario medir, procediendo como en el apartado anterior, la separación La distancia D entre la abertura y la pantalla de observación se medirá Δx entre los mínimos de intensidad de su patrón de Fraunhofer y la distancia D. empleando la cinta métrica. El valor del ancho L X de la rendija problema se obtiene a partir de la Ec. (3), Por último, es necesario medir la separación Δx entre los mínimos de utilizando como dato conocido el valor de referencia (650 nm) de la longitud de intensidad de su patrón de Fraunhofer. Con objeto de mejorar la precisión de esta onda del láser. medida no se debe medir la separación Δx entre dos mínimos consecutivos, sino la anchura MΔx entre M mínimos no consecutivos con el fin de aumentar todo lo B) DOBLE RENDIJA posible la precisión de la medida (véase la Fig. 13). Conviene medir la separación En primer lugar, obtendremos el patrón de Fraunhofer de la doble rendija entre un número de mínimos M lo mayor posible, pero teniendo cuidado de que identificada como “A”. En la fotografía de la Fig. 14 se puede ver el aspecto típico se observen con claridad. A partir de la anchura medida se obtiene la separación del patrón correspondiente a una rendija doble. Comparando este patrón con el entre dos mínimos consecutivos Δx . obtenido para una rendija sencilla, identificar los ceros de intensidad debidos a la interferencia destructiva entre los haces de luz difractados por cada una de las rendijas que componen la apertura doble. Después, con ayuda de las Ecs. (3) y (7), determinar tanto la anchura L X de cada rendija como la separación 2a entre ellas. Para ello es necesario determinar, aparte de la distancia D, la separación p entre los ceros de interferencia y la distancia Δx entre los mínimos de difracción. La medida de p Figura 13 11 12
  7. 7. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción se debe realizar sobre los mínimos de interferencia que están localizados en el lóbulo más intenso del patrón de difracción. Figura 14 Figura 16 C) REDES DE DIFRACCIÓN. C.1) Red de difracción unidimensional C.2) ¿Un CD es una red de difracción? Utilizando ahora como objeto la red de difracción unidimensional se realizarán Un disco compacto o CD , al igual que un DVD, posee una estructura de las siguientes experiencias: microsurcos (véase la Fig.17) gracias a la cual puede almacenar diferentes tipos En primer lugar, situando la pantalla de observación en el extremo libre del de archivos de información (imágenes, texto o música por ejemplo). Los banco de óptica, se comprobará que el patrón obtenido tiene el aspecto de la microsurcos del CD se comportan como las rendijas de una red de difracción y, fotografía de la Fig.15, verificando además, al desplazar la pantalla, que la escala debido a ello, al iluminar un CD con un haz de luz se produce un patrón de del patrón depende directamente de la distancia a la que se sitúe la misma. difracción anólogo al generado por una red unidimensional. Este patrón se genera por reflexión debido a que el soporte del CD está recubierto de una pintura plateada que es opaca a la luz. Sin embargo, si se quita la capa de pintura, entonces se puede observar el espectro de difracción por transmisión, al igual que con una red convencional. En ambos casos, la ecuaciones que relacionan la distancia entre máximos del patrón generado por el CD con el periodo de la red, (ahora la distancia entre los microsurcos), la longitud de onda de iluminación y la distancia a la pantalla de observación son las mismas que las correspondientes a Figura 15 una red de difracción convencional. A continuación, se procederá a determinar, de nuevo la longitud de onda del láser. Para ello, se medirá la posición xm, respecto del orden central, de otro cualquiera de los órdenes de difracción de la red y la distancia D entre la red y la pantalla. De acuerdo con la Fig 16 se verifica la relación x tan θ m = m , D que proporciona la posición angular θ m del orden de difracción elegido. Sustituyendo el valor así obtenido para θ m en la ecuación de la red, y sabiendo Figura 17. Imagen de los microsurcos de un CD (izquierda) y un DVD (derecha) -1 que la red empleada es de N=100 mm , se obtendrá el valor de la longitud de onda. En este apartado de la práctica se comprobará que un CD se comporta, en efecto, como una red de difracción y, a partir de su patrón de difracción se 13 14
  8. 8. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción determinará la distancia entre los microsurcos que forman el CD. Para mayor el patrón de difracción es análogo al proporcionado por una rendija (de igual sencillez, se utilizará un CD al que se le ha quitado parte de la pintura metálica de anchura) salvo por la mayor intensidad del máximo central (debida a la mayor su soporte con lo cual, como ya se ha explicado anteriormente, se podrá obtener cantidad de luz no difractada por este tipo de abertura). A partir de este patrón se el patrón de difracción por transmisión. Para obtener dicho patrón se situará el CD puede determinar el espesor del alambre, siguiendo el procedimiento descrito de modo que el haz láser incida perpendicularmente sobre él, tal como muestra la para las aberturas rectangulares. En la práctica se sugiere utilizar, en lugar del Fig.18 alambre, un cabello (que difracta la luz del mismo modo) y medir su grosor. Patrón de difracción Figura 19 D.3) Red de difracción bidimensional Situar dos redes de difracción simultáneamente en el camino del haz, de modo que sus lineas estén orientadas en direcciones perpendiculares. De este Figura 18 modo la abertura objeto se convierte en una red de difracción bidimensional. Sobre la pantalla difusora, que debe situarse a una distancia pequeña del CD Observar la distribución de luz difractada por esta red que tendrá el aspecto de la para poder observar sobre ella varios máximos, se obtendrá el patrón de fotografía de la Fig. 20. Este patrón puede observarse para dos posiciones de la difracción del CD. Midiendo la posición de los máximos de este patrón y la pantalla, comprobando así que el tamaño del patrón de difracción también distancia entre la pantalla y el CD, es posible deducir el valor de la distancia d depende de la distancia entre el plano de la abertura y la pantalla de observación. entre los microsurcos del CD (y de su inversa N) procediendo del mismo modo a como se hizo con la red de difracción sin más que sustituir ahora λ = 650nm en la ecuación de la red y. despejar el valor de d. D) OTRAS POSIBILIDADES D.1) Aberturas circulares Observar cualitativamente la forma y escala de la figura de difracción correspondiente a las tres aberturas circulares de que se dispone. D.2) Obstáculo lineal Observar la forma y escala de la figura de difracción correspondiente a un alambre (y/o un cabello). Como se puede observar en la fotografía de la Fig. 19, Figura 20 15 16
  9. 9. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción B) DOBLE RENDIJA identificada como “A” HOJAS DE RESULTADOS Longitud de onda del láser: λ =650 nm. Nombre: _________________________________________________________ Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica (si no ha cambiado tomar el valor de D del apartado A1; en caso contrario medirlo de A) ABERTURAS RECTANGULARES nuevo una sola vez): D = A1) Rendija de anchura variable (pie de rey): Determinación de la longitud de onda de la radiación emitida por el láser. MEDIDAS EXPERIMENTALES Valor de L X , medido con el pie de rey: Separación mínimos de Separación mínimos de Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica: difracción interferencia MEDIDAS EXPERIMENTALES MΔx (mm) M ' p (mm) 1ª medida Separación mínimos de difracción: MΔ (mm) 2ª medida 1ª medida 3ª medida 2ª medida Valor medio 3ª medida Valor obtenido de Δx : Valor medio Valor obtenido de p : Valor obtenido de Δx : Valor obtenido de L X : Valor obtenido de 2a : Valor obtenido para la longitud de onda del láser λ : C) REDES DE DIFRACCIÓN A2) Anchura de la rendija, identificada como “B” C.1) Red de difracción unidimensional: Determinación de la longitud de Longitud de onda del láser: λ =650 nm. onda de la radiación emitida por el láser Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica (si no ha Número de líneas/mm de la red: N=100 mm-1, cambiado tomar el valor de D del apartado A1; en caso contrario medirlo de Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica: nuevo una sola vez): D = MEDIDA Valor medio MEDIDAS EXPERIMENTALES 1ª medida 2ª medida 3ª medida EXPERIMENTAL xm Separación mínimos de difracción: MΔ (mm) xm 1ª medida 2ª medida CALCULOS A REALIZAR xm senθ m 3ª medida tan θ m = θm sen θ m λ= D mN Valor medio Valor obtenido de Δx : Valor obtenido de L X : Valor medio obtenido para la longitud de onda del láser λ : 17 18
  10. 10. FACULTAD DE FÍSICA Introducción a la difracción C.2) ¿Un CD es una red de difracción? Determinación de la distancia entre los microsurcos del CD Longitud de onda del láser: λ =650 nm. Valor de la distancia D a la pantalla, medido con la cinta métrica: MEDIDA Valor medio 1ª medida 2ª medida 3ª medida EXPERIMENTAL xm xm CALCULOS A REALIZAR xm mλ tan θ m = θm sen θ m d= D senθ m Valor medio obtenido de d : 1 Valor medio obtenido de N = : d 19

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