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Universidad Técnica de Ambato
Facultad de ingeniería en Sistemas, Electrónica
e Industrial
Tema: Estructuras Algebraicas y...
LEY DE COMPOSICIÓN
INTERNA(LCI):
Definición. Sea G un conjunto no vacío. Cualquier función del
producto cartesiano de G po...
Propiedad asociativa:
• Sea * una operación binaria definida sobre un conjunto G. se dice
que la operación *tiene la propi...
• DISTRUBITIVIDAD (A,*, ∇)
• Sean ∗,∇ dos leyes de composición interna en el conjunto E,
• Se dice que ∗ distribuye por la...
ELEMETO INVERSO
En matemáticas, el inverso (o simétrico para la suma, o inverso aditivo), de
un número es el número que, s...
LEY DE COMPOSICION EXTERNA
• Ley que hace corresponder a cada elemento de un cierto conjunto K y a
cada elemento de un con...
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático
consistente en un conjunto no vacío y una relaci...
Monoide
• El par (A,*) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley
de composición interna se denomina mo...
Semigrupo
• Un monoide asociativo se denomina semigrupo.
• Si la ley de composición interna también es conmutativa se llam...
ANILLO
Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna * y · ,
(A ,*, · ) tiene estructura de Anillo si y...
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de  .
Es decir a A  , a´ A  / a a´ a´ a e   
d)  es conmutativ...
(A ,  ,  ) es un Anillo sii (A ,  ) es un grupo abeliano ; ( A ,  ) es un semigrupo y la
segunda operación distribuye ...
Ejemplos:
• 1.- ( N , + , · ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no
existe neutro para la adición.
•...
Dominio de integridad
La terna (A ,* , · ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A , *, · ) es un Anillo
conmutativ...
CUERPO
Un cuerpo o campo
es una estructura
algebraica en la cual
las operaciones
llamadas adición y
multiplicación se
pued...
PROPIEDADES
Asociatividad de la adición y la multiplicación
Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c...
Es una estructura
algebraica creada a partir de
un conjunto no vacío,
una operación interna y
una operación externa
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bases y dimenciones de un vector

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Diapositivas algebra grupo#1

  1. 1. Universidad Técnica de Ambato Facultad de ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial Tema: Estructuras Algebraicas y espacios vectoriales Integrantes: • Acevedo Jhon • Almachi Evelin • Corrales Kevin • Coyago Bryan • Julio Duran • Ortiz Gabriela
  2. 2. LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA(LCI): Definición. Sea G un conjunto no vacío. Cualquier función del producto cartesiano de G por G en el mismo conjunto G se denomina ley de composición interna definida en el conjunto G. Así pues cada par ordenado (x,y)de elementos de G se le asigna un único elemento de G
  3. 3. Propiedad asociativa: • Sea * una operación binaria definida sobre un conjunto G. se dice que la operación *tiene la propiedad asociativa, o que * es una operación asociativa, si para cualesquiera elementos a,b,c, de G se cumple la igualdad: • a*(b*c)=(a*b)*c
  4. 4. • DISTRUBITIVIDAD (A,*, ∇) • Sean ∗,∇ dos leyes de composición interna en el conjunto E, • Se dice que ∗ distribuye por la izquierda sobre ∇ si y solo sí a ∗ (b∇c) = (a ∗ b)∇(a ∗ c), ∀a,b,c ∈ E. • Se dice que ∗ distribuye por la derecha sobre ∇ si y solo sí (b∇c) ∗ a = (b ∗ a)∇(c ∗ a), ∀a,b,c ∈ E. • Se dice que ∗ es distributiva sobre ∇ si y solo si cumple a) y b). • ELEMENTO NEUTRO (A,*) Sea ∗ ley de composición interna en E, e ∈ E se llama elemento neutro para ∗ si y solo si e ∗ a = a ∗ e = a, ∀a ∈ E. • CONMUTATIVIDAD Sea ∗ ley de composición interna en E, ∗ es conmutativa en E si y sólo si a ∗ b = b ∗ a, ∀a,b ∈ E.
  5. 5. ELEMETO INVERSO En matemáticas, el inverso (o simétrico para la suma, o inverso aditivo), de un número es el número que, sumado con , da cero. El inverso aditivo de se denota .
  6. 6. LEY DE COMPOSICION EXTERNA • Ley que hace corresponder a cada elemento de un cierto conjunto K y a cada elemento de un conjunto A, otro elemento de A que resulta de efectuar una determinada operación entre ellos, habitualmente la multiplicación. • Propiedades • Ley de composición externa por la derecha • Ley de composición externa por la izquierda
  7. 7. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él. Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos: Monoide Semigrupo Grupo
  8. 8. Monoide • El par (A,*) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna se denomina monoide. • Ejemplos de monoides • ( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides. • (N, -) no es un monoide porque la sustracción no es ley de composición interna en N. • (N, *) donde está definido como a b = máx.{a , b} es un monoide
  9. 9. Semigrupo • Un monoide asociativo se denomina semigrupo. • Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo. • Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad. • El elemento neutro de llama identidad Grupo (A,*) es un grupo o se define sobre A una estructura de grupo sí: 1. * es asociativa. a, b, c 2. * posee elemento neutro en A. Es decir si 3. Todo elemento de A es invertible en A respecto de * Es decir Al cumplirse todas estas propiedades se puede afirmar que la estructura algebraica es un grupo. Pero si además de ser Grupo también es conmutativo se lo conoce como: Grupo Abeliano o Grupo conmutativo y esto cumple la siguiente propiedad a e e a a    a b b a   
  10. 10. ANILLO Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna * y · , (A ,*, · ) tiene estructura de Anillo si y solo si: a)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A     a b c a b c     b)  posee elemento neutro en A. Es decir e A  / a , si a A  a e e a a   
  11. 11. c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de  . Es decir a A  , a´ A  / a a´ a´ a e    d)  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A a b b a    Estas 4 propiedades muestran que ( A ,  ) es un grupo abeliano. e)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A  (a  b)  c = a  ( b  c) Esta propiedad muestra que ( A ,  ) es un semigrupo. f)  distribuye doblemente sobre  . Es decir, a , b , c : a, b, c  A  a  (b  c ) = ( a  b )  (a  c ) y (b  c )  a = (b  a )  ( c  a )
  12. 12. (A ,  ,  ) es un Anillo sii (A ,  ) es un grupo abeliano ; ( A ,  ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera. Si además : g)  conmutativa. Es decir a , b : a, b  A  a  b = b  a entonces tenemos un Anillo conmutativo. h)  posee elemento neutro en A. Es decir e A  / a , si a A  a e e a a  entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad. i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de  . Es decir a A  , a  0 , a´ A  / a  a´ = a´  a = e entonces se llama Anillo de división.
  13. 13. Ejemplos: • 1.- ( N , + , · ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no existe neutro para la adición. • 2.- ( Z , + , · ) con las operaciones conocidas, es un anillo conmutativo con unidad. Anillo de integridad (A , * , · ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A , * , · ) es un anillo y 0 es su único divisores de cero
  14. 14. Dominio de integridad La terna (A ,* , · ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A , *, · ) es un Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero. Ejemplos 1.- ( Z , + , ·) con las operaciones conocidas es un dominio de integridad. 2.- ( Q , + , ·) ; ( R , + , · ) y ( C , + , · ) con las operaciones conocidas son dominio de integridad. 3.- Los polinomios en una indeterminada ( o más ) con coeficientes en Q , R ó C forman dominio de integridad con las operaciones conocidas.
  15. 15. CUERPO Un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar
  16. 16. PROPIEDADES Asociatividad de la adición y la multiplicación Para toda a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c. Conmutatividad de la adición y la multiplicación Para toda a, b en K, a + b = b + a y a · b = b · a. Elemento neutro para la adición y la multiplicación Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a. Existe un elemento 1 en K, diferente de 0, tal que para todo a en K, a · 1 = a. Elemento opuesto y de inversos: Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0. Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a -1 en K, tal que a · a-1 = 1. Distributividad de la multiplicación respecto de la adición Para toda a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
  17. 17. Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa

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