Sistema de coordenadas polares

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Sistema de coordenadas polares

  1. 1. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa ÍNDICE COORDENADAS POLARES. I. DEFINICIÓN…………………………………………….. 01 II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA.……………………… 04 III. ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES……………………… 05 IV. TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES………………………………………………... 12 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………. 17 1
  2. 2. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa COORDENADAS POLARES I. DEFINICIÓN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue. Donde: r : distancia dirigida de O a P, radio vector. θ : ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde eleje polar hasta el segmento OP. Figura No. 01 “Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un paréntesis, escribiéndose primero el radio vector. Así, las coordenadas de P se escriben (r,θ). El ángulo polar θ se mide como en trigonometría considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ángulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo según que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos en trigonometría, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los vectores reales. Nosotros seguiremos este último convenio. Según esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ángulo polar de la manera ordinaria, y después se toma el radio vector en la prolongación del lado final. Así pues el punto P tendría como coordenadas (-r, θ)”. 2
  3. 3. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa Ejemplo. Como se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo. (1) Figura No. 02 En coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 2π+ θ) representan el mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura No. 02].También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (-r, θ+π) representan el mismo punto. En general, el punto (r, θ) puede expresarse como: (r, θ) = (r, 2π+ θ) O (r, θ) = (-r, θ+ (2n+1)π), Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0, θ) donde θ es cualquier ángulo. 3
  4. 4. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa “El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concéntricas y rectas concurrentes. La circunferencia tiene su centro común en el polo y sus radios son múltiplos enteros del radio más pequeño, tomados como unidad de medidas. Todas las rectas pasan por el polo, y los ángulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales”. Un ejemplo de este papel está representado en la siguiente figura donde se han trazado los puntos: P1= (4, 2π/3), P2 = (4, π/6), P3 = (2, -π/12), P = (-3, π/3) P1 P2 P3 P4 Figura No. 03 4
  5. 5. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa II. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA. Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en lafigura No.04. Puesto que (x, y) se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que: Figura No. 04 r2 = x2+ y2. Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que: tanθ= y/x ,cosθ=x/r , senθ=y/r. Si r < 0,estas relaciones también son válidas, como se puede verificar. TEOREMA 01: Si el polo y eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el origen y parte positiva del eje x de un sistema de coordenadas o cartesianas el paso de uno a otro de estos dos sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de transformación: X = r cosθ, y = r senθ, x2+ y2 = r2, θ = arctg(y/x), r = ± 𝑥 𝑦 Ejemplos: 1. Encuentre las coordenadas polares del punto P= (1, 1). Resolución De la gráfica: Usando las transformaciones r=√ =√ Gráfica No. 01 5
  6. 6. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa A demás se podría utilizar otras equivalencias polares: 2. Encontrar una ecuación cartesiana de la gráfica cuya ecuación polar es: r2 = 2 sen Resolución Se sabe que r2 = x2+ y2, Como r2 = 2 senθ y= r senθ senθ= x2 + y2 = ( ) III. ECUACIONES CANÓNICAS DE LAS SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES. La ecuación polar de una cónica toma una forma particularmente sencilla y útil cuando uno de los dos focos (Fig. No. 05) está en el polo y el eje focal coincide con el eje polar. Sea la recta “l” la directriz correspondiente del foco O; esta recta es perpendicular al eje polar, sea D el punto de intersección. ̅̅̅̅ Designemos la distancia |𝑂𝐷|, entre el l foco y la directriz, por la cantidad P(r, θ) C positiva “d”. Sea P(r, θ) un punto cualquiera de la cónica. Desde P r D θ d ̅̅̅̅ tracemos las perpendiculares |𝑃𝑂|y O B ̅̅̅̅ |𝑃𝐶 | al eje polar y a la directriz, Figura No. 05 respectivamente. Según ella el punto P debe satisfacer la condición geométrica |̅̅̅̅| = |̅̅̅̅ | e,… (1) 6
  7. 7. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa en donde e es la excentricidad. Ahora bien, |̅̅̅̅|= r y |̅̅̅̅ | |̅̅̅̅| |̅̅̅̅| |̅̅̅̅|= d r cosθ. Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos: , de donde, … (2) Podemos demostrar, recíprocamente, que cualquier punto cuyas coordenadas satisface la ecuación (2) satisface la condición geométrica (1) y, por tanto, está sobre el lugar geométrico. Según esto, la ecuación (2) es la ecuación buscada de la cónica. TEOREMA 02: CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS DE ACUERDO CON LA EXCENTRICIDAD. Sean F un punto fijo (foco) y “l” una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro punto en el plano y “e” (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cónica. 1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1. 2. La cónica es una parábola si e = 1. 3. La cónica es una hipérbola si e > 1. 7
  8. 8. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa 06 Figura No. 06 En la figura No. 06, obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fijo (foco) que se da en la definición. TEOREMA 03: ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS. La gráfica de una ecuación de la forma: 𝑟 𝑒 𝑑 o ±𝑒 cos 𝜃 𝑟 𝑒 𝑑 ± 𝑒 𝑠𝑒𝑛𝜃 Es una cónica, donde e>0 es la excentricidad y |𝑑| es la distancia entre el foco, en el polo y la directriz correspondiente. 8
  9. 9. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el Teorema, se pueden clasificar como sigue, siendo d>o. a) Directriz horizontal arriba del polo : b) Directriz horizontal abajo del polo : c) Directriz vertical a la derecha del polo : cos d) Directriz vertical a la izquierda del polo : cos La figura No 07. Ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola. 07 Figura No. 07 9
  10. 10. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa Ejemplos: 1. Graficar: Resolución En este caso e = 1(coeficiente del coseno), por lo tanto tenemos una parábola con el foco en el polo (el origen) y directriz con una ecuación cartesiana x=6 (a la derecha y paralela al eje π/2). Parábola cóncava a la izquierda. Ld 08 Q Gráfica No. 02 * Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar que la distancia entre el foco y la directriz es 6. O sea: |̅̅̅̅| = 6 10
  11. 11. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa 2. Graficar: Resolución En este caso e = ½ (coeficiente del coseno) por tanto tenemos una elipse con un foco en el polo y el otro foco a la izquierda del eje polar. Ld Q Gráfica No. 03 * Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar que la distancia entre el foco y la directriz es 12. O sea: |̅̅̅̅| = 12 11
  12. 12. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa 3. Graficar: Resolución En este caso e = 2, por tanto tenemos una hipérbola con un foco en el polo y el otro foco a su derecha del eje polar. Ld Q Gráfica No. 04 * Si comparamos la ecuación del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar que la distancia entre el foco y la directriz es 3. O sea: |̅̅̅̅| = 3 12
  13. 13. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa IV.TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES. La gráfica o lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es: G={(r,θ) RxR/ r= f(θ)} DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR. Para facilitar el trazado de gráficas en las ecuaciones en coordenadas polares es conveniente establecer el siguientes análisis. 1ero INTERSECCIONES: a) CON EL EJE POLAR: se hace θ = πn, n b) CON EL EJE A 90° Z. : se hace θ = π/2 + πn, n Z. 2do SIMETRÍAS: a) CON EL EJE POLAR: se reemplaza (r,θ) = (r, - θ) (r,θ) = (-r, π-θ) b) CON EL EJE A 90° : se reemplaza (r,θ) = (r, π-θ) (r,θ) = (-r, - θ) c) CON EL POLO : se reemplaza (r,θ) = (-r, θ) (r,θ) = (r, π +θ) *Si la ecuación no cambia, entonces la curva presenta simetría. *Sólo basta que cumpla con una condición para que sea simétrica. 13
  14. 14. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa 3ero EXTENSIÓN. Son los puntos máximo y mínimo de la gráfica. Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja el radio en función de θ, de modo que tenemos: r= f(θ) Si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si, en cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de θ la gráfica no puede ser una curva cerrada. Para los valores de θ que hacen a r compleja no hay curva. Tales valores de θ constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una curva cerrada, es útil, frecuentemente, determinar los valores máximo y mínimo de r. 4to TABULACIÓN. Se determina los valores de r correspondientes a los valores asignados a θ en el dominio y se ordena los pares. 5to TRAZADO DE LA GRÁFICA. En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva. Ejemplo: r = 1+ 2cosθ 1) Interceptos: Si: θ= 0 : r = 1+ 2cos (0) : r=3 θ= : r = 1+ 2cos (π/2) : r =1 θ= π : r = 1+ 2cos (π) : r θ= 3π/2 : r = 1+ 2cos (3π/2) : r =1 1 14
  15. 15. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa 2) Simetría: CON EL EJE POLAR: se cambia (θ) por (-θ) Como: 1+ 2cos(-θ)= 1+ 2cosθ r = 1+ 2cos (-θ) r = 1+ 2cos (-θ) simetría en el eje polar. CON EL EJE A 90°: se cambia (θ) por (π-θ) r = 1+ 2cos (π-θ) r = 1- 2cos (θ) Como: 1+ 2cos (π -θ) 1- 2cos (θ) simetría en el eje polar. otra opción es reemplazar (r,θ) por (-r, - θ) -r = 1+ 2cos (-θ) -r = 1+2cos (θ) r = -1-2cos (θ) simetría en el eje polar. CON EL POLO: se cambia (r) por (-r) -r = 1+ 2cos (θ) r = -1- 2cos (θ) simetría en el polo. Otra opción es reemplazar (θ) por (π + θ) r = 1+ 2cos (π + θ) r = 1- 2cos (θ) Como: 1+ 2cos (π + θ) = 1- 2cos (θ) simetría en el polo. 3) Extensión: -1 1 -2 2 -1 -1 3 3 4) Tabulación: r = 1+ 2cos[1(θ-0°)] 15
  16. 16. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa análisis cartesiano: y = 1+ 2cos[1(x-0)] Eje : r =1 Amplitud : A=2 Desfase : D=0 : P= 2π/1 = 2π Periódo r 3 r = 1+ 2cosθ tipo Pxy 1 π/2 θ π 3π/2 2π -1 r=0 0 = 1+2cos θ 5) Gráfica: TABLA θ r cos θ = -1/2 π/2 1 0 3 θ = arc cos (-1/2) π -1 3π/2 1 2π 3 90° 120° 60° 150° 30° * Gráfica referencial 180° 0° 210° 330° 240° 300° 270° 16
  17. 17. Coordenadas Polares-UNC Ing° M.Sc. Juan Julca Novoa REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. B. JHONSON, R. (1984). Cálculo con Geometría Analítica (Segunda Edición ed.). (R. García, Ed.) México, México, México: Continental,XII,págs. 411-451. DI PETRO, D. (1975). Geometría Analítica del Plano y del Espacio y Monografía (Tercera Edición ed.). (A. Hispanoamericana, Ed.) México, México, México: Hispanoamericana,V, págs.118-128. Disfruta las matemáticas. (16 de 11 de 2011). coordenadas-polares-cartesianas.html. (Desconocido, Editor, & disfrutalasmatemáticas.com) Recuperado el 16 de 11 de 2011, de coordenadas-polares-cartesianas.html: http://www.disfrutalasmatematicas.com/graficos/coordenadas-polares-cartesianas.html FUENTES RAMOS, P. (15 de 11 de 2011). coordenadas-polares.pdf. (P. FUENTES RAMOS, Ed.) Recuperado el 15 de 11 de 2011, de coordenadas-polares.pdf: http://licfuentesram.files.wordpress.com/2007/11/coordenadas-polares.pdf GOOD S., F. (1960). Geometría Analítica y Cálculo Infinitesimal (5° Edición ed.). (G. Hispano, Ed.) Sinaloa, Sinaloa, México: Hispano Americana, VI, págs. 171-201. LEHMANN, C. (1978). Geometría Analítica (Quinta Edición ed.). (M. Sánchez, Ed.) Nuevo León, Nuevo León, México: LIMUSA, X, págs. 237-264. Lezama y Noriega, P. (1980). Geometría Analítica Bidimensional (Octava Edición ed.). (C. Camaná, Ed.) Jalisco, Jalisco, México: Continental,VIII, págs. 185-212. MORALES VIDEA, J. (15 de 11 de 2011). coordenadas-polares.pdf. (J. MORALES VIDEA, Ed.) Recuperado el 15 de 11 de 2011, de coordenadas-polares.pdf: http://licmoralesvidea.files.wordpress.com/2008/11/coordenadas-polares.pdf VILLENA MUÑOZ, M. (16 de 11 de 2011). coordenadas-polares.pdf. (M. VILLENA MUÑOZ, Ed.) Recuperado el 16 de 11 de 2011, de coordenadas-polares.pdf: http://licmoralesvidea.files.wordpress.com/2008/11/coordenadas-polares.pdf WIKIPEDIA. (15 de 11 de 2011). Coordenadas_polares. (W. Corporation, Ed.) Recuperado el 15 de 11 de 2011, de Coordenadas_polares: http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares 17

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