Conjuntos Juan

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Conjuntos Juan

  1. 1. Universidada Nacional Experimental quot;SIMÓN RODRIGUEZquot; Semestre A-2009. Matemática I. Pro. Juan Enrique Pérez Conjuntos Preguntas 1) Cuáles son los elementos de: a) El conjunto de los dias de la semana b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15 2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } () b) y { o, p, q, x } () c) x { o, p, q, y } () d) Perú { países de Europa } () e) Amazonas { rios de América } () ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, 3) infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} ..... b) B = { vocales de la palabra vals} ..... c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ..... d) D = { x / x es un habitante de la luna} ..... e) E = { x N / x < 15} ..... f) F = { x N y 5 < x < 5 } .....
  2. 2. g) G = { x N y x > 15} ..... h) H = { x N y x = x} ..... i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} ..... j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } ..... Preguntas 1) Cuáles son los elementos de: a) El conjunto de los dias de la semana b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15 2) Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } () b) y { o, p, q, x } () c) x { o, p, q, y } () d) Perú { países de Europa } () e) Amazonas { rios de América } () ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, 3) infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} ..... b) B = { vocales de la palabra vals} ..... c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ..... d) D = { x / x es un habitante de la luna} ..... e) E = { x N / x < 15} ..... f) F = { x N y 5 < x < 5 } ..... g) G = { x N y x > 15} ..... h) H = { x N y x = x} .....
  3. 3. i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico} ..... j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } ..... Generales (*): Muestre que el conjunto vacío es subconjuto de cualquier conjunto. (*): Muestre que existen conjuntos X, Y, Z tales que X Y=X Z,yY Z. (*): Para A, B y C conjuntos (A no vacío), A x B = A x C implica B = C. (*): Sean A. B conjuntos. Para cada uno de los siguientes pares de conjuntos determine si son iguales, si uno está contenido en el otro o si no son comparables: a) P(A) ; A. b) P( A) ; A. c) P(A) ; P( A). d) P(A x B) ; P(A) x P(B). e) P(A B) ; P(A) P(B). (*) ( f | C ) | D = f | ( C n D). (*) Sean R, S relaciones de equivalencia. Entonces RoS es relación de equivalencia ssi RoS = SoR. Dé un ejemplo donde RoS no sea de equivalencia. (*) La relación < de Q no es de la forma A x B. (*) Halle el campo de la relación T = {(x, y) en RxR : |x| + |y| = 1}. (*) Toda estructura bien ordenada es no densa. (*) El conjunto de órdenes lineales de N es equipotente a R. (*) A subconjunto de R no enumerable. < el orden usual en R. Entonces (A x A) n (<) no es un buen orden ni un orden discreto. (*) (a) A es transitivo si para todos x, y: ( x en y, y en A) => (x en A) (b) Defina S(x) = x u {x} (sucesor). (b) Dado A, sea (AxA) = {(x,y) en AxA | x en y }). (c) A es especial si [A es transitivo], [ (A, (AxA) ) es bien ordenado], [ (existe b tal que A = S(b)) o (A = { }) ], y [ dado a en A (a no vacío), existe x tal que a = S(x)]. Pruebe que la propiedad ser especial es equivalente a la propiedad estar en N.
  4. 4. (*) Def: Un conjunto X es normal ssi X X. Muestre que esta propiedad se hereda hacia arriba (todo conjunto con todos sus elementos normales es normal). (*) Quite el símbolo = del léxico de la teoría de conjuntos, y agregue el axioma (a = b) x: x en a <--> x en b). ¿Necesitamos añadir un axioma para recuperar todas las propiedades del =? (*) Sea (A, <) un conjunto enumerable totalmente ordenado sin elemento máximo. Muestre que existe una función f :N A tal que para todo n, m, si n < m entonces f(n) < f(m), y para todo a en A existe k en N tal que f(n) a. Cardinales, biyecciones (*): Para un conjunto A finito de cardinal N, ¿cuál es la cardinalidad de P(A) (el conjunto de todos los subconjuntos de A)? (*) f :N A sobreyectiva, para todo a en A, f ^(-1)[a] es finito. Entonces A es equipotente a los naturales. (*) Sea A = P(N) -- {{}, N}. a) El conjunto de elementos maximales (resp. inclusión) de A y el conjunto de elementos minimales (resp. inclusión) de A son cada uno equipotentes a N. b) El conjunto Ramas(A) (resp inclusión) es equipotente a R. [C es cadena o rama de la relación T ssi C es no vacío y (C x C) T es orden lineal ]. (*) [ Toda familia {An}n N enumerable de conjuntos finitos no vacíos tiene una función de elección ] ssi [ toda familia {An}n N de conjuntos finitos es a lo sumo enumerable ]. (*) Un conjunto A es Dedekind-infinito si existe una función de A en A inyectiva y no sobreyectiva. Muestre que A es Dedekind-infinito si y sólo si existe una función inyectiva de los naturales en A. (*) (a) Pruebe que el conjunto A = {S | S es subconjunto infinito de los naturales} es equipotente a R. N | f es biyección} es equipotente a R. (b) Pruebe que el conjunto B = {f :N Ordinales R tal que (S, <) es isomorfo a (*) Sea un ordinal enumerable. Entonces existe S .
  5. 5. Ejercicios resueltos 1.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6} Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B Solución: A U B = {1,2,3,4,6,8} A U C = {1,2,3,4,5,6} B U C = {2,4,6,3,5} B U B = {2,4,6,8} 2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia. 2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3}, {6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{8,4,3},{6,2,8,4},{6,2,8,3}, {2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }} Ejercicios propuestos 1).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}? 2).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o} 3).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o} 14).- Obtener la diferencia AB si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
  6. 6. Nivel II 1.-Dado ¿qué afirmaciones son correctas y por qué? (1) (2) (3) 2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? a) A = { x I x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra conjunto} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = {x I x es un número par} e) E = {x I x < 15} f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI } 3.- Demuestre con diagrama de Venn que 4.-Demuestre las leyes de De Morgan: 5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes: 6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar, (1) ; (2)

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