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Ejerciciostri

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  1. 1. ´ TALLER DE MATEMATICAS GEOMETR´ TRIANGULOS IA. ´ NOTAS Existen numerosos resultados sobre la geometr´ de los tri´ngulos (que de hecho incluye ıa a toda la trigonometr´ ıa). Aqu´ nos limitaremos a recordar los m´s b´sicos. ı a a Cuando se trata con tri´ngulos es habitual el convenio de denotar con letras may´sculas a u los v´rtices y los ´ngulos (la misma letra para el v´rtice y el correspondiente ´ngulo). Para e a e a indicar un lado (o lo que mide) se usa la misma letra que la del ´ngulo opuesto pero escrita a en min´scula. u El primer resultado fundamental sobre tri´ngulos es el siguiente: a (i) Los tres ´ngulos de un tri´ngulo siempre suman 180◦ . a a Dos conceptos importantes son los de tri´ngulos semejantes y tri´ngulos congruentes. a a Se habla de tri´ngulos semejantes cuando tienen los mismos ´ngulos y de tri´ngulos con- a a a gruentes cuando, adem´s de tener los mismos ´ngulos, tambi´n tienen los mismos lados. En a a e otras palabras, tri´ngulos congruentes tienen la misma forma y tama˜o (coinciden cuando a n se superponen), sin embargo tri´ngulos semejantes s´lo tienen la misma forma. a o (ii) Dos tri´ngulos semejantes tienen los lados proporcionales, m´s precisamente si en dos a a tri´ngulos ABC y A B C se dan las igualdades entre ´ngulos A = A , B = B y a a C = C , entonces se dan las siguientes relaciones de proporcionalidad entre sus lados: a b c = = . a b c (Recordar el convenio para la notaci´n de ´ngulos y lados). De este resultado se sigue o a f´cilmente el Teorema de Thales: si dos semirectas que parten de un punto com´n O se a u cortan con un cierto n´mero de rectas paralelas, los segmentos en que quedan divididas u son proporcionales. Sabemos que el ´rea de un tri´ngulo es la mitad del producto de la base por la altura, a a por tanto dos tri´ngulos en los que las bases y alturas midan lo mismo tienen la misma a a ´rea. Este sencillo principio proporciona el siguiente resultado que a veces es muy util (si ´ no, v´ase la demostraci´n del Teorema de Pit´goras que se da en la p´gina web). e o a a (iii) Si en un tri´ngulo ABC desplazamos el v´rtice C paralelamente al lado AB, el ´rea de a e a los tri´ngulos que resultan permanece constante. a Los ´ngulos y lados de un tri´ngulo est´n relacionados. La situaci´n m´s simple se da a a a o a cuando el tri´ngulo es rect´ngulo. a a (iv) Teorema de Pit´goras: En un tri´ngulo rect´ngulo la suma de los cuadrados de los a a a catetos coincide con el cuadrado de la hipotenusa, es decir, si el tri´ngulo ABC es a rect´ngulo en A (A = 90◦ ), entonces a2 = b2 + c2 . a Para tri´ngulos no rect´ngulos las relaciones son m´s complicadas: a a a (v) Teorema del coseno: En un tri´ngulo ABC se tiene la igualdad a a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. www.ehu.es/olimpiadamat
  2. 2. ´ TALLER DE MATEMATICAS GEOMETR´ TRIANGULOS IA. ´ (Observar que cuando A = 90◦ se obtiene justamente el Teorema de Pit´goras.) a Teorema del seno: En cualquier tri´ngulo ABC se cumple que a a b c = = . sin A sin B sin C PROBLEMAS 1. A 14 m. de la orilla de un r´ hay un muro con un agujero a mitad de altura. En un ıo cierto momento del d´ la sombra del muro alcanza exactamente a la otra orilla del r´ y, ıa ıo en ese momento, la luz que pasa por el agujero se proyecta en el suelo a 10 m. de la base del muro. ¿A qu´ distancia se proyectar´ dicha luz cuando la sombra del muro retroceda e a hasta el centro del r´ ıo? 2. Se consideran los cuadril´teros con diagonales perpendiculares de una cierta medida. a Demostrar sin escribir ninguna f´rmula que todos ellos tienen la misma ´rea. o a 3. (i) Dos paralelogramos tienen un lado com´n y los lados paralelos a ´ste est´n sobre la u e a misma recta. ¿Qu´ se puede decir de las ´reas de estos paralelogramos? e a (ii) Dos paralelogramos ABCD y AXY Z tienen un v´rtice com´n A. Adem´s, los puntos e u a X y D est´n, respectivamente, sobre los lados BC e Y Z. Demostrar que ambos tienen la a misma ´rea. a 4. En el tri´ngulo ABC, X es un punto del lado AB e Y es un punto del lado BC de forma a que el segmento XY es paralelo al lado AC. Sea P el punto de corte de los segmentos XC e Y A y Q el punto sobre BC tal que P Q es paralelo a AC. Calcular cu´nto mide el lado a BC si los segmentos Y Q y QC miden 1 y 2 unidades, respectivamente. 5. En el tri´ngulo ABC sea P el punto medio del lado BC y Q el punto sobre AC que a dista de C la mitad que de A. Sea X el punto en el que se cortan los segmentos QB y AP . Encontrar la raz´n de las ´reas de los tri´ngulos ABC y AXB. o a a 6. Sea P el baricentro de un tri´ngulo ABC. Encontrar la raz´n entre las alturas de los a o tri´ngulos ABC y AP C por B y P , respectivamente. a 7. Si en un tri´ngulo un segmento es a la vez mediana y bisectriz o mediana y altura a o bisectriz y altura, ¿c´mo es el tri´ngulo? (Demostrarlo) ¿C´mo es un tri´ngulo si un o a o a www.ehu.es/olimpiadamat
  3. 3. ´ TALLER DE MATEMATICAS GEOMETR´ TRIANGULOS IA. ´ punto es a la vez baricentro e incentro o baricentro y ortocentro o incentro y ortocentro? (Demostrarlo) 8∗ . Sea ABC un tri´ngulo y C el pie de la altura por el v´rtice C (esto es, C es la a e intersecci´n de la altura por C con el lado AB). Sea P el punto de corte de la paralela a o AC por C con la mediatriz del segmento CC . Demostrar que el segmento P C mide la mitad que el lado AC. El siguiente problema es una propiedad de gran utilidad cuando se trata con bisectrices en tri´ngulos. a 9∗ . En el tri´ngulo ABC, P es el punto de intersecci´n de la bisectriz del ´ngulo A con el a o a lado opuesto BC. Demostrar que BP AB = . PC AC 10∗ . Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo en C, P el punto de corte de la bisectriz en A y el a a lado BC y Q el punto de corte de la bisectriz en B y el lado AC. Sean M y N los pies de las perpendiculares a AB por P y por Q, respectivamente. Hallar el ´ngulo N CM . a Los problemas que siguen se han propuesto en olimpiadas recientes. 11∗ . Se considera un tri´ngulo ABC donde el ´ngulo en A es 45◦ y el ´ngulo en C es 30◦ . a a a Si M es el punto medio del lado BC, se pide demostrar que el ´ngulo AM B es 45◦ y que a BC · AC = 2 · AM · AB. (Fase local, 2005) 12∗ . En el tri´ngulo ABC, de ´rea 100, M es el punto medio del lado AC y P es un punto a a del lado AB tal que el tri´ngulo AM P tiene ´rea 36. La paralela a P M trazada por B a a corta al lado AC en Q. Hallar el ´rea del tri´ngulo M P Q. (Fase local, 1998.) a a 13. Sea P un punto del lado BC de un tri´ngulo ABC. La paralela por P a AB corta a al lado AC en el punto Q y la paralela por P a AC corta al lado AB en el punto R. La raz´n entre las ´reas de los tri´ngulos RBP y QP C es k 2 . Determ´ o a a ınese la raz´n entre las o a ´reas de los tri´ngulos ARQ y ABC. (Fase local, 2000.) a 14∗ . ¿Existe alg´n tri´ngulo en el que las medidas de sus tres lados sean n´meros naturales u a u consecutivos y el ´ngulo mayor sea el doble que el menor? Si existe, determinad sus a medidas. (Fase local, 2004.) www.ehu.es/olimpiadamat
  4. 4. ´ TALLER DE MATEMATICAS GEOMETR´ TRIANGULOS IA. ´ 15∗ . En el tri´ngulo acut´ngulo ABC, AH, AD, y AM son, respectivamente, la altura, a a la bisectriz y la mediana que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y M D son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento DH. (Fase local, 2002.) 16. En el tri´ngulo ABC, la bisectriz trazada desde A divide al lado opuesto en dos a segmentos, de los que conocemos uno: BT = 572 m. Si dicha bisectriz corta a la mediana BM en los segmentos BD = 200 m. y DM = 350 m., calcula el lado a de dicho tri´ngulo a y plantea una ecuaci´n con inc´gnita c para obtener el lado c (no hace falta que lo calcules o o expl´ ıcitamente). (Fase local, 2002.) 17. Se da un tri´ngulo rect´ngulo is´sceles ABC, con el ´ngulo recto en C, y los catetos a a o a de longitud 2. Un arco de c´ ırculo l con centro A divide al tri´ngulo en dos partes de la a misma ´rea, mientras que el arco de c´ a ırculo m con centro en B es tangente al arco l en un punto de la hipotenusa AB. Hallar el ´rea de la porci´n del tri´ngulo no cubierta por los a o a sectores circulares correspondientes a los dos arcos. (Fase local, 2006) 18. En el tri´ngulo ABC se traza la bisectiz interior CD. Se sabe que el centro del c´ a ırculo inscrito en el tri´ngulo BCD coincide con el centro del c´ a ırculo circunscrito del tri´ngulo a ABC. Calcular los ´ngulos del tri´ngulo ABC. (Fase local, 2006) a a 19. Las diagonales AC y BD de un cuadril´tero convexo ABCD se cortan en E. Deno- a tamos por S1 , S2 y S a las ´reas de los√ angulos ABE, CDE y del cuadril´tero ABCD, a √ tri´ √ a respectivamente. Probar que S1 + S2 ≤ S. ¿Cu´ndo se da la igualdad? (Fase a nacional, 2006) 20. Sea ABC un tri´ngulo y D, E y F puntos situados en los segmentos AC, BA y CB, a respectivamente, de forma que los segmentos AF , BD y CE concurren en un punto P interior al tri´ngulo. Sabemos que BP = 6, P D = 6, P C = 9, P E = 3 y AF = 20. Hallar a el ´rea del tri´ngulo ABC. (Fase local, 2007) a a 21. Tenemos dos rect´ngulos iguales ABCD y A B C D de lados AB = x y BC = y, a x < y. Se hace un corte central de longitud x en el primero, paralelo a los lados mayores, por el que se inserta el segundo perpendicularmente hasta que queda centrado. Hallar la raz´n y/x para que el tri´ngulo ABA sea equil´tero. (Se supone que el lado A D es el o a a m´s pr´ximo a AB.) a o * Hay ayudas en la p´gina web. a www.ehu.es/olimpiadamat

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