Presentación relacionado a como resolver un ejercicio de Ecuaciones diferenciales, así como contenido adicional

1. Msc. Juan Carlos Briceño
Asignatura: Matemática III
Ejercicio Resuelto de Ecuación
Diferencial Lineal de Primer Orden
y’ + P(x)y = Q(x)

2. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
TEOREMA: La solución general de la ecuación diferencial viene dada por:
y’ + P(x)y = Q(x)
La forma anterior, por lo general no viene dada de manera directa en las
integrales, esa es la parte que le corresponde a usted realizar.
( )P x dx
ey : es el factor de integración
Veamos un ejemplo donde debamos aplicar diversos pasos para llegar a
esa expresión.

3. Msc. Juan Carlos Briceño
Sugerencia
Presta atención a los siguientes pasos y trata en lo posible de indagar
en cada uno, es recomendable que al final realices el ejercicio sin
ninguna ayuda, recuerda que más que aprenderte el mismo, lo
importante es comprender cual es el procedimiento aplicar. Al final de la
presentación, adjunte una serie de teoremas y propiedades que son
indispensable para la resolución de este tipo de ejercicios.
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

4. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Dada la siguiente integral, xy’ + 2y = 3x determinar la función “ y ”
Por tal motivo, es necesario multiplicar por 1/x en ambos miembros
Recuerde que debemos llevarlo a la forma: y’ + P(x)y = Q(x)
1 1
.( ' 2 ) .3xy y x
x x
 
Esto es:
Resolviendo queda:
1
' 2 3y y
x
 Por lo tanto:
1 1 1
. ' 2 .3xy y x
x x x
 
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

5. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Como vez, el coeficiente que acompaña a y’, es uno y además la expresión
anterior tiene la forma: y’ + P(x)y = Q(x)
Donde P(x) = y Q(x) = 3 , ahora es necesario determinar:
2
x
El factor de integración: , esto es
( )P x dx
e
2 1
2dx dx
x x
e e 
2
2
ln
2
lnx
x
e
e
x



ln x
e x
Recuerde que:
Esto por propiedad de
logaritmo,
ver pagina de anexo.
ln x
e x
El factor de integración queda:
( ) 2P x dx
e x 
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden

6. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ahora bien una vez determinado el factor de integración, multiplicamos por
la integral de los pasos iniciales:
Esto es:
1
' 2 3y y
x
 
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
 2 21
. ' 2 . 3x y y x
x
 
  
 
2 2 21
. ' 2. 3x y x y x
x
 
Simplificando:
2 2 21
. ' 2. 3x y x y x
x
 
2 2
. ' 2. 3x y xy x 

7. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
2 2
. ' 2. 3x y xy x Esto es:
2 2
. ' 2. 3x y xy x Luego Nota: Para este paso, que es regresar la
derivada, se toma el termino que acompañe
a y’, junto con el coeficiente de y.
Quedando:  2 2
. 3
d
x y x
dx

Integrando
En ambos lados: 2 2 2
( . ) 3 3d x y x dx x dx   

8. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Esto es:
Quedando:
2 1
2
. 3.
2 1
x
x y c

 
  
 3
2
. 3. 3
3
x
x y c 
2 3
. 3x y x c 
3
2
3x c
y
x


3
2 2
2
3
3
x c
x x
x cx
 
 
Aplicando propiedad distributiva a la
derecha de la igualdad
Pasando a dividir el termino que acompaña a y
Separando la fracción en dos
Aplicando la propiedad de potenciación 5 (Ver anexo)

9. Msc. Juan Carlos Briceño
Ejercicio Resuelto
Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden
Por lo tanto, la ECD lineal de primer orden:
con la que iniciamos, se reduce a la función: 2
3y x cx
 
xy’ + 2y = 3x

10. Msc. Juan Carlos Briceño
Es fundamental que recuerdes muchas de estas propiedades ya que son
utilizadas con mucha frecuencia:
1) a0 = 1
2) a1 = a
3) Productos de potencia de igual base: an · am = a n + m
4) Potencia de un Producto: (a · b)n = an · bn
5) Cociente de potencias de igual base: donde n ≥ m ; a ≠ 0
6) Potencia de un cociente: ; b ≠ 0 , n
7) Potencia de una potencia: (an)m = an. m
n
n m
m
a
a
a


n n
n
a a
b b
 
 
 
N
Propiedades de las potencias
Pagina de Anexo

11. Msc. Juan Carlos Briceño
Pagina de Anexo
1) ; 2)
3) ; 4)
5) ; 6)
7)
Propiedades de los Logaritmos

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FIN