Binomio de newton

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Binomio de newton

  1. 1. BINOMIO DE NEWTONIntroducción:Cuando hablamos de binomio, nos referimos a la suma o diferencia de dos elementos. Tambiénreconocemos que el desarrollo de un binomio al cuadrado se estudió en el capítulo de productosnotables.Es así que, cuando desarrollamos binomios al cubo o a otro exponente de mayor valor entoncestendremos necesariamente un desarrollo de mas elementos. Pascal estudió al binomio cuando losexponentes tenían valores muy altos, es más, pudo generalizar el desarrollo para cuando el exponentetenía una valor “n”.La presente lección pretende “reconocer” la generalización que realizó Newton de un modo intuitivo,por eso vamos a analizar que sucede cuando observamos el desarrollo de un binomio desde unapotencia “n=0” hasta “n=4” . Binomio Desarrollo algebraico Desarrollo de coeficientes (a  b) 0 1 1 (a  b)1 (a  b) 1 1 (a  b) 2 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 1 2 1 (a  b) 3 (a  b) 3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 1 3 3 1 (a  b) 4 (a  b)  a  4a b  6a b  4ab  b 4 4 3 2 2 3 4 1 4 6 4 1Si observamos detenidamente las tres columnas y realizamos una mirada de cada fila , podemosencontrar varias características, como por ejemplo: • Todos los coeficientes comienzan y terminan en 1. • Cada coeficiente corresponde al número delante de cada término. • El desarrollo de coeficientes tiene una “relación vertical” entre ellos, es decir que podemos hallar los coeficientes del siguiente desarrollo “solo agregando el coeficiente vecino”. Por ejemplo el coeficiente 3 del desarrollo de (a  b) 3 , no es otra cosa que 1+2= 3 ó 2+1=3. • Bajo éste razonamiento, sin lugar a dudas nos atreveríamos a desarrollar (a  b) 5 sin temor a equivocarnos. • Tengamos presente que el desarrollo del binomio que estamos haciendo es , a partir de (a+b), de otra forma no sería posible, por lo menos hasta el momento.Claro Pascal no se quedó allí observando, fue más allá. Observó el comportamiento de binomio conexponentes de mayor valor, por lo cual pudo deducir el desarrollo general de (a  b) n está dado por:  n  n  n  n  n  n 1  n  n (a  b ) n   a n   a n 1 b   a n  2 b 2  ...   a n  r b r  ...   0 1  2 r   n  1 ab   n b                T1 T2 T3 Tk r 1 Tn Tn1  n n!Donde : n  N ,    r  ( n  r )! r ! y tenemos un orden natural de términos: Tk  Jmpm2010
  2. 2. Por lo cual tendremos que :  nEl término general es: Tr 1   a n  r b r , y existirán (n+1) términos. r   Ejemplo: Determinar 8 término del desarrollo de : ( 2 x 2  3 y )15 Solución: Debemos determinar el T8  ? , por lo cual debemos deducir que 8=r+1 , por lo tanto r = 7 . También reconocemos que en : (a  b) n • a  2x2 • b  3 y • n  15 Con todos éstos datos podemos hallar el octavo término:  15  T8   ( 2 x 2 )15 7 ( 3 y ) 7 (reemplazando valores) 7     15   15  T8   ( 2 x 2 ) 8 ( 3 y ) 7   ( 2 8 x 2( 8 ) )( 3 7 y 7 ) 7  7       15  T8   ( 256 x 16 )( 2187 y 7 )  (6435)( 256 x 16 )( 2187 y 7 ) 7    T8  ( 3602776320 ) x 16 y 7Jmpm2010

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