2 Semana Analisis Multivariante Parte I

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2 Semana Analisis Multivariante Parte I

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Mg. María Estela Ponce Aruneri ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA SEMESTRE 2009-II
  2. 3. ¿Cuál es la distribución de probabilidad conjunta de un vector que sigue una distribución normal p-dimensional? 1º Para el caso univariado se tiene que : 2º Sea
  3. 4. 3º Sea el vector aleatorio: Y el vector de constantes:
  4. 5. <ul><li>4º Reemplazando 3º en 2º se tiene : </li></ul>El exponente es una forma cuadrática o distancia estadística. 5º ¿A qué es igual k ? Utilizaremos el siguiente corolario: Sí A es simétrica y definida positiva entonces existe una matriz C no singular tal que: C’AC =I
  5. 6. <ul><ul><li>Si hacemos : </li></ul></ul>Necesitamos calcular el jacobiano de la transformación , el que es igual al valor del determinante de la matriz C . Luego :
  6. 7. Reemplazando en (*) se tiene:
  7. 8. Reemplazando el valor de k en 4º se tiene: Es la función de densidad de una distribución normal p-variante . ¿Quién es  ? Sea el vector aleatorio:
  8. 11. <ul><li>¿A qué es igual A ? </li></ul>Sí i  j
  9. 12. Sí i = j
  10. 13. Teorema : Si la función de densidad de un vector aleatorio x p-dimensional está dada por: Donde:
  11. 14. Recíprocamente para un vector µ y una matriz simétrica definida positiva  , existe una f.d.p., dada por: Tal que:
  12. 15. Propiedades de la distribución normal p-variante Teorema Nº 1 Si X  N p ( µ,  ) y y = A X +c donde A kxp y c  k  y  N k ( ?, ?) . Prueba
  13. 16. El jacobiano de la transformación es:
  14. 17. Resolviendo la forma cuadrática se tiene:
  15. 18. Teorema Nº 2 Si X  N p ( µ,  ) y y =  -1/ 2 ( X- µ ) es una transformación de X con  -1/ 2 simétrica y definida positiva  y 1 , y 2 , ……….., y p son v.a.i. N( 0,1) . Prueba Usando las propiedades de transformaciones de vectores aleatorios, así como de esperanza y varianza de una vector aleatorio, se puede probar este teorema.
  16. 19. Interpretación geométrica de c 2 <ul><li>La distribución normal p-variada tiene densidad constante sobre elipses o elipsoides de la forma: </li></ul>A estos elipsoides se denominan contornos de la distribución o elipsoides de igual concentración. Estos elipsoides están centrados en µ y la longitud media del i-ésimo eje en dirección  i es igual a c  i 1/2
  17. 20. Ejemplo <ul><li>Graficar el elipsoide de igual concentración para la distribución normal bivariada con c=2 y: </li></ul>
  18. 21. Distribuciones Marginales Si Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con
  19. 22. Prueba: De forma similar se puede probar para la otra partición de X 2 .
  20. 23. Ejemplo: Encuentre las distribuciones marginales de los vectores.
  21. 24. Distribuciones Condicionales Si Es particionada en “q” y “p-q” componentes, con
  22. 25. Prueba :
  23. 26. Ejemplo: Hallar la distribución condicional de la segunda participación conociendo la primera.
  24. 27. CORRELACIÓN MÚLTIPLE <ul><li>La máxima correlación entre x i y la combinación lineal x 2 , es: </li></ul>Se tiene que
  25. 28. Ejemplo: Hallar la correlación entre la segunda y primera partición
  26. 29. CORRELACIÓN PARCIAL Es la matriz de correlaciones parciales. Ejemplo: calcular e interpretar las correlaciones parciales para los datos del ejercicio anterior,( de X 2 eliminado el efecto de X 1)
  27. 31. OBSERVACIONES 1°Las curvas de equidensidad de una distribución normal multivariante son elipsoides (es decir, transformaciones lineales de hiperesferas) centrados en la media. Las direcciones de los ejes principales de los elipsoides vienen dados por los autovectores de la matriz de covarianza Σ. Las longitudes relativas de los cuadrados de los ejes principales vienen dados por los correspondientes autovalores. 2° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, cada uno de los componentes del vector aleatorio tiene distribución normal.
  28. 32. 3° Sí un vector aleatorio tiene una distribución normal multivariante, entonces cualesquiera dos o más de sus componentes que sean incorrelacionadas, son independientes.

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