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Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao
Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao
Medidas de dispers˜ao...
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Aula 08 de estatística

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Aula 08 de estatística

  1. 1. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos MEDIDAS DE DISPERS˜AO UNIVERSIADE ESTADUAL DO MARANH˜AO 17 de outubro de 2016 Estat´ıtica B´asica
  2. 2. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Sum´ario Variˆancia e Desvio Padr˜ao Introdu¸c˜ao; Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao; 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL 2o Caso - Vari´avel Discreta 3o Caso - Vari´avel Cont´ınua Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Estat´ıtica B´asica
  3. 3. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Introdu¸c˜ao Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o DMS se deve a presen¸ca do m´odulo, para que as diferen¸cas xi − x possam ser interpretadas como distˆancias. Outra forma de se conseguir que as diferen¸cas xi − x se tornem sempre positivas ou nulas ´e considerar o quadrado destas diferen¸cas, isto ´e: (xi − x)2. Se substituirmos, nas f´ormulas do DMS a express˜ao xi − x por (xi − x)2, obteremos nova medida de dispers˜ao chamada variˆancia. Portanto, variˆancia ´e uma m´edia aritm´etica calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da s´erie e a sua m´edia. Estat´ıtica B´asica
  4. 4. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Introdu¸c˜ao O desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia. Em particular, para estas medidas levaremos em considera¸c˜ao o fato de a sequˆencia de dados representar toda uma popula¸c˜ao ou apenas uma amostra de uma popula¸c˜ao. No final desta sec¸c˜ao justificaremos esta necessidade. Nota¸c˜oes: Quando a sequˆencia de dados representa uma Popula¸c˜ao a variˆancia ser´a denotada por σ2(x) e o desvio padr˜ao correspon- dente por σ(x). Quando a sequˆencia de dados representa uma amostra, a variˆancia ser´a denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao correspondente por s(x). Estat´ıtica B´asica
  5. 5. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL a) Se a sequˆencia representa uma Popula¸c˜ao, a variˆancia ´e calcu- lada pela f´ormula: σ2 (x) = (xi − x)2 n Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da sequˆencia: X : 4, 5, 8, 5. A sequˆencia cont´em n = 4 elementos e tem por m´edia: X = xi n = 4 + 5 + 8 + 5 4 = 5, 5 Estat´ıtica B´asica
  6. 6. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL Os quadrados das diferen¸cas (xi − x)2 valem: (xi − x)2 = (4 − 5, 5)2 = 2, 25 (xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25 (xi − x)2 = (8 − 5, 5)2 = 6, 25 (xi − x)2 = (5 − 5, 5)2 = 0, 25 Somando-se estes valores obtem-se (xi − x)2 = 9. Substituindo esses valores na f´ormula da variˆancia, teremos: σ2 (x) = (xi − x)2 n = 9 4 = 2, 25 Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada positiva da variˆancia, σ(x) = σ2(x) = 2, 25 = 1, 5 unidades. Estat´ıtica B´asica
  7. 7. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 1o Caso - DADOS BRUTOS OU ROL b) Se a sequˆencia anterior representasse apenas uma amostra, a variˆancia seria denotada por s2(x) e o desvio padr˜ao por s(x). Neste caso, s2 (x) = (xi − x)2 n − 1 e s(x) = s2(x) Notemos a diferen¸ca entre a f´ormula do slide 5 de σ2(x) (indi- cado para Popula¸c˜oes) e s2(x) para amostra. Assim, s2(x) = (xi − x)2 n − 1 = 9 3 = 3 e o desvio padr˜ao ´e s(x) = √ 3 = 1, 73. Estat´ıtica B´asica
  8. 8. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Como h´a repeti¸c˜oes de elementos na s´erie, definimos a variˆancia como sendo uma m´edia aritm´etica ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da s´erie para a m´edia da s´erie. a) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma Popula¸c˜ao, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) = σ2(x) Estat´ıtica B´asica
  9. 9. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA b) Se a vari´avel discreta ´e representativa de uma amostra, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 e o desvio padr˜ao ´e: s(x) = s2(x) Estat´ıtica B´asica
  10. 10. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao da s´erie abaixo, representativa de uma popula¸c˜ao. xi fi 2 3 3 5 4 8 5 4 O n´umero de elemento da s´erie ´e n = fi = 20. A m´edia desta s´erie ´e X = xi fi fi Estat´ıtica B´asica
  11. 11. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA xi fi xi fi 2 3 6 3 5 15 4 8 32 5 4 20 fi = 20 xi fi = 73 A m´edia desta s´erie ´e X = xi fi fi = 73 20 = 3, 65 Como estamos trabalhando com uma Popula¸c˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi Desenvolvendo nova coluna para estes c´alculos, obt´em-se: Estat´ıtica B´asica
  12. 12. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA xi fi xi fi (xi − x)2fi 2 3 6 8,1675 3 5 15 2,1125 4 8 32 0,9800 5 4 20 7,2900 fi = 20 xi fi = 73 [(xi − x)2fi ] = 18, 55 A variˆancia ´e: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi = 18, 55 20 = 0, 9275 e o desvio padr˜ao correspondente ´e σ(x) = √ 0, 9275 = 0, 963 Estat´ıtica B´asica
  13. 13. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 2o Caso - VARI´AVEL DISCRETA Exemplo Se a vari´avel discreta fosse representativa de uma amostra, a variˆancia seria indicada por s2(x) e seria calculada por: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 = 18, 55 19 = 0, 9763 O desvio padr˜ao seria calculado por s(x) = √ 0, 9763 = 0, 988. Estat´ıtica B´asica
  14. 14. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Novamente, por desconhecer os particulares valores xi da s´erie, subs- tituiremos nas f´ormulas anteriores estes valores pelos pontos m´edios de classe. A f´ormula da variˆancia para uma vari´avel cont´ınua representativa de uma popula¸c˜ao ´e: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi onde xi ´e o ponto m´edio da classe i. Se a vari´avel cont´ınua representa uma amostra ent˜ao a variˆancia denotada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo ´e: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 Estat´ıtica B´asica
  15. 15. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Exemplo Calcule a variˆancia e o desvio padr˜ao para a s´erie representativa de uma Popula¸c˜ao: Classe Int. cl. fi 1 0 4 1 2 4 8 3 3 8 12 5 4 12 16 1 O n´umero de elementos da s´erie ´e n = fi = 10. A m´edia da s´erie ´e X = xi fi fi onde xi s˜ao os pontos m´edios de classe. Estat´ıtica B´asica
  16. 16. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Classe Int. cl. fi xi fi 1 0 4 1 2 2 4 8 3 18 3 8 12 5 50 4 12 16 1 14 fi = 10 xi fi = 84 A m´edia da s´erie ´e: X = xi fi fi = 84 10 = 8, 4 Como a vari´avel cont´ınua ´e representativa de uma popula¸c˜ao, ent˜ao a variˆancia ´e dada por: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi Estat´ıtica B´asica
  17. 17. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Classe Int. cl. fi xi fi (xi − x)2fi 1 0 4 1 2 40,96 2 4 8 3 18 17,28 3 8 12 5 50 12,80 4 12 16 1 14 31,36 = 10 = 84 = 102, 4 A variˆancia ´e, portanto: σ2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi = 102, 4 10 = 10, 24 e o desvio padr˜ao ´e: σ(x) = √ 10, 24 = 3, 2. Estat´ıtica B´asica
  18. 18. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa 3o Caso - VARI´AVEL CONT´INUA Exemplo Se a vari´avel cont´ınua fosse representativa de uma amostra, a variˆancia seria indicada por s2(x) e sua f´ormula de c´alculo seria: s2 (x) = [(xi − x)2.fi ] fi − 1 Dessa forma, s2(x) = 102, 4 9 = 11, 38 e o desvio padr˜ao seria s(x) = √ 11, 38 = 3, 373 Estat´ıtica B´asica
  19. 19. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Coment´arios: 1. No c´alculo da variˆancia, quando elevamos ao quadrado a di- feren¸ca (xi − x), a unidade de medida da s´erie fica tamb´em elevada ao quadrado. Portanto, a variˆancia ´e dada sempre no quadrado da unidade de medida da s´erie. Se os dados s˜ao expressos em metros, a variˆancia ´e expressa em metros quadrados. Em algumas situa¸c˜oes, a unidade de medida da variˆancia nem faz sentido. ´E o caso, por exemplo, em que os dados s˜ao expressos em litros. A variˆancia ser´a expressa em litros quadrados. Portanto, o valor da variˆancia n˜ao pode ser comparado dire- tamente com os dados da s´erie, ou seja: variˆancia n˜ao tem interpreta¸c˜ao. Estat´ıtica B´asica
  20. 20. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 2. Exatamente para suprir esta deficiˆencia da variˆancia ´e que se define o desvio padr˜ao. Como o desvio padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia, o desvio padr˜ao ter´a sempre a mesma unidade de medida da s´erie e portanto admite interprcta¸c˜ao. Estat´ıtica B´asica
  21. 21. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao O desvio padr˜ao ´e, sem duvida, a mais importante das medidas de dispers˜ao. ´E fundamental que o interessado consiga relacionar o valor obtido do desvio padr˜ao com os dados da s´erie. Quando uma curva de frequˆencia representativa da s´erie ´e perfei- tamente sim´etrica como a curva abaixo, podemos afirmar que o intervalo [x − σ, x + σ] cont´em aproximadamente 68% dos valores da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  22. 22. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao O intervalo [x − 2σ, x + 2σ] cont´em aproximadamente 95% dos valores da s´erie. O intervalo [x − 3σ, x + 3σ] cont´em aproximadamente 99% dos valores da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  23. 23. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Estes percentuais 68%, 95% e 99% que citamos na interpreta¸c˜ao poder˜ao mais tarde ser comprovados, com maior precis˜ao, no estudo da distribui¸c˜ao normal de probabilidades. Estat´ıtica B´asica
  24. 24. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Para uma compreens˜ao inicial do desvio padr˜ao, estas no¸c˜oes s˜ao suficientes. Quando a distribui¸c˜ao n˜ao ´e perfeitamente sim´etrica estes percen- tuais apresentam pequenas varia¸c˜oes para mais ou para menos, se- gundo o caso. De modo que, quando se afirma que uma s´erie apresenta m´edia x = 100 e desvio padr˜ao σ(x) = 5, podemos interpretar estes valores da seguinte forma: 1. Os valores da s´erie est˜ao concentrados em torno de 100. Estat´ıtica B´asica
  25. 25. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 2. O intervalo [95, 105] cont´em aproximadamente, 68% dos valo- res da s´erie. O intervalo [90, 110] cont´em aproximadamente 95% dos valores da s´erie. O intervalo [85, 115] cont´em aproximadamente 99% dos valores da s´erie. ´E importante que se tenha percebido que, ao aumentar o tama- nho do intervalo, aumenta-se o percentual de elementos contido no intervalo. Adiante verificaremos que ´e poss´ıvel controlar o tamanho do intervalo de modo que contenha exatamente o percentual que queremos. Estat´ıtica B´asica
  26. 26. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao 3. As medidas de dispers˜ao vistas at´e agora s˜ao medidas absolutas e portanto avaliam a dispers˜ao absoluta da s´erie. Todas elas s˜ao diretamente proporcionais a dispers˜ao absoluta. Assim, se a s´erie X apresenta x = 20 e σ(x) = 3 e se a s´erie Y apresenta y = 22 e σ(y) = 2, podemos afirmar, comparando os desvios padr˜ao, que a s´erie X apresenta maior dispers˜ao absoluta. 4. Para justificar que o denominador da variˆancia amostral deve ser n − 1 e n˜ao n, usaremos o seguinte argumento: O modelo matem´atico que calcula a variˆancia de uma amostra n˜ao pode ser σ2 (x) = (xi − x)2 n , pois caso isto fosse verdadeiro, este modelo deveria determinar a variˆancia para qualquer tamanho de amostra. Estat´ıtica B´asica
  27. 27. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Suponha uma amostra constitu´ıda de um ´unico elemento X1. O valor m´edio da amostra tamb´em ´e x1. Calculando a variˆancia pelo modelo acima, teremos: σ2 (x) = (xi − xi )2 1 = 0. Ser´ıamos induzidos a afirmar que a dispers˜ao da popula¸c˜ao de onde prov´em a amostra ´e zero, isto ´e, a popula¸c˜ao ´e constitu´ıda em sua to- talidade por elementos idˆenticos. O que ´e, em geral, uma afirma¸c˜ao falsa. Para corrigir o modelo matem´atico, basta colocar no denominador n − 1. O modelo ´e escrito ent˜ao: s2 (x) = (xi − x)2 n − 1 Estat´ıtica B´asica
  28. 28. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Observe que agora o modelo ´e coerente. Mesmo quando a amostra tiver apenas um elemento x1, o c´alculo de s2(x) leva-nos a uma indetermina¸c˜ao do tipo 0 0 . O que significa que a variˆancia existe, mas n˜ao est´a determinada. Significa tamb´em que amostras de apenas um elemento n˜ao nos fornece informa¸c˜oes sobre a variˆancia da s´erie. Estat´ıtica B´asica
  29. 29. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa Se uma s´erie X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma s´erie Y apresenta y = 100 e σ(y) = 5, do ponto de vista da dispers˜ao absoluta, a s´erie Y apresenta maior dispers˜ao que a s´erie X. No entanto, se levarmos em considera¸c˜ao as m´edias das s´eries, o desvio padr˜ao de Y que ´e 5 em rela¸c˜ao a 100 ´e um valor menos significativo que o desvio padr˜ao de X que ´e 2 em rela¸c˜ao a 10. Isto nos leva a definir as medidas de dispers˜ao relativas: coeficiente de varia¸c˜ao e variˆancia relativa. O coeficiente de varia¸c˜ao de uma s´erie X ´e indicado por CV(x) de- finido por: CV(x) = σ(x) x Estat´ıtica B´asica
  30. 30. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa A variˆancia relativa de uma s´erie X ´e indicada por V (x) e definida por: V (x) = σ2(x) (x)2 Note que o coeficiente de varia¸c˜ao, como ´e uma divis˜ao de elementos de mesma unidade, ´e um n´umero puro. Portanto, pode ser expresso em percentual. Este fato justifica a utiliza¸c˜ao do denominador (x)2 na defini¸c˜ao de V (x). Deste modo, se calcularmos o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie X citada no in´ıcio obteremos: Estat´ıtica B´asica
  31. 31. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa CV(x) = 2 10 = 0, 2 ou 20% Calculando o coeficiente de varia¸c˜ao da s´erie Y obteremos: CV(y) = 5 100 = 0, 05 ou 5% Comparando os valores destes dois coeficientes conclu´ımos que a s´erie X admite maior dispers˜ao relativa. Como a medida de dispers˜ao relativa leva em considera¸c˜ao a me- dida de dispers˜ao absoluta e a m´edia da s´erie, ´e uma medida mais completa que a medida de dispers˜ao absoluta. Estat´ıtica B´asica
  32. 32. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa Medidas de dispers˜ao relativa Portanto, a medida de dispers˜ao relativa prevalece sobre a medida de dispers˜ao absoluta. Podemos afirmar que a s´erie que tem a maior disperss˜ao relativa, tem de modo geral a maior dispers˜ao. Concluindo o exemplo anterior: A s´erie Y apresenta maior dispers˜ao absoluta. A s´erie X apresenta maior dispers˜ao relativa. Portanto, a s´erie X apresenta maior dispers˜ao. Estat´ıtica B´asica
  33. 33. Variˆancia e Desvio Padr˜ao Calculo da Variˆancia e Desvio Padr˜ao Interpreta¸c˜ao do Desvio Padr˜ao Medidas de dispers˜ao relativa MARTINS, Gilberto de Andrade Martins, Estat´ıstica Geral e Aplicada, 4 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 2011 SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONC¸ALVES, Valter; MUROLO, Afrˆanio Carlos, ESTAT´ISTICA Para os cursos de: Economia, Administra¸c˜ao e Ciˆencias Contabeis 3 ed. S˜ao Paulo: Editora Atlas S.A., 1999 Estat´ıtica B´asica

Medidas de Dispersão - Continuação

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