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Análise combinatória

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Conteúdos não contemplados no livro didático.

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Análise combinatória

  1. 1.  De quantos modos podemos colocar n objetosdistintos em n lugares equiespaçados em torno de umcírculo se consideramos equivalentes disposições quepossam coincidir por rotação? A resposta desse problema será representada por(PC)n, o número de permutações circulares de nobjetos distintos. É fácil ver que (PC)n é em geral,diferente de Pn.18/04/2013 2Josivaldo Passos
  2. 2.  De quantos modos 5 crianças podem formar uma rodade ciranda? Solução. À primeira vista parece que para formar umaroda com as cinco crianças basta escolher uma ordempara elas, o que poderia ser feito de 5! = 120 modos.18/04/2013 3Josivaldo Passos
  3. 3.  Entretanto, as rodas ABCDE e EABCD são iguais, poisna roda o que importa é a posição relativa das criançasentre si e a roda ABCDE pode ser virada na rodaEABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cincomodos, a nossa contagem de 120 rodas contou cadaroda 5 vezes e a resposta é 120/5 = 24. De modo geral, o número de modos de colocar nobjetos em círculo, de modo que disposições quepossam coincidir por rotação sejam consideradasiguais, isto é, o número de permutações circulares de nobjetos é)!1(!)(  nnnPC n18/04/2013 4Josivaldo Passos
  4. 4.  De quantos modos é possível comprar 4 sorvetes emuma loja que os oferece em 7 sabores? A resposta não é . seria o número demodos de escolher 4 sabores diferentes entre os 7sabores oferecidos, isto é, seria o número demodos de comprar 4 sorvetes diferentes em uma lojaque os oferece em 7 sabores. A resposta desse problema é representada por ,número de combinações completas de classe 4 de 7objetos.3547 C 47C47CR47C18/04/2013 5Josivaldo Passos
  5. 5.  Portanto é o número de modos de escolher 4objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher omesmo objeto mais de uma vez. De modo geral, é o número de modos de escolherp objetos distintos entre n objetos distintos dados, eé o número de modos de escolher p objetosdistintos ou não entre n objetos distintos dados. Poderíamos também interpretar de outro modo.Voltemos à compra dos 4 sovertes na loja que osoferece em 7 sabores.47CRpnCpnCRpnCR18/04/2013 6Josivaldo Passos
  6. 6.  Para efetuar a compra devemos escolher valores para asvariáveis , onde é a quantidade quevamos comprar de sorvetes do 1° sabor, é aquantidade que vamos comprar de sorvetes do 2° sabore assim por diante. É claro que devemser números inteiros, não negativos (isto é, maiores ouiguais a zero) e que Comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7sabores é tomar uma solução em inteiros não negativosda equação721 ,,, xxx  1x2x721 ,,, xxx 4721  xxx 4721  xxx 18/04/2013 7Josivaldo Passos
  7. 7.  Podemos, portanto, interpretar de dois modos:a) é o número de modos de selecionar p objetos,distintos ou não, entre n objetos distintos dados.b) é o número de soluções da equaçãoem inteiros não negativos.18/04/2013 8pnCRpnCRJosivaldo PassospnCRpxxx n  21
  8. 8.  O número de combinações completas , que é onúmero de soluções inteiras não negativas da equação, é dado por Exemplo: 1. Quantas são as soluções inteiras não negativas daequação ? Solução: Devemos determinar a quantidade de ternosx, y e z inteiros não negativos tais que a soma seja 5, oque pode ser feito de18/04/2013 9pnCRpxxx n  21ppnpn CCR 15 zyx2157515353   CCCRJosivaldo Passos

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