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Apostila de matematica financeira

Matematica financeira

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Apostila de matematica financeira

  1. 1. Matemática Financeira e Comercial Carlos Eduardo Epprecht; Roberto Minello CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht i CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 Matemática Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Conteúdo Programático Capítulo 1 - Razão 1 - Introdução 2 - Razão 2.1 - Razões inversas. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 2 - Proporção 1 - Introdução 2 - Proporção 2.1 - Definição 2.2 - Propriedade fundamental das proporções 2.3 - Outras propriedades das proporções 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporção contínua 2.6 - Terceira Proporcional. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 1 - Introdução 2 - Grandezas diretamente proporcionais. 3 - Grandezas inversamente proporcionais. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introdução 2 - Casos de Regra de Sociedade. Exercícios de fixação Exercícios propostos.
  2. 2. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht ii Capítulo 5 - Regra de três simples 1 - Introdução 2 - Tipos de grandezas 2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 6 - Regra de três composta 1 - Introdução Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 7 - Médias 1 - Introdução 2 - Tipos de Médias. 2.1 - Média Aritmética 2.2 - Média Geométrica 2.3 - Média ponderada 2.4 - Média harmônica Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 8 - Porcentagem. 1 - Introdução 2 - Elementos de cálculo percentual. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 1 - Introdução 2 - Vendas com lucro 2.1 - Sobre o preço de custo 2.2 - Sobre o preço de venda 3 - Vendas com prejuízo 3.1 - Sobre o preço de custo 3.2 - Sobre o preço de venda. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 10 - Juros Simples. 1 - Introdução 2 - Regime de capitalização 2.1 - Regime de capitalização simples. 3 - Cálculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht iii 5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo médio. 7 -Taxa Média Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 11 - Descontos Simples 1 - Introdução 2 - Tipos de descontos 2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional. 3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples 4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalência de capitais. Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 12 - Logaritmos. 1 - Introdução 2 - Definição 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudança de base 5 - Função logarítmica 6 - Logaritmos decimais 6.1 - Característica 6.2 - Mantissa Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 13 - Juros compostos. 1 - Introdução 2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal 3.1 - Taxa nominal 3.2 - Cálculo de taxa efetiva Exercício de fixação Exercício propostos.
  3. 3. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht iv Capítulo 14 - Desconto Composto 1 - Introdução 2 - Desconto racional composto Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 1 - Introdução 2 - Capitalização Composta 2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata 2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada. 3 - Amortização Composta 3.1 - Renda imediata 3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada 3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas Exercícios de fixação Exercícios propostos. Capítulo 16 - Empréstimos. 1 - Introdução 2 - Sistema Francês 2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 2.1.1 - Tabela Price 2.2 - Sistema de amortização constante 2.2.1- Cálculo do saldo devedor 2.3 - Sistema de amortização misto Exercícios de fixação Exercícios propostos. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 1. Razão Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. Esporte No de alunos Judô 50 Futebol 150 Natação 200 Handebol 50 Basquete 60 Nenhum esporte 90 Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes: a) número de alunos que praticam natação número de alunos da escola Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação. b) número de alunos que praticam judô número de alunos que jogam futebol Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô. c) número de alunos que praticam esporte número de alunos da escola Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes. 2. Razão Dados dois números racionais a e b, com b 0, chamamos de razão ao quociente de a para b. Indicamos razão por b a ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente. 2.1. Razões inversas Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um. 3 1 600 200 3 1 150 50 20 17 600 510
  4. 4. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 2 Exemplo: 1 2 1 1 2 2 1 e 1 2 Exercícios resolvidos 1) Estabeleça as razões entre os números abaixo: 2 e 10; 0,1 e 0,01; 4 3 e 2 1 Solução: A razão entre 2 e 10 é 5 1 10 2 A razão entre 0,1 e 0,01 é 10 01,0 1,0 A razão entre 3 2 6 4 3 4 2 1 4 3 2 1 é 4 3 e 2 1 2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h. Solução: Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo. hKmVm t S m /40 3 120 V Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km. 4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala Medida do desenho Medida real 1:250 10cm 25m 1:400 25cm x 1:600 y 75m As medidas x e y são respectivamente: Solução: Escala = comprimento no desenho CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 3 comprimento real x 25 400 1 x = 25 400 x = 10.000cm ou x = 100m 75600 1 y 600y = 75 ou125,0 600 75 myy cmy 5,12 5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica desse estado? Solução: densidade demográfica = número de habitantes área densidade demográfica 2 76,11 289.341 562.012.4 km hab Exercícios de fixação 1) Calcule a razão entre os números: a) 3 e 21 b) 0,333 ... e 2,1 c) 3 1 e 2 1 2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1. 3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2. 4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 5 3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a: a) 9 1 b) 3 1 c) 1 d) 9 e) n.r.a. 5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.
  5. 5. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 4 6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 hab/km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a. 7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala 000.20 1 . O comprimento real dessa estrada é: a) 3km b) 30km c) 300m d) 3.000cm e) 30.000dam 8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância? 9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: 10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000 O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar é igual a: a) 1.800m b) 2.000m c) 3.600m d) 4.200m e) 5.400m Exercícios propostos 1) Determine a razão entre os números. a) 2 e 6 b) 1,2 e 0,02 c) 0,333 ... e 0,666 ... d) 3 5 e 3 1 2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 5 3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número de reprovados e o número de candidatos é de: 4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou: a) dividida por 2 d) multiplicada por 10 b) multiplicada por 5 e) n.r.a. c) dividida por 10 5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/km2 , então o número de habitantes deverá ser: a) superior a 1,5 106 d) exatamente a 1,3 106 b) inferior a 1,1 106 e) aproximadamente 1,2 106 c) superior a 1,3 106 6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 000.000.3 1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a distância real. 7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade média? 8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado: a) 25 1 b) 24 1 c) 16 1 d) 12 1 e) n.r.a. 9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta? a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) n.r.a. 400 500 50 40 10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração: a) 5 1 b) 3 1 c) 4 3 d) 3 2 e) n.r.a.
  6. 6. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) a) 3 1 6 2 b) 60 2 10100 . 10 612 100 2 10 12 0,02 1,2 c) 2 1 2 3 3 1 3 2 3 1 9 6 9 3 0,666... 0,333... d) 5 1 5 3 3 1 3 5 3 1 2) b 3) Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será: 6000 – 1200 = 4800, logo a razão será: 5 4 k 6000 4800 k 4) 10 25 2 5 . b a k b a k b a k b a k a alternativa correta é a d 5) eaécorretaaalternativa 1.177.400habitantesde2035800habitantesde 5800 habitantesdenúmero 203 área habitantesdenúmero ademográficdensidade oo nn CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 7 6) km010.2x ou cm000.000.201x 000.000.367x x 67 000.000.3 1 realocompriment desenhonoocompriment escala 7) h km 20,97mV 15 2729 mV 2 15 729 mV t s mV 8) caminhão A: 3% de álcool e 97% de gasolina caminhão B: 5% de álcool e 95% de gasolina 8% de álcool e 192% de gasolina 24 1 k %192 %8 k b a k a alternativa correta é a b 9) 1000 m2 = 100.000 dm2 500 1 k 000.100 200 k 000.100 504 k a alternativa correta é a b 10) aaécorretaaalternativ 5 1 5 1 4 4 4 1 a k a a k aa a k ba a k abba
  7. 7. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 8 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 2. Proporção Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida. Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao aluno suas aplicações práticas. 2. Proporção 2.1. Definição Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões. Podemos representar as proporções das seguintes maneiras: com (a, b, c, d racionais, não nulos). Lê-se: “a está para b assim como c está para d ” 2.2. Propriedade fundamental das proporções Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa. d c b a )0;;;( dcbadacb Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d são os extremos. Exemplo: 6 4 3 2 3 4 = 2 6 produto produto dos meios dos extremos ou a : b = c : d ou a : b :: c : d d c b a CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 9 Exercícios resolvidos 1) Calcular o valor de x na proporção: 10 12 5 x Solução: 6 10 60 12510 xxx Resposta: 6x 2) Determinar o valor de y na igualdade: 6 5 2 3 y Solução 14 2 28 y822y10182y1810-2y635)-2(y: y Resposta: 14y 3) Obter o valor de x na proporção: x 2 3 1 2 1 3 Solução: 9 5 18 10 3 1 6 10 1 3 6 10 6 10 3 6 5 23 2 6 5 32 6 23 3 xxxxxx xx Exercícios de fixação 1) (ETAM-81) A proporção d c b a pode também ser escrita: a) d b c a b) c d b a c) d c a b d) b a c d e) n.r.a. 2) Calcule o valor de x na proporção: a) 3 1 2 x b) x 1 2 5,0 c) x 4 3 1 2 1 d) 4 12 3 1 2 1 x 3) O valor de x na proporção 2 5 4 1 3 3 1 2 x é ?
  8. 8. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 10 Exercícios propostos 1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira: a) c dc a ba d c b a b) bdac d c b a c) dbca d c b a d) cd dc db ca d c b a 2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo: a) 25,25 1 x b) x 4 2 1 2 1 1 c) 3 1 2 3 2 1 2 x 3) Determinar valor de M na proporção: 12 (0,25)1/2 M 0,666... = CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 11 2.3. Outras propriedades das proporções: P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente. d c db ca b a db ca d c b a ou 0;;; dcba d c db ca b a db ca d c b a ou 0;;; dcba P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo. 0;;;ou dcba d dc b ba c dc a ba d c b a 0;;;ou dcba d dc b ba c dc a ba d c b a P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente. 0;;;ou 2 2 2 2 dcba d c bd ac b a bd ac d c b a
  9. 9. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 12 Proporções múltiplas: Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. Consideremos a série de razões iguais: , h g f e d c b a então temos que: hfdb geca h g f e d c b a Exemplo: 9 6 6 4 3 2 é uma proporção múltipla pois: 9 6 6 4 3 2 963 642 ou ou De fato 9 6 18 12 6 4 18 12 3 2 18 12 e 18 12 963 642 ou ou Generalizando, dada a série de razões iguais: f e d c b a e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever: 1) f e d c b a fdb eca 2) f e d c b a fdb eca 3) f e d c b a fdb eca 4) f e d c b a fdb eca CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 13 Exercícios resolvidos 1) Calcule x e y na proporção 32 yx , sabendo que x + y = 15. Solução: Aplicando a propriedade P1, temos: 9455 35 15 332 6305 25 15 232 32 yy yyyx xx xxyx yx Resposta: x = 6 e y = 9 2) Calcule o valor de x e de y na proporção 27 yx , onde x - y = 40. Solução: Pela propriedade P1, temos que: 16805 25 40 227 562805 75 40 727 27 yy yyyx xx xxyx yx Resposta: x = 56 e y = 16. 3) Determine os valores de p e q na proporção 3 8 q p , onde p + q = 132. Solução: Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2. 3639611 3 11132 3 38 96105611 8 11132 8 38 3 8 qq qq qp pp pp qp q p Resposta: p = 96 e q = 36. 4) Obter os valores de a e b na proporção 4 5 b a , sabendo que a - b = 12.
  10. 10. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 14 Solução: Aplicando a propriedade P2, temos: 48 4 112 4 45 60 5 112 5 45 4 5 b bb ba a aa ba b a Resposta: a = 60 e b = 48. 5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de ferro. Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários? Solução: Aplicando a propriedade P1, temos: 30 32 yx e yx 18905 35 30 332 12605 25 30 232 yy yyyx xx xxyx Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro. 6) Calcule os valores desconhecidos. 8 125 cba cba Solução: Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 15 8 125 cba e cba 284 14 8 1125 4164 24 8 2125 10404 54 8 5125 cc cccba bb bbcba aa aacba Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2. 7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo: 42 yx e xy = 96 Solução: Aplicando a propriedade P3, teremos: 96 42 xy e yx 381612 1612 8 1696 16968 168 96 442 34 4848 8 964 9648 48 96 242 222 2 2 2 222 2 2 2 yy yyy yyyx x xxxx xxyx Resposta: 3834 yx e Exercícios de fixação 4) Encontre o valor de a e b, onde 2e 26 ba ba 5) Calcular x e y na proporção 23 yx , sabendo-se que x + y = 30. 6) Calcule o valor de x e y na proporção 3 2 y x , sabendo-se que x + y = 15. 7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3. 8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos, calcule a idade do filho. 9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
  11. 11. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 16 10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 432 zyx , o valor de x é: 11) Calcule o valor de x, y e z onde: 125 zyx e x - y - z = 6. 12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 3 2 . Calcule o numerador da fração. 13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão 8 5 . Se a área do terreno é de 1000m2, então sua maior dimensão, em metros, mede: 14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos conseguido? Exercícios propostos 4) (TCF) Sendo 52 ba , então : a) 72 baa b) 25 bab c) 52 baa d) 105 bab e) n.r.a 5) Calcular x e y na proporção 23 yx , sabendo que x - y = 5. 6) Calcular x e y na proporção 3 2 y x , sabendo que x + y = 10. 7) Se 189e 37 xy yx , então x - y vale: 8) Qual a fração equivalente a 2 3 cuja diferença entre seus termos é 10? 9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na mistura é: 10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 17 11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ângulo. 12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é: 13) Determinar os valores de a, b e c, onde 257 cba e a + b - c = 60. 14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que a parte da primeira corresponda aos 5 2 da parte da segunda e aos 4 3 da parte da terceira. Quanto tocará a cada uma das três pessoas? 2.4. Quarta proporcional Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses números um número x, tal que: x c b a Exemplo: Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8. Solução: Temos: 20402 8 5 2 xx x 2.5. Proporção contínua É toda proporção cujos meios são iguais. Exemplo: 9 3 3 1 2.6. Terceira proporcional É uma proporção contínua. Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números um número x tal que:
  12. 12. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 18 Exemplo: x b b a Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4. Solução: 8 2 16 162 4 4 2 xxx x Exercícios resolvidos 1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9. Resolução: x 9 5 6 6x = 5 9 6x = 45 x = 7,5 2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12: Solução: x 12 12 2 2x = 12 12 2x = 144 x = 72 Exercícios de fixação 15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 75e8;12 a) 20 b) 2 5 c) 2 35 d) 320 e) 340 16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é: a) 3 49 b) 2 49 c) 25,5 d) 26 e) n.r.a. 17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é: a) 0,5 b) 1,6 c) 5,0 d) 7,2 e) n.r.a. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 19 Exercícios propostos 15) Calcule a quarta proporcional entre os números: a) 1; 2 e 5 b) 4 1 e 3 1 ; 2 1 c) 2 1 e2;1,0 16) Calcule a terceira proporcional entre os números: a) 2 e 3 b) 2 1 e2 c) 5 1 e 2 1 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS CAPÍTULO 2 – Proporções 1) a 2) a) 45,0x 5 25,2 x25,2x5 25,2 x 5 1 b) 3 4 x 3 2 2x 2 3 2 x2x 2 3 2 1 4x 2 3 x 4 2 1 2 3 x 4 2 1 : 2 1 1 c) 7,2x 10 27 x 5 3 2 9 x 3 5 2 9 x 2 9 x 3 5 2 3 3x 3 5 3 5 3 2 3 x 3 1 2 3 2 1 2 x 3) 16M28M 2 1 8 M8M 2 1 9 72 25,0M 9 6 1225,0M 9 6 25,0 M 12 666,0 2/125,0 M 12 4) a
  13. 13. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 20 5) 10y 2 y 1 5 2 y 23 yx 15x 3 x 1 5 3 x 23 yx 6) 6y 5 30 y30y5310y5 3 5 y 10 3 32 y yx 4x 5 20 x20x5210x5 2 5 x 10 2 32 x yx 7) 129-21y-xdevalorO 9y812y812y 21 18992y18992y21 9 2y 21 189 23 2y 37 yx 21x4412x4412x 21 189492x189492x21 49 2x 21 189 27 2x 37 yx 189yxe 3 y 7 x 8) 20 30 éeequivalentfraçãoA:R 02b 2 1 b 10 2 23 b ba 30a 3 1 a 10 3 23 a ba 10b-ae 2 3 b a 9) litros.560deéálcooldelitrosdenúmeroO:R 200 19 800.3 800.319576019 5 19 y 760 5 514 y yx 560 19 640.10 640.10191476019 14 19 x 760 14 514 x yx 5 14 y x 760yxyáguaxálcool yyyy xxxx 10) 23x185x5x65x518x61x53x6 6 5 1x 3x CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 21 11) 45 2 90 9021802703 32701809031801 3 1 180 90 180lementosup 90ocomplement ânguloum 12) 24énúmeromaiorO:R 9 8 72 24 8 3 8 3 24 7 168 1687 4 168 4 34 1 42 4 3 1 42 8 6 4242 8 3 2422 8 3 8 3 aaaba bbb bb b b bbbbbab ba b a 13) 12 10 120 1201026010 210 60 2257 30 10 300 3001056010 510 60 5257 42 10 420 4201076010 710 60 7257 cccc cccba bbbb bbcba aaaa aacba 14) 000.28000.21 3 4 3 4 500.52000.21 2 5 2 5 000.21 29 000.609 000.60929 6 500.1016 6 8156 500.101 3 4 2 5 3 4 4 3 2 5 5 2 500.101 zzxz yyxy xxx xxx xxx xzzx xyyx zyx
  14. 14. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 22 15) a) 10x x 5 2 1 b) 6 1 x 1 2 12 1 x 2 1 12 1 x 12 1 x 2 1 4 1 3 1 x 2 1 x 4 1 3 1 2 1 c) 10 10 1 1 1 10 1 2 1 2102 1 2 10 xxxx, x , 16) a) 2 9 x9x2 x 3 3 2 b) 8 1 x 2 1 4 1 x 2 4 1 x 4 1 x2 2 1 2 1 x2 x 2 1 2 1 2 c) 25 2 x 1 2 25 1 x 2 1 25 1 x 25 1 x 2 1 5 1 5 1 x 2 1 x 5 1 5 1 2 1 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 23 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas situações mencionadas acima chamamos de grandeza. Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do espaço a ser percorrido. As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. 2. Grandezas diretamente proporcionais 2.1. Definição Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então: n n 3 3 2 2 1 1 b a .... b a b a b a K K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; Exemplo: Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12) 2 1 6 3 K 2 1 8 4 K 2 1 10 5 K 2 1 12 6 K Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 2 1 .
  15. 15. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 24 3. Grandezas inversamente proporcionais 3.1. Definição Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então: K = a1 b1 = a2 b2 = ... = an bn Exemplo: 1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4): K = 1 20 = 20 K = 2 10 = 20 K = 4 5 = 20 K = 5 4 = 20 Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20. Exercícios resolvidos 1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais. a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15) Solução: Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante. 3 1 15 5 12 4 6 2 K Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 3 1 . b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2) Solução: K = 1 20 = 4 5 = 10 2 = 20 Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 25 2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Solução: 32 60 yx yx 361805 35 60 332 241205 25 60 232 yy yyyx xx xxyx 3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. Solução: 3 1 2 1 20 yx yx 8 3 24 3243 5 620 3 1 6 23 20 3 1 3 1 2 1 122242 5 620 2 1 6 5 20 2 1 6 23 20 2 1 3 1 2 1 yyyy yyyx xxx xxxyx 4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4. Solução: 48 14 1256 125614 1214 56 12122 8 14 112 25614 214 56 2122 56 122 1243 212 yyy y yyx xxx x xyx yx yx x x 5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4. Solução :
  16. 16. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 26 2 1 4 1 2 3 1 3 1 1 y x 2 1 3 1 60 yx yx Exercícios de fixação 1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após sua fabricação: Tempo após a fabricação (anos) 0 1 2 3 4 Valor (US$) 18.500 18.000 17.500 17.000 16.500 De acordo com a tabela, é verdade que: a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor; b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. e) n.r.a.; 2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2 3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela: Vm (m/s) 10 20 25 40 t (s) 20 10 8 5 a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual é a constante de proporcionalidade? c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo. 36 2 72 2722 5 360 2 5 660 2 1 6 32 60 2 1 2 1 3 1 24 3 72 3723 5 660 3 1 6 5 60 3 1 2 1 3 1 yyyyy yyyx xxxx xxyx CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 27 4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m 5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126 6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 4 5 e 4 3 . 8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, pergunta- se qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios. 9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? 10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma. 11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3 2 e 7 4 e inversamente a 9 4 e 21 2 . Quantas balinhas cada criança receberá? 12) Dados os gráficos cartesianos: I) II) III) Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são: a) III; I; II c) I; III; II e) n.r.a. b) II; III; I d) III; II; I y x x y x y
  17. 17. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 28 Exercícios propostos 1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se verifiquem a igualdade 20 5 8 9 x y , os valores de x e y devem ser respectivamente: a) 2 e 36 b) 5 1 4 1 e c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a. 2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e a + m b = 10, então m é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo: s (m) 40 60 80 100 t (s) 2 3 4 5 Responda as perguntas abaixo: a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo. 4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 6 1 3 1 , 2 1 e , obtém-se respectivamente: a) 130; 220; 110 c) 360; 180; 120 e) n.r.a. b) 120; 180; 360 d) 330; 220; 110 5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um. 6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3. 8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 29 9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5? 10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) aécorretaaalternativA 2X 20 40 x40x2058x20 20 5 8 x 36y49y 4 1 y 9 20 5 y 9 20 5 8 x y 9 2) daécorretaaalternativA 2 5 12 30 301250122010 5 12 410 5 12 512 4 3 12 123 5623 mmmmmmba bb aaa ba 3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais b) h km t s mvk 20 5 100 4 80 3 60 2 40 c) 60 40 2 3 s(m) t(s)
  18. 18. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 30 4) daécorretaaalternativA zzz zzzyx yyy yzyx xxxx xzyx zyx zyx 110 6 660 6 6 6660 6 1 6 123 660 6 1 6 1 3 1 2 1 220 3 660 3 6 6 660 3 1 6 1 3 1 2 1 330 2 660 2 6 6660 2 6 123 660 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 660 5) 000.222z 130 000.78037 z000.78037z13037 130 000.780 37 z 374350 zyx 000.258x 130 000.78043 y000.78043y130 43 y 130 000.780 43 y 374350 zyx 000.300x 130 000.78050 x000.78050x130 50 x 130 000.780 50 x 374350 zyx 37 z 43 y 50 x 000.780zyx 6) 16 3 48 4833683 5 640 3 6 23 40 3 1 3 1 2 1 24 2 48 4822682 5 640 2 6 23 40 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 40 yyyyyy yyx xxxxxx xyx yx yx CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 31 7) 20 13 1026 26 10 13 10 13 23 1346 10 13 13 1013 46 13 10 13 10 1 1 26 23 1346 1 13 1013 46 1 13 10 1 1 13 10 1 1 31 1 1 1 46 bbb bbbba aa aaba ba , ba ba 8) bolas63bolas;52bolas;46bolas;31:menterespectivarecebervemcriançasAs:R ddcd ccbc bbab aaa aaaaa adadcd acacbc ab dcba 63115211 526466 46153115 31 4 124 1244681924 192684192322115 32112111 216156 15 192 00012000605 5 1 00020000603 3 1 00030000602 2 1 00030000602 2 1 00060 76 30000152 30 610151530 000152 1 1 5 1 3 1 2 1 2 1 1 1 5 1 3 1 2 1 2 1 1 1 000152 .e.ea e .d.da d .c.ca c .b.ba b .aa . a .aedcba edcba .edcba 9)
  19. 19. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 32 10) 24 5 260 2 5 60 2 5 11 1544 2 5 15 65 44 5 2 5 2 3 1 20 3 60 3603 11 1544 3 15 65 44 3 1 5 2 3 1 5 2 3 1 5 2 5 1 2 3 1 3 1 1 44 bbbbb bba aaaaa aba ba b a ba CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 33 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos. Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em partes diretamente proporcionais. 2. Casos de Regra de Sociedade 1o ) Capitais iguais e tempos diferentes Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo: 1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00? Solução: a + b + c = 260.000 6 c 8 b 12 a Aplicando a propriedade das proporções teremos: 6 c 8 b 12 a 6812 cba 6 c 8 b 12 a 26 000.260 120.000a 26 260.00012 a260.0001226a 12 a 26 260.000 80.000b 26 260.0008 b260.0001226b 8 b 26 260.000
  20. 20. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 34 .0006c 26 260.0006 c260.000626c 6 c 26 260.000 0 R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00. 2o ) Tempos iguais e capitais diferentes O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios: Exemplo: 1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio? Solução: a + b + c + d = 840 25 d 75 c 60 b 50 a Aplicando a propriedade das proporções teremos: 100d 210 21.000 d21.000210d84025210d 25 d 210 840 300c 210 63.000 c84075210c 75 c 210 840 240b 210 50.400 b50.400210b84060210b 60 b 210 840 200a 210 42.000 a42.000210a84050210a 50 a 210 840 25 d 75 c 60 b 50 a 210 840 25 d 75 c 60 b 50 a 25756050 dcba 3o ) Tempos diferentes e capitais diferentes Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio. Exemplo: 1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada sócio? CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 35 Solução: a + b + c = 22.200 121.000 c 18800 b 151.200 a Aplicando a propriedade das proporções teremos: 6.000c 2 12.000 c12.0002c 12.000 c 2 1 12.000 c 44.400 22.200 7.200b 2 14.400 b14.4002b 14.400 b 2 1 14.400 b 44.400 22.200 9.000a 2 18.000 a18.0002a 18.000 a 2 1 18.000 a 44.400 22.200 12.000 c 14.400 b 18.000 a 44.400 22.200 12.000 c 14.400 b 18.000 a 12.00014.40018.000 cba Exercícios de fixação 1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00. 2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada sócio? 3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio. 4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio “B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um? 5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.
  21. 21. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 36 6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A entrou 2 1 do capital, B entrou com 3 1 do capital e C com o restante. Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B. Exercícios propostos 1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada sócio? 2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio. 3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses. 4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do sócio A. 5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu? 6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 37 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 200.1b 900 000.080.1 b000.080.1b900800.1600b900 600 b 900 800.1 600a 900 000.540 a000.540a900800.1300a900 300 a 900 800.1 600 b 300 a 600300 ba 600 b 300 a 800.1ba 2) 195532 4700 60002000 600020004700 20004700 6000 899141 4700 60001500 600015004700 12004700 6000 915311 4700 60001200 600012004700 12004700 6000 000250012001200015001200 000250012001 0006 ,.acc c ,.abb b ,.aaa a . c . b . acba . c . b . a .cba 3) 5004 8 36000 600068 60008000 6000 5001 8 12000 200068 20008000 6000 200060002000 600020004150021000 6000 .aab b .aaa aaba baba ba
  22. 22. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 38 4) 00016 315 00018028 00018028315 000180315 28 000180000315 00028 00012 315 00013528 00013528315 000135315 28 000135000315 00028 000135000180000135 0001800001351200015150009 00028 .a . a.b . b . b . . .a . a.a . a . a . . . a .. ba . b . a . b . a .ba 5) 200,00R$recebeupessoasegundaA:R bbab aaaaaa ac ab cba 20010022 100 9 900 900990062 6 2 900 6) 506621161504371941003111 10031150437194110031121 504371942 8 5100311 2 2 2 2 5 8 100311 2 2 22 5 3 100311 2 2 21 21 2 2 1 1 10031121 2 5 3 1 5 2 3 1 5 3 2 1 ,.p,..p .,.p.pp ,.p . p c p c . c p cc . c p cc pp c p c p .pp cc cc c c CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 39 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 5. Regra de Três Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado. 2. Tipos de grandezas. 2.1. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão. Exemplo: 1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel gastaria para percorrer 200Km? Distância litros de gasolina 120 10 200 x gasolinadelitros66,16x 120 2000 x2000x12010200x120 x 10 200 120 2.2. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa. Exemplo: 1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h? velocidade média tempo velocidade média tempo 60 3 60 x 90 X 90 3
  23. 23. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 40 h2x 90 180 x180x90360x90 3 x 90 60 Exercícios resolvidos 1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários? Solução: Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática: no de operários metros de tecido 4 200 6 x Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros. Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será: m300x 4 1200 x1200x46200x4 x 200 6 4 Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido. 2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo trabalho? no de operários dias 6 12 4 x É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra. Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão 6 4 , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção: no de operários dias 4 12 6 x dias18x 4 72 x72x4612x4 x 12 6 4 Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 41 Exercícios de fixação 1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a. 2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia? 3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 10? 4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura é? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460 5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página, o número de páginas do livro seria: a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128 6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levará em média: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min. 7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustível será de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400 8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório. 9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias? 10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado? a) y rd dias b) ry rd dias c) ry dy dias d) yr d dias e) yd dy dias.
  24. 24. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 42 Exercícios propostos 1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h? 2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, executam em 10 dias? 3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância? 4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor? 5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2? a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a 6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15? 7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350 8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados 3 2 de uma determinada estrada . Para se asfaltarem 5 3 dessa mesma estrada, são necessários: a) 7 dias e 12 h. b) 15 dias c) 20 dias d) 22 dias e 12h. e) 45 dias 9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua velocidade fosse igual a 5 2 da anterior, faria o mesmo percurso em? 10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento? CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 43 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) n º de toques h 42 2 x 6 126 2 252 25226422 6 242 xxxx x 2) horas dias 4 10 2 x 4 x 2 10 20 2 40 402 102 4 xxx x 3) Vm h 80 2 100 x 80 x 100 2 36minhxh,xx x 1611610 2100 80 4) Raio voltas 75 900 x 1500 x 900 75 1500 45xxx x 15 759 75915 1500 900 75
  25. 25. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 44 5) área hora 5100 3 11900 x hxxxx x. . 7 51 357 35751119351 3 90011 1005 6) coeficiente dias de dificuldade 0,1 10 0,15 x diasx , , x,x, x, , 15 10 15010 1501010 10 150 10 7) alunos dias 1800 15 x 20 x 15 1800 20 d4501350-1800 50xxx x 13 20 180015 18001520 20 15 1800 8) dias asfalto 25 3 2 x 5 3 d12he22diasxoudias5,22x45x215x 3 2 5 3 25x 3 2 5 3 3 2 x 25 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 45 9) h/km,VmVmVm t s Vm 5768 35 2400 60 35 40 Vm tempo 68,57 12 7 27,42 x 68,57 x 27,42 12 7 36seg27minhxh,x . . x .x.xx x , , 1461 90432 77747 999479043276857274212 12 7 68572742 12 74227 5768 10) n º de soldados tempo 10 3 30 x 10 x 30 3 mêsxx x 13030 330 10
  26. 26. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 46 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 6. Regra de Três Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Consideremos o problema abaixo 1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias? Solução: Temos a seguinte disposição prática (1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 3 dias x 100 objetos 4 dias Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos. a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo Se 2h um operário faz 50 objetos x 100 objetos Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários mais horas. Regra de três direta flechas com o mesmo sentido b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo Se 2h um operário faz em 3 dias x 4 dias Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. Regra de três inversa flechas com sentido contrários. Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 47 (1o Grupo) (2o Grupo) (3o Grupo) 2h 50 objetos 4 dias x 100 objetos 3 dias 3x 2 6 x6x2 3 2 x 2 3 24 2 1 x 2 3 4 100 50 x 2 2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ? metros de profundidade no de operários dias 160 40 21 200 30 x Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrários. Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido. 160 30 21 200 40 x dias35x 3 105 x105x3215x3 x 21 5 3 x 21 4 3 5 4 x 21 40 30 200 160 Exercícios de fixação 1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias? 2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m? 3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia? 4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em? 5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?
  27. 27. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 48 6) Os 5 2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por dia? 7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias? 8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia? 9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias? 10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. Quantos metros 20 operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia? Exercícios propostos 1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão? 2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe? 3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia? 4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo? 5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia? 6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a: a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min. 7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em? a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia? a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 49 9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m? 10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro? RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) homens dias toneladas 15 30 3,6 20 x 5,6 10 x 3,6 30 3 5,6 diasxxx x, , x 35 72 8430 843072 84 7230 65 63 15 2030 2) operários m3 hora 20 640 8 x 500 5 20 640 5 x 500 8 25 2003 00080 0008032004000203200 4000 320020 8 5 500 64020 x . . x.xx xx R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários. 3) máquinas horas parafusos 3 8 4800 7 11 x 40015 24 480077 48007724 4800 77 244800 11 8 7 3 .xxx xx
  28. 28. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 50 4) litros de óleo rpm horas 20 1500 5 x 1800 3 litros,x . . x.xx xx 414 5007 000108 00010875005400207500 5400 750020 3 5 1800 150020 5) n º de dias hora operários 20 45 6 x 15 8 x 45 6 20 15 8 45 120 5400 540012027020120 120 270 208 6 15 45 20 xxxx xx R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários. 6) hora relatório dias 8 75 9 x 65 6 8 75 6 x 65 9 24min10hxou h,xx.xx xx 410 450 4680 68044505858450 585 4508 9 6 65 758 O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta é a e 7) máquina dias hora 8 5 5 5 x 8 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 51 8 x 5 5 5 8 caécorretaaalternativa5x 8 5 5 8 5 x 8) distância dias horas 4320 5 8 2916 x 9 4320 5 9 2916 x 8 baécorretaaalternativa diasx . . x.x..x. . . xx 3 88038 640116 6401168803832823588038 32823 880385 8 9 2916 43205 9) operários horas dias metros 20 8 18 300 16 9 x 225 16 9 18 300 20 8 x 225 diasx . . xx. . . xx 15 00036 0003618 360001820043 00036 2004318 225 300 8 9 20 1618 10) pedreiros m2 dias hora 12 27 30 8 16 36 24 x 16 27 24 8
  29. 29. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 52 12 36 30 x hx . . x.x. . . xx 10 36810 960128 96012836810 96012 368108 30 24 36 27 12 168 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 53 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 7. Médias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como uma das medidas de tendência central. 2. Tipos de Médias 2.1. Média Aritmética A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número de parcelas. Exemplo: Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é: 4 3 642 am 2.1. Média Geométrica A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto desses números. Exemplo: Calcular a média geométrica dos números 4 e 25. 10100254gm 2.3. Média Ponderada A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.
  30. 30. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 54 Exemplo: Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2. 2,4 5 21 5 1083 221 x252x41x3 pm 2.4. Média Harmônica A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses números. Exemplo: Calcular a média harmônica dos números 2 e 4. 3 8 8 3 1 2 1 4 3 1 1 2 4 3 1 1 2 4 12 1 2 4 1 2 1 1 hm Exercícios resolvidos 1) Calcular a média aritmética dos números abaixo: a) 1; 2 e 3 b) 3 1 ; 2 1 c) 0,1 e 2 Solução: 2 3 6 3 321 ) ama 12 5 2 1 6 5 1 2 6 5 1 2 6 23 2 3 1 2 1 ) amb 20 21 2 1 10 21 1 2 10 21 1 2 10 21 2 1 2 10 1 2 21,0 ) amc 2) Calcular a média ponderada dos números abaixo: 2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 55 Solução: a) 3 8 3 62 21 2312 pm b) 4 13 4 832 211 241312 pm 3) Calculando a média geométrica dos números abaixo: a) 0,01 e 4 b) 25 4 1 e c) 1; 2 e 4 Solução: 2,0 10 2 100 4 04,0401,0) gma 5,2 2 5 4 25 25 4 1 ) gmb 228421) 3 333 gmc 4) Calcular a média harmônica dos números: a) 2 e 3 b) 4; 5 e 6 Solução: 4,2 5 12 12 5 1 2 1 6 5 1 1 2 6 5 1 1 2 6 23 1 2 3 1 2 1 1 ) hma 4,86 37 180 180 37 1 3 1 60 37 1 1 3 60 37 1 1 3 60 101215 1 3 6 1 5 1 4 1 1 ) hmb 5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto, qual será a nova média aritmética?
  31. 31. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 56 Solução Exercícios de fixação 1) Calcular a média aritmética dos números: a) 4; 6 e 8 b) c) 2) Calcule a média ponderada dos seguintes números: a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2. b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4. c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3 3) Calcule a média geométrica dos números: a) 4 e 100 b) 0,45 e 0,05 c) 4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6. 5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é: 103,4 121,63 41,2 8,75 9,285 a) 54,86 b) 55,806 c)6,8 d)56,853 e) 56,853 6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos são 1; 2 e 7. 8 20 8 ... 21 aaa 160... 821 aaa 28,22 7 156 7 4160 2;1,0; 2 1 9 4 ; 5 2 ; 8 3 28 9 7 4 e CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 57 ab b a 2 ba ba ab2 7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é? a)73 b) 82 c) 108 d) 219 e) nra. 8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos afirmar que: a) a e b são primos entre si. b) os dois números a e b são iguais. c) a e b são números compostos. d) a e b são números diferentes. e) n.r.a.. 9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte: número de empregados salário 12 R$ 600,00 5 R$ 700,00 3 R$ 1.000,00 Qual o salário médio dos empregados dessa empresa? Exercícios propostos 1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se: I - média harmônica dos números a e b; a) II - Média ponderada dos números a e b; b) III - Média geométrica entre os números a e b; c) lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b; d) V - Média aritmética simples entre a e b; e) ba.
  32. 32. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 58 a) ( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) b) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) c) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) d) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) e) n.r.a. 2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem, respectivamente 10 e pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a: a)3,6 b) 6 c) 6,4 d) 8 e) n.r.a. 3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12. 4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova média? 5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual é a média desse candidato? 6) A média harmônica entre os números a; b e c; 7) Calcule a média aritmética; a) 3; 4; 1; 6; 5; 6 b) 7; 8; 8; 10; 12 c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75 d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90 8) Calcule a média geométrica. a) 8; 15; 10; 12 b) 3; 4; 5; 6; 7; 8 9) Encontre a média harmônica. a) 5; 7; 12; 15 10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a: ba abc a 2 ) ba abc b) c ba c 2 ) abacbc abc d 3 ) arne ..) 5 32 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 59 a) 1 b) 2 c) 0,6 d) 8 e) n.r.a. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) c 2) 864 64 5 32 10 5 32 20 22 2010 2 gm ab ab ab ba ab hm ba ba 3) amgmhm ba ab hm ,gm am 8 18 144 18 12622 4682672126 9 2 126 4) 9 430 10440 4401121 40 11 1121 aaa aaa 5) 07 10 70 10 401812 523 582934 ,pm 6) daécorretaaalternativa abacbc abc3 abc3 abacbc 1 1 3 abc abacbc 1 3 c 1 b 1 a 1 1 hm 7) a) 164 6 656143 ,am
  33. 33. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 60 b) 9 5 1210887 am c) 962 5 754132750423 , ,,,, am d) 4279 7 90838280767570 ,am 8) a) 95,104 400.144 1210158gm b) 3956 160206 5630126 875643 ,.gm 9) 118 207 6801 6801 207 1 4 1 420 207 1 1 4 420 207 1 4 420 28356084 1 4 15 1 12 1 7 1 5 1 1 , . . hm 10) a alternativa correta é a e CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 61 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões: a cesta básica teve um reajuste de 2,1%; os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. 10% da população brasileira são fumantes. Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de porcentagem. 2. Elementos do cálculo percentual Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas. Exemplo: 1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala? Principal (c) = 35 taxa (i) = 20% porcentagem (P) Exercícios resolvidos: 1) Calcular a) 2% de 120 b) 1,5% de 150 c) 3 1 % de 30 7 100 700 100 2035 100 P P ic P
  34. 34. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 62 Solução: a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = 4,2 100 240 120 100 2 x Resposta: 2% de 120 é 2,4. b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = 25,2150 100 5,1 x Resposta: 1,5% de 150 é 2,25. c) 30% 3 1 de Principal = 30 taxa 3 1 % Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = 1,0 100 10 30 100 3 1 x Resposta: 3 1 % de 30 é 0,1. 2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o número total de candidatos inscritos? Solução: Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de comparecimento. X 100 1.500 80 875.1 80 00.150 00.15080 80 100 500.1 xx x Resposta: O número de candidatos é 1.875. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 63 3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele? Solução: taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = 138000,500.1 100 92 x Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00. 4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido? Solução: No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula: i = 1 - (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) ... (1 - i n ) i = 1 - (1 - 0,02) (1 - 0,03) i = 1 - (0,98) (0,97) i = 1 - 0,9506 i = 0,0494 i = 4,94% 5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acréscimos? Solução: No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula: i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1 i = (1 + 0,1) (1 + 0,1) - 1 i = (1,1) (1,1) - 1 i = 1,21 - 1 i = 0,21 i = 21% 6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes terá no final de dois anos? Solução: 1º. ano: 60.000 . .600.60600000.60600 100 1 hab
  35. 35. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 64 2º. ano: hab206.61606600.60606 100 1 600.60 Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab. Exercícios de fixação 1) Quanto vale a) 1% de 200 ? b) 2,3% de 25? c) 0,1% de 1,04? d) 2% de 400? 2) O número 1,35 corresponde a 15% de: a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 2 %)10()3 a)100% b) 20% c) 5% d) 1% e) n.r.a 4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento mensal no seu salário de: a) R$ 100,00 c) R$ 250,00 e) R$ 50,00 b) R$ 200,00 d) R$ 150,00 5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% é: a) R$ 5.700,00 c) R$ 7.200,00 e) R$ 9.000,00 b) R$ 6.900,00 d) R$ 7.500,00 6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente, a) 15,7% c) 47% e) 54,6% b) 45,2% d) 47,8% 7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d., o valor do imposto foi de: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 65 8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de: 9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote? 10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de: a) 45% c) 96% e) n.r.a. b) 20% d) 82% 11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é: a) 1,04A c) 1,02 A e) A b) 0,98 A d) 0,96 A 12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores era: a) 61 b) 75 c) 90 d) 87,5 e) 105 13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o número de alunos aprovados sem recuperação. Exercícios propostos 1) O número 5,94 representa 18% de: a) 36 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32 2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 = a) 25% b) 4 1 % c) 10% d) 0,1% e) 0,001% 3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo é de: a) 1% b) 10% c) 12,5% d) 8% e) n.r.a. 4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é de:
  36. 36. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 66 a) 46% b) 54% c) 30% d) 40% e) 60% 5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a: a)7,5% c) 0,75% e) nra b)15% d) 25% 6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre: 7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de: a) R$ 26,00 c) R$ 31,00 e) n.r.a. b) R$ 28,00 d) R$ 34,00 8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro. 9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: a) R$ 170,00 c) R$ 160,00 e) n.r.a. b) R$ 144,00 d) R$ 150,00 10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram não. Diante disso, conclui-se que votaram sim: a) 11.250 eleitores b) 45% dos eleitores c) 51% dos eleitores d) 55% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores 11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 67 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) x 100 5,94 18 18 594 5941894,5.10018 18 100 94,5 xxx x 33x a alternativa correta é a d 2) 0025,0 400 1 2 20 1 2 100 52%5 a alternativa correta é a b 3) 12,50 100 1,00 x %8 50,12 100 50,12 100 00,1 50,12 xxx x a alternativa correta é a d 4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A B) n (AUB) = 22 + 30 - 12 n (AUB) = 40% R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%. a alternativa correta é a e 5) a alternativa correta é a c 6) i = (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) - 1 i = (1 + 0,05) (1 + 0,04) (1 + 0,1) - 1 i = (1,05) (1,04) (1,1) - 1 %75,0% 4 3 400 14 400 1 100 1 20 1 10 1 100 5 100 10 %5%10 2222 22
  37. 37. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 68 i = 0,2012 i = 20,12% 7) 1,5 x 140 = 210 210 x 0,8 = 168 R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial. a alternativa correta é a b 8) V = C + L 21.516,30 = C + 3.126,30 C = 21.516,30 - 3.126,30 C = 18.390,00 %1717,0 390.18 30,124.3 ou C L 9) x 100 180 1,2 150 2,1 180 1802,1 2,1 1 180 xx x a alternativa correta é a d 10) eleitores faltosos 22.500 x 0,1 = 2.250 votos brancos ou nulos 22.500 x 0,15 = 3.375 votaram não 125.10 500.4 22.500 - 10.125 = 12.375 500.22 375.12 0,55 ou 55% a alternativa correta é a d 11) K (1,1) (1,1) = 363 300 21,1 363 36321,1 KKK M = 300 (1 - 0,1) (1 - 0,1) M = 300 0,9 0,9 M = 243 K + M = 300 + 243 = 543 CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 69 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 9. Operações sobre Mercadorias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 2. Vendas com lucro 2.1. Sobre o preço de custo 2.2. Sobre o preço de venda Exemplos: 1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra? Solução: V = C+L V: preço de venda V = 1200+1200 0,3 C: preço de custo V = 1200+360 L: lucro V = 1.560 R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00 2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro? Solução: C= R$ 4.500,00 V = C+L L= 0,1 V V = 4500+0,1V V ? 1V-0,1V= 4500 0,9V=4500 9,0 4500 V V = 5000 R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00
  38. 38. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 70 3. Vendas com prejuízo 3.1. Sobre o preço de custo 3.2. Sobre o preço de venda Exemplo: 1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda? Solução: V: preço de venda V=C-P C: preço de custo V= 200-0,15 200 P: prejuízo V= 200-30 V= 170 R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00. 2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. 000.5 1,1 500.5 500.51,1 500.51,01 1,0500.5 V V V VV VV PCV R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00 Exercícios de fixação 1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro equivalente a 2,5% do custo. 2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . Qual foi o preço de compra? 3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale aumentar o preço original em: 4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo? 5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo. 6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo? CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 71 7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. O preço de venda é: a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 b) R$ 320,00 d) R$ 350,00 8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do preço de custo. Qual o preço de custo do objeto? 9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% do preço de compra. Qual foi o preço de compra? a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00 10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do seu prejuízo. Exercícios propostos 1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de : 2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura. 3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: 4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de: 5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de: 6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quanto? 7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o líquido da primeira redução. 8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo. 9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o prejuízo? 10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:
  39. 39. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 72 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 2) 3) 4) 5) 6) ? 12,0 1560 C CP V 72,1772 88,0 1560 88,01560 12,01560 CC C CC PCV 96,642 9,094,095,0800 )1,01()06,01()05,01(800 )1()1()1( 321 L L L iiiPL CP V %5,3 00,650 57,673 965,0 00,650 965,000,650 035,000,650 CC C CC PCV 98,713 41,4057,673 57,67306,057,673 V V V LCV ? 00,650 06,0 V C VP 20,613 06,1 00,650 00,65006,1 06,000,650 C V VV PCV 00,500.700,850.500,650.1 00,850.500,850.1400,700.20 850.1400,650.100,500.16 00,500.161,000,500.16 %50,505050,0 00,850.14 00,500.7 C L 50,759.4$: 50,136.39115,100,100.35 00,896.4393,000,200.47 RGanhouR Arroz Tecido CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 73 7) 8) 9) 10) 40,654.1$94,088,000,2000 06,0112,0100,2000 RL L 00,500.1 00,65000,150.2 00,65000,150.2 C C C LCV %3,43ou433,0 00,500.1 00,650 C L %15,46 650 000.30 000.30650 100 00,300 00,650 00,300 10000,650 XXX X X CL C CP RV 1,0 ? 12,0 00,650$ 50,812 64,7381,064,738 64,738 88,0 00,650 88,000,650 12,000,650 V V LCV CCC CC PCV
  40. 40. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 74 CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sema autorização da Editora. Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000 10. Juros Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 1. Introdução Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros. Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n). A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital. Exemplos: a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês. Capital (principal ou valor presente) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo. Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital. 2. Regime de capitalização O regime de capitalização pode ser simples ou composto. 2.1. Regime de capitalização simples No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período. 3. Cálculo do juros simples e montante. Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos: CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 75 0 1 2 3 n-1 n in CJJJJ ===== ....321 O juro total dos n períodos será: in iiii n CJ CCCCJ JJJJJ = +=++= ++++= ... ...3 21 Para o caso do Montante teremos: )1( inCM CinCM JCM += += += Exercícios Resolvidos 1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 anoe 2 meses. Dados: J=? J=C. i. n C=R$ 2.000,00 J=2000⋅ 0,01 ⋅ 14 i=1% a.m. J=280 n=1 ano 2 meses = 14 meses R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00. 2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa. Dados: C=R$ 4.000,00 n= 1 mês i=? J=R$1.000,00 ..%2525,0 000.4 000.1 4000000.1 1..4000000.1 .. maiouii i i niCJ === = = = 3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.? Solução: C= R$ 200,00 J= R$ 80,00 i= 1% a.m. n=? meseseanosoumesesnn n n niCJ 4340 2 80 280 .01,0.20080 .. == = = =
  41. 41. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 76 4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00. Solução: i=1% a.m. n=13 meses J= R$ 650,00 000.5 13,0 650 13,0.650 13.01,0.650 .. == = = = CC C C niCJ 5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m.. Solução: M=? C=R$ 1.200,00 n= 2 anos e 6 meses = 30 meses i= 0,5% a.m. M=C(1+in) M=1200(1+0,005 ⋅ 30) M=1200(1+0,15) M=1200 ⋅ 1,15 M= 1.380 4. Taxas proporcionais Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. Assim, sendo teremos: 2 2 1 1 n i n i = Exemplos: 1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a. Solução: ..%22412 12 24 1 11 1 2 2 1 1 maii i n i n i === = 2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 77 ..%18 1 5,1 12 1 2 2 2 1 1 aai i n i n i == = 5. Taxas equivalentes Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem juros iguais. Exemplo: Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos. Solução: a) J=? C= R$ 1.000,00 i= 2% a.m n= 3 meses J= C. i. n J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 J= 60,00 b) J=? C=R$ 1.000,00 i=1,5% a.a. n=4 anos J=C. i. n J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 J=60,00 Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a. 6. Prazo médio Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber: a) Capitais e taxas iguais. Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados. Exemplo: 1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação? Solução: )(3 2 6 2 42 médioprazomeses== +
  42. 42. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 78 b) Capitais diferentes e taxas iguais Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais. Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadasdurante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais? Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais. 600.6 400.5 000.3 800.1 .3 200.1200.1.1 = = Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos: ano2,2 000.3 600.6 = R: O prazo médio é de 2,2 anos. c) Capitais iguais e taxas diferentes. Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior. d) Capitais e taxas diferentes. Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação. Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias? Tempo Capital Taxas = Valor ponderado 20 800 0,015 240 30 1.000 0,02 600 = 840 Prazo médio = taxapelacapitaisdosprodutosdosSoma ponderadosvaloresdosSoma Prazo Médio = dias25,26 32 840 2012 840 )02,0.1000()015,0.800( 840 == + = + CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 79 7. Taxa média Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn, aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo. A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais. n nn m CCC iCiCiC i +++ •+•+• = ΛΛ ΛΛ 21 2211 Exemplo: 1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira: R$ 1.500,00 a 2% a.m. R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. R$ 3.500,00 a 2,5% a.m. Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento? Solução: %1,2 0210,0 7000 5,87330 350020001500 025,0.3500015,0.200002,0.1500 = = +−+ = ++ ++ = i i i Exercício de fixação 1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos. 2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual. 3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quantotempo esteve empregado? 4) Se uma pessoa aplica somente 5 2 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa. 5) Carlos aplicou 4 1 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendo- se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:
  43. 43. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 80 6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de1% a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor. 7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias. 8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. b) 15 meses d) 25 meses 9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fimde8 meses é: 10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada? 11) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. b) 3% a.t. d) 3% a.s. 12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a. 13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.? 14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento? 15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 dias. Exercícios propostos 1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada. 2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m. 3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende 5 2 do seu valor? 4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a3%a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento? 5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses b) 24 meses d) 48 meses CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 81 6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial? 7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital? 8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6% 9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de: 10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa? 11) Ache a taxa mensal proporcional a: a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c ) 2,4% a.d. d) 12% a.a. 12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a. 13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: a) Sempre se refere a juros exatos. b) Normalmente refere-se a juros compostos. c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. d) Dá nome aos contratos. e) Refere-se a juros simples. 14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas operações: Principal(R$) Taxa mensal Prazo (meses) 10.000,00 20% 2 20.000,00 10% 4 a) 10% a.m. b) 11% a.m. c) 12% a.m. d) 13,33% a.m. e) 15% a.m. 15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio?
  44. 44. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 82 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) 2) 3) 4) 5) ?i R$2.000,00J me2 00,000.6$ = = = = n RC a.m.%6,16 166,0 6 1 000.12 000.2 000.12000.2 2000.6000.2 = === = ••= ••= i iii i i niCJ ..%5,0 121 00,000.10$ mai mesesanon RC = == = 00,600.10 000.10600 600 005,012000.10 = += += = ••= ••= M M CJM J J niCJ CJ mai C 4,0 .%4,0 ? = = = mesesnn nCC niCJ 100 004,0 4,0 004,04,0 == ••= ••= ( ) ( ) 000.4000.20000.24 000.24 000.20 012,0 240 240012,0 1240012,0 72048003,0018,0 48003,0720018,0 480103,0000.241018,0 480 480 000.24000.24 22 12 11 1 1 11 11 11 2211 21 1221 =−= −= == = −−=− −=− =−+ =••−+•• =••+•• =+ −==+ CC CC CC C C CC CC CC niCniC JJ CCCC ? 200 400 ..%4 = = = = n C J mai mesesnn n niCJ 50 8 400 04,0200400 == ••= ••= CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 83 6) 7) 3 03,0 103,0 3 1 3 08,0 104,0 3 2 1 ..%4 3 2 2 1 1 1 CC J CC J anon mai CC =••= =••= = = = 500 1 ..%3 3 1 21 2 2 =− = = = JJ anon aai CC 000.30 05,0 1500 150005,0150003,008,0500 3 03,0 3 08,0 == ==−=− CC CCC CC 512.16 18 = = M mesesn ( ) i C iC niCM 181 512.16 )181(512.16 1 + = += •+= ..%4 04,0 7,5 23,0 23,07,5 123,13,1218 3,1223,1181 )101(23,1)181(1 1 23,1 101 181 440.13 512.16 101 181 181 512.16 101 440.13 mai i i ii ii ii i i i i ii = == = −=− +=+ +=+ = + + = + + + = + 00,600.9 4,1 440.13 4,01 440.13 04,0101 440.13 101 440.13 == + = •+ = + = CCC i C 440.13 10 = = M mesesn ( ) i C iC niCM 101 440.13 )101(440.13 1 + = += •+=
  45. 45. CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 84 8) R: A alternativa correta é a 9) 10) 11) a) b) a ? 00,320.16 4 00,000.15 = = = = i M mesesn C ( ) ( ) ..%2,2022,0 4 088,0 41088,1 41 00,000.15 00,320.16 41100,000.1500,320.16 1 maiii i i niCM === =− += •+= •+= diasn i M C 200 360 01,0 ? 00,000.3 = = = = 66,016.3 180 181 000.3 180 1 1000.3 360 2 13000 200 360 01,0 1000.3 )1( = = += += •+= •+= M M M M M niCM ..%505,0 2 1 400.1 700 700400.1 7001000-400.2 700 10005200 400.23800 21 2 1 maiiii i ii JJ iiJ iiJ ==== = = =− =••= =••= ..%2,1 3 6,3 6,33 3 6,3 1 111 1 2 2 1 1 maiii i n i n i ==== = ..%2 6 12 126 6 12 1 111 1 2 2 1 1 maiii i n i n i ==== = CopyMarket.com Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 85 c) d) 12) a alternativa correta é a 13) a alternativa correta é a e 14) a alternativa correta é a d 15) Prazo médio 3 3 432 = ++ = meses. b ..%7272,030024,0 1 024,0 30 111 1 2 2 1 1 maiii i n i n i ==•== = ..%101,0 12 12,0 12,012 12 12,0 1 1111 1 2 2 1 1 maiiii i n i n i ===== = ...%3,3ou033,0 15 5,0 155,0 15 5,01005,0 2 2 1 maiii iCC JJ iCJ CCJ === ••= = ••= =••= ...%3,13ou133,0 15 2 30 4 000.30 000.4 000.30 1,0000.202,0000.10 21 2211 maii iiii CC ICiC i mm mmmm m == === •+• = + •+• =

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