Derivadas Parciales

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Derivadas Parciales

  1. 1. 1. Derivadas ParcialesCompetencias a desarrollarse en la unidadEl estudiante estará en la capacidad de: - Comprender los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, de la teoría de funciones analíticas. - Transferir los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y de la teoría de funciones analíticas a ciertas aplicaciones afines a la carrera, con un grado de dificultad acorde a un tercer año. - Afianzar la capacidad abstracción, de razonamiento lógico y reflexión crítica. - Aumentar su capacidad para adquirir nuevos conocimientos en forma autónoma. - Utilizar con actitudes críticas modelos matemáticos de fenómenos vinculados con la física, biología y otras asignaturas de la carrera, planteados mediante sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, no lineales, ecuaciones en derivadas parciales y funciones de variable compleja. - Simular con la computadora y el software matemático apropiado problemas del campo de la física, biología, etc., que involucren ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, no lineales, ecuaciones en derivadas parciales y funciones de variable compleja. Interpretar los resultados de las simulaciones computacionales en el contexto del problema realIntroducción a la unidadEn matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es unarelación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,... y lasderivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parcialesse emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias quesuelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagacióndel sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, laelasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuacionesdiferenciales parciales. Participaron en su estudio los Dalambert, Fourier, matemáticos dela época napoleónica.
  2. 2. Sinopsis Devidadas Dominio y Limites y Derivadas Regla de Definición Rango Continuidad Parciales Cadena1.1. IntroducciónSe abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: laderivada de una función.En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán lasderivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivaciónpara después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidaddel cálculo integral, que se estudiarán a continuación.La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunqueactualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que seránfácilmente comprensibles.La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a lagráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó laprimera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichospuntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo queforman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntosen los que las tangentes fueran horizontales
  3. 3. 1.2. Derivadas de una función en un puntoSea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo ax0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la rectasecante (en rojo de la figura) que une los puntos( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de lafigura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).Si es el ángulo que forma la secante con eje de abscisas, y es el ángulo que determinala tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmentode la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja seacerca a la línea azul por lo que:tg ah tiende a tg a, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).Esto se expresa matemáticamente así:
  4. 4. 1.3. Cálculo de Derivadas
  5. 5. 1.4. Fórmulas de Derivadas
  6. 6. 1.5. Ejercicios de Derivadas – Nivel 1Derivada de una constante Tipo nº 1LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.Ejercicio nº 1)Sol:Ejercicio nº 2)Sol:Ejercicio nº 3)
  7. 7. Sol:Ejercicio nº 4)Sol:Ejercicio nº 5)Sol:Ejercicio nº 6)Sol:Ejercicio nº 7)Sol:Ejercicio nº 8)Sol:Ejercicio nº 9)Sol:Ejercicio nº 10)Sol:Derivada de una función potencial: Forma simple Tipo nº 2
  8. 8. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponentepor la variable elevado a una unidad menos.Ejercicio nº 11)Sol:Ejercicio nº 12)Sol:Ejercicio nº 13)Sol:Ejercicio nº 14)Sol:Ejercicio nº 15)Sol:Ejercicio nº 16)Sol:Ejercicio nº 17)Sol:Ejercicio nº 18)
  9. 9. Sol:Ejercicio nº 19)Sol:Ejercicio nº 20)Sol:<!--[endif]-->Ejercicio nº 21)Sol:Ejercicio nº 22)Sol:Ejercicio nº 23)Sol:Ejercicio nº 24)Sol:Ejercicio nº 25)
  10. 10. Sol:Ejercicio nº 26)Sol:Ejercicio nº 27)Sol:Ejercicio nº 28)Sol:Ejercicio nº 29)Sol:Derivada de una función logarítmica: Forma simpleEjercicio nº 30)Sol:
  11. 11. Derivada de una función exponencial con base e: Forma simpleEjercicio nº 31)Sol:Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simpleEjercicio nº 32)Sol:Ejercicio nº 33)Sol:Ejercicio nº 34)Sol:Ejercicio nº 35)Sol:Ejercicio nº 36)Sol:
  12. 12. Derivada de una función trigonométrica tipo senoEjercicio nº 37)Sol:Derivada de una función trigonométrica tipo cosenoEjercicio nº 38)Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simpleEjercicio nº 39)Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simpleEjercicio nº 41)Sol:Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple
  13. 13. Ejercicio nº 40)Sol:1.6. Ejercicios de Derivadas – Nivel 2 Regla nº 1LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de lafunciónDerivada de una función potencial: Forma simpleEjercicio nº 1)Sol:Ejercicio nº 2)Sol:Ejercicio nº 3)Sol:Ejercicio nº 4)Sol:Ejercicio nº 5)
  14. 14. Sol:Ejercicio nº 6)Sol:Ejercicio nº 7)Sol:Ejercicio nº 8)Sol: POTENCIASSigue recordando:yEjercicio nº 9)Sol:Ejercicio nº 10)Sol:
  15. 15. Ejercicio nº 11)Sol:Ejercicio nº 12)Sol:Ejercicio nº 13)Sol:Ejercicio nº 14)Sol:Ejercicio nº 15)Sol:Ejercicio nº 16)Sol:Ejercicio nº 18)Sol:Ejercicio nº 19)
  16. 16. Sol:Ejercicio nº 20)Sol:Ejercicio nº 21)Sol: Regla nº 2LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funcionesEjercicio nº 22)Solución:Ejercicio nº 23)Sol:Ejercicio nº 24)Sol:Ejercicio nº 25)Sol:Ejercicio nº 26)
  17. 17. Sol:Ejercicio nº 27)Sol:Ejercicio nº 28)Sol:Ejercicio nº 29)Sol: Regla nº 3LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por lasegunda función menos la primera función por la derivada de la segunda funciónEjercicio nº 30)Solución:Ejercicio nº 31)Solución:Ejercicio nº 32)
  18. 18. Solución:Ejercicio nº 33)Solución: Regla nº 4LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numeradorpor la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función deldenominador, dividido todo ello por el denominador al cuadradoEjercicio nº 34)Solución:Ejercicio nº 35)Solución:Ejercicio nº 36)Solución:
  19. 19. Ejercicio nº 37)Solución:Ejercicio nº 38)Solución:Derivada de una función logarítmica: Forma simpleEjercicio nº 39)Sol:1.7. Ejercicios de Derivadas – Nivel 3Ejercicio nº 1)Sol:Ejercicio nº 2)Sol:Ejercicio nº 3)
  20. 20. Sol:Ejercicio nº 4)Sol:Ejercicio nº 5)Sol:Ejercicio nº 6)Sol:Ejercicio nº 7)Sol: LOGARITMOSRecuerda de la ESO:El LOGARITMO DE “a” ELEVADO A “b” es igual al exponente b multiplicado por el logaritmo de aEjercicio nº 8)Sol:
  21. 21. Ejercicio nº 9)Sol:Ejercicio nº 10)Sol:Ejercicio nº 11)Sol:Ejercicio nº 13)Sol:Ejercicio nº 14)Sol:Ejercicio nº 15)Sol:Ejercicio nº 16)Sol:
  22. 22. Ejercicio nº 17)Sol:Ejercicio nº 18)Sol:Ejercicio nº 19)Sol:Ejercicio nº 20)Sol:Ejercicio nº 21)Sol: TRIGONOMETRÍARecuerda de la ESO:LA COTANGENTE DE UN ÁNGULO es igual al coseno de dicho ángulo dividido entre el seno del mismoEjercicio nº 22)
  23. 23. Sol:Ejercicio nº 23)Sol:Ejercicio nº 24)Sol:Ejercicio nº 25)Sol:Ejercicio nº 26)Sol:Ejercicio nº 27)Sol:Ejercicio nº 28)Sol:Ejercicio nº 29)Solución:Ejercicio nº 30)
  24. 24. Solución:Ejercicio nº 31)Solución:Ejercicio nº 32)Solución:Derivada de una función exponencial con base e: Forma compuesta Tipo nº 5LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dichafunción de x multiplicado por la derivada de dicha funciónEjercicio nº 35)Sol:Ejercicio nº 37)Sol:
  25. 25. 1.8. TareasUsando las reglas de derivación, calcular la derivada de las siguientes funciones: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. ll. o. n. q. p. r. rr.

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