1. MATRICES Y
DETERMINANTES
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA.
José Márquez CI: 24.830.449
Ingeniería Industrial.
Asignatura:ALGEBRA LINEAL Ev 2016-1
2. MATRICES: SE DENOMINA MATRIZ A TODO CONJUNTO DE NÚMEROS O
EXPRESIONES DISPUESTOS EN FORMA RECTANGULAR, FORMANDO
FILAS Y COLUMNAS.
Elemento de una matriz
Cada uno de los números de que consta la
matriz se denomina elemento.
Un elemento se distingue de otro por la
posición que ocupa, es decir, la fila y la
columna a la que pertenece.
Dimensión de una
matriz
El número de filas y columnas de una
matriz se denomina dimensión de una
matriz. Así, una matriz de
dimensión mxn es una matriz que
tiene m filas y n columnas.
De este modo, una matriz puede ser
de dimensión: 2x4 (2 filas y 4
columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas),
2x5 (2 filas y 5 columnas),...
Sí la matriz tiene el mismo número de
filas que de columnas, se dice que es
de orden: 2, 3, 4, ...
El conjunto de matrices de m filas y n
columnas se denota por Amxn o (aij).
Un elemento cualquiera de la misma,
que se encuentra en la fila i y en
la columna j, se denota por aij.
3. TIPOS DE MATRICES
Matriz Fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz Columna: La matriz columna tiene una sola columna.
Matriz Rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de
filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.
Matriz Traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta
de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas
por las columnas.
Matriz Nula: En una matriz nula todos los elementos
son ceros.
Matriz Cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo
número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal
principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j =
n+1, siendo n el orden de la matriz.
4. Matriz triangular superior: En una matriz triangular
superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior: En una matriz
triangular inferior los elementos
situados por encima de la diagonal
principal son ceros.
Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los
elementos que no están situados en la diagonal
principal son nulos.
Matriz Escalar: Una matriz escalar es una matriz
diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales.
Matriz identidad: Una matriz
identidad es una matriz diagonal en la
que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
6. Calcular la Matriz Inversa de:
. Construir una matriz del tipo M = (A | I)
Utilizar el método Gauss para
transformar la mitad izquierda, A, en
la matriz identidad, y la matriz que
resulte en el lado derecho será la
matriz inversa: A−1.
7. Determinantes: El determinante es una
herramienta matemática, se puede encontrar o
extraer un determinante únicamente de las
matrices que son cuadradas (tienen igual número
de filas y columnas), y es un numero real (en caso
de que la matriz sea real) consistente en la suma de
los productos elementales de la matriz.
El orden de un determinante viene dado por el
número de filas y columnas que tenga. Existen
diferentes métodos para resolverlos, que veremos a
continuación.
Determinante de Orden uno |a11| = a11
Determinante de orden dos:
=a 11 a 22 − a 12 a 21
Determinante de orden tres: Consideremos
una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El
determinante de A se define como sigue.
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 +
a13 a21 a32 − a13 a22 a31 −
a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.
Obsérvese que hay seis productos, cada
uno de ellos formado por tres
elementos de la matriz. Tres de los
productos aparecen con signo positivo
(conservan su signo) y tres con signo
negativo (cambian su signo).
8. Ejemplo:
3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −
− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés
que estableció una regla para calcular determinantes de
orden 3.
Los términos con signo + están formados por los
elementos de la diagonal principal y los de las
diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
Los términos con signo − están formados por los
elementos de la diagonal secundaria y los de las
diagonales paralelas con su correspondiente vértice
opuesto.
9. Ejemplo:
Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes
valen cero:
Tiene dos líneas proporcionales.
La tercera columna es igual a la
suma de las otras dos.
Sabiendo que |A|=5, calcula los
otros determinantes.
