Ecuaciones diferenciales

1. ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matem´aticas
MA-841: Ecuaciones Diferenciales Profesor: Victor Segura
Lectura #7
1 Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.4 Ecuaci´on Diferencial Lineal de Primer Orden
Una ecuaci´on diferencial de primer orden, se dice que es lineal en y, si tiene la forma, o
mediante ´algebra puede llevarse a la forma siguiente:
y + f(x)y = r(x) (1)
Observe que la caracter´ıstica de este tipo de ecuaciones es el hecho de que la variable y as´ı
como y est´an elevadas a la potencia 1, adem´as de que el coeficient de y es una funci´on de
la variable x.
Este tipo de ecuaciones diferenciales recibe adem´as el nombre de ecuaci´on diferencial lineal
homog´enea cuando el t´ermino r(x) es cero, y si r(x) es diferente de cero, recibe el nombre
de lineal no-homog´enea.
Son muchas las ´areas de ingenieria donde aparecen con frecuencia este tipo de ecuaciones
diferenciales, tal es el caso en circuitos el´ectricos con inductacias y resistencias, con capac-
itores y resistencias, aplicaciones de la segunda ley de Newton tales como sistema masa-
resorte, caida libre con fricci´on proporcional a la velocidad, entre otros.
1.4.1 Soluci´on de la Ecuaci´on Diferencial Lineal.
Para encontrar la soluci´on de ecuaciones difereciales lineales, vamos a arreglar la ecuacion
(1). En un principio, vamos a escribirla de la forma siguiente
(f(x)y − r(x)) dx + dy = 0 (2)
Observe que en (2) se presenta en la forma general de una ecuaci´on diferencial exacta, pero,
¿Ser´a en realidad exacta? o ¿Ser´a necesario algun factor de integraci´on?
Para resolver lo anterior, vamos a varificar la condici´on de exactitud y en caso de no serlo,
buscaremos alg´un factor de integraci´on.

2. Veamos si la ecuaci´on (2) es una ecuaci´on diferencial exacta,
M(x, y) = f(x)y − r(x) N(x, y) = 1
∂M(x, y)
∂y
= f(x)
∂N(x, y)
∂y
= 0
por tanto no es exacta.
Para buscar un factor de integraci´on, hacemos la resta
∂M(x, y)
∂y
−
∂N(x, y)
∂x
= f(x) − 0 = f(x)
por lo que dicha resta debemos dividirla entre N(x, y) para que el cociente sea exclusiva-
mente funci´on de x. As´ı,
∂M
∂y − ∂N
∂x
N
=
f(x) − 0
1
= f(x)
luego el factor de integraci´on es
F.I = e f(x)dx
(3)
Multiplicando (2) por el factor de integraci´on que encontramos en (3), tenemos
e f(x)dx
[f(x)y − r(x)]dx + e f(x)dx
dy = 0 (4)
que de acuerdo a lo expuesto en tema de factores integrantes, la ecuaci´on diferencial (4) es
exacta, donde ahora la nueva
M(x, y) = e f(x)dx
[f(x)y − r(x)] y N(x, y) = e f(x)dx
Para encontrar la funci´on U(x, y) cuyo diferencial total es la ecuaci´on diferencial anterior,
usamos
U(x, y) = N(x, y)dy + h(x)
U(x, y) = e f(x)dx
dy + h(x)
U(x, y) = y e f(x)dx
+ h(x) (5)
Con el fin de determinar h(x), aplicamos ahora ∂U(x,y)
∂x = M(x, y), y obtenemos
ye f(x)dx
f(x) + h (x) = e f(x)dx
f(x)y − e f(x)dx
r(x)
h (x) = −e f(x)dx
r(x)
h(x) = − e f(x)dx
r(x)dx (6)
y sustituyendo (6) en (5)
U(x, y) = ye f(x)dx
+ h(x)
U(x, y) = y e f(x) dx
− e f(x) dx
r(x) dx (7)
2

3. y la soluci´on de la ecuaci´on diferencial es U(x, y) = C
y e f(x) dx
− e f(x)dx
r(x) dx = C
despejando para y
y e f(x)dx
= C + e f(x)dx
r(x)dx
y = C e− f(x) dx
+ e− f(x) dx
e f(x)dx
r(x) dx (8)
Note que en esta soluci´on hay dos t´erminos importantes. Uno de ellos es el que contiene
la constante C arbitraria, mientras que el otro t´ermino es aqu´el que tiene r(x). Si r(x) es
igual a cero, la ecuaci´on diferencial lineal es homog´enea, por lo que (1) es
y + f(x)y = 0
y de (8), la soluci´on de esta ecuaci´on diferencial homog´enea es
yh = C e− f(x) dx
(9)
siendo entonces que cuando r(x) = 0, la soluci´on de (1)
yg n−h = yg h + yp n−h = C e− f(x)dx
+ e− f(x)dx
e f(x)dx
r(x)dx
donde hemos llamado
yg n−h = Soluci´on general de la ecuacion diferencial no-homog´enea
yg h = Soluci´on general de la ecuacion diferencial homog´enea
yp n−h = Soluci´on particular de la ecuacion diferencial no-homog´enea
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