UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA CÁLCULO III
 
Coordenadas en el espacio ( x, y, z) son las  coordenadas  de P respecto del sistema de referencia S. Vector de posición d...
Ejes coordenados. Planos coordenados <ul><li>Los tres vectores de la base B determinan con el origen O  tres ejes de coord...
Coordenadas de un vector libre cualquiera
Coordenadas del punto medio de un segmento
Elementos geométricos Los  objetos o elementos geométricos  elementales del espacio tridimensional son los  puntos , las  ...
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua Las  ecuaciones paramétricas  de la recta r que pasa por el punto P (x 0 ...
<ul><li>Encuentre las  ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas  de la recta r que pasa por los puntos P (2, -1, ...
Rectas en el espacio: ecuación implícita Como la tercera ecuación es combinación lineal  de la otras dos, suprimiendo una ...
Ecuaciones de los ejes coordenados
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a 1 , a 2 , a 3 ) (b 1 , b 2 , b 3 ) Por tanto la  ecuación de la recta  ser...
Planos: ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que ...
Planos: ecuaciones paramétricas
Notación: por lo general un plano se denota por   Ecuación cartesiana de un plano El plano  que contiene a el punto  A( x...
Vector normal a un plano Como A (x 1 ,y 1 ,z 1 )      y B (x 2 ,y 2 ,z 2 )       tenemos que:   a x 1  + by 1  + cz 1 ...
Ejercicio 1. Encuentre un plano que pase por el punto (2. -5, 1) y que tiene un vector normal n=  i-2j+3k a( x – x 1 ) + b...
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Rectas en el plano UTP

  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA CÁLCULO III
  2. 3. Coordenadas en el espacio ( x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S. Vector de posición de P Origen de coordenadas
  3. 4. Ejes coordenados. Planos coordenados <ul><li>Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. </li></ul><ul><li>Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia. </li></ul>
  4. 5. Coordenadas de un vector libre cualquiera
  5. 6. Coordenadas del punto medio de un segmento
  6. 7. Elementos geométricos Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos , las rectas , los planos , las curvas y las superficies. Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros. Dimensión Rectas y curvas (dimensión 1) Planos y superficies (dimensión 2)
  7. 8. Rectas en el espacio: ecuación vectorial
  8. 9. Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
  9. 10. Rectas en el espacio: ecuación en forma continua Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x 0 ,y 0 ,z 0 ) y tienen por vector director (v 1 ,v 2 ,v 3 ) son: Las ecuaciones simétricas de la recta r que pasa por P(x o , y o , z o ) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son: Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro
  10. 11. <ul><li>Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta r que pasa por los puntos P (2, -1, 6) y Q(3, 1, -2). </li></ul><ul><li>Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto (1, -2, 4) y es paralela al vector v=i + j - k </li></ul>
  11. 12. Rectas en el espacio: ecuación implícita Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos: Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita. En general : De aquí obtenemos tres ecuaciones:
  12. 13. Ecuaciones de los ejes coordenados
  13. 14. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a 1 , a 2 , a 3 ) (b 1 , b 2 , b 3 ) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a 1 , a 2 , a 3 ) + t (b 1 –a 1 , b 2 –a 2 , b 3 –a 3 ) La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal : r(A,  ) o por(B, )
  14. 15. Planos: ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa.   X está en  si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w      Por tanto x – a = s v + t w     Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s  R y t  R     Se observa además que X  rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0      
  15. 16. Planos: ecuaciones paramétricas
  16. 17. Notación: por lo general un plano se denota por  Ecuación cartesiana de un plano El plano que contiene a el punto A( x 1, y 1, z 1 ) y tiene un vector normal n= (a, b, c) , este plano consta de todos los puntos B ( x 2, y 2, z 2 ) para los cuales , puede representarse en forma canónica a( x 2 – x 1 ) + b(y 2 – y 1 ) + c(z 2 – z 1 ) = 0 ax +by +cz + d=0 forma general a( x – x 1 ) + b(y – y 1 ) + c(z – z 1 ) = 0 Si B ( x , y , z )
  17. 18. Vector normal a un plano Como A (x 1 ,y 1 ,z 1 )   y B (x 2 ,y 2 ,z 2 )   tenemos que: a x 1 + by 1 + cz 1 + d = 0 a x 2 + by 2 + cz 2 + d = 0 Restando término a término obtenemos: a( x 2 – x 1 ) + b(y 2 – y 1 ) + c(z 2 – z 1 ) = 0 (a, b, c) . (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) = 0
  18. 19. Ejercicio 1. Encuentre un plano que pase por el punto (2. -5, 1) y que tiene un vector normal n= i-2j+3k a( x – x 1 ) + b(y – y 1 ) + c(z – z 1 ) = 0 2. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los puntos (2, 1, 1), (0, 4, 1) y (-2, 1, 4)

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