Conicas

268 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
268
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Conicas

  1. 1. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0C Ó N IC ASA continuación s e pres entan algunos m étodos de cons trucción de curvas cónicas . S e aplican enlos cas os m ás com unes de repres entación de cir cunferencia en el S is tem a D iédrico y des ecciones planas de conos y cilindros de r evolución. E s tos tem as s e es tudian en la as ignaturaS is tem as de R epres entación 2 0 .E lip s e 1 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o s lo s ejes p r in cip ales AB y C D . E n prim er lugar s e traz a un arco con centro en O (centro de la elips e) y radio igual al s em ieje m ayor OB , el cual cor ta a la prolongación del eje m enor en el punto 1 . S eguidam ente, con centro en C y radio C1 s e dibuja un arco que corta al s egm ento B C en el punto 2 . L uego, s e determ ina la m ediatriz “m ” del s egm ento B 2 . E s ta m ediatriz corta al eje m ayor en 3 y a la dirección del eje m enor en 4 . P or s im etría s e obtienen los puntos 3 ’ y 4 ’ y las rectas “n”, “r” y “s ”. A continuación s e dibujan circunferencias con centro en 3 y 3 ’ de radio 3 B y los arcos de centro en 4 y 4 ’ y radio en 4 C. L as circunferencias y los arcos s e em palm an en los cortes corres pondientes con rectas “m ”, “n”, “r” y “s ”. 4 1 C 2 3 O 3 A B s r D n m 4 Otra form a de traz ar la curva es us ando el M étodo del P aralelogram o. S e traz an por los ex tr em os del eje m ayor líneas paralelas al eje m enor y vicevers a, lo que da com o res ultado el rectángulo K L M N . L uego s e divide el s egm ento OB en un núm ero n de partes iguales . T am bién s e divide en n partes iguales los s egm entos B K y B L . S eguidam ente s e traz an líneas rectas por el ex trem o C del eje m enor que pas en por cada una de las m arcas hechas s obre el s egm ento OB , y por el ex trem o D , líneas rectas que pas en por las m arcas hechas s obre el s egm ento B L . L os cortes entre am bos grupos de líneas definen puntos de la elips e, tal y com o s e m ues tra en la figura s iguiente. U niendo es os puntos con una plantilla de curvas s e obtiene la elips e pedida. E l res to s e hace por s im etría o repitiendo el procedim iento des crito. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  2. 2. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 N C K O A 0 1 2 3 4 5 B 4 3 2 1 D 0 M L E s te m étodo tiene dos des ventajas : la prim era es que la ex actitud en el traz ado de la curva depende de la habilidad del dibujante en el us o de la plantilla de cur vas ; la s egunda es la neces idad de es coger un núm ero n apropiado – no dem as iado pequeño – para lograr un nivel de precis ión aceptable. 2 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o el eje m ayo r AB y u n eje co n ju g ad o R S S e traz a la cir cunferencia de centro en O y radio OA (afín a la elips e). L uego, por uno de los ex trem os del eje conjugado, por ejem plo S , s e levanta una perpendicular al eje m ayor que corta a la circunferencia en 1 . S eguidam ente, s e une a 1 con O y s e traz a por S una paralela al eje m ayor AB que corta al s egm ento O1 en el punto 2 . L uego, s e dibuja una circunferencia de centro en O y radio O2 , que es afín a la elips e y cuyo radio es igual al s em ieje m enor; por lo tanto, s i s e traz a una perpendicular a AB por el punto O, los cortes entre és ta y la circunferencia de radio O2 s on los ex trem os C y D del eje m enor de la elips e pedida. F inalm ente, s e procede com o en el prim er ejem plo. 1 2 S O D A R P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  3. 3. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 3 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o u n p ar d e ejes co n ju g ad o s P Q y R S . E n es te cas o es conveniente aplicar el m étodo del paralelogram o ex pues to en el prim er ejem plo. K S Q 5 4 4 3 3 N O 2 2 1 0 1 0 L P R MP ar áb o la 1 . C o n s t r u ir u n a p ar áb o la co n o cid o s el vér t ice V, el eje “ e” y u n d iám et r o AB Cuando s e s ecciona un cono de revolución de m anera que s e pr oduz ca una parábola, s e determ inan elem entos claves de la curva: el vértice, el eje y dos puntos s obre ella ubicados en una s ecante perpendicular al eje, es decir, un diám etro (ver el M ódulo I de la Guía de Apuntes de S R 2 0 ). P or otra parte, en el cas o general de plano s eccionante (en pos ición accidental) s e tiene que el ángulo recto form ado entre el eje y el diám etro AB s e dis tors iona en las proyecciones diédricas . Atendiendo a es tas cons ideraciones s e pres enta un s encillo m étodo de traz ado de parábola, llam ado M étodo del P aralelogram o. S e com ienz a determ inando el punto m edio M de AB ; la recta que pas a por M y por el vértice V de la parábola es el eje de la curva. A continuación s e divide en un núm ero n de partes iguales los s egm entos VM , AM y B M (puntos num erados en la figura). L uego, s e traz an por los puntos A y B líneas rectas que pas en por las m arcas hechas en el s egm ento VM , y por las m ar cas hechas en los s egm entos AM y B M , líneas rectas paralelas al s egm ento VM . L os cortes entre las líneas traz adas , de acuerdo con la num eración que s e m ues tra en la figura, definen puntos s obre la curva. F inalm ente, con ayuda de una plantilla de curvas , s e unes los puntos res ultantes . P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  4. 4. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 6 V 5 4 3 2 A 1 0 1 2 0 3 4 5 M 5 4 3 2 1 0 BH ip ér b o la 1 . C o n s t r u ir u n a h ip ér b o la co n o cid as las as ín t o t as “ a” y “ b ” y u n pu n t o cu alqu ier a A s o b r e la cu r va. E l m étodo de cons trucción que a continuación s e pres enta, perm ite la cons trucción de las proyecciones diédricas de la hipérbola s in im portar la pos ición del plano que la contiene. S e traz a por A cualquier línea recta que cor te a las dos as íntotas en los puntos 1 y 2 . L a dis tancia que hay entr e A y la as íntota m ás cercana a es e punto (dis tancia A2 en la figura) s e copia a partir a partir del corte de la s ecante con la otra as íntota (1 en la figura). D es es ta m anera s e obtiene oto punto B de la curva. S i s e procede de m anera s im ilar s e obtienen tantos puntos com o s e quiera, que luego s e unen con la ayuda de una plantilla de curvas . L a otra ram a de la hipérbola puede traz ars e de form a análoga o por s im etría. 1 B a b A 2N ota: E l es tudiante debe com plem entar es ta inform ación us ando la bibliografía recom endada. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo

×