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Sus tri

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  1. 1. UNIDAD No. 2 Métodos de integración Integración por sustitución trigonométrica
  2. 2. INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA  Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones: a 2 x 2 , a 2 x 2 2 a o bien x es posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica. 2
  3. 3. CASO 1 Integrandos que contienen a 2 x 2  En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos a a2 x x2 x aSen( )
  4. 4. CASO 2 Integrandos que contienen a2 x2  En este caso utilizaremos la siguiente representación: a 2 x A partir de ella, definimos 2 x a x aTan( )
  5. 5. CASO 3 Integrandos que contienen x2 a2  En este caso utilizaremos la siguiente representación: A partir de ella, definimos x x a 2 a 2 x aSec( )
  6. 6. PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA  Para resolver una integral mediante el método de sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso: 1. Proponer la sustitución adecuada. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original. 2. 3. 4.
  7. 7. EJEMPLO: dx  Resolver: x 16 x2 Seguiremos paso a paso con el proceso indicado. Como el radical tiene la forma a 2 x 2 con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y: 1. El cambio indicado es: x 4Tan( ) Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:
  8. 8. SOLUCIÓN: 16 x 2 x 4Tan( ) dx 4Sec2 d 16 x 2 x 16 16Tan2 16(1 Tan2 ) 16Sec 2 4 2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos: dx 4Sec2 d 4Tan 4Sec x 16 x 2 4Sec
  9. 9. SOLUCIÓN… Simplificando: dx 4Sec2 d 4Tan 4Sec x 16 x 2 dx x 16 x 2 1 Sec d 4 Tan dx x 16 x 2 dx x 16 x 2 1 1 / Cos d 4 Sen / Cos 1 1 d 4 Sen 1 Csc d 4 Esta última representa la integral equivalente.
  10. 10. SOLUCIÓN… 3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como: Cscudu ln Cscu Cotu c Entonces: dx x 16 4. x2 1 Csc d 4 1 ln Csc 4 Cot c Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que: dx x 16 x 2 1 16 x ln 4 x 4 x c
  11. 11. PROBLEMAS:  Resolver: 1. x 2. 2 25 x 2 3. 5. dx 2 x 9 dx 4 x 2 1 x dx 4. dx (1 x 2 )3 / 2 x2 9 x 6. dx x2 4 dx

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