Factorizaci´n LU                                     o                           Alexis Vera P´rez                        ...
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Supongamos que una matriz An×n puede ser escrita como el producto deuna matriz triangular inferior L y una matriz triangul...
Utilizando la ecuaci´n (3)                    o                                                                     ...
Ejemplo 3 Para encontrar la factorizaci´n LU de la matriz                                       o                         ...
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Factorizacion lu

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  1. 1. Factorizaci´n LU o Alexis Vera P´rez e Instituto de Estad´stica & Sistemas Computarizados de Informaci´n ı o Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´o Piedras ı Agosto 2007 En el momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales de n ecua-ciones en n desconocidas, podemos recurrir a diferentes m´todos. Uno de los em´todos m´s utilizados lo es el m´todo de eliminaci´n de Gauss el cual e a e oconsiste en convertir la matriz aumentada (A|b), donde A es la matriz decoeficientes del sistema de ecuaciones, en la forma escalonada. Si U es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales sondiferentes de cero, entonces el sistema lineal U x = b puede ser resuelto sintener que transformar la matriz aumentada (U |b) a la forma escalonada. Lamatriz aumentada est´ dada por a   u11 u12 u13 . . . u1n b1     0 u22 u23 . . . u2n b2    0 0 u33 . . . u3n b3     . . . ... . .    . . . . . . . . . .   0 0 0 . . . unn bny la soluci´n se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´n en reversa): o o bn xn = unn bn−1 − un−1n xn xn−1 = un−1n−1 . . . j−1 bj − ujk xn k=n xj = j = n, n − 1, . . . , 2, 1 ujj 1
  2. 2. De forma parecida, si L es una matriz triangular inferior cuyos elementosdiagonales son diferentes de cero, entonces el sistema lineal Lx = b puedeser resuelto de la siguiente forma: La matriz aumentada tiene la forma   11 0 0 ... 0 b1     21 22 0 ... 0 b2    ... 0 b3   31 32 33   . . . .. . .    . . . . . . . . . . .   n1 n2 n3 ... nn bny la soluci´n se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´n hacia ade- o olante): b1 x1 = 11 b2 − 21 x1 x2 = 22 . . . j−1 bj − jk xk k=1 xj = j = 2, . . . , n jjEjemplo 1 Para resolver el sistema lineal 4x1 = −36 3x1 + 2x2 = 11 x1 + x2 + x3 = 16utilizamos sustituci´n hacia adelante y obtenemos que o −36 x1 = = −9 4 11 − 3x1 x2 = = 19 2 x3 = 16 − x2 − x1 = 6As´ que la soluci´n para el sistema de ecuaciones triangular inferior dado es ı o   −9   x =  19  6 2
  3. 3. Supongamos que una matriz An×n puede ser escrita como el producto deuna matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U , esto es, A = LUEntonces decimos que A tiene una factorizaci´n LU. Esta factorizaci´n o onos permite resolver el sistema lineal Ax = b. Sustituyendo LU por A,obtenemos (LU )x = b (1)esto implica que L(U x) = b (2)Si U x = z, entonces tenemos que Lz = b (3)Como L es una matriz triangular inferior, podemos resolver para z utilizandosustituci´n hacia adelante. Luego, como U es una matriz triangular superior, oresolvemos U x = z por sustituci´n en reversa. oEjemplo 2 Considere el sistema lineal de ecuaciones 2x1 + 3x2 + 4x3 = 6 4x1 + 5x2 + 10x3 = 16 4x1 + 8x2 + 2x3 = 2cuya matriz de coeficientes es   2 3 4 A =  4 5 10    4 8 2y su factorizaci´n LU es o     1 0 0 2 3 4 L =  2 1 0  y U =  0 −1 2      2 −2 1 0 0 −2 3
  4. 4. Utilizando la ecuaci´n (3) o      1 0 0 z1 6       2 1 0   z2  =  16  2 −2 1 z3 2Por sustituci´n hacia adelante obtenemos o z1 = 6 z2 = 16 − 2z1 = 4 z3 = 2 + 2z2 − 2z1 = −2As´ que ı   6   z= 4  −2Ahora resolvemos U x = z,      2 3 4 x1 6       0 −1 2   x2  =  4  0 0 −2 x3 −2y obtenemos x3 = 1 4 − 2x3 x2 = = −2 −1 6 − 4x3 − 3x2 x1 = =4 2Por lo tanto, la soluci´n para el sistema lineal dado es o   4   x =  −2  1El siguiente ejemplo ilustra como encontrar una1 factorizaci´n LU para una omatriz. 1 En general, una matriz puede tener m´s de una factorizaci´n LU. a o 4
  5. 5. Ejemplo 3 Para encontrar la factorizaci´n LU de la matriz o   2 3 0 1  4 5 3 3  A=     −2 −6 7 7  8 9 5 21Primero convertimos en cero todos los elementos debajo del primer elementodiagonal de A. Para esto, sumamos (-2) veces la primera fila de A a lasegunda fila de A. Luego sumamos la primera fila de A a la tercera fila deA, y por ultimo sumamos (-4) veces la primera fila de A a la cuarta fila de ´A, obteniendo la siguiente matriz   2 3 0 1  0 −1 3 1    U1 =    0 −3 7 8  0 −3 5 17Mientras tanto, comenzamos la construcci´n de una matriz triangular inferior,L1 , ocon 1’s en la diagonal principal. Para hacer esto, colocamos los opuestos delos multiplicadores utilizados en las operaciones de fila en la primera columnade L1 debajo del primer elemento diagonal de L1 y obtenemos la siguientematriz   1 0 0 0  2 1 0 0  L1 =     −1 ∗ 1 0  4 ∗ ∗ 1Ahora sumamos (-3) veces la segunda fila de U1 a la tercera fila de U1 ysumamos (-1) veces la tercera fila de U1 a la cuarta fila de U1 . Colocamoslos opuestos de los multiplicadores debajo del segundo elemento diagonal deL1 y obtenemos     2 3 0 1 1 0 0 0  0 −1 3 1   2 1 0 0      U2 =  y L2 =    0 0 −2 5   −1 3 1 0  0 0 −2 9 4 1 ∗ 1Ahora sumamos (-1) veces la tercera fila de U2 a la cuarta fila de U2 . Luegocolocamos el opuesto de este multiplicador debajo del tercer elemento diagonalde L2 y obtenemos las matrices 5
  6. 6.     2 3 0 1 1 0 0 0  0 −1 3 1   2 1 0 0  U3 =      y L3 =     0 0 −2 5   −1 3 1 0  0 0 0 4 4 1 1 1Las matrices U3 y L3 componen una fatorizaci´n LU para la matriz A. o 6

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