ESCUELA DE FÍSICA, UNAHFunciones Asociadas de Legendre<br />Asignatura: 			Mecánica Cúantica II<br />Autores: 			Leslie Ma...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Ecuación diferencial ordinaria de Legendre:<br />Esta ecuación  tienesoluciones en forma de se...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Escribamos el primer término como la suma de dos series para obtener:<br />Hagamos ahora      ...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />..y, en general cuando               :<br />De aquí se obtiene:<br />Al insertar estos valores...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Recordemos que si el parametro       es un entero no negativoentoncesesto es cierto:<br />Si  ...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />…y así sucesivamente.  En general cuando <br />A esta solución resultante de la ecuación(1) se...
Dada la ecuación de Shrödinger y la gran variedad de problemas que requieren el uso de coordenadas esféricas<br />Es neces...
Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado, así que su ...
POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Gráficos de los primeros cinco polinomios de Legendre en Wolfram Alpha:<br />
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La ecuación asociada de Legendre expresada en coordenadas esféricas:<br />
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />El objetivo es resolver esta ecuación, comencemos haciendo<br />                  de ...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />…<br />
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La ecuacion resulta:<br />Simplificando un poco:<br />Finalmente hagamos           :<...
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FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (3) y eliminando los términos comunes obt...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La expresión anterior (4) se vémucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante ...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Si            …<br />Pero ya que           …                                 que hace...
La ecuación anterior es una prueba de que:<br />Es solución de (4). Ahora recordamos que inicialmente queríamos la solució...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />También podemos escribir esta ecuación en coordenadas esféricas, sustituyendo 	      ...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Regresando a la Mecanica Cuántica, obtenemos así lassolucionespara la parte angular  ...
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Por ejemplo, al calcular                 obtenemos:<br />
FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Al realizarlasgráficaspara los polinomios de Legendre peroahora con argumento        ...
BIBLIOGRAFÍA<br />Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2001). Mathematical Methods for Physicists 5th Ed. San Diego, CA: Harcour...
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Funciones asociadas de legendre (final)

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Presentación de nivel medio sobre Polinomios y Funciones Asociadas de Legendre

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  • *Leslie Martínez, Juan Calderón, Karol Castro, Jonnathan López
  • Funciones asociadas de legendre (final)

    1. 1. ESCUELA DE FÍSICA, UNAHFunciones Asociadas de Legendre<br />Asignatura: Mecánica Cúantica II<br />Autores: Leslie Martinez<br /> Juan Calderón<br /> Karol Castro<br /> Jonnathan López<br />Fecha: 08 de marzo de 2011<br />
    2. 2. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Ecuación diferencial ordinaria de Legendre:<br />Esta ecuación tienesoluciones en forma de series de potencias de la forma:<br />Ahorasustituimos la función (2) en (1) (y sus derivadas) y hacemos:<br />
    3. 3. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Escribamos el primer término como la suma de dos series para obtener:<br />Hagamos ahora para obtener la mismapotencia : <br />Para y obtenemos:<br />
    4. 4. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />..y, en general cuando :<br />De aquí se obtiene:<br />Al insertar estos valores en (2) obtenemos dos solucionesindependientes, una par y unaimpar:<br />Fórmula de Recurrencia<br />
    5. 5. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Recordemos que si el parametro es un entero no negativoentoncesesto es cierto:<br />Si es par se reduce a un polinomio de grado<br />Si es impar se cumple lo mismo para <br />Estos polinomios multiplicados por una constante se les llama Polinomios de Legendre<br />Por comodidad se elige como referencia el coeficiente que acompaña al término de mayor exponente. Se le da este valor específico por razones de normalización.<br />
    6. 6. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />…y así sucesivamente. En general cuando <br />A esta solución resultante de la ecuación(1) se le llama Polinomio de Legendre de grado y se denota por <br />Por ejemplo, las primeras cuatro funciones son:<br />
    7. 7. Dada la ecuación de Shrödinger y la gran variedad de problemas que requieren el uso de coordenadas esféricas<br />Es necesario resolver la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo. Siguiendo con la separación de variables.<br />Al hacer la separación de variables <br />Relación con la mecánica cuántica<br />
    8. 8. Resolvemos sin problemas la parte azimutal y notamos que la parte radial depende mucho del potencial aplicado, así que su solución debe ser particular para cada uno.<br />En general, el término al cual estamos obligados a resolver es el término angular principal theta, cuya ecuación diferencial queda.<br />Esta ecuación no es más que una expresión angular de la ecuación (diferencial) asociada de Legendre.<br />Relación con la mecánica cuántica<br />
    9. 9. POLINOMIOS DE LEGENDRE<br />Gráficos de los primeros cinco polinomios de Legendre en Wolfram Alpha:<br />
    10. 10. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La ecuación asociada de Legendre expresada en coordenadas esféricas:<br />
    11. 11. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />El objetivo es resolver esta ecuación, comencemos haciendo<br /> de modo que:<br />
    12. 12. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />…<br />
    13. 13. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La ecuacion resulta:<br />Simplificando un poco:<br />Finalmente hagamos :<br />Y finalmente hemos obtenido la famosa ecuación diferencial asociada de Legendre.<br />
    14. 14. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Cuando esta se reduce a la conocida la EDO de Legendre (1), la cual acabamos de resolver:<br />Ahora intentaremos resolver esta ecuación más general, basándonos en la anterior, relativamente más sencilla:<br />Tratando de simplificar un poco las cosas, hacemos el cambio de variable<br />…de aquí:<br />
    15. 15. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />O bien podemos expresarlo de la siguiente manera:<br />
    16. 16. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (3) y eliminando los términos comunes obtenemos:<br />Simplificando un poco:<br />
    17. 17. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />La expresión anterior (4) se vémucho mas sencilla que (3) incluso se parece bastante a (1) tanto que se puede pensar que hay una relación directa entre ellas.<br />Buscamos una relación entre estas ecuaciones comenzamos derivando (1) varias veces, quizá y haciendoexplícito el hecho de que la solución de (1) son los polinomios de Legendre<br />Con la ayuda de la fórmula de Leibniz para diferenciar m veces los productos de funciones.<br />
    18. 18. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Si …<br />Pero ya que … que hace de esta un caso especial de (4)<br />Lo mismo sucede para m=2 , 3 , 4,…<br />Para genérico…..<br />
    19. 19. La ecuación anterior es una prueba de que:<br />Es solución de (4). Ahora recordamos que inicialmente queríamos la solución de (3) para la cual hicimos el cambio de variable:<br />Entonces la solución general es realmente:<br />Para la cual ha valido la pena introducir una nueva notación.<br />FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />
    20. 20. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />También podemos escribir esta ecuación en coordenadas esféricas, sustituyendo (o bien cualquier otro argumento, porsupuesto).<br />Así, la ecuación anterior queda:<br />…y ya que , notamos que siempre un polinomio en multiplicado por si es impar. <br />
    21. 21. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Regresando a la Mecanica Cuántica, obtenemos así lassolucionespara la parte angular de la ecuación de Schrodinger;en forma general:<br />…donde es la constante de normalización.<br />Veamos ahora estos polinomios y funciones en de forma gráfica…<br />
    22. 22. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Por ejemplo, al calcular obtenemos:<br />
    23. 23. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE<br />Al realizarlasgráficaspara los polinomios de Legendre peroahora con argumento obtenemos:<br />
    24. 24. BIBLIOGRAFÍA<br />Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2001). Mathematical Methods for Physicists 5th Ed. San Diego, CA: Harcourt.<br />Kreyszig, E. (2006). Advanced Engineering Mathematics 6th Ed. Columbus, Ohio: Wiley.<br />Griffiths, D. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice Hall.<br />Weisstein, Eric W. "Legendre Differential Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LegendreDifferentialEquation.html <br />Wolfram. (n.d.). Legendre Polynomial. Retrieved March 08, 2011, from Wolfram Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html<br />

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