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Potencial eléctrico Potencial y diferencia de potencial 1. Un campo eléctrico uniforme de valor 2 kN/C está en la dirección x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3 µC inicialmente en reposo en el origen. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V(4m)- V (0)? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial de la carga desde x =0 hasta x = 4 m? c) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando está en x = 4 m? Calcular el potencial V(x) si se toma V(x) como d) Cero para x =0 e) 4 kV para x = 0. F) cero para x = 1 m. a) ∆𝑽𝑽 = −𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒 = −𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ �−𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� = −𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑱𝑱 c) ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑱𝑱 d) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) − 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟎𝟎) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 e) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) − 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟎𝟎) 𝑽𝑽 = 𝑽𝑽(𝟎𝟎) − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 f) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) − 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 2. Un plano infinito de densidad de carga superficial σ=+2,5 µC/m2 se encuentra en el plano y z. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico expresada en newtons por culombio? ¿En voltios por metro? ¿Cuál es la dirección de E para valores positivos de x? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vb-Va cuando el punto b se encuentra en x = 20 cm y el punto a está en x = 50 cm? c) ¿Cuánto trabajo se necesita para que un agente externo desplace una carga testigo qo=+ 1,5 nC del punto a al b? a) 𝑬𝑬 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝑪𝑪 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑽𝑽 𝒎𝒎 El campo estará dirigido en el sentido positivo de las x para x>0. b) ∆𝑽𝑽 = −𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 = −𝟏𝟏. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓(𝟎𝟎.𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝟓𝟓) = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 c) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = −𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑱𝑱 3. Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas de modo que el campo eléctrico ente ellas es aproximadamente uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es 500 V y están separadas 10 cm. Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la placa negativa. a) ¿Cuál es al valor del campo eléctrico entre las placas? ¿Cuál placa está a potencial más elevado, la positiva o la negativa? b) Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando el electrón se mueve desde la placa negativa a la positiva. Expresar la respuesta en electrón-voltios y en julios. c) ¿Cuál es la variación de energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? ¿Cuál es su energía cinética cuando llega a la placa positiva?
a) En valores absolutos: ∆𝑽𝑽 = 𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 ;𝑬𝑬 = ∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽/𝒎𝒎 El potencial más elevado es el de la placa positiva. b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝒆𝒆 ∗ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑽𝑽 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆 c) ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = −𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 Potencial eléctrico y energía potencial 4. Explicar la diferencia entre potencial eléctrico y energía potencial electrostática. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos será el trabajo eléctrico necesario para mover la unidad de carga positiva entre los dos puntos. La energía potencial electrostática en un punto de un campo eléctrico es el trabajo necesario para mover una carga desde el punto de energía potencial cero hasta ese punto del campo eléctrico. 5. Una carga positiva se deja libre desde el reposo en un campo eléctrico. ¿Se moverá hacia una región de mayor o menor potencial eléctrico? En un campo eléctrico las cargas positivas se mueven en la dirección del campo eléctrico y hacia potenciales menores, para perder energía potencial. 6. Un núcleo de litio y una partícula α están en reposo. El núcleo de litio tiene una carga de + 3 e y una masa de 7 u; la partícula alfa tiene una carga de +2 e y una masa de 4 u. ¿Cuál de los métodos siguientes acelerará a ambos con la misma energía cinética? a) Acelerarlas a través de la misma diferencia de potencial eléctrico. b) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de 2/3V1. c) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de 7/4 V1. d) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de (2x7)/(3x4) V1. e) Ninguno de los anteriores. ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 Para la partícula α: ∆𝑬𝑬𝒄𝒄(𝜶𝜶) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 Para obtener el mismo incremento de energía cinética en le núcleo de litio: 𝟐𝟐 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 ∗ 𝑽𝑽 ; 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 Respuesta b. 7. Una carga positiva de valor 2 µC está en el origen. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto a 4 m del origen respecto al valor V=0 en el infinito? b) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente exterior para llevar la carga de 3 µC desde el infinito hasta r = 4 m admitiendo que se mantiene fija en el origen la carga de 2 µC?
c) ¿Cuánto trabajo deberá ser realizado por un agente exterior para llevar la cara de 2 µC desde el infinito hasta el origen si la carga de 3 µC se coloca primeramente en r = 4 m y luego se mantiene fija? a) 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓 𝑽𝑽(𝟒𝟒 𝒎𝒎) = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟒𝟒. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 c) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒∗𝑸𝑸 𝒓𝒓 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟒𝟒 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 8. La distancia entre los iones K+ y 𝑪𝑪𝑪𝑪− en el KCl es 2.80 10-10 m. Calcular la energía necesaria para separar los dos iones considerando que se trata de cargas puntuales inicialmente en reposo. Expresar la respuesta en eV. 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟎𝟎 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏∗𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏� 𝟐𝟐 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝟖𝟖.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝑽𝑽 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 9. Dos masas idénticas m que poseen cargas iguales q están separadas por una distancia d. Demostrar que, si ambas se liberan simultáneamente, sus velocidades, cuando están separadas por una gran distancia, son 𝒗𝒗/√𝟐𝟐 , en donde v es la velocidad que una de las masas alcanzaría a una gran distancia de la otra, si la primera se dejara en libertad y la segunda se mantuviera fija. En el caso de una fija y la otra salir en movimiento: −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝒌𝒌 𝒎𝒎 ∗ 𝒒𝒒 En el caso de las dos en movimiento: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅 ; 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 ∗ 𝒒𝒒 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒌𝒌 𝒎𝒎 ∗ 𝒒𝒒 = 𝒗𝒗 √𝟐𝟐 10. En un acelerador de Van de Graaff se liberan los protones desde el reposo a un potencial de 5 MV y se desplazan a través de una región sometida al vacío con potencial cero. a) Calcular la velocidad de los protones de 5 MeV. b) Si la variación de potencial transcurre uniformemente a lo largo de una distancia de 2,0 m, calcular el campo eléctrico acelerador. a) 𝑬𝑬𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒑𝒑 𝒎𝒎 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒑𝒑 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 ∗ 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒗𝒗 = 𝟑𝟑. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝒔𝒔 b) 𝑬𝑬 = ∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝑽𝑽 𝟐𝟐.𝟎𝟎 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑵𝑵/𝑪𝑪 11. Un cañón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de televisión. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de potencial de 30 000 V. ¿Cuál es la energía de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada a) En electrón-voltios.
b) En julios. c) ¿Cuál es la velocidad de los electrones al chocar con la pantalla del tubo de televisión? a) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝒆𝒆 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑽 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒆𝒆𝒆𝒆 b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟒. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 c) 𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟒𝟒.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒔𝒔 12. a) Deducir una expresión para la distancia de máxima aproximación de una partícula α con la energía cinética E a un núcleo masivo de carga Ze. Suponer que el núcleo está fijo en el espacio. b) Determinar la distancia de máxima aproximación de una partícula a un núcleo de oro; la carga del núcleo de oro es de 79 e. Despreciar el retroceso del núcleo de oro. a) −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐∗𝒒𝒒𝒑𝒑∗𝒁𝒁∗𝒒𝒒𝒑𝒑 𝒅𝒅 = 𝑬𝑬 ; 𝒅𝒅 = 𝒌𝒌∗𝟐𝟐∗𝒁𝒁∗𝒒𝒒𝒑𝒑 𝟐𝟐 𝑬𝑬 b) 𝒅𝒅 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟐𝟐∗𝟕𝟕𝟕𝟕∗(𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 𝑬𝑬 = 𝟑𝟑.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑬𝑬 Sistemas de cargas puntuales 13. Cuatro cargas puntuales de 2 µC se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 4 m de lado. Calcular el potencial en el centro de un cuadrado (tomando como potencial cero el correspondiente al infinito) si a) Todas las cargas positivas. b) Tres de las cargas son positivas y la otra negativa. c) Dos son positivas y las otras dos negativas. a) 𝒓𝒓 = 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = �𝟒𝟒𝟐𝟐+𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 c) V=0 V 14. Tres cargas puntuales están en el eje x: q1 en el origen, q2 en x=3 m y q3 en x= 6 m. Calcular el potencial en el punto x=0, y = 3 m si a) 𝒒𝒒𝟏𝟏 = 𝒒𝒒𝟐𝟐 = 𝒒𝒒𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 𝝁𝝁𝝁𝝁. b) 𝒒𝒒𝟏𝟏 = 𝒒𝒒𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝝁𝝁𝝁𝝁 𝒚𝒚 𝒒𝒒𝟑𝟑 = −𝟐𝟐 𝝁𝝁𝝁𝝁. c) 𝒒𝒒𝟏𝟏 = 𝒒𝒒𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 𝝁𝝁𝝁𝝁 𝒚𝒚 𝒒𝒒𝟐𝟐 = −𝟐𝟐 𝝁𝝁𝝁𝝁. a) 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = �𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟑𝟑 = �𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟔𝟔.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟔𝟔.𝟕𝟕𝟕𝟕 � 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟔𝟔.𝟕𝟕𝟕𝟕 � 𝑽𝑽 = 𝟕𝟕. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 c) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟔𝟔.𝟕𝟕𝟕𝟕 �
𝑽𝑽 = 𝟒𝟒. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 15. Los puntos A, B y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de lado. Cargas iguales positivas de 2 µC están a A y B. a) ¿Cuál es el potencial en el punto C? b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 µC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas? c) Responder a las partes (a) y (b) si la carga situada en B se sustituye por una carga de – 2 µC. a) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 � = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 c) V=0 V 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟎𝟎 𝑱𝑱 16. Una esfera de radio 60 cm tiene su centro en el origen. A lo largo del ecuador de esta esfera se sitúan cargas iguales de 3 µC a intervalos de 60º. a) ¿Cuál es el potencial en el origen? b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en su polo norte? a) Tenemos 6 cargas en el ecuador. 𝑽𝑽 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟎𝟎.𝟔𝟔 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑽𝑽 b) 𝒓𝒓 = �𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 = �𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑽𝑽 17. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero. Determinar la relación q/q’. 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒂𝒂 𝟑𝟑 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒′ 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 𝟑𝟑 ; 𝟎𝟎 = 𝒒𝒒 + 𝒒𝒒′ 𝟐𝟐 ; 𝒒𝒒 𝒒𝒒′ = −𝟏𝟏/𝟐𝟐 18. Dos cargas puntuales positivas + q están en el eje en x= +a y x = -a. a) Hallar el potencial V(x) como una función de x para todos los puntos situados Enel eje x. b) Representar V(x) en función de x. c) ¿Cuál es el significado del mínimo de esta curva? a) Las distancias a cada carga se pueden escribir: 𝒓𝒓 = |𝒙𝒙 − 𝒂𝒂| 𝒚𝒚 𝒓𝒓 = |𝒙𝒙 + 𝒂𝒂| 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| + 𝟏𝟏 |𝒙𝒙+𝒂𝒂| � b) Haciendo k*q=1 y a=1 obtenemos:
c) El mínimo de la curva: 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 ;𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 19. Se sitúa una carga puntual de + 3 e en el origen y una segunda carga de – 2 e en el eje x a la distancia x = a. a) Dibujar la función potencial V(x) en función de x para todo valor de x. b) ¿Para qué punto o puntos es V(x) igual a cero? c) ¿Cuál es el trabajo que hay que realizar para llevar una tercera carga + e al punto x=1/2 a sobre el eje x? a) Las distancias las podemos poner: 𝒓𝒓𝟏𝟏 = |𝒙𝒙| 𝒚𝒚 𝒓𝒓𝟐𝟐 = |𝒙𝒙 − 𝒂𝒂| 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 ∗ � 𝟑𝟑 |𝒙𝒙| − 𝟐𝟐 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| � 𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 = 𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 b) 𝟑𝟑 |𝒙𝒙| − 𝟐𝟐 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| = 𝟎𝟎 Para la parte positiva del eje x: 𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝒂𝒂 ;𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒂𝒂 Para la parte entre 0 y a del eje x: 𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 ;𝒙𝒙 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔 ∗ 𝒂𝒂 c) 𝑾𝑾 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝒆𝒆 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 ∗ � 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒂𝒂−𝒂𝒂� � − 𝟎𝟎� 𝑾𝑾 = �𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝟐𝟐 ∗ � 𝟔𝟔 𝒂𝒂 − 𝟒𝟒 𝒂𝒂 �� = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝒆𝒆𝟐𝟐 𝒂𝒂 Determinación del campo eléctrico a partir del potencial 20. Si el potencial eléctrico es constante en toda una región del espacio, ¿Qué podemos decir del campo eléctrico en esa región? Al ser E=-grad V; el campo será 0.
21. ¿Si E es conocido en solo un punto, puede determinarse el valor de V en ese punto? No, hace falta saber la variación de E. 22. ¿En qué dirección podemos movernos respecto a un campo eléctrico, de modo que el potencial eléctrico no varie? Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales, por tanto, hemos de movernos perpendicularmente al campo. 23. Un campo eléctrico uniforme tiene el sentido de las x negativas. Los puntos a y b están en el eje x, a en x = 2 m y b en x = 6 m. a) ¿Es positiva o negativa la diferencia de potencial Vb-Va? b) Si el valor de Vb-Va es 105 V, ¿Cuál es el valor del campo eléctrico E? a) 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 ; por tanto, la diferencia de potencial es positiva en el sentido del campo. 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽𝒂𝒂 > 𝟎𝟎. b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑵𝑵/𝑪𝑪 24. El potencial debido a una distribución particular de carga se mide en diversos puntos a lo largo del eje x como se muestra en la figura. ¿Para qué valor (o valores) en el intervalo 0<x<10 m es Ex=0? El campo será cero en el mínimo de la curva. Alrededor de x = 4,5 m. 25. Una carga puntual q = 3,00 µC se encuentra en el origen. a) Determinar el potencial V sobre el eje x en x = 3,00 m y en x = 3,01 m. b) ¿Crece o decrece el potencial cuando x crece? Calcular −∆𝑽𝑽/∆𝒙𝒙, siendo ΔV la variación de potencial desde x 0 3,00 m a 3,01 m y Δx = 0,01 m. c) Determinar el campo eléctrico en x = 3,00 m y comparar su valor con el de −∆𝑽𝑽/∆𝒙𝒙 hallado en la parte (b). d) Determinar el potencial (con tres cifras significativas) en el punto x=3,00 m, y = 0.01 m y comparar el resultado con el potencial sobre el eje x en x =3,00 m. analizar el significado de este resultado. a) 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) El potencial decrece al crecer x. − ∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = − 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑−𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽/𝒎𝒎
c) 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑬𝑬(𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 Los resultados son coincidentes. d) 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 �𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐+𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 El resultado es prácticamente el mismo. 26. Una carga de +3,00 µC está en el origen y otra de -3,00 µC está en el eje x en x = 6,00 m. a) Hallar el potencial en el eje x en el punto x = 3,00 m. b) Hallar el campo eléctrico en el eje x en x= 3,00 m. c) Hallar el potencial en el eje x en x = 3,01 m y calcular −∆𝑽𝑽/∆𝒙𝒙, siendo ΔV la variación potencial desde x = 3,00 m hasta x = 3,01 m y Δx = 0,01 m. Comparar el resultado con la respuesta de la parte (b). a) 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 b) Para un punto x entre las cargas, los dos campos se suman, están dirigidos en el sentido positivos del eje x: 𝑬𝑬(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑬𝑬(𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 c) 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟏𝟏) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟗𝟗 = −𝟓𝟓𝟓𝟓.𝟗𝟗 𝑽𝑽 − ∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = − −𝟓𝟓𝟓𝟓.𝟗𝟗−𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽/𝒎𝒎 El resultado coincide con el valor del campo. 27. Un campo eléctrico uniforme se encuentra en la dirección x negativa. Los puntos a y b se encuentran sobre el eje x, a en x = 2 m y b en x = 6 m. a) ¿Es positiva o negativa la diferencia de potencial Vb-Va? b) Si el valor de Vb-Va es 105 V , ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? Es el mismo problema que el 23. 28. En la expresión siguiente, V está en voltios y x en metros. Hallar Ex cuando a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒙𝒙 b) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒙𝒙 c) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒙𝒙 d) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 , independiente de x. a) 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 b) 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 c) 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 d) E=0
29. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado por 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝑪𝑪𝟏𝟏 + 𝑪𝑪𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 , en donde V se expresa en voltios, x en metros y C1 y C2 son constantes positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E? 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 Para x>0 el campo está dirigido Enel sentido negativo del eje x y para x<0 en el sentido positivo. 30. Una carga q está en x = 0 y otra carga – 3 q está en x = 1 m. a) Determinar V(x) para un punto cualquiera del eje x. b) Determinar los puntos sobre el eje x en los cuales el potencial es nulo. c) ¿Cuál es el campo eléctrico en estos puntos? d) Dibujar V(x) en función de x. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 |𝒙𝒙| − 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝒒𝒒 |𝟏𝟏−𝒙𝒙| b) 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 |𝒙𝒙| − 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝒒𝒒 |𝟏𝟏−𝒙𝒙| = 𝟎𝟎 𝟏𝟏 |𝒙𝒙| = 𝟑𝟑 |𝟏𝟏−𝒙𝒙| Para x<0: 𝟏𝟏 −𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 −(𝒙𝒙−𝟏𝟏) ; 𝒙𝒙 = −𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏: 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 (𝟏𝟏−𝒙𝒙) ; 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 c) 𝑬𝑬(−𝟎𝟎. 𝟓𝟓) = − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝒒𝒒 (𝟏𝟏.𝟓𝟓)𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � −𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟐𝟐 � = −𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝑬𝑬(𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝒒𝒒 (𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕)𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 d) Para k*q=1 y a=1 31. Un campo eléctrico viene dado por 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑 kN/C. Determinar la diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x = 1 m y x = 2 m. 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅
∆𝑽𝑽 = − ∫ 𝑬𝑬 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟑𝟑 𝟏𝟏 == −∫ 𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝟏𝟏 = −𝟐𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ � 𝒙𝒙𝟒𝟒 𝟒𝟒 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∆𝑽𝑽 = − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟒� = −𝟕𝟕.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 32. Tres cargas iguales se encuentran sobre el plano xy. Dos de ellas están sobre el eje y en y = -a e y = + a, y la tercera está sobre el eje x en x =a. a) ¿Cuál es el potencial V(x) debido a estas cargas en un punto sobre el eje x? b) Determinar Ex a lo largo del eje x a partir de la función potencial V(x). Comprobar las respuestas de (a) y (b) en el origen y en x =∞ para ver si se obtienen los resultados esperados. a) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 |𝒂𝒂−𝒙𝒙| � = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 |𝒂𝒂−𝒙𝒙| � b) 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 En x > a: 𝑬𝑬 = − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙−𝒂𝒂 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 (𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐� Para x < a: 𝑬𝑬 = − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒂𝒂−𝒙𝒙 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 (𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐� En el origen: 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐 𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝒂𝒂 � = 𝟑𝟑∗𝒌𝒌∗𝒒𝒒 𝒂𝒂 𝑽𝑽(∞) = 𝟎𝟎 𝑬𝑬(𝟎𝟎) = 𝒌𝒌∗𝒒𝒒 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑬𝑬(∞) = 𝟎𝟎 𝑵𝑵 Relación general entre E y V (opcional) 33. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por 𝑽𝑽 = �𝟐𝟐 𝑽𝑽 𝒎𝒎𝟐𝟐 � 𝒙𝒙𝟐𝟐 + � 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 � 𝒚𝒚𝒚𝒚. Determinar el campo eléctrico en el punto x = 2 m, y = 1 m, z = 2 m. 𝑬𝑬 ��⃗ = −𝟒𝟒 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝒛𝒛 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ − 𝒚𝒚 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 𝑬𝑬(𝟐𝟐, 𝟏𝟏,𝟐𝟐) = −𝟖𝟖 ∗ 𝒊𝒊 ⃗ − 𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 � �⃗ − 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 ⃗ 34. Un potencial viene dado por 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒛𝒛) = 𝒌𝒌𝒌𝒌 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐 a) Determinar los componentes Ex , Ey , Ez del campo eléctrico por derivación de esta función potencial. b) ¿Qué simple distribución de carga puede ser responsable de este potencial? a) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 � 𝒌𝒌𝒌𝒌 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒙𝒙 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒚𝒚 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 � 𝒌𝒌𝒌𝒌 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒚𝒚 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒛𝒛 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 � 𝒌𝒌𝒌𝒌 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒛𝒛 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒛𝒛𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 b) Una carga Q situada a una distancia a del origen de coordenadas en el eje x.
Cálculo de V para distribuciones continuas de carga 35. En el cálculo de V para un anillo de carga, ¿es importante que la carga Q se distribuya uniformemente alrededor del anillo? Si no fuera uniforme, ¿serían diferentes los valores de V o Ex? Si la carga no está distribuida uniformemente los resultados obtenidos para el campo y el potencial serían diferentes. 36. a) Dibujar V(x) en función de x para el anillo uniformemente cargado en el plano y z dado en la ecuación 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌𝒌𝒌 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 . b) ¿En qué punto es máximo V(x)? c) ¿Cuánto vale Ex en este punto? a) Considerando kq=1 y a=1. b) El potencial es máximo en el origen. c) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, al ser un máximo. 37. Una carga de q = + 10-8 C está distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de 12 cm de radio. a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico justo en el exterior de la corteza y justo en el interior de la misma? b) ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico justo en el exterior y justo en el interior de la corteza? c) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el centro de la corteza? ¿Cuál es el campo eléctrico en dicho punto? a) Para justo exterior, aplicando Gauss: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝝐𝝐𝒐𝒐 ; 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 En el interior, aplicando Gauss, la carga dentro seria 0, el campo es nulo. b) En el exterior: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝑽𝑽 En el interior el campo es el mismo que en la superficie. c) Enel centro el potencial será de 749 V, el campo es nulo en el interior. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -20 -10 0 10 20 30 40 50 V
38. Un disco de radio 6,25 cm posee una densidad de carga superficial uniforme σ=7,5 nC/m2 . Determinar el potencial sobre el eje del disco a una distancia a) 0.5 cm. b) 3,0 cm. c) 6.25 cm del disco. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒂𝒂∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∫ 𝒂𝒂∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽(𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎� 𝑽𝑽(𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽(𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎� 𝑽𝑽(𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑽𝑽 c) 𝑽𝑽(𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎� 𝑽𝑽(𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑽𝑽 39. Una carga lineal infinita de densidad lineal λ= 1,5 µC/m se encuentra sobre el eje z. Suponiendo que V = 0 a 2,5 m, determinar el potencial a distancias de a) 2,0 m. b) 4,0 m. c) 12 m de la línea. a) El campo debido a una carga lineal infinita es: 𝑬𝑬𝒚𝒚 = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝝀𝝀 𝒚𝒚 El potencial debido a una carga lineal infinita es: ∆𝑽𝑽 = − ∫ 𝒚𝒚 𝒚𝒚𝒐𝒐 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝝀𝝀 𝒚𝒚 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ; 𝑽𝑽 = 𝑽𝑽𝒐𝒐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒚𝒚) El potencial es cero en y = 2,5 m: 𝟎𝟎 = 𝑽𝑽𝒐𝒐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟐𝟐. 𝟓𝟓); 𝑽𝑽𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟐𝟐.𝟓𝟓) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝒚𝒚 � 𝑽𝑽(𝟐𝟐.𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟐𝟐 � = 𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽(𝟒𝟒.𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟒𝟒 � = −𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 c) 𝑽𝑽(𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟏𝟏 � = −𝟒𝟒𝟒𝟒.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽
40. Deducir la ecuación 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐�(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 )𝟏𝟏/𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� (disco uniformemente cargado) integrando el campo eléctrico Ex a lo largo del eje del disco 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � ∆𝑽𝑽 = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ∫ ��𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �� 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒐𝒐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒙𝒙 = ∞, 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. 𝑽𝑽 = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ∫ ��𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �� 𝒙𝒙 ∞ ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑽𝑽 = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝒙𝒙 − (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐� = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙)� 41. Una barra de longitud L posee una carga Q uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. La barra se encuentra alineada sobre el eje y con su centro en el origen. a) Determinar el potencial en función de la posición a lo largo del eje x. b) Demostrar que el resultado obtenido en (a) se reduce a 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒙𝒙 para x>>L. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒚𝒚�� −𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑳𝑳/𝟐𝟐 −𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐/𝟒𝟒+𝑳𝑳/𝟐𝟐� �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐/𝟒𝟒−𝑳𝑳/𝟐𝟐 � b) 𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐/𝟒𝟒+𝑳𝑳/𝟐𝟐� �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐/𝟒𝟒−𝑳𝑳/𝟐𝟐 = 𝒍𝒍𝒍𝒍(��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � − 𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � = 𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝟏𝟏 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � − 𝒍𝒍𝒍𝒍 ��𝟏𝟏 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � Desarrollando en serie: 𝟏𝟏 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟖𝟖 ∗ � 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 + ⋯ ≈ 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 ≫ 𝑳𝑳 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � − 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 �� Desarrollando 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � = 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � = − 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ � 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − �− 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐��
𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒙𝒙 42. Un disco de radio R posee una distribución de carga superficial dada por 𝝈𝝈 = 𝝈𝝈𝒐𝒐𝑹𝑹/𝒓𝒓. a) Determinar la carga total sobre el disco. b) Determinar el potencial sobre el eje del disco a una distancia x de su centro. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝝈𝝈 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑸𝑸 = ∫ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝑹𝑹∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒓𝒓 + �𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟎𝟎 𝑹𝑹 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝑹𝑹+�𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙 � 43. Repetir el problema 42 si la densidad de carga superficial es 𝝈𝝈 = 𝝈𝝈𝒐𝒐 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐, en donde a es una constante. a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ∗ 𝝈𝝈 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑸𝑸 = ∫ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 𝑸𝑸 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟒𝟒 = 𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ( 𝑹𝑹𝟐𝟐−𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ �𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟑𝟑 ) 44. Una barra de longitud L posee una carga Q uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. La barra se encuentra alineada sobre el eje y con su extremo en el origen. Determinar el potencial en función de la posición a lo largo del eje x. 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ �𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒚𝒚 + �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐)� 𝒐𝒐 𝑳𝑳
𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ (𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝑳𝑳 + �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 − 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝟎𝟎 + 𝒙𝒙)� = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝑳𝑳+�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙 � 45. Un disco de radio R posee una densidad de carga + σo para r<a y una densidad de carga igual pero opuesta, -σo para a<r<R. La carga total existente sobre el disco es cero. a) Determinar el potencial a una distancia x a lo largo del eje del disco. b) Obtener una expresión aproximada para V(x) cuando x >>R. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽+ + 𝑽𝑽− 𝑸𝑸+ = 𝑸𝑸− ; 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ �𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐� ;𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 ;𝒂𝒂 = 𝑹𝑹 √𝟐𝟐 𝑽𝑽+ = 𝒌𝒌 ∗ � 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ � 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 El integral cumple: ∫ 𝒖𝒖𝒏𝒏 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒖𝒖 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒚𝒚 𝒏𝒏 = −𝟏𝟏/𝟐𝟐 ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 = � (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 𝟏𝟏/𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽+ = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽− = 𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 = −𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 𝑽𝑽− = −𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝒂𝒂 𝑹𝑹 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝑽𝑽− = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �
𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐� b) (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝒙𝒙𝟒𝟒� − 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒�� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝝈𝝈𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟑𝟑 46. Utilizar el resultado obtenido en el problema 45 (a) para calcular el campo eléctrico a lo largo del eje del disco. A continuación, calcular el campo eléctrico por integración directa mediante la ley de Coulomb. 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐�� 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � Para calcular el campo usando la ley de Coulomb: El campo de un anillo de radio r es: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒙𝒙 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 Considerando una suma de anillos: 𝑬𝑬+ = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝒐𝒐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟎𝟎 Integral de la forma ∫ 𝒖𝒖𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 con u = 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 y n= 3/2. La integral dará: 𝑬𝑬+ = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐� − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 𝒂𝒂 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � 𝑬𝑬+ = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝟏𝟏 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬− = −𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 (𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 = −𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � �𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐� − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝒂𝒂 𝑹𝑹 𝑬𝑬− = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝟏𝟏 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬− = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �
𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝒐𝒐 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� 47. Una barra de longitud L posee una carga Q distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. La barra yace a lo largo del eje x con su centro en el origen. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en función de la posición a lo largo del eje x para x > L/2? b) Demostrar que para x >> L/2 el resultado se reduce al debido a una carga puntual Q. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙−𝒖𝒖 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙−𝒖𝒖 𝑳𝑳 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ [− 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙 − 𝒖𝒖)]−𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = − 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ (𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝒙𝒙 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � − 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝒙𝒙 + 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � b) 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � = 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝟏𝟏+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 𝟏𝟏− 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � = 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 + 𝟐𝟐∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟏𝟏− 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � = 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝒙𝒙 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐− 𝑳𝑳 𝒙𝒙 � ≈ 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝒙𝒙 � Desarrollando: 𝒍𝒍𝒍𝒍 �𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝒙𝒙 � ≈ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝒙𝒙− 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � ≈ 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒙𝒙 48. Una corteza conductora esférica de radio interior b y radio exterior c rodea concéntricamente una pequeña esfera metálica de radio a<b. La esfera metálica tiene una carga positiva Q. La carga total sobre la corteza esférica conductora es – Q. a) ¿Cuál es el potencial de la corteza esférica? b) ¿Cuál es el potencial de la esfera metálica? a) Calculamos el campo en el punto r aplicando Gauss:
𝑬𝑬 ∗ 𝑨𝑨 = 𝒒𝒒𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝝐𝝐𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 ; 𝑬𝑬 = 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒓𝒓 = − ∫ 𝑬𝑬 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 b) 𝑽𝑽𝒂𝒂 = 𝑽𝑽𝑸𝑸 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝑽𝑽𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = −𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒃𝒃 𝑽𝑽𝒂𝒂 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒃𝒃 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ � 𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 𝒃𝒃 � 49. Dos conductores muy largos que forman una corteza cilíndrica coaxial poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga + q; la exterior tiene un radio b y carga -q. La longitud de cada corteza cilíndrica es L. Hallar la diferencia de potencial entre las dos capas de la corteza. Calculamos el campo en el interior aplicando Gauss: 𝑬𝑬 ∗ 𝑨𝑨 = 𝒒𝒒𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 𝜺𝜺𝒐𝒐 ; 𝑬𝑬 = 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝑳𝑳∗𝜺𝜺𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽𝒂𝒂 = −∫ 𝑬𝑬 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃 𝒂𝒂 = −∫ 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝑳𝑳∗𝜺𝜺𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃 𝒂𝒂 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽𝒂𝒂 = − 𝒒𝒒 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑳𝑳∗𝜺𝜺𝟎𝟎 ∗ ∫ 𝟏𝟏 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃 𝒂𝒂 = − 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝒒𝒒 𝑳𝑳 ∗ 𝒍𝒍𝒍𝒍 � 𝒃𝒃 𝒂𝒂 � 50. Una esfera uniformemente cargada tiene un potencial de 450 V en su superficie. A una distancia radial de 20 cm de esta superficie es potencial es 150 V. ¿Cuál es el radio de la esfera y cuál es la carga de ésta? 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹+𝟎𝟎.𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑹𝑹+𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑹𝑹 ; 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹 + 𝟑𝟑𝟑𝟑;𝑹𝑹 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝑸𝑸 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝑹𝑹 𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟏𝟏 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟓𝟓.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑪𝑪 51. Consideramos dos láminas paralelas infinitas de carga, una en el plano y z y la otra a una distancia x = a. a) Hallar el potencial en todos los puntos del espacio, con V = 0 en x =0, si las láminas llevan una densidad de carga positiva + σ.
b) Hallar lo mismo si las densidades de carga son iguales y opuestas, siendo la lámina del plano y z la que tiene la carga positiva. a) El campo creado por un plano cargado es: 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰 = − 𝝈𝝈𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 − 𝝈𝝈𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝈𝝈𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 − 𝝈𝝈𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝈𝝈𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 + 𝝈𝝈𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 Aplicamos: ∆𝑽𝑽 = − ∫ 𝑬𝑬 ��⃗ ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 � �⃗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 Las dos densidades son iguales. Región I: 𝑽𝑽 = ∫ � 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 � ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ∗ 𝒙𝒙 Región II: 𝑽𝑽 = ∫ (𝟎𝟎) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 Región III: 𝑽𝑽 = − ∫ � 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 � ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝒂𝒂 = − 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ∗ (𝒙𝒙 − 𝒂𝒂) b) 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰 = − 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 + 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 + 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹ó𝒏𝒏 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰: 𝑬𝑬𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 − 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 Región I: 𝑽𝑽 = ∫ (𝟎𝟎) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 Región II: 𝑽𝑽 = − ∫ 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = − 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ∗ 𝒙𝒙 Región III: 𝑽𝑽 − 𝑽𝑽𝒂𝒂 = − ∫ (𝟎𝟎) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝒂𝒂 = 𝟎𝟎 ;𝑽𝑽 = 𝑽𝑽𝒂𝒂 = − 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ∗ 𝒂𝒂 52. Demostrar que para x >> R, el potencial sobre el eje de un disco d carga se aproxima a k Q/x, en donde Q=𝝈𝝈𝝈𝝈𝑹𝑹𝟐𝟐 es la carga total sobre el disco. (Indicación: Escribir ((𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 )𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝒙𝒙(𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 y utilizar la expresión del binomio). El potencial de un disco cargado, en el eje x es: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙)� (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 )𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟒𝟒 + ⋯ � ≈ 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 �
𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � − 𝒙𝒙)� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �� 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟑𝟑 �� ≈ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒙𝒙 53. En el ejemplo 24.12 se obtuvo la expresión 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟐𝟐 �𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 � Para el potencial en el interior de una esfera sólida de densidad constante de carga, determinando en primer lugar el campo eléctrico. En este problema hay que deducir la misma expresión por integración directa. Consideremos una esfera de radio R que contiene una carga Q uniformemente distribuida. Queremos determinar V para cualquier punto r<R. a) Determinar la carga q’ en el interior de una esfera de radio r y el potencial V1 en r debido a esta parte de la carga. b) Determinar el potencial dV2 en r debido a la carga en una corteza de radio r’ y espesor dr’ siendo r’>r. c) Integrar la expresión obtenida en (b) desde r’=r a r’=R para obtener V2. d) Determinar el potencial total V en r mediante la suma V=V1+V2. a) 𝒒𝒒′ = 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝑸𝑸 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒′ 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅′ 𝒓𝒓′ 𝒅𝒅𝒒𝒒′ = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅′ ∗ 𝝆𝝆 = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅′ = 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅′ 𝒅𝒅𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓′ 𝒓𝒓′ = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′ ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅′ c) 𝑽𝑽𝟐𝟐 = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′ ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 ) d) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ �𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐� = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 ∗ �𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 � 54. Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga 𝝆𝝆 = 𝝆𝝆𝒐𝒐𝒓𝒓/𝑹𝑹, en donde ρo es una constante. a) Demostrar que la carga total es igual a 𝑸𝑸 = 𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑 𝝆𝝆𝒐𝒐.
b) Demostrar que la carga total en el interior de una esfera de radio r<R es igual a 𝒒𝒒 = 𝑸𝑸𝒓𝒓𝟒𝟒 /𝑹𝑹𝟒𝟒 . c) Utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico Er para cualquier punto. d) Utilizar 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝑬𝑬𝒓𝒓𝒅𝒅𝒅𝒅 para calcular el potencial V en cualquier punto, suponiendo que V=0 para r = ∞. (recordar que V es una función continua en r = R). a) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟒𝟒 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 b) 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒒𝒒 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓 𝟎𝟎 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓𝟒𝟒 𝟒𝟒 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹 Usando la carga total encontrada anteriormente: 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ; 𝝆𝝆𝒐𝒐 = 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒒𝒒 = 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹 = 𝑸𝑸∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹𝟒𝟒 c) r<R: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 𝝐𝝐𝒐𝒐 = 𝑸𝑸∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹𝟒𝟒∗𝝐𝝐𝒐𝒐 ; 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝝐𝝐𝒐𝒐 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝝐𝝐𝒐𝒐 ; 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝝐𝝐𝒐𝒐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟐𝟐 d) r>R: El campo, si la carga es positiva estará dirigido hacia fuera, si el potencial es cero en infinito, al acercar la carga de 1 C positiva a r el potencial aumenta: 𝑽𝑽𝒓𝒓 − 𝑽𝑽∞ = − ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∞ ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏 𝒓𝒓 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝒌𝒌∗𝝆𝝆𝒐𝒐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌∗ 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓 En la superficie de la esfera: 𝑽𝑽(𝑹𝑹) = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 𝒓𝒓 < 𝑹𝑹: 𝑽𝑽𝒓𝒓 − 𝑽𝑽𝑹𝑹 = − ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ � 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟑𝟑 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝑽𝑽𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ � 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Superficies equipotenciales y ruptura dieléctrica 55. Dos esferas metálicas cargadas, A y B, se conectan mediante un alambre, siendo A mayor que B (figura). La magnitud del potencial eléctrico de la esfera A es a) Mayor que el correspondiente a la superficie de la esfera B. b) Menor que el correspondiente a la superficie de la esfera B. c) El mismo que el correspondiente a la superficie de la esfera B. d) Mayor que, o menor que, el correspondiente a la superficie de la esfera B, según los radios de las esferas.
Al conectar las dos esferas cargadas pasarán cargas por el hilo hasta que se igualen sus potenciales. Respuesta c. 56. La figura muestra dos placas metálicas paralelas mantenidas a potenciales de 0 y 60 V. Equidistante entre las placas hay una esfera de cobre. Dibujar las superficies equipotenciales y las líneas de campo entra las dos placas. Sobre la esfera se induce una separación de cargas, la carga total en ella es cero. El esquema de las superficies seria: 57. La figura muestra una esfera metálica comuna carga – Q y una carga puntual + Q. dibujar las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales en la proximidad de este sistema de cargas.
58. Repetir el problema 57 cambiando la carga de la esfera metálica a + Q.
59. Dibujar las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales cercanas y alejadas del conductor de la figura, suponiendo que el conductor posee cierta carga Q. 60. Dos cargas positivas iguales están separadas por una pequeña distancia. Dibujar las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales de este sistema. 61. Una hoja infinita de carga tiene una densidad superficial de 3,5 µC/m2 de carga. ¿A qué distancia están entre sí los planos equipotenciales cuya diferencia de potencial es 100 V? |∆𝑽𝑽| = 𝑬𝑬 ∗ |∆𝒙𝒙| ; ∆𝒙𝒙 = ∆𝑽𝑽 𝑬𝑬 = ∆𝑽𝑽 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐∗∆𝑽𝑽 𝝈𝝈 = 𝟐𝟐∗𝟖𝟖.𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 = 𝟓𝟓.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒 𝒎𝒎
62. Una carga puntual q=-1/9*10-8 C está en el origen. Considerando que el potencial es cero para r = ∞, situar las superficies equipotenciales a intervalos de 20 V desde 20 hasta 100 V y hacer un esquema a escala. ¿están igualmente separadas estas superficies? El potencial creado por una carga puntual es: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓 𝒓𝒓𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗ 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗ 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟒𝟒𝟒𝟒 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗ 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗ 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗ 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 No están igualmente separadas. 63. a) Determinar la carga neta máxima que puede situarse sobre un conductor esférico de radio 16 cm antes de que se produzca ruptura dieléctrica en el aire. b) ¿Cuál es el potencial de la esfera cuando posee esta carga máxima? a) El campo de ruptura es de 3 MV/m. 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝑸𝑸 = 𝑬𝑬∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟖𝟖.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑪𝑪 b) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟖𝟖.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 64. Determinar la densidad de carga superficial máxima σmax que puede existir sobre un conductor antes de que ocurra la ruptura dieléctrica del aire. 𝑬𝑬 = 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝒐𝒐 ; 𝝈𝝈 = 𝑬𝑬 ∗ 𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 65. Dos esferas conductoras se cargan y se sitúan muy separadas una de otra y se conectan mediante un cable delgado alargado (figura). La esfera mayor tiene un diámetro doble al de la menor. ¿Qué esfera tiene el campo eléctrico mayor cerca de su superficie? ¿En qué factor es mayor que el campo de la superficie en la otra esfera?
El potencial en las dos esferas ha de ser el mismo al estar en contacto. 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟐𝟐 ; 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝟏𝟏 = 𝒅𝒅𝟐𝟐;𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐; 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟏𝟏 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝑸𝑸𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟓𝟓 ∗ 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐 El campo en la esfera pequeña es 2 veces superior. 66. Dos esferas conductoras se cargan y se sitúan muy separadas una de otra y se conectan mediante un cable delgado alargado. El radio de la esfera menor es de 5 cm y el de la mayor de 12 cm. el campo eléctrico en la superficie de la esfera mayor es de 200 kV/m. Determinar la densidad superficial de carga en cada esfera. 𝑽𝑽𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝑽𝑽𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 ; 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑬𝑬𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ; 𝝈𝝈𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑬𝑬𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑸𝑸𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝝈𝝈𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝈𝝈𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝝈𝝈𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 67. Dos conductores en forma de corteza esférica concéntrica poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la corteza exterior tiene un radio b y carga -q. Hallar la diferencia de potencial entre las cortezas, Va-Vb. Aplicando Gauss en la zona exterior, la carga tota es nula y el campo será cero. Por tanto, en la zona exterior: 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽∞ = − ∫ 𝟎𝟎 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓 ∞ ; 𝑽𝑽𝒃𝒃 = 𝟎𝟎 Aplicando Gauss en la zona entre capas: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 𝜺𝜺𝒐𝒐 ; 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑽𝑽𝒂𝒂 − 𝑽𝑽𝒃𝒃 = −∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒂𝒂 𝒃𝒃 ; 𝑽𝑽𝒃𝒃 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 𝒃𝒃 �
68. Dos esferas metálicas idénticas sin carga, conectadas mediante un alambre, se sitúan próximas a dos esferas semejantes con cargas iguales y opuestas, como se indica en la figura. a) Dibujar las líneas de campo eléctrico entre las esferas 1 y 3 y entre las esferas 2 y 4. b) ¿Qué podemos decir de los potenciales V1, V2, V3 y V4 de las esferas? c) Si las esferas 3 y 4 están conectadas por un alambre, demostrar que la carga final sobre cada una de ellas sería cero. a) b) Los potenciales 1 y 2 han de ser iguales. Dado que el campo entre la esfera 3 y 1 es saliente de 3 y entrante en 1, el potencial de 3 ha de ser mayor que el de 1. De la misma manera el potencial de 2 ha de ser mayor que el de 4. c) Si 3 y 4 están conectados, el potencial de 3 y 4 será el mismo. De las condiciones expresadas en el apartado (b) se deduce que la única posibilidad es que todos sean cero. La carga ha de ser cero. Problemas generales 69. Dos cargas puntuales positivas e iguales +Q se encuentran sobre el eje x. Una se encuentra en x = -a y la otra en x =+a. En el origen a) E= 0 y V = 0. b) E= 0 y V=2kQ/a. c) 𝑬𝑬 = � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. d) 𝑬𝑬 = � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐/𝒂𝒂. e) Ninguno de los anteriores es correcto. En el punto medio 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂
El campo creado por la positiva, situada en x = -a estará dirigido hacia la derecha y el creado por la negativa, situada en x = a, estará dirigido a la izquierda. Por tanto, el campo es 𝑬𝑬 = 𝟎𝟎. Respuesta b. 70. La medida de un potencial electrostático resulta ser 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒛𝒛) = 𝟒𝟒|𝒙𝒙| + 𝑽𝑽𝒐𝒐, en donde Vo es una constante. La distribución de carga responsable de este potencial es a) Un hilo cargado uniformemente en el plano x y. b) Una carga puntual en el origen. c) Una lámina cargada uniformemente en el plano x y. d) Una esfera cargada uniformemente de radio 1/π en el origen. 𝑬𝑬 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 En la zona positiva del eje x: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝟒𝟒 En la zona negativa: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 Esté campo es compatible con una lámina cargada, que crea un campo constante de 𝝈𝝈 𝟐𝟐∗𝜺𝜺𝒐𝒐 71. Dos cargas puntuales de igual magnitud, pero de signo opuesto se encuentran sobre el eje x; + Q se encuentra en x = -a y -Q en x = +a. en el origen: a) E= 0 y V=0. b) E = 0 y V = 2kQ/a. c) 𝑬𝑬 = � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. d) 𝑬𝑬 = � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐/𝒂𝒂. e) Ninguno de los anteriores es correcto. El campo en el origen de las dos está dirigido hacia la derecha y tiene un valor de � 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 �, el potencial será cero. 72. Verdadero o falso: a) Si el campo eléctrico es cero en una región del espacio, el potencial eléctrico debe ser también cero en dicha región. b) Si el potencial eléctrico es cero en una región del espacio, el campo eléctrico debe también ser cero en dicha región. c) Si el potencial eléctrico es cero en un punto, el campo eléctrico debe ser también cero en dicho punto. d) Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan a regiones de menor potencial. e) El valor del potencial eléctrico puede escogerse igual a cero en cualquier punto conveniente. f) En electrostática, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. g) La ruptura dieléctrica tiene lugar en el aire cuando el potencial es 3 106 V. a) Falso, por ejemplo, dos cargas iguales en el punto central de la línea de unión V no es cero, el campo sí. b) Como el campo es la derivada del potencial, si éste es constante, el campo será nulo. c) Falso, el caso de dos cargas iguales de signos opuestos, el potencial en el punto medio de la lí9nea de unión es cero, el campo no lo es.
d) Cierto. e) Cierto, el punto de potencial cero es arbitrario. f) Cierto, en caso contrario las cargas se moverían al menor potencial. g) La ruptura tiene lugar cuando el aire se vuelve conductor, y esto es para un campo de 3 106 V/m. 73. a) V es constante sobre una superficie conductora. ¿Significa esto que σ es constante? b) Si E es constante sobre una superficie conductora, ¿significa esto que σ es constante? ¿Significa que V es constante? a) No, el potencial en una superficie conductora depende del radio local y de la densidad superficial, podría tenerse una combinación donde ambos factores se compensarán y ser el potencial constante. b) Si. Si. 74. Un dipolo eléctrico está formado por una carga positiva de 4,8 10-19 C separada de una cara negativa de igual magnitud por 6,4 10-10 m. ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico en un punto situado a 9,2 10-10 m de cada una de las dos cargas? a) 9,4 V. b) Cero. c) 4,2 V . d) 5.1 109 V. 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒅𝒅 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Respuesta b. 75. Un campo eléctrico viene dado por E=a x i, donde E se expresa en Newtons por culombio, x en metros y a es una constante positiva. a) ¿Cuáles son las unidades en S I de a? b) ¿Cuánto trabajo se realiza por este campo sobre una carga puntual positiva qo cuando se mueve la carga desde el origen hasta un punto cualquiera x? c) Hallar la función potencial V(x), tal que V = 0 en x = 0. a) Las unidades de a serán: 𝑵𝑵 𝑪𝑪∗𝒎𝒎 = 𝒌𝒌𝒌𝒌∗𝒎𝒎/𝒔𝒔𝟐𝟐 𝑪𝑪∗𝒎𝒎 = 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝑪𝑪∗𝒔𝒔𝟐𝟐 b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∫ 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = ∫ 𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ 𝑬𝑬 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ ∫ 𝒂𝒂 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒙𝒙 𝟎𝟎 𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 c) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ �𝑽𝑽(𝒙𝒙) − 𝑽𝑽(𝟎𝟎)� ; 𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ 𝒂𝒂 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 = −𝒒𝒒𝒐𝒐 ∗ 𝑽𝑽(𝒙𝒙) ; 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝒂𝒂 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐 76. Dos cargas positivas +q están sobre el eje y en y = +a e y = -a. a) Determinar el potencial para cualquier punto sobre el eje x. b) Utilizar los resultados de (a) para determinar el campo eléctrico en cualquier punto del eje x.
a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 b) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 77. Si una esfera conductora ha de cargarse hasta un potencial de 10 000 V, ¿Cuál es el radio más pequeño posible de la esfera, tal que el campo eléctrico no exceda la resistencia dieléctrica del aire? 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝒓𝒓𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝒎𝒎 78. Una esfera de aluminio aislada, de radio 5,0 cm, se encuentra a un potencial de 400 V. ¿Cuántos electrones se han extraído de la esfera para llevarla a este potencial? 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 ; 𝒒𝒒 = 𝑽𝑽∗𝒓𝒓 𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑪𝑪 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑪𝑪 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆 79. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Una partícula de masa m=0,002 kg transporta una carga de 4,0 µC. La partícula se deja libre desde el reposo a x = 1,5 m. Su energía cinética es 0,24 J al pasar por el punto x = 1,0 m. determinar la carga Q. Dado que al acercarse al origen aumenta la energía cinética la carga ha de ser negativa. ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 + ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟎𝟎 ; (𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟎𝟎) − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝑸𝑸 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓 � = 𝟎𝟎 𝑸𝑸 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒌𝒌∗𝒒𝒒∗� 𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓 � = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗� 𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑪𝑪 80. Una cuña conductora está cargada eléctricamente a un potencial V respecto a una gran lámina conductora (figura). a) Dibujar las líneas del campo eléctrico y las equipotenciales de esta configuración. ¿En dónde es máximo el campo |𝑬𝑬| a lo largo del eje x? b) Un electrón de masa me abandona la lámina con velocidad cero. ¿Cuál es su velocidad v cuando alcanza la cuña? (Prescindir del efecto de la gravedad). a) Las líneas de campo serían:
Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo. El campo es máximo en la punta. b) 𝒒𝒒 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒎𝒎 81. Un generador de Van de Graaff tiene una diferencia de potencial de 1,25 MV entre la cinta y la esfera exterior. La carga se suministra a una velocidad de 200 µC/s. ¿Qué potencia mínima se necesita para accionar la cinta móvil? 𝑾𝑾 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 𝑷𝑷 = 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = ∆𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑾𝑾 82. Una carga puntual positiva + Q está localizada en el punto x = - a. a) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una segunda carga puntual igual y positiva + q desde el infinito a x = + a? Si tenemos dos cargas iguales positivas en x = +a y x = -a. b) ¿Cuánto trabajo se requiere para desplazar una tercera carga desde el infinito hasta el origen? c) ¿Cuánto trabajo es necesario para mover la carga – Q desde el origen hasta el punto x = 2 a a lo largo de una trayectoria semicircular (figura)? a) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝑸𝑸 ∗ �𝑽𝑽(𝒂𝒂) − 𝑽𝑽(∞)� = 𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝒂𝒂) = 𝑸𝑸 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 b) 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂 Si la carga en el origen es negativa, - Q: 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝟎𝟎) = − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝒂𝒂 c) El trabajo será independiente de la trayectoria, al ser un campo conservativo. 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑸𝑸 ∗ (𝑽𝑽(𝟐𝟐𝟐𝟐) − 𝑽𝑽(𝟎𝟎)) 𝑽𝑽(𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = −𝑸𝑸 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 ∗ � 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 𝒂𝒂 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝒂𝒂
83. Una carga de 2 nC está uniformemente distribuida alrededor de un anillo de radio 10 cm que tiene su centro en el origen y su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual de 1 nC está localizada en x = 50 cm. Determinar el trabajo necesario para desplazar la carga puntual al origen en julios y en electrón voltios. 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝒒𝒒 ∗ (𝑽𝑽(𝟎𝟎) − 𝑽𝑽(𝒙𝒙 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓)) Para un anillo el potencial en un punto del eje x es: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒓𝒓 𝑸𝑸 𝟎𝟎 = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑸𝑸 𝟎𝟎 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝟖𝟖. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝟏𝟏 𝟎𝟎.𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 �𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑱𝑱 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕 𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱 = 𝟗𝟗.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 84. Los centros de dos esferas metálicas de radio 10 cm están separados 50 cm sobre el eje x. Las esferas son inicialmente neutras, pero una carga Q se transfiere de una esfera a la otra, creando una diferencia de potencial entre las esferas de 100 V. Un protón se libera desde el reposo en la superficie de la esfera positivamente cargada y se mueve hacia la esfera cargada negativamente. ¿A qué velocidad choca contra la esfera negativa? ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 ∗ |∆𝑽𝑽| ;𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗|∆𝑽𝑽| 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 85. Un conductor esférico de radio R1 está cargado a 20 kV. Cuando se conecta mediante un fino y largo alambre a una segunda esfera conductora situada lejos de él, su potencial cae a 12 kV. ¿Cuál es el radio de la segunda esfera? 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ; Q1 es la carga inicial en la esfera, carga total del sistema. 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ; Q2 es la carga final en la esfera 1. 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫: 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝟑𝟑 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 La carga inicial, Q1, se ha repartido en la situación final en las dos esferas: La carga final en la esfera 2 será: 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝟏𝟏 − 𝑸𝑸𝟐𝟐. El potencial final de las dos esferas ha de ser el mismo. 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟏𝟏−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 Utilizando la expresión que relaciona Q1 y Q2: 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝟑𝟑 ∗𝑸𝑸𝟐𝟐−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝑹𝑹𝟐𝟐 = � 𝟓𝟓 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏� ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 86. Un anillo cargado uniformemente, de radio a y carga Q, se encuentra sobre el plano y z con su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual Q’ se sitúa sobre el eje x en x = 2 a. a) Determinar el potencial en cualquier punto del eje x debido a la carga total Q+Q’. b) Determinar el campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje x. a) Para puntos entre 0 y 2 a:
𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸′ 𝟐𝟐∗𝒂𝒂−𝒙𝒙 Para puntos entre x= 2 a y ∞: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸′ 𝒙𝒙−𝟐𝟐∗𝒂𝒂 Para puntos entre 0 y -∞: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸′ 𝟐𝟐∗𝒂𝒂−𝒙𝒙 b) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 Para puntos entre 0 y 2 a: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ � 𝑸𝑸∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝑸𝑸′ (𝟐𝟐∗𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐� Para puntos entre x= 2 a y ∞: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ � 𝑸𝑸∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝑸𝑸′ (𝒙𝒙−𝟐𝟐∗𝒂𝒂)𝟐𝟐� Para puntos entre 0 y -∞: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ �− 𝑸𝑸∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝑸𝑸′ (𝟐𝟐∗𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐� 87. Una esfera metálica centrada en el origen posee una carga superficial de densidad σ=24,6 nC/m2 . En r = 2,0 m, el potencial es 500 V y la magnitud del campo eléctrico es 250 V/m. determinar el radio de la esfera metálica. 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝝈𝝈 𝒓𝒓 ; 𝑹𝑹 = � 𝑽𝑽 ∗ 𝒓𝒓 𝒌𝒌 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈 = � 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒎𝒎 88. A lo largo del eje de un disco uniformemente cargado, en un punto situado a 0,6 m del centro del disco, el potencial es 80 V y la magnitud del campo eléctrico es 80 V/m; a una distancia de 1,5 m, el potencial es 40 V y la magnitud del campo eléctrico es 23,5 V/m. determinar la carga total residente en el disco. El potencial en los puntos del eje x para un disco cargado, situado en el plano y z , con centro en el origen es: 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒙𝒙)� El campo viene dado por: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 � Utilizando el campo y el potencial a 0,6 m: 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ��𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔)� 𝟖𝟖𝟖𝟖 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔 �𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 � Dividiendo: 𝟏𝟏 = ��𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐−𝟎𝟎.𝟔𝟔)� �𝟏𝟏− 𝟎𝟎.𝟔𝟔 �𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 � = ��𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔)� ∗ ��𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐)� ��𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐−𝟎𝟎.𝟔𝟔)� 𝟏𝟏 = ��𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐)� ; 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 ;𝑹𝑹 = √𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟖𝟖 𝒎𝒎 Utilizando el potencial a 0.6 m:

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