Solución de ecuaciones diferenciales (1)

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Solución de ecuaciones diferenciales (1)

  1. 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA) Núcleo Anzoátegui Sede San Tome Cátedra Calculo Numérico Facilitador Valdez Ángel Bachiller (es) Martínez Johana C.I 24846.994 Rodriguez Carmen C.I 09-06-2013
  2. 2. 1. Solución de Ecuaciones Diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuación diferencial ordinaria, donde la variable independiente respecto a representa una función no especificada de , es decir, , es la derivada de con . La expresión es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes.
  3. 3. Solución general Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Solución particular Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Solución singular Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general. Resolución de algunas ecuaciones Ecuación diferencial de primer orden Ecuación diferencial lineal Ecuación diferencial exacta Ecuación de Jacobi
  4. 4. Ecuación de Clairaut y también se llaman ecuaciones de estado diferencial que como las ecuaciones lineales de dos variables, éstas son tangentes 2. Problema de Valor Inicial. En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera. Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden y de condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir Es decir Ejemplo Una partícula tiempo se mueve a lo largo del eje está dada por en cualquier tiempo de manera tal que su aceleración en cualquier . Encuentre la posición de la partícula , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en está viajando a una velocidad de y . Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería
  5. 5. Integrando con respecto a y usando la condición cualquier tiempo obtenemos podemos hallar que , con lo cual la velocidad en sería Integrando de nuevo y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo En la siguiente figura se muestra la gráfica de la posición de la partícula versus tiempo. Figura 7
  6. 6. Ejemplo Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente en el punto está dada por . ¿ Hallar el miembro de esta familia que pasa por el punto ? El problema de valor inicial asociado es Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la curva buscada es Figura 8 3. Método de Aproximación Sucesiva de Picard. El método de aproximaciones sucesivas de Picard por Charles Émile Picard, matemático francés que lo desarrolló es un método iterativo para obtener una solución a una ecuación diferencial.
  7. 7. Para un problema de Cauchy con la ecuación diferencial contorno y condición de donde se puede asegurar la existencia y unicidad de solución para un dominio es posible construir una solución de forma iterativa según la expresión: Donde La se puede elegir arbitrariamente. Lo habitual es elegir convergencia de esta serie donde de funciones es . demostrable en el intervalo con El error del paso enésimo es acotable mediante la desigualdad Dónde . Con ello es posible programar el algoritmo para que itere hasta una resolución dada. 4. Metodo Euler En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolverecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo: Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación
  8. 8. diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca. La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva. Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo). Consiste en dividir los intervalos que va de de manera que se obtiene puntos: a en un subintervalos de ancho conjunto discreto del intervalo de interés ; o sea: de . Para cualquiera de estos puntos se cumple que: . La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como . Ya teniendo el punto por lo tanto: se puede evaluar la primera derivada de en ese punto;
  9. 9. Grafica A. Con esta información pendiente se una recta, . Esta recta aproxima recta como reemplazo de correspondiente a Se resuelve para traza que pasa en una vecindad de por y de . Tómese la y localícese en ella (la recta) el valor de . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A: : Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a existe un pequeño error. Sin embargo, el valor el punto aquella sirve para que se aproxime , pues en y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:
  10. 10. Ejemplo Calculamos el valor de tomando en cuenta que el valor de divisiones es de ; por lo tanto quedaria así: Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto: Los valores iniciales de , y vienen dados por: .
  11. 11. Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método. Se harán aproximaciones de hasta trece decimales. La función seno se evaluará en grados. Por lo que el es: resultado ; obtenido posteriormente procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuación que es . Finalmente se calcula el error relativo: Análisis de error para el método de euler Gráfica B. La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores:
  12. 12. Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global): Este se debe a que, cómo la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio 1 del método. En este caso, el error es de primer orden - O(h ) - Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error alguno. Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos previos acumuladas. Es decir, ya no se supone que el punto del cual partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos que dicho error existe y que se propaga de paso en paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos, lineal. La suma de los dos es el error global. Redondeo/Truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora. Ya que el número de dígitos utilizados para hacer los cálculos es finito y los números representados puede que no lo sean (es decir, números con infinita cantidad de dígitos). Al limitar los números con infinita cantidad de dígitos -mediante truncamiento o redondeo- a números con finita cantidad de dígitos estamos cometiendo un error extra. Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método se encarga de aproximar la curva por medio de una serie de segmentos en recta. Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método. A este error se le conoce como error de truncamiento. Este error se puede disminuir reduciendo el valor de , pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto. 5. Metodo de Taylor
  13. 13. Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada. Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos. Veamos en que consiste cada método. Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.
  14. 14. Apliquemos inicialmente el método de Taylor. Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos
  15. 15. Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el método de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor. Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos
  16. 16. Se observa la siguiente ley de formación: Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:
  17. 17. En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias. 6. Metodo de Runge-Kutta En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica deecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea una ecuación diferencial ordinaria, con abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea donde es un conjunto
  18. 18. Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general: , donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento puntos y . Los coeficientes entre los sucesivos son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos. Ejemplo Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en y otra en . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es: Para estimar ƒ(t,y) en se usa un esquema Euler Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación de manera que se obtiene la expresión: Los son: coeficientes propios de este esquema
  19. 19. Variantes Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg). Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos RungeKutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso. Metodo de Runge-Kutta El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta». Definiendo un problema de valor inicial como: Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación: Donde Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde es la pendiente al principio del intervalo, medio del intervalo, usando de Euler. es la pendiente en el punto para determinar el valor de y en el punto es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando usando el método para determinar el
  20. 20. valor de y; es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio: Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado tiene el orden Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de los métodos computaciones. . , razón por la cual es usado en

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