Matemática I - Números Reales

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Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
1
ECUACIONES E INECUACIONES
1.1 SÍMBOLOS
1.1.1. Ù se lee: "y"
1.1.2. Ú se lee: "o"
1.1.3. ⇒ se lee: "entonces"
1.1.4. Û se lee: "si y sólo si"
1.1.5. $ se lee: "existe"
1.1.6. " se lee: "para todo o para cada"
1.1.7. $! se lee: "existe un único"
1.1.8. < se lee: "menor que"
1.1.9. > se lee: "mayor que"
1.1.10. £ se lee: "menor o igual que"
1.1.11. ³ se lee: "mayor o igual que"
1.2 INTRODUCCIÓN
El sistema de los números reales es la base del análisis matemático. Sobre ello se
desarrolla la matemática que se enseña en las carreras universitarias.
Enumeraremos un conjunto de propiedades que nos servirá como fundamento.
De ellas se puede deducir algunas propiedades de igualdades y desigualdades.
1.3 DEFINICIONES PRELIMINARES
1.3.1 UNIÓN: xÎ(A È B) Û xÎA Ú xÎB
1.3.2 INTERSECCION: xÎ(AÇB) Û xÎA Ù xÎB
1.3.3 DIFERENCIA: xÎ(A-B) Û xÎA Ù xÏ B
1.4 CONJUNTOS DE NÚMEROS
1.4.1 Números Naturales. Es el conjunto: ℕ = {0, 1, 2, 3,...}
1.4.2 Números Enteros. Es el conjunto: ℤ = {....-3,-2,-1,0, 1, 2, 3,...}
m
1.4.3 Números Racionales. Es el conjunto
  =  r / r = ; m, n
Î 
 
ℚ ℤ
n
Ejemplos:
27 3
…= = Îℤ
0, 272727 ; 3,11
99 11
1.4.4 Números Irracionales. Es el conjunto
m
  =  s / s ¹ ; m, n
Î 
 
I ℤ
n
Ejemplos: 2, e, p, ep
1.4.5 Números Reales. Es el conjunto: ℝ = ℚ È I
1.4.6 Números Complejos. ℂ = {z = x + i y / x, yÎℝ, i = -1}
Ejemplos: 2i, 3-5i, 1/2, 2 + i

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1.4.7 OBSERVACIÓN. ℕ Ì ℤ Ì ℚ Ì ℝ Ì ℂ
1.5 METODOS DE FACTORIZACION
1. FACTOR COMUN
Ejemplos
1) xy2 + x2y = xy(y + x)
2) 4x3y2 - 2x2y3 + 6xy4 = 2xy2 (2x2 - xy + 3y2 )
2. PRODUCTOS NOTABLES
1) a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Ejemplo. Factorizar x4 - 16
Solución
x4 -16 = (x2 )2 - 42 = (x2 - 4)(x2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)
2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )
Ejemplo. Factorizar x3 - 8y6
Solución
x3 -8y6 = x3 - (2y2 )3 = (x - 2y2 )(x2 + 2xy2 + 4y4 )
3) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 )
Ejemplo. Factorizar z3 + 1
Solución
z3 +1 = z3 +13 = (z +1)(z2 - z +1)
3. MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Ilustraremos mediante un ejemplo. Factorizar 6x2 - x -15
Descomponemos 6x2 y 15 como producto de factores, y se escribe así:
6x2 x 15
3x 5 10x
2x 3 9x
x
- -
- = -
=
-
Al multiplicar en cruz y sumar debe darnos el segundo término del polinomio, en
este caso “-x”. Si no fuera así, descomponemos 6x2 y 15 de otra forma.
Luego, 6x2 - x -15 = (3x - 5)(2x + 3)
Ejemplo. Factorizar 2x2 + 7x -15
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118.Resolver
-
x 1
2
x
> -

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100.Si 2x-3Î-7,12. Hallar el intervalo al cual pertenece 3x+5.
101.Si 5x+1Î-3,2, hallar el intervalo al cual pertenece 1/(2x-2)
102.Si xÎ[-2; 4], a que intervalo pertenece
+
+
2x 3
x 3
103.Hallar la suma de los valores enteros de 2x – 3, si xÎ2;7/2]
4x2 3
104.Calcular el intervalo de
2
-
, sabiendo que xÎ[1/2; 1
105.Halle el menor entero M con la propiedad de que para todo xÎℝ se cumple
11+6x+x2£M.
106.Indique el intervalo al cual pertenece m para que
2
+ -
- +
4 x 4x
2
m
x x 1
, se
verifique xÎℝ
107.Halle los valores a para que (a2 -1)x2 - 2(1-a)x +1 0 xÎℝ
108.Para que valores de “m” el trinomio (m- 2)x2 + (4m- 6)x + 5m- 6
es positivo xÎℝ
109.¿Entre qué límites debe estar comprendido n para que la inecuación:
x2 + nx + n 3/16 se verifique xÎℝ?
110.Calcule el menor número real M tal que 6 + 6x - x2 £ M , x Îℝ
111.Dado 3x2 -12x + 20 - 3M 0 ¿Cuál es el mayor número entero M que
satisface la desigualdad, xÎℝ?
112.Resolver
x2 9

5. 2
x
+ =
113.Resolver
3

6. 2
2x 1 x 1
=
- - +
114.Resolver
- ³
+
1 3x

7. 1
x 2
115.Resolver
-
1 x
2
0
x 4
£
-

8. 116.Resolver
- ³

9. 2x 1 14
x 5
117.Resolver
3x2 3

10. - + - p
- - -
5x 1 2x 3 4
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3
Solución
Hacemos el siguiente esquema
2x2 7x 15
2x 3 3x
x 5 10x
7x
+ -
- = -
=
+
Luego: 2x2+7x-15 = (2x-3)(x+5)
4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
En un polinomio P(x), si P(a) = 0, entonces x-a es un factor de P(x) y se escribe
P(x) = (x - a)Q(x) . El polinomio Q(x) se obtiene con el método de Ruffini para
división de polinomios.
Ejemplo. Factorizar x3 + 2x2 - x - 2
Solución
P(x) = x3 + 2x2 - x - 2
P(-2) = (-2)3 + 2(-2)2 - (-2) - 2 = 0
1 2 -1 -2
-2 -2 0 2
1 0 -1 0
x3 + 2x2 - x - 2 = (x - (-2))(x2 -1) = (x + 2)(x -1)(x +1)
OBSERVACIÓN
Posibles valores que
anulan un polinomio
Divisores del término independiente
= ± Divisores del primer coeficiente
Ejemplo. Factorizar 2x3 + x2 -8x - 4
Solución
Divisores de 4: ±1, ±2, ±4
Divisores de 2: ±1, ±2
Posibles valores que anulen el polinomio: :±1, ±1/2, ±2, ±4
2 1 -8 -4
-1/2 -1 0 4
2 0 -8 0
1
2
2x3 + x2 -8x - 4 = (x - (- ))(2x2 -8) = (2x +1)(x2 - 4) = (2x +1)(x - 2)(x + 2)
5. MÉTODO DE SUMA Y RESTA DE TÉRMINOS
Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una
suma o diferencia de cubos.
Ejemplo: Factorizar x5+x-1

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Solución
Sumando y restando x2: x5+x-1 = x5+x2-x2+x-1
Agrupando: = x2(x3+1)-(x2-x+1)
Factorizando suma de cubos: = x2 (x +1)(x2 - x +1) - (x2 - x +1)
x5+x-1= (x2-x+1)(x3+x2-1)
6. MÉTODO DEL ASPA DOBLE. Se aplica a los de la forma:
ax4n + bx3n + cx2n + dxn + e
Ejemplo
x4 + 5x3 + 4x2 - x - 15
x2 3x -5 = -5x2 +
x2 2x 3 = 3x2
6x2 -2x2
x4 + 5x3 + 4x2 - x -15 = (x2 + 3x - 5)(x2 + 2x + 3)
7. MÉTODO DE LOS POLINOMIOS RECÍPROCOS
Se aplica a los polinomios que tienen la forma:
1) ax3 + bx2 + bx + a
2) ax4 + bx3 + cx2 + bx + a
3) ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a , etc.
Ejemplos.
1) Factorizar x6 +15x5 + 78x4 +155x3 + 78x2 +15x +1
Solución
x6 +15x5 + 78x4 +155x3 + 78x2 +15x +1 3 3 2
78 15 1
  =  + + + + + + 
2 3
x x 15x 78x 155
x x x
 
3  3 1  1   1
  = x  x + + 15  x 2
+  + 78  x +  + 155

3 2
x x x
     
Sea 1
1
= + ⇒ 2 2
z x
x
1
+ = - , 3 3
x z 1
2
x
+ = -
x z 3z
3
x
Reemplazando en la expresión anterior, se tiene
x6 +15x5 + 78x4 +155x3 + 78x2 +15x +1 = x3(z3 - 3z +15(z2 - 2) + 78z +155)
= x3(z3 +15z2 + 75z +125) = x3(z + 5)3
3
3 1
x x 5
  =  + + 
x
 
= x3
2 3
+ +
(x 5x 1)
3
x
= (x2 + 5x +1)3
x6 +15x5 + 78x4 +155x3 + 78x2 +15x +1 = (x2 + 5x +1)3
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82. Resuelva
3 2 6 7 5
- - - - + - £
+ + - - -
27 x x 14x 15(x 2) x 8(x 3) 0
4 2 3 3
x 9(x 7x 8)(x 27) (x 27)
83. Dado el conjunto A = {xÎℝ/ 3 -2x2 + x +1 1}Halle el complemento de A.
84. Resuelva
4 4 x2
0
- ³
-
3 x
85. Resuelva 15- | x | £ | x | -7
86. Resolver
x2 x 2 2
- - - ³ -
- +
x 4
2 x 4
Rpta. [-4,-2]È[2,3]
87. Resolver
2
x 6x x 3
- - ³ -
-
x 10
8 x
Rpta. [7,8
88. Resolver
4 2
- - ³ -
- +
6 x x 2
x 5
2 x 4
89. Resolver
2
- - ³ 2
- -
- -
4
x 3x 4
2
x 2x 29
5 16 x
90. Resolver 2 1
x -1 - x -1 - x
2
91. Resolver x + 4 + x + 5 -x -5
92. Hallar el intervalo al que pertenece x de modo que
3(x 1)
3x 4 8 2
3
9
+
+ ×
93. Hallar el mayor valor entero de x, para que
x 1
2x
64
x 1
256
4
-
- ³
94. Resuelva
1
2
x
0,2 1
3
5 2
(0,04)
1 x
+
-
95. Hallar el intervalo al que pertenece x, si 22 x - 2 x +2 ³ 25
96. Resolver (0.3)x-2 (0.3)4-x
97. Resolver 32 2x+1 (42x8x-3 )2 / 5
- £ Î  +
98. Halle el menor número M, tal que 1 3
2 2
x 2
M x ,
x 2
99. Halle el menor valor de k, si 2
x + 3
£ Î
+ +
k si x [-1,5]
x 7x 8

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60. Halle el conjunto solución de: x2 - 3 + 2 £ x2 -1
61. Exprese en intervalos el conjunto
 | x - 2 |
 =  + Î 
 + 
A 2 / x -3,3]
| x 4 |
62. Si xÎ -5, -4, calcular el valor de
- - +
3 3x 8 5x 24
2x
63. Resolver 3x - 2 5
64. Encontrar la menor solución entera de 2x + 23 x + 4
65. Resolver 2x - 4 x +1
66. Resolver x2 + 4x 5x -1
67. Resolver 4 16x4 - 32x3 2x -1
68. Resolver 4 -x2 - 3x + 28 -1
69. Resolver 2x - 3 x - 2
70. Resolver 2x2 -8 ³ 3x -1
71. Resuelva x2 - 2x -15 x +1
72. Hallar la menor solución entera que satisface 2x + 23 x + 4
73. Indique el número de valores enteros positivos de 3 x3 - 7 +1 x
74. Resolver 3 x4 + x3 - 2x2 + x x -1
75. Resolver 5 x5 - x4 + 2x2 + 3 £ x
76. Resolver 3x - 2 + 2x -3 - 2x - 5 3x
77. Resolver
2 3
- - £
- +
x 4 x 4
5 2
0
x 6x 5
78. Luego de resolver
2 3 4 5
+ + + -
(x 1) (x 2) (x 3) (x 4)
4 5 6
0
- -
x 1 9 x x
Se obtuvo como conjunto solución a, b. Calcule a + b
79. Resuelva x + 7 - x -1 ³ 2 . El número de soluciones enteras es
80. Si “a” es el mayor valor entero que satisface x + 2 x
El valor de a+1 5 - a es
81. Dados A = {xÎℝ/ 2x - 3 - 2 - x 0} , B = {xÎℝ/ x 2x + 3 1}
Halle AÇB
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2) Factorizar 6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6
Solución
Primero aplicamos el método de los divisores binómicos
- -
6 29 27 27 29 6
- - - -
1 6 35 62 35 6
- -
6 35 62 35 6 0
6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = (x +1)(6x4 - 35x3 + 62x2 + -35x + 6)
= (x +1) x2 (6x2 - 35x + 62 - 35x-1 + 6x-2 )
= (x +1) x2 [6(x2 + x-2 ) - 35(x + x-1) + 62]
Sea z = x + x-1 ⇒ x2 + x-2 = z2 - 2
Reemplazando en la expresión anterior, se tiene
6x5 - 29x4 + 27x3 + 27x2 - 29x + 6 = (x +1) x2 [6(z2 - 2) - 35z + 62]
= (x +1) x2 [6z2 - 35z + 50] = (x +1) x2 (2z - 5)(3z -10)
= (x +1) x2 (2(x + x-1) - 5)(3(x + x-1) -10)
2 2
 2x 5x 2   3x 10x 3
 = (x + 1) x
2 - +  - +   
x x
   
= (x +1) (2x2 - 5x + 2)(3x2 -10x + 3)
= (x +1)(2x -1)(x - 2)(3x -1)(x - 3)
1.6 MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRÁTICAS O
DE SEGUNDO GRADO
1.6.1 Método de factorización. Lo ilustraremos mediante un ejemplo.
Ejemplo: 2x2 -7x + 6 = 0
Aplicando el método del aspa, se obtiene:
2x2 -7x + 6 = 0
2x -3 = -3x
x -2 = -4x
-7x
(2x - 3) (x - 2) = 0 Û 2x - 3 = 0 Ú x-2 = 0 Û x =3/2 Ú x = 2
S = {2, 3/2}
1.6.2 Método de completar cuadrados. Consiste en que la ecuación
ax2 + bx + c = 0 se debe llevar a la forma (x + d)2 + e = 0

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6
Ejemplo: x2 -6x - 7 = 0
Paso 1: Escribir en la forma: (x2 - 6x + ) - 7 = 0
Paso 2: Sumar un tercer término dentro del paréntesis, el cual es la mitad del
coeficiente de x elevado al cuadrado; asimismo restarlo para que no varíe la
ecuación.
 2 
2
 2 6  6

- + - =    
    
-  
  
x 6x 7 0
2 2

Û (x-3)2 – 16 = 0
Paso 3: Resolver la ecuación aplicando diferencia de cuadrados
Û (x - 3 - 4) (x – 3 + 4) = 0 Û x - 7 = 0 Ú x + 1 = 0
Û x = 7 Ú x = -1
S = {7, -1}
Observación. En el tercer paso se podría usar: a2 = b ⇒ a = ± b
Ejemplo. Resolver x2 - 4x +13 = 0
Solución
Û (x - 2)2 + 9 = 0 Û (x - 2)2 = -9 Û x - 2 = ± -9
Û x = 2 ± (-1)9 Û x = 2 ± 3 -1 Û x = 2 ± 3i , i = -1
1 x = 2 + 3i , 2 x = 2 - 3i
1.6.3 Mediante la fórmula. Si la ecuación es ax2 + bx + c = 0, sus soluciones son
b b2 4ac
x
= - ± -
2a
Ejemplo. Resolver: 9x2 - 9x + 2 = 0
Solución
a = 9, b = -9 y c = 2
= + - = = = - - = =
9 81 72 12 2 9 81 72 6 1
x , x
1 2
18 18 3 18 18 3
1.6.4 Observación. Δ = b2 - 4ac se llama discriminante.
i) Si Δ 0, se obtiene 2 raíces reales.
ii) Si Δ = 0, se obtiene 2 raíces reales iguales.
iii)Si Δ 0, se obtiene 2 raíces complejas.
1.7 DESIGUALDADES
1.7.1 Definición. Es la comparación de dos cantidades mediante uno de los
signos: , , £, ³
1.7.2 Si a es positivo, se denota por a 0
Si a es negativo, se denota por a 0
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41. Resolver 2x2 - x +1 ³ x -1
42. Resolver
2
- + + £
- -
x 16 8(x 4)
2
0
x 3 9 x
43. Establezca el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
23
5
- ⇒ Î
-
2x 5
I. Si 3 x ,13
x 6
II. Si |2x-1||x+3| ⇒ xÎ - , 4
23
13
x-1
III. Si 2 x -3,-1 -1,
x+2
⇒ Î È
44. Resuelva la ecuación: x - 2 + 7 - 3x = x2 -1
45. Resuelva la ecuación 4 -8x = x - 2x +1
46. Resuelva (x-3)2 - |x-3| - 2 = 0
47. Resolver x2 - 2x - 5 ³ x2 + 4x +1
48. Resolver 6x2 - 9x -3 2x2 -9x - 2
49. Resolver 2 - x - 3 1
50. Resolver
-
x 4 x
£
x 5 x 1
- +
51. Resolver
- -
x 1 3
x
1 x
£
-
- -
1 2x x
52. Resolver 2
2
x 1
+
53. Resuelva
- +
3x 1 2x
0
x 1 3x
³
+ -
54. Resuelva
2
3
- ³
-
x | x | 1
0
x 1
+ - -
x 1
x 1
x
55. Resolver 2
0
2x 1 x
£
- -
56. Resuelva |x| + |1- x| £ 1
57. Resolver x - 3 + 2 x 5
58. Resolver 2 x -1 - 2x - 5 ³ 3- x
59. Resolver | x + 3 | + || x | +5 || x | +9

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23. Resolver
1 1
x 1 x 8
+ +
24. Resolver
-
+ -
3x 2 4
x 1 x 2
25. En qué intervalo se cumple:
1 1
2
+
- +
x 1 x 1
26. Resolver
- - £ +
+ -
1 2x x 2
1
3x 1 x 1
27. Resolver
2
2
- + -
- +
x 2x 3
3
x 4x 3
28. Resolver
4 2
2
- ³ +
+ - +
x x 4x 4
x 2x 3 x 3
29. Resolver
2 2
2 2
+ - + -
- - - -
3x 7x 6 3x 16x 12
x x 6 x 4x 12
30. Resolver
3 13 1
£ +
x 4(x 1) 4x 12
- +
x 2 8
x 1 x 1 x 1
+ +
- + -
31. Si la expresión 2
es una cantidad no negativa, calcule el
intervalo al cual pertenece “x”
32. Resolver
2 2
a (x 1) 2 b (x 3) 2
- + ³ - b + 2a
, siendo 0 a b
2 2
33. Si a b, resolver
+ + + +
ax b bx a
b a
2 2
34. Encuentre el conjunto solución de:
-
-
x b a
x a b
, si 0 a b.
35. Encontrar el menor valor entero x, si
+
4 5x 29
2
7 7
36. Señale el mayor valor entero de x, si
4 5x
- ³ + -
7 13
7
37. Para que valores de x se verifica
3x 10
+
1 2
+
x 7
1 x 1
£
x x 1 x 2
38. Resuelva 2
+ -
39. Resolver | 3x - 5 |£ 2x + 7
40. Resolver | 2 -3x | 4x -1
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7
1.8 LA RECTA NÚMERICA
Es la correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y los
puntos de una recta. Esto es, para cada número real existe un único punto y
viceversa.
-e 2 p
-2 -1 0 1 2
1.9 INTERVALOS
Son subconjuntos del conjunto de los números reales.
1.9.1 INTERVALO CERRADO
[a, b] = {xÎℝ / a £ x £ b}, xÎ[a, b] Û a £ x £ b
1.9.2 INTERVALO ABIERTO
a, b = {xÎℝ / a x b}, x Î a, b Û a x b
1.9.3 INTERVALOS SEMIABIERTOS O SEMICERRADOS
a, b] = { xÎℝ / a x £ b}, x Î a, b] Û a x £ b
[a, b = {xÎℝ / a £ x b}, x Î [a, b Û a £ x b
1.9.4 OTROS INTERVALOS
[a, +¥ ={xÎℝ / x ³ a}, x Î [a, +¥ Û x ³ a
a,+¥ ={xÎℝ / x a}, x Î a,+¥ Û x a
-¥, b] = {xÎℝ / x £ b}, x Î -¥, b] Û x £ b
-¥, b = {xÎℝ / x b}, x Î -¥, b Û x b
1.10 INECUACIONES LINEALES
Son de la forma: ax+b 0 ( 0, ³ 0, £ 0)
Ejemplo. -3x + 2 ³ 2x + 6
Solución
Û -3x – 2x ³ 6 - 2 Û -5x ³ 4 Û 5x £ - 4 Û x £ - 4/5
S = -¥, -4/5]
1.11 INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son de la forma: ax2 + bx +c 0 ( 0, ³ 0, £ 0)
Veremos algunos teoremas:
i) ab es positivo si, y sólo si a y b tiene el mismo signo

15. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
8
ii) ab es negativo si, y sólo si a y b tienen signos diferentes
Simbólicamente:
1.11.1
Ù 
a 0 b 0
Û Ú 
ab 0
 Ù
a 0 b 0
³ Ù ³ 
a 0 b 0
³ Û Ú 
ab 0
 £ Ù £
a 0 b 0
1.11.2
Ù 
a 0 b 0
Û Ú 
ab 0
 Ù
a 0 b 0
£ Ù ³ 
a 0 b 0
£ Û Ú 
ab 0
 ³ Ù £
a 0 b 0
1.11.3
a
0 ab 0
b
Û ,
a
0 ab 0
b
Û
1.11.4
a
0 ab 0 b 0
b
³ Û ³ Ù ¹ ,
a
0 ab 0 b 0
b
£ Û £ Ù ¹
Ejemplos
1. Resolver: 4x2 + 4x – 3 £ 0
Solución
4x2 + 4x-3 = (2x-1) (2x+3)
Û (2x-1) (2x+3) £ 0
- ³ Ù + £ 
2x 1 0 2x 3 0
Û Ú 
 - £ Ù + ³
2x 1 0 2x 3 0
Û
 ³ Ù £ -

1 3
2 2
x x
Ú 
 £ Ù ³ -
1 3
2 2
x x
3 1
2 2 Û Æ Ú - £ x £
2 2 S = - , 
3 1
2. Resolver x2 -16x + 63 0
Solución
x2 - 16x + 63 = (x-7)(x-9)
Û (x-7)(x-9) 0
- Ù - 
x 7 0 x 9 0
Û Ú 
 - Ù -
x 7 0 x 9 0
Ù 
x 7 x 9
Û Ú 
 Ù
x 7 x 9
Û x Î 9,+ ¥ Ú x Î - ¥,7
S = -¥,7] È[9,+ ¥
1.11.5 OBSERVACION. Si Δ=b2-4ac0 Ù a0 ⇒ ax2+bx+c 0, xÎℝ
1.12 ALGUNAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES
1.12.1. Si c 0 ⇒ [ac bc ⇒ a b]
1.12.2. Si c 0 ⇒ (ac bc Û a b)
1.12.3. Si a 0 Ù b 0 ⇒ (a b Û a2 b2)
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
33
Û 4n + 1 =
44
Û n =
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver -x2 - 2x + 35 0
2. Resolver x2 + 4x + 2 ³ 0
3. Resolver x2 + 8x + 20 0
4. Resolver x2 +10x + 27 0
5. Resolver x3 + x2 ³ 9x + 9
6. Resolver (2x -1)2 + x(x +1) + 3 5x(x - 3) + 2(x - 5)
7. Resolver x4 + 8x £ 2x3 + x2 +12
8. Resolver (x2 + x -1)(x2 + x + 5) £ (x2 + x + 2)2 + x
9. Resolver: x3 - 4x ³12 - 3x2
10. Resolver x4 + 2x3 + 24 13x2 +14x
11. Resolver x4 - 2x3 16x2 - 2x -15
12. Resolver x5 +15x2 + 4x 3x4 + 5x3 +12
13. Resuelva x3+2x2-10
14. Dado el conjunto: A = {xÎℕ/ x5 - 2x4 -10x3 + 4x2 +16x 0}
Halle complemento de A.
15. Resolver (x -1)(2 - x)(x + 4)(5 + x) £ 0
16. Resolver (x + 7)2 (x -5)3 (x + 3)4 (x - 4)5 0
17. Resuelva (3x +1)3 (x - 2)2 (x + 5)5 (x - 2)4 (4 - x) £ 0
18. Indicar un intervalo solución de
2010(x 1)7 (1 x)(3x 1)8
0
- - - £
2011
19. Resolver
2 3
- + ³
- -
(3 x) (x 2)
4 5
0
(4 x) (8 x)
20. El conjunto solución de
4 3 3 2
+ - -
x (x 2) (2 x) (x 9)
2
0
-
(2 x)
tiene la forma: a,bÈb,cÈc,d. Halle a+b+c+d+ 3 2
21. Resolver
+ -
-
3x 8
2
x 1
22. Resolver
- £
+
x 1
x
x 3

16. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
32
Luego z = 2
9. Halle el argumento de z = (1+ i)7-i ( 2)i-7
Solución
(1+ i)2 = 2i Û 1+ i = 2i
Reemplazando, se tiene
7 - i i - 7
7 i
= z 2i 2
- =
i
Calcularemos las raíces cuadradas de i:
p
i i e
2
=
p+ 2 k
p
2
= 2
=
i
i e wk
4
i
w0 e
p
=
 p -  =  4

 
7 i
i z e
p+ 7 p p 7
p = =
i i e 4 4 e 4 e
4
p
4 ( )
= p - p + p - p
= -
e cos(2 ) i sen(2 )
p
4
4 4
2 2
2 2
e ( i)
Luego, el argumento de z es
q = arctan(-1) = 3p/4
10. Hallar n en
4n 4n 513 (1+ i) + (1-i) = 2
Solución
+ + + + - =
4 4n 1 4 4n 1 513 ((1 i) ) ((1 i) ) 2
Pero
(1+i)2 = 2i
(1+i)4 = (2i)2 = -4
(1-i)2 = -2i
(1-i)4 = (-2i)2 = -4
Reemplazando, resulta
+ + - + - =
4n 1 4n 1 513 (4) (4) 2
4n 1 4n 1 513 ( 4) ( 4) 2
+ + + =
4n 1 513 2 (4) 2
+ =
4n 1 256 (4) 4
+ Û =
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
9
1.12.4. Si a y b tienen el mismo signo y a b ⇒ 1 1
a b
1.12.5 Si a b Ù c d ⇒ a + c b + d
1.12.6 Si 0 a b Ù 0 c d ⇒ ac bd
1.12.7 Notación. a b c º a b Ù b c
1.13 MÉTODO PRÁCTICO PARA RESOLVER INECUACIONES
POLINÓMICAS Y FRACCIONARIAS
Ilustraremos este método mediante un ejemplo. Supongamos que después de
factorizar, tenemos
(x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 4) 0
Los pasos a seguir son los siguientes:
PASO I. Hallar los puntos críticos que son los números en donde cada factor se
hace cero. En nuestro caso son: 3, -2, 1, 4
PASO II. Ubicar estos números en la recta numérica.
- ¥ -2 1 3 4 +¥
PASO III. Escribir (+) y (-) alternadamente, empezando siempre por la derecha
con el signo +.
+ - + - +
- ¥ -2 1 3 4 +¥
Justificación
(x-3)
(x+2)
(x-1)
(x-4)
- - - + +
-¥ -2 1 3 4
- + + + +
-¥ -2 1 3 4
- - + + +
-¥ -2 1 3 4
- - - - +
-¥ -2 1 3 4
(x-3)(x+2)(x-1)(x-4)
+ - + - +
-¥ -2 1 3 4
PASO IV. Escribir la solución. Si la inecuación es mayor que cero, la solución
es la unión de intervalos abiertos en donde hay signos (+).
Si es menor que cero, la solución es la unión de intervalos abiertos en donde

17. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
10
hay signo (-). La solución será la unión de intervalos cerrados si la ecuación es
£ 0 o ³ 0.
Nota. En cada factor, la variable x debe tener coeficiente de signo positivo.
En nuestro ejemplo, la solución es S = -¥, -2 È 1, 3 È 4, +¥
Ejemplo. Resolver (x2 - 8x + 15)(2 - x)(x2 + x + 2) ³ 0
Solución
2 1 2 3
2 4 x + x + 2 = (x + ) + 0 x Î ℝ.
Por el teorema de cancelación la inecuación original es equivalente a:
(x2 - 8x + 15)(2 - x) ³ 0
Û (x - 3) (x - 5) (2 - x) ³0
Û -(x - 2)(x - 3)(x - 5) ³ 0
Û (x - 2)(x - 3)(x - 5) £ 0
Ahora aplicamos el método práctico. Los puntos críticos son: 2, 3, 5. Lo
ubicamos en la recta numérica:
- + - +
- ¥ +¥
2 3 5
Luego la solución es S = -¥, 2] È [3, 5]
- £ +
+ -
Ejemplo. Resolver 2x 1 x 1
x 2 x 1
Solución
Û 2x 1 x 1
0
- - + £
+ -
x 2 x 1
- - - + + £
Û (2x 1)(x 1) (x 1)(x 2)
0
+ -
(x 2)(x 1)
Û
x2 6x 1
0
- - £
+ -
(x 2)(x 1)
- - - + £
Û (x 3 10)(x 3 10)
0
+ -
(x 2)(x 1)
+ - + - +
-¥ -2 3- 10 1 3+ 10 +¥
S = [-2,3- 10]È[1,3+ 10]-{-2,1} = -2,3- 10]È 1,3+ 10]
1.14 INECUACIONES Y ECUACIONES CON RADICALES
Para resolver una inecuación que contiene radicales de índice par:
a, 4 a , 6 a , etc ; primero debe resolverse la condición a ³ 0, cuyo conjunto
solución se llama universo, y dentro del cual se resuelve la inecuación dada,
aplicando en algunos casos razonamiento lógico o algunas propiedades.
Ejemplos. Resolver
1) 2x + 4 3x + 2
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
31
(1-i)9 = 16(1-i)
Reemplazando, se tiene
[16(1+i)+16(1-i)] n = 210
25n = 210
n = 2
6. Si a y b están en ℝ, indicar la condición para que
= +
a bi
z
+
b ai
se convierta en un número real.
Solución
= + -
(a bi)(b ai)
z
+ -
(b ai)(b ai)
2 2
= + -
2ab (b a )i
2 2
+
a b
2 2
= + -
2ab a b
2 2 2 2
i
+ +
a b a b
Para que zÎℝ ⇒
2 2
2 2
- =
+
b a
0
a b
Û a2 = b2
7. Calcular 3 -2 + 2i -1
Solución
Escribiremos -2 + 2i en su forma exponencial, r=81/2 q=3p/4,
p
3
4 i 2 2i 8 e
- + =
p+ p
3 2k
4 i 3 6
k
- + = =
2 2i 8 e 3 w
6 i
4
w0 8 e
p
 
= 2 2
=  +  = +
2 i 1 i
2 2
 
8. Hallar el módulo de
1 i
= + +
z 1
1 i
- +- +
1
1 i
1
-
1 i
Solución
1 i
= + +
z 1
- + -
1 i
1
2i
1 i
-
1 i
= + +
1
2
1
-
-
2i
1 i
= + +
1
1
1
i
+
1 i
= + +
1
+
i 1
i
= i + 1

18. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
30
2. Calcular
2 2 1 i 1 i
R
 +   - 
=   +    1 - i   1 + i

Solución
(1+i)2 = 2i
(1-i)2 = -2i
Efectuando R y reemplazando, resulta
2i 2i
= + - = -
-
R 2
2i 2i
3. Calcular
5 5 2
5 5
 1 + i 1 - i
 =  +   - + 
M
1 i 1 i
Solución
i2 = -1
i4 = 1
i5 = i
Reemplazando, se obtiene
2 1 i 1 i
M
 
= + -  +   1 - i 1 + i

2 2 2 (1 i) (1 i)
2 2
 + -  =  + 
 
2 2i 2i
0
 
= -  +  =
 2 2

4. Efectuar A = i + i2 +i3 + ¼ + i2007
Solución
i i2008
A
= -
-
1 i
Pero i2 = -1, luego
i ( 1)1004
A
= - -
-
1 i
i 1
= - = -
1
-
1 i
5. Calcular n, si [(1+ i)9 + (1- i)9 ] n = 1024
Solución
(1+i)2 = 2i
(1+i)4 = (2i)2 = -4
(1+i)8 = 16
(1+i)9 = 16(1+i)
(1-i)2 = -2i
(1-i)4 = (-2i)2 = -4
(1-i)8 = 16
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
11
Solución
U: 2x + 4 ³ 0 Û U = [-2, +¥
Ù
i) Si 3x + 2 0 ⇒ la solución de la inecuación original es Æ.
Luego, S1 = Æ
ii) Si 3x + 2 ³ 0 ⇒
2 2 2x + 4 (3x + 2)
⇓ ⇓
x ³ -2/3 2x+4 9x2+12x+4
xÎ[-2/3, +¥ x(9x+10) 0
xÎ-¥, -10/9 È 0, +¥
Luego, S2 = [-2/3, +¥ Ç (-¥, -10/9 È 0, +¥)
S2 = 0, +¥
Por consiguiente, la solución final es S = U Ç (S1 È S2)
S = 0, +¥
2) 2x - 3 ³ x -1
Solución
U: 2x - 3 ³ 0 Û U = [3/2, +¥
Ù
i) Si x – 1 0 ⇒ la solución de la inecuación original es ℝ.
⇓
x 1
Luego, S1 = -¥, 1 Ç ℝ = -¥, 1
ii) Si x – 1 ³ 0 ⇒
2 2 2x - 3 ³ (x -1)
⇓ ⇓
x ³ 1
⇓ 2x-3 ³ x2-2x+1
xÎ[1, +¥ (x-2)2 £ 0
x = 2
Luego, S2 = [1, +¥ Ç {2} = {2}
Por consiguiente, S = U Ç (S1 È S2) = [3/2, +¥ Ç (-¥, 1 È {2})
S = {2}
3) 5x -1 + x + 3 = 4
Solución
U: 5x – 1 ³ 0 Ù x + 3 ³ 0

19. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
12
Û U = [1/5, +¥
Ù
De la inecuación original, se tiene
5x -1 = 4 - x + 3 Û
2 2 5x -1 = (4 - x + 3)
Û 5x -1 = 16 + x + 3-8 x + 3 Û 4x - 20 = -8 x + 3
Û 5 - x = 2 x + 3 Û 25 + x2 – 10x = 4x + 12
Û x2 -14x + 13 = 0 Û (x-1)(x-13) = 0
Û x = 1 Ú x = 13
Estas raíces están en el universo U, pero x = 13 no satisface la ecuación original,
por consiguiente, el conjunto solución es el conjunto unitario:
S = {1}
Propiedades
1)
2
 ³

a 0
Û Ù 
a b
 Ù
b 0 a b
2)
2
 ³

a 0
Û Ù   £ Ú Ù
a b
b 0 [b 0 a b ]
1.15 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
1.15.1. DEFINICIÓN
 ³
= 
-
a, a 0
a
a, a 0
Ejemplo. Hallar: |2|, |-2|
Solución
2 0 ⇒ | 2 | = 2
-2 0 ⇒ |-2 | = - (-2) = 2
1.15.2 PROPIEDADES
1) | a | ³ 0, a Îℝ 2) | a | 2 = a2
3) a2 = a 4) | ab | = | a | | b |
5)
a | a |
b | b |
= 6) |a + b| £ |a| + |b| (desigualdad triangular)
7)
³ 
b 0
= Û Ù 
| a | b
 = Ú = -
[a b a b]
8)
³ 
b 0
£ Û Ù 
| a | b
- £ £
b a b
9) | a |³ b Û a ³ b Ú a £ -b
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
29
30. Si xÎ 2;4 , hallar el intervalo al cual pertenece:
1
2x + 3
Solución
Por definición de intervalo, se tiene
2 x 4 Û 4 2x 8 Û 7 2x+3 11
1 1 1
11 2x 3 7
Û
+
Û
1 1 1
,
Î
+
2x 3 11 7
31. Si xÎ -2;7 / 6] . Halle el intervalo al cual pertenece
+
+
x 1
x 3
Solución
x 1 2
+ = 1
-
+ +
x 3 x 3
7 7
6 6 xÎ -2, ] Û - 2 x £ 25
6 Û 1 x + 3 £
1 6
Û 1
³
+
x 3 25
1 6
Û - 1
- £ -
+
x 3 25
2 12
Û - 2
- £ -
+
x 3 25
2 13
Û - 1 1
- £
+
x 3 25
x + 1 13
 Û Î - 1,
x + 3 25
 
32. Si 2x-3Î-7,12. Hallar el intervalo al cual pertenece 3x+5.
Solución
2x – 3 Î -7, 12 Û -7 2x – 3 12 Û -4 2x 15
Û -2 x 15/2 Û -6 3x 45/2 Û -1 3x+5 55/2
Û 3x+5 Î -1, 55/2
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
1. Calcular M = (1+i)4 + (1-i)4
Solución
(1+i)2 = 2i
(1+i)4 = (2i)2 = -4
(1-i)2 = -2i
(1-i)4 = (-2i)2 = -4
Reemplazando en la expresión, se tiene M = -8

20. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
28
26. Hallar el intervalo en el que debe estar comprendido a para que la
inecuación (a - 2)x2 + (2a - 3)x + a 0 se cumpla xÎℝ.
Solución
a – 2 0 Ù (2a-3)2 – 4 (a - 2)(a) 0 Û a 2 Ù a 9/4 Û a 9/4
a Î 9/4, +¥
27. Si -3 x 1 y a x2 + 8x - 3 b . Señale a-b
Solución
x2 + 8x – 3 = (x + 4)2 – 19
Como -3 x 1 Û -3 + 4 x+ 4 1 + 4
Û 1 x+ 4 5 Û 1 (x+ 4)2 25 Û -18 (x+ 4)2 -19 6
Û -18 x2 + 8x – 3 6
Comparando esta expresión con a x2 + 8x – 3 b, se obtiene a = -18, b = 6
Luego, a – b = -24
28. Si -5 £ x £ -3 y a £ -x2 + 3x + 3 £ b . Señale a+b
Solución
2 3 2 21
2 4 -x + 3x + 3 = -(x - ) +
Como -5 £ x £ -3 Û 3 3 3
2 2 2 -5 - £ x - £ -3-
13 3 9
2 2 2 Û - £ x - £ - 9 3 13
2 2 2 Û £ -(x - ) £
81 3 2 169
4 2 4 Û £ (x - ) £ 169 3 2 81
4 2 4 Û - £ -(x - ) £ -
148 21 3 2 60
4 4 2 4 Û - £ - (x - ) £ -
Û -37 £ -x2 + 3x + 3£ -15
Comparando esta expresión con a £ -x2 + 3x + 3 £ b, se obtiene a = -37, b = -15
Luego, a – b = -22
29. Cuántos enteros cumplen la relación 1 ]
4
2
,2
2x 3
Î
-
Solución
Por definición de intervalo:
1 2
2
£
-
4 2x 3
Û
2x 3 1
- ³ Û 8 2x – 3 ³ 1
4
2 2
2 x ³ 2
Û 11 2x ³ 4 Û 11
2 2 £ x
Û 11
Los enteros que cumplen la relación son: 2, 3, 4, 5. Luego son 4 enteros.
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
13
Ejemplo 1. Resolver | x2 -1 | £ x + 1
Solución
2
 + ³

x 1 0
Û Ù 
- + £ - £ +
(x 1) x 1 x 1
Û
Ù 
- + £ 2 - Ù 2
- £ +
 ³ -

x 1
(x 1) x 1 x 1 x 1
³ -
Ù
+ ³ Ù - + £
x 1
x(x 1) 0 (x 2)(x 1) 0

Û 
Î - + ¥
x [ 1,
Û Ù
Î -¥ - È + ¥ Ù Î -
x , 1] [0, x [ 1, 2]

S = [0, 2] È {-1}
Ejemplo 2: Resolver |x - x2| = x+1
Solución
 + ³

x 1 0
2 2
Û Ù 
 - = + Ú - = - +
x x x 1 x x (x 1)
 ³ -

x 1
Û Ù 
2 2
 + = Ú - - =
x 1 0 x 2x 1 0
{ }

x Î [ - 1,
+ ¥ 
Û Ù 
ÎÆ Ú Î + - 
Û{1- 2, 1+ 2}
x x 1 2,1 2
1.16 ECUACIONES E INECUACIONES CON MÁXIMO ENTERO
1.16.1 Definición. El máximo entero de un número real está definido por
x = n Û n £ x n +1, nÎℤ
Ejemplos. Hallar
1.5,
-3,
p
Solución
1.5 = 1 , pues 1 1.5 2
p = 3 , pues 3 π 4
-3 = -3 , pues -3 £ -3 -2
1.16.2 Propiedades
1)
x £ n Û x n +1, nÎℤ
2)
x ³ n Û x ³ n, nÎℤ

21. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
14
3)
x n Û x n, nÎℤ
4)
x n Û x ³ n +1, nÎℤ
x - 4

22. Ejemplo. Resolver 2 13
Solución
Según propiedad
2 1 2 1
13 13
x - 3

23. 4Î ℤ Û x - 3 4
Û - 3 x
3 1.17 NÚMEROS COMPLEJOS
1.17.1 Motivación. La ampliación de los números reales al conjunto de los
números complejos fue producto de resolver la ecuación: x2 + 1 = 0. Esta
ecuación no tiene solución real, pero si raíces complejas.
x2 1 0 x2 1
+ = Û = -
Û = ± -
Û = ±
x 1
x i
donde i = -1
1.17.2 Definición. Un número complejo es de la forma:
z = (x, y) = x + iy ; x, y Îℝ
2 - 3i , - 6i
Ejemplos: 2 + 3i, 5 – i, 1
1.17.3 Definición. Si z = x + iy, entonces z = x - iy se llama el conjugado de z.
1.17.4 Definición. El conjunto
ℂ = {z = x + iy / x, y Îℝ }
se llama conjunto de los números complejos.
Similarmente satisface todos los axiomas del Sistema de los Números Reales, con
respecto a la adición y multiplicación. En el sistema de los números complejos no
existe relación de orden.
1.17.5 OBSERVACIÓN
i = -1
i2 = -1
i3 = i2i = - i
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
27
su discriminante b2-4ac tiene que ser positivo, esto es b2-4ac0.
Luego aplicando a nuestro ejercicio tenemos
(-7)2 -4(m+1) 0 Û m 45/4 » 11, 2
Luego, el mayor valor número entero m es 11.
23. Si las raíces de la ecuación x2 - 2x + m+ 3 = 0 son complejas. Señale el
menor valor entero de m
Solución
Según la teoría, (-2)2 -4(1)(m+3) 0 Û m -2
Luego, el menor valor número entero m es -1.
24. Hallar el mayor entero m tal que para todo xÎℝ, se cumple
m x2 -10x + 32
Solución
Û x2 -10x + 32 – m 0
Para que se cumpla esta inecuación xÎℝ, el discriminante del polinomio x2
-10x + 32 – m tiene que ser negativo, esto es
(-10)2 – 4(1)(32-m) 0 Û m 7
Luego, el mayor valor número entero m es m = 6.
OTRO MÉTODO
De x2 -10x + 32 – m 0
Completando cuadrados, se tiene (x - 5)2 + 7 – m 0
Para que esto se cumpla xÎℝ, es que 7 – m 0 Û m 7.
Luego, el mayor valor número entero m es m = 6.
25. Hallar el menor número entero M, tal que xÎℝ, se cumple:
-x2 + 4x +10 M
Solución
Û x2 -4x + M – 10 0
Para que se cumpla esta inecuación xÎℝ, el discriminante del polinomio
x2 - 4x + M - 10 tiene que ser negativo, esto es
(-4)2 -4(1)(M - 10) 0 Û M 14
Luego, el menor valor número entero M es M = 15.
OTRO MÉTODO
De x2 -4x + M – 10 0
Completando cuadrados, se tiene (x-2)2 + M – 14 0
Para que esto se cumpla xÎℝ, es que M – 14 0 Û m 14.
Luego, el menor valor número entero M es M = 15.

24. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
26
20. Resolver
3
4

25. - -
-
x 8
0.7
x 16
Solución
-0.7 0 1 2 3 ¼
3
4

26. x 8
Û - ³
0
-
x 16
3
4
x 8
Û - ³
0
-
x 16
2
(x - 2)(x + 2x + 4)
Û ³
2
0
- + +
(x 2)(x 2)(x 4)
2
2
(x - 2)((x + 1) + 3)
Û ³
0
- + +
(x 2)(x 2)(x 4)
Û x - 2
( x - 2
0
)(x 2)
³
+
1
Û ³ ¹
0, x 2
+
x 2
Û x + 2 0, x ¹ 2 , -2
Û x -2, x ¹ 2 , -2
S = -2, +¥ - {2}
21. Resolver
- -
2x 5 2
0
1

27. x 2
2
- -
Solución
 - Ù -

28. 1
2
| 2x 5 | 2 x 2

29. - Ù - 
12

Û Ú 
| 2x 5 | 2 x 2
 - Ú - - Ù - 1
³

2
(2x 5 2 2x 5 2) x 3
- - Ù -
1
2
Û Ú 
2 2x 5 2 x 2
 Ú Ù ³

7 3 7
2 2 2
(x x ) x
Û Ú 
 Ù
3 2 x 7 5
2 x
2
7
2
x
3 5
2 x
2


Û Ú 

2 2 2 S = , È , +¥
3 5 7
22. Si las raíces de la ecuación (m+ 5)x2 - 7x +1 = 0 son reales y diferentes,
indique el mayor valor entero m
Solución
Según la teoría, para que la ecuación ax2+bx+c = 0 tenga raíces reales diferentes,
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
15
i4 = i2i2 = (-1)(-1) = 1
i5 = i
i6 = -1
(1+i)2 = 1 + i2 + 2i = 1 - 1 + 2i
Û (1+i)2 = 2i
1.17.6 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i
1) z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)i
2) z1 - z2 = (x1 - x2) +(y1 - y2)i
3) z1.z2 = (x1 + y1i)( x2 + y2i) = (x1 x2 - y1 y2) + (x1 y2 + x2 y1)i
4) 1 1 + 1 1 + 1 2 -
2
z x y i (x y i)(x y i)
= =
z x y i (x y i)(x y i)
+ + -
2 2 2 2 2 2 2
 +   - 
=   +    +   + 
z x x y y x y x y
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
i
z x y x y
Ejemplo. Si z = 2-3i, w = 3+2i, calcular: z - w, zw y z/w
Solución
z - w = 2 - 3i – (3+2i) = = 2 - 3i – 3 - 2i = -1 - 5i
zw = (2-3i)( 3+2i) = 6 - 6i2 - 9i + 4i = 6 + 6 - 5i = 12 - 5i
- - - -
2 3i (2 3i)( ) 13i
= = = = -
zw i
3 2i (3 2i
3 2i
)(3 2i) 13
-
+ +
1.17.7 FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea z = x+iy
q
x
De la figura, según el teorema de Pitágoras, se tiene
r = x2 + y2
Por otro lado obtenemos:
= q
= q 
xr
y
r
cos
sen
x r cos
y r sen
 q = ⇒ 
q = ⇒
y
r
z = x+iy

30. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
16
y y
x x tan q = ⇒ q = arctan( )
Al número r = z = x2 + y2 se llama módulo de z.
Al ángulo q se llama argumento de z.
A la expresión
z = r (cosq + i senq) (*)
se llama la forma polar del número complejo z.
1.17.8 FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Se define:
ei q = cosq + i senq
Luego, si z = x+iy, entonces de (*), se tiene
que se llama la forma exponencial del número complejo z
Ejemplo. Hallar la forma exponencial del número complejo z = 3-3i
Solución
r = 9 + 9 = 18
3
4 q = arctan(-1) = p
p
3
4
i 3 3i 18 e
- =
1.17.9 FÓRMULA DE MOIVRE
( )i n in e q = e q
o equivalentemente: (cosq + i senq) n = cos nq + i sen nq
1.17.10 POTENCIACION DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si z = x + iy = reiq , entonces zn = (reiq )n = rn einq
Ejemplo. Calcular z = (3-3i)200
Solución
Del ejemplo anterior, se tiene
p
3
4
i 3 3i 18 e
- =
p
3
4
200 200 200i (3 3i) 18 e
- =
z = reiq
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
25
= [ , 4 - 6
Luego, la solución final es S = U Ç (S1 Ç S2) 12
18. Resolver
2
- - ³ -
- -
x 3x 4
2
x 5
21 x 4
Solución
2
- - ³ Ù - ³ Ù - - ³
2 2
x 3x 4
U : x 3x 4 0 x 4 0 0
2
- -
21 x 4
Û (x +1)(x - 4) ³ 0 Ù (x - 2)(x + 2) ³ 0 Ù 21 - x2 - 4 0
2 2 Û (x +1)(x - 4) ³ 0 Ù (x - 2)(x + 2) ³ 0 Ù
x2 - 4 21
Û (x +1)(x - 4) ³ 0 Ù (x - 2)(x + 2) ³ 0 Ù (x -5)(x + 5) 0
Luego, aplicando el método de los puntos críticos, se tiene
U = ( -¥,-1]È[4,+¥ )Ç( -¥,-2]È[2,+¥ )Ç -5,5
U = -5,-2]È[4,5
Para x Î U, -5 x £ -2 Ú 4 £ x 5 Û -10 x - 5 £ -7 Ú -1 £ x - 5 0
Luego, la expresión x – 5 es negativo, xÎU. Por lo tanto, la solución de la
inecuación original es U = -5,-2]È[4,5
19. Resolver
6
x 4 x2

31. 1
- £ -
- - -
x 3 x 5
Solución
x 6 4 x2
0
Û -
- - -
x 3 x 5
U: 4 – x2 0 Û U = -2, 2
La ecuación anterior es equivalente a:
x
0
x 3 x 5
- - -
- + -
x( x 3 x 5 )
Û
2 2
0
- - -
(x 3) (x 5)
x
0
Û
-
2(2x 8)
x
0
Û
-
x 4
+ - +
-¥ +¥
0 4
xÎ0, 4
Luego, la solución es S = U Ç 0, 4 = -2, 2 Ç 0, 4 = 0, 2

32. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
24
 - ³ Ù - ³ 
U : x 2 0 3 x 0
2 2
Ù 
- + - ³ 
( x 2 3 x ) 2
U = [2, 3]
Ù
x - 2 + 3- x + 2 (x - 2)(3- x) ³ 2 Û 2 (x - 2)(3- x) ³ 1
Û 4(-x2 + 5x - 6) ³ 1 Û 4x2 – 20x + 25 £ 0
Û (2x - 5)2 £ 0 Û 2x = 5
Û x = 5/2
Luego, la solución es S = {5/2}Ç [2, 3] = {5/2}
16. Resolver 25 - 5x x -1
Solución
U: 25 -5x ³ 0 Ù x – 1 ³ 0
Û U = [1, 5]
Ù
2 2
25 - 5x x -1 Û 25 – 5x x – 1 Û x 13/3
Luego, S = U Ç 13/3, +¥ = 13/3, 5]
17. Resolver 2x -1 3- x
Solución
U: 2x – 1 ³ 0 Û U = [1/2, +¥
Ù
i) Si 3 – x 0 ⇒ de la inecuación original, x Î Æ
S1 = Æ
ii) Si 3 – x ³ 0 ⇒ de la inecuación original, se tiene
⇓
2 2 2x -1 (3- x)
x £ 3 Û 2x -1 x2 -6x +9
x Î-¥, 3] Û (x - 4 - 6)(x - 4 + 6) 0
+ - +
-¥ +¥
4 - 6 4 + 6
xÎ -¥, 4 - 6 È 4 + 6, +¥
S2 = -¥, 3]Ç( -¥, 4 - 6 È 4 + 6, + ¥ ) = -¥, 4 - 6
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
17
100
= p + p
= +
=
18 (cos(150 ) i sen(150 ))
18 100
(cos(0) i sen(0))
18
100
1.17.11 RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO
Si z = x + iy = reiq , entonces sea
w = n z
Las raíces son
n i n i( 2k ) n
k
q+ p
i( 2k )
w re q re q+ p r e n
= = = ,k = 0, 1, 2,..., n -1
k = 0, 1, 2,..., n -1
n
q+ p
=
w r e n
k
i( 2k )
Ejemplo. Calcular 3 3-3i
Solución
Del ejemplo anterior, se tiene
p
3
4
i 3 3i 18 e
- =
p + p
3 2 k
4
3 i
3 - 3i = 3 18 e 3
=
wk
6 i
4
w0 18 e
p
=
11 i 6
12
w1 18 e
p
=
19 i 6
12
w2 18 e
p
=
w3 = w0
EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS REALES
1. De los siguientes enunciados, cuales son verdaderos
a) x2 - 4x + 8 0, xÎℝ
b) x2 - 4x + 9 ³ 0, xÎℝ
c) x2 - 4x + 7 0, xÎℝ
d) x2 - 4x + 4 0, xÎℝ
e) x2 + 4x + 4 ³ 0, xÎℝ
Solución

33. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
18
a) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 4 0 xÎℝ.
Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad
(x-2)2 + 4, que es positiva xÎℝ, afirma que es negativa. Lo cual es
absurdo. Por consiguiente el enunciado es falso.
b) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 5 ³ 0 xÎℝ.
Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad
(x-2)2 + 5, que es positiva xÎℝ, afirma que es positiva o cero. Lo cual es
cierto. Por consiguiente el enunciado es verdadero.
c) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 + 3 0 xÎℝ.
Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad
(x-2)2 + 4, que es positiva xÎℝ, afirma que es positiva. Lo cual es cierto.
Por consiguiente el enunciado es verdadero.
d) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 0 xÎℝ.
Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad
(x-2)2 , que es positiva o cero xÎℝ, afirma que es negativa. Lo cual es
absurdo. Por consiguiente el enunciado es falso.
e) Completando cuadrados, es equivalente a: (x-2)2 ³ 0 xÎℝ.
Al interpretar este resultado, en palabras lo que simboliza es que la cantidad
(x-2)2, que es positiva o cero xÎℝ, afirma que es positiva o cero. Lo cual
es cierto. Por consiguiente el enunciado es verdadero.
2. Resolver -x2 - 2x + 35 0
Solución
Û x2 + 2x – 35 0 Û (x-1)2 – 36 0 Û (x – 1 - 6)(x - 1 + 6) 0
Û (x-7)(x+5) 0
+ - +
-¥ -5 7
+¥
S = -5; 7
3. Resolver (2x + 5)2 ³ (5x + 2)2
Solución
Û (2x+5)2 – (5x+2)2 ³ 0 Û (2x+5-5x-2)( 2x+5+5x+2) ³ 0
Û (-3x+3)(7x+7) ³ 0 Û -21(x-1)(x+1) ³ 0
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
23
(x - 1)
Û £
0
- +
(x 2)(x 2)
, x ¹ -1
- + - +
-¥ +¥
-2 1 2
x Î -¥, -2 È [1, 2
Luego, la solución es
S = U Ç (-¥, -2 È [1, 2) = [-2, 2] Ç (-¥, -2 È [1, 2)
S = [1, 2
13. Resolver 3 x 3 x -1 +1
Solución
Û 3 x -1 3 x -1
3 3 3 3 Û ( x -1) x -1
3 2 3 Û x - 3 x + 3 x -1 x -1
Û 3 x(3 x -1) 0
+ - +
-¥ 0 1
+¥
3 x Î 0, 1 Û 0 3 x 1 Û 0 x 1
S = 0, 1
14. Halle el mayor valor entero de x para el cual:
2
- +
-
x 1
2
2 0
9 x
Solución
Su conjunto solución es su universo:
2
- ³
-
x 1
U : 0
2
9 x
2
2
x 1
Û - £
0
-
x 9
(x - 1)(x + 1)
Û £
0
- +
(x 3)(x 3)
- + - +
+
-¥ -1 +¥
-3 1 3
S = -3, -1] È [1, 3
Luego, el mayor número entero x es 2.
15. Resolver x - 2 + 3- x ³ 2
Solución

34. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
22
(-2)+(-1)+0+1+2+3+4 = 7
11. Resolver
+ - - ³
- - -
| 2x 3 | | x 8 |
0
| 2x 1| | 7x 8 |
Solución
Como |2x-1|+|7x-8| y |2x+3|+|x-8| son positivos, entonces, se tiene
( 2x + 3 - x - 8 )( 2x + 3 + x - 8 )
 2x + 3 + x - 8

³ 0
( 2x - 1 - 7x - 8 )( 2x - 1 + 7x - 8 )
  2x - 1 + 7x - 8
 
Û
2 2
2 2
+ - - ³
- - -
(2x 3) (x 8)
0
(2x 1) (7x 8)
Û
(x + 11)(3x - 5)
³
- + -
0
( 5x 7)(9x 9)
Û
+ - ³
(x 11)(3x 5)
0
- - -
(5x 7)(9x 9)
Û
+ - £
- -
(x 11)(3x 5)
0
(5x 7)(9x 9)
- + - +
-¥ 1 +¥
S = [-11, 1 È 7/5, 5/3]
12. Resolver
2 | x |(1 x2 )
0
- -
(| x 3 | x 1)(| x | 2)
³
+ + - -
Solución
U: 2 - |x| ³ 0 Û U = [-2, 2]
Ù
Como en U, la expresión 2- | x | es positiva, entonces por la propiedad de
cancelación, se tiene
(1 x2 )
0
- ³
+ + - -
(| x 3 | x 1)(| x | 2)
2
- (x - 1)(| x | + 2)
Û ³
2
0
+ + - -
(| x 3 | x 1)(x 4)
2
Û - - ³
2
(x 1)
0
+ + - -
(| x 3 | x 1)(x 4)
2
Û - £
2
(x 1)
0
+ + - -
(| x 3 | x 1)(x 4)
(x - 1)(x + 1)
Û £
0
+ + - - +
(| x 3 | x 1)(x 2)(x 2)
Para xÎU = [-2, 2] Û -2 £ x £ 2 Û 1 £ x+3 £ 5 Û |x+3| = x+3.
Reemplazando en la inecuación anterior, se tiene
- + £
(x 1)(x 1)
0
+ + - - +
(x 3 x 1)(x 2)(x 2)
Û (x -1)( x +1)
2( x +1
0
)(x 2)(x 2)
£
- +
-11 7/5 5/3
+
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
19
Û (x-1)(x+1) £ 0
S = [-1, 1]
4. Resolver
x2 - 1 x2 + 2 x2 +
3
5 6 7
Solución
x2 1 x2 2 x2 2 x2 3
- + Ù + +
5 6 6 7
Û
x2 1 x2 2 x2 2 x2 3
- - + Ù + - +
0 0
5 6 6 7
Û 6x2 -6 -5x2 -10 0(30) Ù 7x2 +14 -6x2 -18 0(42)
Û x2 -16 0 Ù x2 -4 0
Û (x-4)(x+4) 0 Ù (x-2)(x+2) 0
Û x Î -¥, -4 È 4, +¥ Ù x Î -¥, -2 È 2, +¥
S = -¥, -4 È 4, +¥
5. Resolver
3 3 1
£ +
x 4(x 1) 4x 12
- +
Solución
Û
3 1 3
0
+ - ³
- +
4(x 1) 4(x 3) x
12x(x + 3) + x(x - 1) - 12(x - 1)(x + 3)
Û ³
0
- +
4x(x 1)(x 3)
x2 11x 36
0
Û + + ³
- +
4x(x 1)(x 3)
11 2 23
2 4 (x )
0
+ +
Û ³
- +
4x(x 1)(x 3)
Pero 11 2 23
2 4 (x + ) + es positivo xÎℝ, entonces, la expresión anterior es
equivalente a:
1 0
- + + +
11 2 23
2 4
³
4x(x 1)(x 3) (x )
1
0
Û ³
- +
4x(x 1)(x 3)
1
0(4)
Û ³
- +
x(x 1)(x 3)
1
0
Û ³
- +
x(x 1)(x 3)
Û x(x -1)(x + 3) 0 , x ¹ 0, 1, -3
- + - +
-¥ -3 0 1
+¥
S = -3, 0 È 1, +¥
6. Resolver
- £ +
+ -
2x 6 x 15
2x 1 x 5

35. Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
20
Solución
2x 6 x 15
Û - - + £
0
+ -
2x 1 x 5
(2x - 6)(x - 5) - (2x + 1)(x + 15)
Û £
0
+ -
(2x 1)(x 5)
47x 15
Û - + £
0
+ -
47x 15
(2x 1)(x 5)
0
Û - ³
+ -
(2x 1)(x 5)
- + - +
-¥ +¥
-1/2 15/47 5
2 47 S = - ,  ∪ 5, +¥
1 15
7. Resolver x4 + 2x3 + 24 13x2 +14x
Solución
Û x4 + 2x3 -13x2 -14x + 24 0
Para factorizar el primer miembro, aplicaremos el método de factorización de los
divisores binómicos.
1 2 -13 -14 24
1 3 -10 -24
1 3 -10 -24 0
3 18 24
1 6 8 0
1
3
Luego, la expresión anterior es equivalente a:
(x - 1)(x - 3)(x2 + 6x + 8) 0
Û (x - 1)(x - 3)(x + 4)(x + 2) 0
- + - +
+
-¥ -2 +¥
-4 1 3
S = -¥, -4È-2, 1È3, +¥
8. Resolver | x + 6 | 3- 2x
Solución
- ³ 
3 2x 0
Û Ù 
- - £ + Ù + £ -
(3 2x) x 6 x 6 3 2x
32
 x
£

Û Ù 
 £ Ù £ -
x 9 x 1
Û x £ -1
S = -¥, -1]
Mag. Jube Portalatino Zevallos Números Reales
21
9. Luego de resolver
2
- - £
- +
5 | x 4x |
2
0
| x 5 | x
se obtiene como solución: xÎℝ-a; b. Indique A = a + b
Solución
Como la expresión |x-5|+x2 es positiva, x Î ℝ. Entonces
2
- - £
- +
5 | x 4x |
2
0
| x 5 | x
Û 5 - x2 - 4x £ 0
Û |x2 -4x| ³ 5 Û x2 -4x ³ 5 Ú x2 -4x £ -5
Û x2 -4x - 5 ³ 0 Ú x2 -4x + 5 £ 0
Û (x - 5)(x + 1) ³ 0 Ú (x - 1)2 + 1 £ 0
+ - +
-¥ -1 5
+¥
Û -¥, -1] È [5, +¥ Ú xÎÆ Û -¥, -1] È [5, +¥ Û ℝ - -1, 5
Luego, A = a + b = 4 = 2
10. Al resolver x2 - 2x + 5 | x -1| 35
Indique la suma de los valores enteros que no son solución.
Solución
i) Si x – 1 ³ 0 ⇒ |x-1| = x-1
⇓
x ³ 1
⇓
xÎ[1, ¥
De la inecuación original: x2 -2x + 5(x-1) 35 Û x2 + 3x – 40 0
Û (x+8)(x-5) 0 Û xÎ-¥, -8 È 5, +¥
S1 = (-¥, -8 È 5, +¥) Ç [1, ¥ = 5, +¥
ii) Si x – 1 0 ⇒ |x-1| = -(x-1)
⇓
x 1
⇓
xÎ-¥, 1
De la inecuación original: x2 -2x - 5(x-1) 35 Û x2 - 7x – 30 0 Û (x-
10)(x+3) 0 Û xÎ-¥, -3 È 10, +¥
S2 = (-¥, -3 È 10, +¥) Ç -¥, 1 = -¥, -3
Luego, la solución completa es
S = S1 È S2 = -¥, -3 È 5, +¥
Por lo tanto, la suma de los números enteros que no son solución es