Teoria de conjuntos virtuamat.blogspot.pt

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Uma pequena introdução à teoria de conjuntos para o 12º ano.

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  1. 1. No¸oes elementares de Teoria de Conjuntos c˜ 12o Ano Joaquim Bai˜o a VirtuaMAT 6 de Dezembro de 2012Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 1 / 12
  2. 2. Defini¸˜o de conjunto caDefini¸˜o intuitiva de conjunto caO que ´ um conjunto? eIntuitivamente, um conjunto ´ uma colec¸˜o de objectos que verifica uma e cadeterminada propriedade.Defini¸˜o caAo conjunto que n˜o tem nenhum elemento designamos por conjunto avazio. Este conjunto ´ representado por ∅. eExemplos: 1 Z = {x : x ∈ Z} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} 2 A: ”O conjunto dos n´meros naturais menores ou iguais a 5” u A = {x : x ∈ N e x ≤ 5} = {x ∈ N : x ≤ 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 3 B: ”Resultado de dois lan¸amentos consecutivos de uma moeda”. c B = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}1 1 (1o lan¸amento, 2o lan¸amento) c c Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 2 / 12
  3. 3. Rela¸ao de Perten¸a e de Inclus˜o c c aRela¸˜o de Perten¸a ca cSeja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Linguagem corrente Ling. Matem´tica a 2 ´ elemento de A e 2 pertence a A 2∈A 3 e 5 s˜o elementos de A 3 e 5 pertencem a A a 3, 5 ∈ A 7 n˜o ´ elemento de A a e 7 n˜o pertence a A a 7∈A/Exemplo 1: Seja S = {carta, email} carta ´ elemento de S, ou seja, carta ∈ S; e telefone n˜o ´ elemento de S, ou seja, telefone ∈ S. a e / Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 3 / 12
  4. 4. Rela¸ao de Perten¸a e de Inclus˜o c c aRela¸˜o de Inclus˜o ca aDefini¸˜o caSejam A e B conjuntos. Diz-se B est´ contido em A, ou que B ´ um a esubconjunto de A se todo o elemento de B ´ elemento de A. eNeste caso, escreve-se B ⊆ A.Notas: ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Diz-se que B n˜o esta contido em A, ou que B n˜o ´ subconjunto a a e de A, se existe pelo menos um elemento de B que n˜o ´ elemento a e de A. Neste caso escreve-se B A.Exemplo 2: Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 5, 3} e C = {1, 9}, ent˜o: a B ⊆ S porque 1, 3, 5 ∈ B e 1, 3, 5 ∈ S; C S porque 9 ∈ C mas 9 ∈ S. / Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 4 / 12
  5. 5. Opera¸˜es entre conjuntos co Conplementar de um conjuntoComplementar de um conjuntoDefini¸˜o caSeja A um subconjunto de um universo Ω (A ⊆ Ω). Chama-secomplementar de A ao conjunto de todos os elementos de Ω que n˜o s˜o a aelementos de A. Este conjunto representa-se por A.Em linguagem matem´tica, a A = {x ∈ Ω : x ∈ A} /Exemplo 3: Ω = {a, b, d, e, f , g } A = {a, e, d} A = {b, f , g } Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 5 / 12
  6. 6. Opera¸˜es entre conjuntos co Intersec¸˜o de Conjuntos caIntersec¸˜o de conjuntos caDefini¸˜o caSejam A e B dois subconjuntos de Ω (A, B ⊆ Ω). A intersec¸˜o de A cacom B ´ o conjunto dos elementos de Ω que pertencem a A e a B, esimultaneamente. Este conjunto representa-se por A ∩ B.Em linguagem matem´tica, a A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A e x ∈ B}Exemplo 4: A = {5, 7, 3, 2, 4, 8} B = {2, 3, 15, 6, 10} A ∩ B = {2, 3} Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 6 / 12
  7. 7. Opera¸˜es entre conjuntos co Intersec¸˜o de Conjuntos caIntersec¸˜o de conjuntos (cont.) caDefini¸˜o caSejam A, B ⊆ Ω. A e B dizem-se disjuntos se A∩B =∅Exemplo 5: A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6} A∩B =∅ Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 7 / 12
  8. 8. Opera¸˜es entre conjuntos co Intersec¸˜o de Conjuntos caDefini¸˜o caSejam A, B ⊆ Ω. Chama-se A excepto B, ou complementar de B emA, ao conjunto que cont´m todos os elementos de A que n˜o s˜o e a aelementos de B. Este conjunto representa-se por A B.Em linguagem matem´tica, a A B = {x ∈ Ω : x ∈ A e x ∈ B}. /Notas: Na pr´tica, A B ´ o conjunto que resulta de, a todos os elementos a e de A ”retirar”todos os elementos que est˜o em B. a AB =A∩BExemplo 6: Recorrendo aos conjuntos do Exemplo 4: A = {5, 7, 3, 2, 4, 8} B = {2, 3, 15, 6, 10} A B = {5, 7, 4, 8} B A = {15, 6, 10}. Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 8 / 12
  9. 9. Opera¸˜es entre conjuntos co Reuni˜o de Conjuntos aReuni˜o de conjuntos aDefini¸˜o caSejam A, B ⊆ Ω. A reuni˜o de A com B ´ o conjunto de todos os a eelementos de Ω que pertencem a A ou a B. Dito de outra forma, ´ o econjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dosdois conjuntos A e B. Este conjunto representa-se por A ∪ B.Em linguagem matem´tica, a A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ou x ∈ B}Exemplo 7: Voltando a recorrer aos conjuntos do Exemplo 4: A = {5, 7, 3, 2, 4, 8} B = {2, 3, 15, 6, 10} A ∪ B = {5, 7, 3, 2, 15, 6, 10} Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 9 / 12
  10. 10. Opera¸˜es entre conjuntos co Propriedades da Intersec¸˜o e da reuni˜o ca aProriedades da Intersec¸˜o e da Reuni˜o ca aSejam A, B ⊆ ΩIntersec¸˜o ca Reuni˜o a A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; Propriedade associativa: Propriedade associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) A ∩ Ω = A; A ∪ Ω = Ω; A ∩ ∅ = ∅; A ∪ ∅ = A; A ∩ A = ∅. A ∪ A = Ω. Se A ⊂ B ent˜o A ∩ B = A; a Se A ⊂ B ent˜o A ∪ B = B. aPropriedade distributiva Leis de De Morgan A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ); A ∩ B = A ∪ B; A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ). A ∪ B = A ∩ B. Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 10 / 12
  11. 11. O conjunto das partesO conjunto das partes de um conjuntoDefini¸˜o caSeja A ⊆ Ω. Define-se o conjuntos das partes de A como o conjuntocujos elementos s˜o todos os subconjuntos de A. Este conjunto arepresenta-se por P(A).Notas: ∅ ∈ P(A) porque ∅ ⊆ A; A ∈ P(A) porque A ⊆ A.Exemplo 8:Seja A = {1, 2, 3}. Ent˜o, a P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 11 / 12
  12. 12. Cardinalidade de conjuntosCardinalidade de conjuntosDefini¸˜o caSeja A ⊆ Ω. O cardinal de A ´ o n´mero de elementos de A. e uRepresenta-se por A.Exemplo 9: Recorrendo ao exemplo anterior: A=3 P(A) = 8 = 23 = 2 A .Genericamente,Proposi¸˜o caSeja A ⊆ Ω. Ent˜o P(A) = 2 A . a Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT) a No¸˜es elementares de Teoria de Conjuntos co 6 de Dezembro de 2012 12 / 12

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