Clases de Historia de la Matemática

1. MATEMÁTICA
CONTEMPORÁNEA
Problemas con Objetos Abstractos

2. Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813)

3. Pierre-Simon, marquis de Laplace (1749–1827)

4. Johann Carl Friedrich Gauss (1777 –1855)
“El Príncipe de las Matemáticas”

5. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

6. 0
1
( ) cos sin
2
n n
n
a nx nx
f x a b
L L
π π∞
=
= + +∑
1
( )cos
c L
n
c
nx
a f x dx
L L
π+
= ∫
1
( )sin
c L
n
c
nx
b f x dx
L L
π+
= ∫
Sea f(x) una función periódica 2L, f(x+2L)=f(x)

7. ¿Cómo una suma de funciones suaves
como senos y cosenos puede representar
una función discontinua?
1 1
1

8. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

9. Évariste Galois (1811 -1832)

10. Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)

11. “Un punto dado, no situado en una recta
dada, es el extremo de exactamente dos
semirrectas no alineadas, que no cortan a
la recta, pero que todas las semirrectas
situadas entre ellas cortan a la recta”.

13. B
.
A C

15. LA CUESTIÓN DE LOS FUNDAMENTOS
1. Ignorar las paradojas, considerarlas como
construcciones artificiosas y continuar elaborando la
teoría cantoriana de conjuntos en sus aspectos no
paradójicos.
2. Restringir la existencia de conjuntos “paradójicos” a
través de sistemas axiomáticos más consistentes.
3. En los límites cantorianos de la consideración del
infinito actual, mejorar su fundamentación a través de
razonamientos con elementos finitos.
4. Criticando las concepciones de la abstracción del
infinito actual y las leyes de la lógica clásica, formular
un nuevo programa de fundamentación con la
correspondiente nueva lógica.

20. Mgr George Lemaître (1894-1966)

21. Ecuaciones de Yang-Mills (1954)
Muray Gell-Mann (1961), Nobel 1969
Sheldon Glashow, Abdus Salam y Steven Weinberg (1968), Nobel 1979
Walter Feit y John Thompson (1962), Medalla Fields (1970) y Premio Wolf (1992)
Petr Novikov y S. I. Adian (1968)
Efim Zelmanov (1991), Medalla Fields (1994)

23. “Un estudiante me pidió que le diera un
argumento sobre un hecho que yo ni siquiera
sabía que era un hecho, ni lo sé aún ahora.
El estudiante dice que si uno toma una figura
(plana) cualquiera y la divide en
compartimentos pintados con diferentes
colores, de manera tal que dos adyacentes
no tengan un color en común, entonces él
sostiene que cuatro colores son suficientes”

24. Cualquier mapa geográfico puede ser
coloreado con cuatro colores diferentes, de
forma que no haya regiones adyacentes con
el mismo color.
"En un plano o en una esfera no se necesitan
mas de cuatro colores para colorear un mapa
de manera que dos regiones vecinas, es decir,
que compartan una frontera y no únicamente un
punto , no queden coloreadas del mismo color"

25. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

26. “Общая задча об устойчивости движения”
(1892)

27. Jules Henri Poincaré (1854 -1912)

29. "Cuando uno trata de dibujar la figura que
forman estos dos cuerpos y la infinidad de
intersecciones, cada una de las cuales
corresponde a una doble solución asintótica,
dichas intersecciones forman una especie de
tejido o red; ninguna de las dos curvas
puede cruzarse consigo misma, pero debe
doblarse sobre sí de una forma tan
complicada...".

30. Las curvas de la izquierda aparecieron en la memoria de
Poincaré de 1890, y fueron obtenidas con bastante
imaginación. Las de la derecha fueron publicadas en 1964
en un artículo de los astrónomos Hénon y Heiles, y fueron
construidas a partir de cálculos con ordenador.

32. “Caos, 1. Estado de confusión en
que estaba el universo al principio
de su creación antes de que Dios
pusiera en las cosas el orden
actual. 2. Lugar de gran
confusión”.
“Caos... Fig. Confusión y
desorden total”.

33. Poincaré y la portada de su famosa memoria. En realidad
corresponde a una revisión del trabajo originalmente premiado.

39. NICHOLAS BOURBAKI

40. Benoît B. Mandelbrot (1924)

42. En pasos de 100 Km el resultado es 2.400 Kms
En pasos de 50 Km el resultado es 3.050 Kms
En pasos de 25 Km el resultado es 3.625 Kms
En pasos de 10 metros el resultado es 45.500 Kms
En pasos de 5 metros el resultado es 54.000 Kms
(como dato de comparación: el ecuador terrestre mide
40.000 Kms)

46. Término acuñado por Mandelbrot en
1975 por la fusión (?) de las palabras
fractus (romper) y fracture (fractura),
dando una función doble
(sustantivo/adjetivo) a su creación.

47. Un fractal es un conjunto de puntos,
cuya dimensión no necesariamente es
entera, es decir, puede tener
dimensión fraccionaria y puede ser
caracterizado por las siguientes
propiedades:
 Infinitud o nulidad.
 Autosimilitud.
 Compleja estructura a cualquier
escala.

48. La autosimilitud es un concepto que se
puede entender de una forma muy
intuitiva; a grandes rasgos, visualicemos
un objeto geométrico, o una figura,
ahora imaginemos que esta figura
está compuesta de figuras más pequeñas,
cada una de las cuales se ve idéntica a la
figura original excepto por el tamaño; y a
su vez cada una de estas figuras más
pequeñas se compone de figuritas todavía
más pequeñas y así sucesivamente...

49. [ ] ,)(inf)(
1)(
∑
∞
=<
=
k
p
k
Xd
p XdextX
i α
α
µ
Sea p un número real no negativo arbitrario, 0≤p<∞
y dado α>0, definamos
Cuando α→0, el número
α
µp
Tiende de manera monótona creciente a un
determinado límite (finito o infinito) que depende
de p, y que sirve para definir la dimensión de
conjunto, debido a que el límite toma um valor
finito y no nulo, a lo sumo, para um valor de p.

50. αD
pµ
0
Dimensión de Hausdorff
α
µp
Dimensión de Hausdorff-
Besicovich

51. K. Weierstrass (1815-1897) G. Cantor (1815-1897)

52. A. M. Lyapunov (1857-1918) G. Peano (1858-1932)

53. N. Koch (1815-1897) W. Sierpinski (1882-1969)

54. G. Julia (1893-1978) B. Mandelbrot (1924-)

55.  Los fractales matemáticos,
 Los fractales naturales (árboles,
montañas, nubes, etc.), y
 Los fractales humanos.

58. La Curva de Von Koch se construye recursivamente
k=1
k=2
k=3
k=4
……………… …..
k infinito

59. La Curva de Von Koch es autosemejante, es más . . .
. . . Si la ampliamos con un zoom x3…
. . . obtenemos 4 copias de la curva original…

61. Triángulo de Sierpinski
Este triángulo es uno de los
pocos fractales que se puede
dibujar sin ayuda de una
computadora bajo las siguientes
instrucciones:

63.  La escalera del diablo.
 El helecho
 Orbitas caóticas.

65. La escalera del diablo
Agregar alturas al Conjunto de Cantor.

66. …Hay objetos que son “más que una curva”
pero sin llegar a ser una superficie…
Por ejemplo, la Curva de Peano
Podría pensarse que es unidimensional por ser una
curva, pero es bidimensional porque el límite cubre
todo el cuadrado.

67. Otra quimera matemática es la extensión del
Triángulo de Sierpinski:

68. El helecho
Michael Barnsley
tomó un camino
diferente; en vez de
generar los fractales
iterativamente, él
convirtió el azar en
el bloque
fundamental de los
fractales, y a esta
nueva técnica la
denominó "EL
JUEGO DE
CAOS"

69. El Conjunto de Mandelbrot
Zn+1 = (Zn)2
+ Zo
Se construye en el plano complejo, recursivamente,
partiendo de un valor inicial Zo y calculando los siguientes
valores como
(Z0) → Z1 → Z2 → ... → Zn → Zn+1 → ...
¿Para qué valores Zo esta sucesión se va a infinito?
¿Con qué rapidez se va a infinito?

70. Si pintamos los puntos que se van a a infinito de blanco
obtenemos el siguiente gráfico

71. El Conjunto Mandelbrot M, consiste de
todos aquellos valores (complejos) de c
cuyas órbitas de 0 bajo z2
+ c
correspondientes, no escapan al infinito
{c / órbita de 0 en Z{c / órbita de 0 en Z22
+c converge}+c converge}

72. El Mundo Mandelbrot
El conjunto de
Mandelbrot es,
como dijo James
Gleick, “el objeto
más complejo de
las Matemáticas”

73. CONJUNTOS DE JULIA
En el plano complejo, la sucesión
Zn+1=Zn
2
+C,
determina, para cada valor de C, un
Conjunto de Julia, que está formado por
los Zo cuyas órbitas convergen.

75. El fractal de Mandelbrot
Es una de esas
curvas que desafía
nuestra capacidad
de entendimiento
"geométrico", muy
habituada a las
estructuras
euclídeas, simples y
prácticas.

76. Característica fractal de
Mandelbrot
Una de las características
más espectaculares de
estos fractales, es que son
no derivables en todos sus
puntos. En lenguaje menos
matemático: una curva
cualquiera es no derivable
en un punto cuando, aun
existiendo ese punto, forma
un pico o esquina.

77. La figura muestra
una zona del fractal
de Mandelbrot
bastante parecida a
la figura de la
diapositiva anterior.

78. Pero al ampliar la
zona del punto A,
observamos que las
cosas se complican:
aparecen más y más
picos por todos
sitios...

79. Explorando las entrañas del
Conjunto Mandelbrot
Amplificación 1

80. Explorando las entrañas del
Conjunto Mandelbrot

82. Modelando la Naturaleza
¿La geometría clásica sirve para representar la
Naturaleza?
¿podemos representar una nube
con rectas, circunferencias y
curvas?

83. Árboles, foto del autor

84. Helechos, foto del autor

85. Imagen de la página de Paul Bourke http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/

86. Patrones de autosemejanza en una hoja, foto del autor

87. Formas fractales vegetales, foto del autor

88. Formas fractales vegetales, foto del autor

89. Formas fractales vegetales, foto del autor

90. Formas fractales animales, foto del autor

91. Formas fractales inanimadas, foto del autor

92. Formas fractales inanimadas, foto del autor

93. La Curva de Von Koch aparece en la Naturaleza…

94. ¿Cómo son los anillos de Saturno?
Desde su descubrimiento por Galileo se pensó
que era un único anillo…

95. Con la evolución de los telescopios se probó que había
muchos…
…y que se distribuían como el Conjunto de Cantor…

103. Algunas de estas ideas, se usan en la tecnología,
por ejemplo, en el diseño de circuitos y antenas.

104. 3<5<7<9<11<...<3.2<5.2<...<3.22<5.22<...<23<22<2<1
Teorema. Si una función continua f:R→R tiene un punto
periódico con período k, entonces también tiene un punto
con período n, para cada k<n (en (1)).

105. dx/dt=-gradxF(x,a)

106. Nombre F(x,a)
Pliegue x3
/3 + ax A2
Cúspide ±x4
/4 + ax2
/2 + bx A
Cola de milano x5
/5 + ax3
/3 + bx2
/2 + cx A4
Mariposa ±x6
/6 + a x4
/4 + b x3
/3 + cx2
/2 + dx A±5
x7
+ ax5
+ b x4
+ cx3
+ dx2
+ ex + f A6
Ombligo x2
y - y3
+ ay2
+ bx + cy D-4
Elíptico
Ombligo x2
y + y3
+ ay2
+ bx + cy D4
Hiperbólico
Ombligo x2
y + y4
+ ax2
+ by2
+ cx + dy D5
Parabólico
x2
y + y5
+ ay3
+ by2
+ cx2
+ dx + ey D6
x2
y - y5
+ ay3
+ by2
+ cx2 + dx + ey D-6
x3
± y4 + axy2
+ by2
+ cxy + dx + ey Σ±5

107. f(x)=x3
+cx, c∈R