Divisibilidad Ebe Sesion4

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Divisibilidad Ebe Sesion4

  1. 1. DIVISIBILIDAD Conceptos Divisibilidad Criterios de Divisibilidad
  2. 2. Divisibilidad Si encargamos a un marmolista que nos enlose un cuarto de baño de forma rectangular , interesará que al obtener las baldosas no aparezcan trozos que rompan la estética ; entonces lo habitual será encargar baldosas cuadradas que tengan el tamaño mayor posible. Para resolver esta situación , se utilizan los conceptos de múltiplo y de divisor.
  3. 3. Matemagia – La Magia del 9 Indicaciones Piensa en un número Multiplícalo por 9 Tacha uno de sus dígitos que no sea CERO Dime la suma de los otros dígitos. Veamos…. Adivinaré el dígito que tachaste.! El digito es…. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/recursosinternet/Juegos/Magia9.asp
  4. 4. Juego de las Piedrecillas Indicaciones De un montón de fichas entre 25 a 30. Juegan 2 participantes. Cada uno retira entre 1 a 6 fichas. Gana quien retira al último. Plantee una estrategia ganadora. Variante: Cambie el tamaño del montón. Y el máximo número de fichas a retirar. Fuente: Miguel de Guzmán
  5. 5. Bloques Lógicos - Series Indicaciones En grupos de 4 participantes: Se les muestra la serie: V =Ficha Verde A=Ficha Azul R=Rojo V A V A V A... Qué color tendrá la ficha que ocupe el lugar 4.153? y el 20.000 ? V V A V V R V V A V V R . . . ¿Qué color tendrá la ficha que ocupe el lugar 54? ¿Y el 27? ¿Y el 41?
  6. 6. Dinámica Cartas – La fila de Nueve Indicaciones Retira una carta de cualquier esquina (tú eliges). 3 veces Suma los valores de las tres cartas retiradas. Divide el resultado por 6 –¡la división es exacta!– y busca la carta de la el lugar indicado por el cociente (contando de izquierda a derecha).
  7. 7. Evolución Histórica Los hindúes llegaron a conocer la divisibilidad por 3, 7 y 9 , y los griegos y egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares. El matemático francés Blaise Pascal (siglo XVII) propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número . Motivación Blaise Pascal 1623-1662
  8. 8. Divisibilidad Decimos que un número entero b es divisible por otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a·c. Se suele expresar de la forma b/a, que se lee a divide a b o a es divisor de b , o también b es múltiplo de a. Ejm 6 es divisible por 3 , ya que 6 = 3·2 ; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c.
  9. 9. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Conceptos Criba de Erastótenes Aplicaciones
  10. 10. Criba de Eratóstenes-Método Encierra en un círculo el 2 Tacha, los múltiplos de 2, excepto el 2. Encierra el 2 Tacha, los múltiplos de 3, excepto el 3. Encierra el 3 Tacha, los múltiplos de 5, excepto el 5. Encierra el 5 Tacha, los múltiplos de 7, excepto el 7. Encierra el 7 ¿Qué números NO quedaron marcados? Enciérralos con un Círculo Eratosthenes 276 a. C. 194 a. C. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 .
  11. 11. Criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N Eratosthenes 276 a. C. 194 a. C.
  12. 12. Número Primo Son aquellos que son divisibles por si mismo y por la unidad ; es decir Estos números solamente presentan dos divisores Número Primo de Fermat Pierre de Fermat 1601-1665 Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31,37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 .
  13. 13. Aplicaciones- Criptografía El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes (mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos
  14. 14. Criterios de Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par. Ejemplos: Números divisibles por 2: 36, 94, 521342, 40,... 9 4 3 6 52134 2 4 0
  15. 15. Criterios de Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos: Números divisibles por 3: 36, 2142, 42 36 2142 42 3 + 6 = 12 2+1+4+2= 9 4+2 = 6
  16. 16. Criterios de Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si si la última de sus cifras es 5 o es 0. Ejemplos: Números divisibles por 5: 35, 2145, 40,... 3 5 214 5 4 0
  17. 17. Criterios de Divisibilidad por 7 <ul><li>Un número es divisible por 7 si </li></ul><ul><li>“ Se separa la última cifra de la derecha; esta cifra se duplica y se resta al número que queda a la izquierda , con el resultado se hace lo mismo y así sucesivamente hasta llegar a un número pequeño tal, que a simple vista se puede ver si es o no múltiplo de 7. Si lo es el número dado es divisible por 7” </li></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Ejemplo: 3523289 </li></ul></ul></ul></ul></ul>
  18. 18. 3 5 2 3 2 8 9 Resolución 2( 9 ) =18 1 8 3 5 2 3 1 0 2( 0 ) = 0 0 3 5 2 3 1 2( 1 ) = 2 2 3 5 2 1 2( 1 ) = 2 2 3 5 0 2( 0 ) = 0 0 3 5 3 5 = 7 o Otra estrategia 3 5 2 3 2 8 9 21 1 3 2 1 -1 -2 -3 (9+24+4+3) -(10+6+3) 40 - 19 7 o
  19. 19. Criterios de Divisibilidad por 11 <ul><li>Un número es divisible por 11 si </li></ul><ul><li>“ Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11” </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>Ejemplo: a) 3553 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>b) 48657 </li></ul></ul></ul></ul>
  20. 20. Resolución a) 3 5 5 3 ( 3 + 5) - (5+3) 8 - 8 0 <ul><ul><ul><ul><li>b) 4 8 6 5 7 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>(4+ 6+7) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>-(8+5) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>17 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>-13 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>4 </li></ul></ul></ul></ul>4 8 6 5 7 <ul><ul><ul><ul><li>= 11+4 </li></ul></ul></ul></ul>o a) 3 5 5 3 ( 3 + 5) - (5+3) 8 - 8 0 <ul><ul><ul><ul><li>b) 4 8 6 5 7 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>(4+ 6+7) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>-(8+5) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>17 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>-13 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>4 </li></ul></ul></ul></ul>4 8 6 5 7 <ul><ul><ul><ul><li>= 11+4 </li></ul></ul></ul></ul>o
  21. 21. MCM Mínimo Común Múltiplo En el aeropuerto Jorge Chavez, los vuelos hacia Arequipa salen cada 15 minutos , y hacia Cusco Cada 25 minutos . La Primera salida a los dos sitios, es a las 8:00 am ¿En que hora vuelven a coincidir? Deben obtener los múltiplos de 15 y 25
  22. 22. Conceptos Número Compuesto: Es todo número no primo Múltiplo : cuando la división del primero entre el segundo es exacta Divisor : si lo divide exactamente MÍNIMO COMÚN MULTIPLO El menor múltiplo que contenga exactamente a los números dados. MÁXIMO COMÚN DIVISOR El mayor divisor común de ellos. Descomposición en Factores Primos
  23. 23. MCM - Método Para calcular el MCM de varios números, se descomponen simultáneamente en sus factores primos . Luego se obtiene el producto. El producto. 2x3x3 = 18 MCM(3,6,9)=18
  24. 24. MCD - Método Para calcular el MCD de varios números, se Dividen por términos comunes imultáneamente . Luego se obtiene el producto . El producto. 2x3 = 6 MCD(6,12,18) = 6
  25. 25. Propiedades MCD - MCM 1.- Si un número es múltiplo de otro , el más grande será el mcm de los dos y el más pequeño será su mcd . Ejm 12 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 12.     MCM (6, 12) = 12       MCD (6, 12) =  6
  26. 26. Propiedades MCD - MCM 2.- Los divisores comunes de dos o más números son divisores del mcd de estos números. EJEMPLO El 2 es divisor de 12 y 18 MCD (12, 18) = 6 El 2 también es divisor de 6.
  27. 27. Propiedades MCD - MCM 3.- El MCM de dos números primos entre sí es igual al producto de estos números . EJEMPLO 7 y 12 son primos (PESI) entre ellos MCM (7, 12) = 7 .12 = 84
  28. 28. Propiedades MCD - MCM 4.- Los múltiplos comunes de dos o más números son múltiplos del MCM de estos números. EJEMPLO El MCM (15, 18) = 90 . Cualquier múltiplo común de 15 y 18, por ejemplo 360 , también lo es de 90.
  29. 29. Propiedades MCD - MCM 5.- El producto del MCM por el MCD de dos números cualesquiera es igual al producto de estos números. EJEMPLO MCM (12, 15) = 60 MCD (12, 15) = 3 MCM . MCD = 60 . 3 = 180 ( 12 . 15 = 180 )
  30. 30. Propiedades MCD - MCM Si dividimos dos números por su MCD , los cocientes que se obtienen son primos entre ellos. EJEMPLO El MCD (25, 80) = 5 . Si dividimos 25 y 80 entre 5 , obtenemos, respectivamente 5 y 16 . Estos números son primos entre ellos .

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